MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmet Unicode version

Theorem stdbdmet 18078
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdmet  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem stdbdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 10377 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 10381 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 518 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 stdbdmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
54stdbdxmet 18077 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
653expb 1152 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( R  e. 
RR*  /\  0  <  R ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
73, 6sylan2 460 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8 xmetcl 17912 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
983expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
109adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  RR* )
111ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR* )
12 ifcl 3614 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR* )
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR* )
14 rpre 10376 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
1514ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  R  e.  RR )
16 xmetge0 17925 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
17163expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
1817adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x C y ) )
19 rpge0 10382 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
2019ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  R )
21 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y )  =  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  -> 
( 0  <_  (
x C y )  <->  0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) ) )
22 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  -> 
( 0  <_  R  <->  0  <_  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) ) )
2321, 22ifboth 3609 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  ( x C y )  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
2418, 20, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
25 xrmin2 10523 . . . . . 6  |-  ( ( ( x C y )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  <_  R )
2610, 11, 25syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  <_  R )
27 xrrege0 10519 . . . . 5  |-  ( ( ( if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  e. 
RR*  /\  R  e.  RR )  /\  (
0  <_  if (
( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R )  /\  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R )  <_  R ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR )
2813, 15, 24, 26, 27syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR )
2928ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR )
304fmpt2 6207 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R
)  e.  RR  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
3129, 30sylib 188 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
32 ismet2 17914 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )
337, 31, 32sylanbrc 645 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ifcif 3578   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   RRcr 8752   0cc0 8753   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   Metcme 16386
This theorem is referenced by:  mopnex  18081  xlebnum  18479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-xmet 16389  df-met 16390
  Copyright terms: Public domain W3C validator