MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmopn Structured version   Unicode version

Theorem stdbdmopn 18548
Description: The standard bounded metric corresponding to  C generates the same topology as  C. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
stdbdmopn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
Assertion
Ref Expression
stdbdmopn  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  J  =  (
MetOpen `  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    J( x, y)

Proof of Theorem stdbdmopn
Dummy variables  r 
s  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 10619 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
21ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
3 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  R  e.  RR* )
4 ifcl 3775 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  e.  RR* )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  e.  RR* )
6 rpre 10618 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
76ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR )
8 rpgt0 10623 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
98ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
10 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  R )
11 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  -> 
( 0  <  r  <->  0  <  if ( r  <_  R ,  r ,  R ) ) )
12 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  -> 
( 0  <  R  <->  0  <  if ( r  <_  R ,  r ,  R ) ) )
1311, 12ifboth 3770 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <  r  /\  0  <  R )  -> 
0  <  if (
r  <_  R , 
r ,  R ) )
149, 10, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  if (
r  <_  R , 
r ,  R ) )
15 0xr 9131 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
16 xrltle 10742 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  e.  RR* )  ->  ( 0  <  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  ->  0  <_  if ( r  <_  R ,  r ,  R
) ) )
1715, 5, 16sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( 0  <  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  ->  0  <_  if ( r  <_  R ,  r ,  R
) ) )
1814, 17mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <_  if (
r  <_  R , 
r ,  R ) )
19 xrmin1 10765 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  <_  r )
202, 3, 19syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  <_  r )
21 xrrege0 10762 . . . . . 6  |-  ( ( ( if ( r  <_  R ,  r ,  R )  e. 
RR*  /\  r  e.  RR )  /\  (
0  <_  if (
r  <_  R , 
r ,  R )  /\  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  <_ 
r ) )  ->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  e.  RR )
225, 7, 18, 20, 21syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  e.  RR )
2322, 14elrpd 10646 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  e.  RR+ )
24 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
z  e.  X )
25 xrmin2 10766 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  <_  R )
262, 3, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  <_  R )
2724, 5, 263jca 1134 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( z  e.  X  /\  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  e.  RR*  /\  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  <_  R
) )
28 stdbdmet.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
2928stdbdbl 18547 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  if ( r  <_  R , 
r ,  R )  e.  RR*  /\  if ( r  <_  R , 
r ,  R )  <_  R ) )  ->  ( z (
ball `  D ) if ( r  <_  R ,  r ,  R
) )  =  ( z ( ball `  C
) if ( r  <_  R ,  r ,  R ) ) )
3027, 29syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( z ( ball `  D ) if ( r  <_  R , 
r ,  R ) )  =  ( z ( ball `  C
) if ( r  <_  R ,  r ,  R ) ) )
3130eqcomd 2441 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( z ( ball `  C ) if ( r  <_  R , 
r ,  R ) )  =  ( z ( ball `  D
) if ( r  <_  R ,  r ,  R ) ) )
32 breq1 4215 . . . . . 6  |-  ( s  =  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  -> 
( s  <_  r  <->  if ( r  <_  R ,  r ,  R
)  <_  r )
)
33 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( s  =  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  -> 
( z ( ball `  C ) s )  =  ( z (
ball `  C ) if ( r  <_  R ,  r ,  R
) ) )
34 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( s  =  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  -> 
( z ( ball `  D ) s )  =  ( z (
ball `  D ) if ( r  <_  R ,  r ,  R
) ) )
3533, 34eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( s  =  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  -> 
( ( z (
ball `  C )
s )  =  ( z ( ball `  D
) s )  <->  ( z
( ball `  C ) if ( r  <_  R ,  r ,  R
) )  =  ( z ( ball `  D
) if ( r  <_  R ,  r ,  R ) ) ) )
3632, 35anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( s  =  if ( r  <_  R ,  r ,  R )  -> 
( ( s  <_ 
r  /\  ( z
( ball `  C )
s )  =  ( z ( ball `  D
) s ) )  <-> 
( if ( r  <_  R ,  r ,  R )  <_ 
r  /\  ( z
( ball `  C ) if ( r  <_  R ,  r ,  R
) )  =  ( z ( ball `  D
) if ( r  <_  R ,  r ,  R ) ) ) ) )
3736rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( if ( r  <_  R ,  r ,  R )  e.  RR+  /\  ( if ( r  <_  R ,  r ,  R )  <_ 
r  /\  ( z
( ball `  C ) if ( r  <_  R ,  r ,  R
) )  =  ( z ( ball `  D
) if ( r  <_  R ,  r ,  R ) ) ) )  ->  E. s  e.  RR+  ( s  <_ 
r  /\  ( z
( ball `  C )
s )  =  ( z ( ball `  D
) s ) ) )
3823, 20, 31, 37syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( z  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  E. s  e.  RR+  (
s  <_  r  /\  ( z ( ball `  C ) s )  =  ( z (
ball `  D )
s ) ) )
3938ralrimivva 2798 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  A. z  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( s  <_ 
r  /\  ( z
( ball `  C )
s )  =  ( z ( ball `  D
) s ) ) )
40 simp1 957 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
4128stdbdxmet 18545 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
42 stdbdmopn.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
43 eqid 2436 . . . 4  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
4442, 43metequiv2 18540 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( A. z  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( s  <_ 
r  /\  ( z
( ball `  C )
s )  =  ( z ( ball `  D
) s ) )  ->  J  =  (
MetOpen `  D ) ) )
4540, 41, 44syl2anc 643 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( A. z  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( s  <_  r  /\  ( z ( ball `  C ) s )  =  ( z (
ball `  D )
s ) )  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) ) )
4639, 45mpd 15 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  J  =  (
MetOpen `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   ifcif 3739   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   RRcr 8989   0cc0 8990   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   RR+crp 10612   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688   MetOpencmopn 16691
This theorem is referenced by:  mopnex  18549  xlebnum  18990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-bases 16965
  Copyright terms: Public domain W3C validator