MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmet Structured version   Unicode version

Theorem stdbdmet 18538
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdmet  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem stdbdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 10611 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 10615 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 519 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 stdbdmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
54stdbdxmet 18537 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
653expb 1154 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( R  e. 
RR*  /\  0  <  R ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
73, 6sylan2 461 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8 xmetcl 18353 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
983expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
109adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
111ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR* )
12 ifcl 3767 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR* )
1310, 11, 12syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR* )
14 rpre 10610 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
1514ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR )
16 xmetge0 18366 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
17163expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
1817adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
19 rpge0 10616 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
2019ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  R )
21 breq2 4208 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y )  =  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  -> 
( 0  <_  (
x C y )  <->  0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) ) )
22 breq2 4208 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  -> 
( 0  <_  R  <->  0  <_  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) ) )
2321, 22ifboth 3762 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
2418, 20, 23syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
25 xrmin2 10758 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  <_  R )
2610, 11, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  <_  R )
27 xrrege0 10754 . . . . 5  |-  ( ( ( if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR )  /\  (
0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R )  /\  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  <_  R ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR )
2813, 15, 24, 26, 27syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR )
2928ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR )
304fmpt2 6410 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
3129, 30sylib 189 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 ismet2 18355 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )
337, 31, 32sylanbrc 646 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   ifcif 3731   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   RRcr 8981   0cc0 8982   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   RR+crp 10604   * Metcxmt 16678   Metcme 16679
This theorem is referenced by:  mopnex  18541  xlebnum  18982
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-xmet 16687  df-met 16688
  Copyright terms: Public domain W3C validator