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Theorem stdbdxmet 18113
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmetcl 17948 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
3 xmetge0 17961 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
4 elxrge0 10794 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
x C y )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x C y ) ) )
52, 3, 4sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
653expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
71, 6sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8 xmetf 17946 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  C : ( X  X.  X ) --> RR* )
983ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C : ( X  X.  X ) -->
RR* )
10 ffn 5427 . . . . . 6  |-  ( C : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
12 fnov 5994 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( X  X.  X )  <->  C  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
1311, 12sylib 188 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
14 eqidd 2317 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) )
15 breq1 4063 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  (
z  <_  R  <->  ( x C y )  <_  R ) )
16 id 19 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  z  =  ( x C y ) )
17 eqidd 2317 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  R  =  R )
1815, 16, 17ifbieq12d 3621 . . . 4  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
197, 13, 14, 18fmpt2co 6244 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) ) )
20 stdbdmet.1 . . 3  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
2119, 20syl6eqr 2366 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  D )
22 elxrge0 10794 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( z  e.  RR*  /\  0  <_ 
z ) )
2322simplbi 446 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  z  e.  RR* )
24 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  e.  RR* )
25 ifcl 3635 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
2623, 24, 25syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  z  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
27 eqid 2316 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )
2826, 27fmptd 5722 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) : ( 0 [,] 
+oo ) --> RR* )
29 id 19 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
30 vex 2825 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
31 ifexg 3658 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )
3230, 24, 31sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e. 
_V )
33 breq1 4063 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  (
z  <_  R  <->  a  <_  R ) )
34 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  z  =  a )
35 eqidd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  R  =  R )
3633, 34, 35ifbieq12d 3621 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( a  <_  R , 
a ,  R ) )
3736, 27fvmptg 5638 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R ) )
3829, 32, 37syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
3938eqeq1d 2324 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
40 eqeq1 2322 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
4140bibi1d 310 . . . . 5  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( a  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
42 eqeq1 2322 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
4342bibi1d 310 . . . . 5  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( R  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
44 biidd 228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  a  <_  R )  ->  (
a  =  0  <->  a  =  0 ) )
45 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <  R
)
4645gt0ne0d 9382 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  =/=  0
)
4746neneqd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  -.  R  = 
0 )
4847ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  R  =  0
)
49 0xr 8923 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
50 xrltle 10530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
5149, 24, 50sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( 0  < 
R  ->  0  <_  R ) )
5245, 51mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <_  R
)
5352adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  0  <_  R )
54 breq1 4063 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  <_  R  <->  0  <_  R ) )
5553, 54syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
a  =  0  -> 
a  <_  R )
)
5655con3and 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  a  =  0
)
5748, 562falsed 340 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
a  =  0 ) )
5841, 43, 44, 57ifbothda 3629 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  =  0  <->  a  =  0 ) )
5939, 58bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  a  =  0 ) )
60 elxrge0 10794 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( a  e.  RR*  /\  0  <_ 
a ) )
6160simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  a  e.  RR* )
6261ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  a  e.  RR* )
6324adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  R  e.  RR* )
64 xrmin1 10553 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
6562, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
66 ifcl 3635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  RR* )
6762, 63, 66syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  RR* )
68 elxrge0 10794 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( b  e.  RR*  /\  0  <_ 
b ) )
6968simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  b  e.  RR* )
7069ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  b  e.  RR* )
71 xrletr 10536 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
7267, 62, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
7365, 72mpand 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  b )
)
74 xrmin2 10554 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7562, 63, 74syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7673, 75jctird 528 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  b  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  R
) ) )
77 xrlemin 10560 . . . . . 6  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7867, 70, 63, 77syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7976, 78sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) ) )
8038adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
81 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  b  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
82 vex 2825 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
83 ifexg 3658 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )
8482, 24, 83sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e. 
_V )
85 breq1 4063 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  (
z  <_  R  <->  b  <_  R ) )
86 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  z  =  b )
87 eqidd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  R  =  R )
8885, 86, 87ifbieq12d 3621 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )
8988, 27fvmptg 5638 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
9081, 84, 89syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )
9180, 90breq12d 4073 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  <_ 
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  <->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
9279, 91sylibrd 225 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  <_  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b ) ) )
9362, 70xaddcld 10668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a + e b )  e.  RR* )
94 xrmin1 10553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( a + e b ) )
9593, 63, 94syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e b ) )
96 ifcl 3635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  e.  RR* )
9793, 63, 96syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  e.  RR* )
9862, 63xaddcld 10668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a + e R )  e.  RR* )
99 xrmin2 10554 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  R )
10093, 63, 99syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  R
)
101 xaddid2 10614 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( 0 + e R )  =  R )
10263, 101syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
0 + e R )  =  R )
10349a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  e.  RR* )
10460simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  a )
105104ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  <_  a )
106 xleadd1a 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  a )  ->  (
0 + e R )  <_  ( a + e R ) )
107103, 62, 63, 105, 106syl31anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
0 + e R )  <_  ( a + e R ) )
108102, 107eqbrtrrd 4082 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  R  <_  ( a + e R ) )
10997, 63, 98, 100, 108xrletrd 10540 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e R ) )
110 oveq2 5908 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a + e
b )  =  ( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
111110breq2d 4072 . . . . . . 7  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( a + e b )  <->  if (
( a + e
b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) ) )
112 oveq2 5908 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a + e R )  =  ( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
113112breq2d 4072 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( a + e R )  <->  if (
( a + e
b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) ) )
114111, 113ifboth 3630 . . . . . 6  |-  ( ( if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( a + e b )  /\  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e R ) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
11595, 109, 114syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
116 ifcl 3635 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  RR* )
11770, 63, 116syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  RR* )
11863, 117xaddcld 10668 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( R + e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  e.  RR* )
119 xaddid1 10613 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( R + e 0 )  =  R )
12063, 119syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( R + e 0 )  =  R )
12168simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  b )
122121ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  <_  b )
12352adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  <_  R )
124 breq2 4064 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  b  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
125 breq2 4064 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  R  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
126124, 125ifboth 3630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  b  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) )
127122, 123, 126syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
128 xleadd2a 10621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  ->  ( R + e 0 )  <_ 
( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
129103, 117, 63, 127, 128syl31anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( R + e 0 )  <_  ( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
130120, 129eqbrtrrd 4082 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  R  <_  ( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
13197, 63, 118, 100, 130xrletrd 10540 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( R + e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) )
132 oveq1 5907 . . . . . . 7  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
133132breq2d 4072 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  <-> 
if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) + e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
134 oveq1 5907 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
135134breq2d 4072 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  <-> 
if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) + e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
136133, 135ifboth 3630 . . . . 5  |-  ( ( if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  /\  if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )  ->  if (
( a + e
b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
137115, 131, 136syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
138 ge0xaddcl 10797 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
a + e b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
139 ovex 5925 . . . . . 6  |-  ( a + e b )  e.  _V
140 ifexg 3658 . . . . . 6  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  e.  _V )
141139, 24, 140sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  e.  _V )
142 breq1 4063 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a + e b )  -> 
( z  <_  R  <->  ( a + e b )  <_  R )
)
143 id 19 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a + e b )  -> 
z  =  ( a + e b ) )
144 eqidd 2317 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a + e b )  ->  R  =  R )
145142, 143, 144ifbieq12d 3621 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( a + e b )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( a + e
b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R ) )
146145, 27fvmptg 5638 . . . . 5  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 ( a + e b ) )  =  if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
) )
147138, 141, 146syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a + e
b ) )  =  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R ) )
14880, 90oveq12d 5918 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a ) + e ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  b ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
149137, 147, 1483brtr4d 4090 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a + e
b ) )  <_ 
( ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  a ) + e ( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  b ) ) )
1501, 28, 59, 92, 149comet 18111 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  e.  ( * Met `  X ) )
15121, 150eqeltrrd 2391 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   ifcif 3599   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    X. cxp 4724    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902   0cc0 8782    +oocpnf 8909   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913   + ecxad 10497   [,]cicc 10706   * Metcxmt 16418
This theorem is referenced by:  stdbdmet  18114  stdbdbl  18115  stdbdmopn  18116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-2 9849  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-xmet 16425
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