Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdxmet Structured version   Unicode version

Theorem stdbdxmet 18547
 Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . 5
2 xmetcl 18363 . . . . . . 7
3 xmetge0 18376 . . . . . . 7
4 elxrge0 11010 . . . . . . 7
52, 3, 4sylanbrc 647 . . . . . 6
653expb 1155 . . . . 5
71, 6sylan 459 . . . 4
8 xmetf 18361 . . . . . . 7
983ad2ant1 979 . . . . . 6
10 ffn 5593 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
12 fnov 6180 . . . . 5
1311, 12sylib 190 . . . 4
14 eqidd 2439 . . . 4
15 breq1 4217 . . . . 5
16 id 21 . . . . 5
17 eqidd 2439 . . . . 5
1815, 16, 17ifbieq12d 3763 . . . 4
197, 13, 14, 18fmpt2co 6432 . . 3
20 stdbdmet.1 . . 3
2119, 20syl6eqr 2488 . 2
22 elxrge0 11010 . . . . . 6
2322simplbi 448 . . . . 5
24 simp2 959 . . . . 5
25 ifcl 3777 . . . . 5
2623, 24, 25syl2anr 466 . . . 4
27 eqid 2438 . . . 4
2826, 27fmptd 5895 . . 3
29 id 21 . . . . . 6
30 vex 2961 . . . . . . 7
31 ifexg 3800 . . . . . . 7
3230, 24, 31sylancr 646 . . . . . 6
33 breq1 4217 . . . . . . . 8
34 id 21 . . . . . . . 8
35 eqidd 2439 . . . . . . . 8
3633, 34, 35ifbieq12d 3763 . . . . . . 7
3736, 27fvmptg 5806 . . . . . 6
3829, 32, 37syl2anr 466 . . . . 5
3938eqeq1d 2446 . . . 4
40 eqeq1 2444 . . . . . 6
4140bibi1d 312 . . . . 5
42 eqeq1 2444 . . . . . 6
4342bibi1d 312 . . . . 5
44 biidd 230 . . . . 5
45 simp3 960 . . . . . . . . 9
4645gt0ne0d 9593 . . . . . . . 8
4746neneqd 2619 . . . . . . 7
4847ad2antrr 708 . . . . . 6
49 0xr 9133 . . . . . . . . . . 11
50 xrltle 10744 . . . . . . . . . . 11
5149, 24, 50sylancr 646 . . . . . . . . . 10
5245, 51mpd 15 . . . . . . . . 9
5352adantr 453 . . . . . . . 8
54 breq1 4217 . . . . . . . 8
5553, 54syl5ibrcom 215 . . . . . . 7
5655con3and 430 . . . . . 6
5748, 562falsed 342 . . . . 5
5841, 43, 44, 57ifbothda 3771 . . . 4
5939, 58bitrd 246 . . 3
60 elxrge0 11010 . . . . . . . . . 10
6160simplbi 448 . . . . . . . . 9
6261ad2antrl 710 . . . . . . . 8
6324adantr 453 . . . . . . . 8
64 xrmin1 10767 . . . . . . . 8
6562, 63, 64syl2anc 644 . . . . . . 7
66 ifcl 3777 . . . . . . . . 9
6762, 63, 66syl2anc 644 . . . . . . . 8
68 elxrge0 11010 . . . . . . . . . 10
6968simplbi 448 . . . . . . . . 9
7069ad2antll 711 . . . . . . . 8
71 xrletr 10750 . . . . . . . 8
7267, 62, 70, 71syl3anc 1185 . . . . . . 7
7365, 72mpand 658 . . . . . 6
74 xrmin2 10768 . . . . . . 7
7562, 63, 74syl2anc 644 . . . . . 6
7673, 75jctird 530 . . . . 5
77 xrlemin 10774 . . . . . 6
7867, 70, 63, 77syl3anc 1185 . . . . 5
7976, 78sylibrd 227 . . . 4
8038adantrr 699 . . . . 5
81 simpr 449 . . . . . 6
82 vex 2961 . . . . . . 7
83 ifexg 3800 . . . . . . 7
8482, 24, 83sylancr 646 . . . . . 6
85 breq1 4217 . . . . . . . 8
86 id 21 . . . . . . . 8
87 eqidd 2439 . . . . . . . 8
8885, 86, 87ifbieq12d 3763 . . . . . . 7
8988, 27fvmptg 5806 . . . . . 6
9081, 84, 89syl2anr 466 . . . . 5
9180, 90breq12d 4227 . . . 4
9279, 91sylibrd 227 . . 3
9362, 70xaddcld 10882 . . . . . . 7
94 xrmin1 10767 . . . . . . 7
9593, 63, 94syl2anc 644 . . . . . 6
96 ifcl 3777 . . . . . . . 8
9793, 63, 96syl2anc 644 . . . . . . 7
9862, 63xaddcld 10882 . . . . . . 7
99 xrmin2 10768 . . . . . . . 8
10093, 63, 99syl2anc 644 . . . . . . 7
101 xaddid2 10828 . . . . . . . . 9
10263, 101syl 16 . . . . . . . 8
10349a1i 11 . . . . . . . . 9
10460simprbi 452 . . . . . . . . . 10
105104ad2antrl 710 . . . . . . . . 9
106 xleadd1a 10834 . . . . . . . . 9
107103, 62, 63, 105, 106syl31anc 1188 . . . . . . . 8
108102, 107eqbrtrrd 4236 . . . . . . 7
10997, 63, 98, 100, 108xrletrd 10754 . . . . . 6
110 oveq2 6091 . . . . . . . 8
111110breq2d 4226 . . . . . . 7
112 oveq2 6091 . . . . . . . 8
113112breq2d 4226 . . . . . . 7
114111, 113ifboth 3772 . . . . . 6
11595, 109, 114syl2anc 644 . . . . 5
116 ifcl 3777 . . . . . . . 8
11770, 63, 116syl2anc 644 . . . . . . 7
11863, 117xaddcld 10882 . . . . . 6
119 xaddid1 10827 . . . . . . . 8
12063, 119syl 16 . . . . . . 7
12168simprbi 452 . . . . . . . . . 10
122121ad2antll 711 . . . . . . . . 9
12352adantr 453 . . . . . . . . 9
124 breq2 4218 . . . . . . . . . 10
125 breq2 4218 . . . . . . . . . 10
126124, 125ifboth 3772 . . . . . . . . 9
127122, 123, 126syl2anc 644 . . . . . . . 8
128 xleadd2a 10835 . . . . . . . 8
129103, 117, 63, 127, 128syl31anc 1188 . . . . . . 7
130120, 129eqbrtrrd 4236 . . . . . 6
13197, 63, 118, 100, 130xrletrd 10754 . . . . 5
132 oveq1 6090 . . . . . . 7
133132breq2d 4226 . . . . . 6
134 oveq1 6090 . . . . . . 7
135134breq2d 4226 . . . . . 6
136133, 135ifboth 3772 . . . . 5
137115, 131, 136syl2anc 644 . . . 4
138 ge0xaddcl 11013 . . . . 5
139 ovex 6108 . . . . . 6
140 ifexg 3800 . . . . . 6
141139, 24, 140sylancr 646 . . . . 5
142 breq1 4217 . . . . . . 7
143 id 21 . . . . . . 7
144 eqidd 2439 . . . . . . 7
145142, 143, 144ifbieq12d 3763 . . . . . 6
146145, 27fvmptg 5806 . . . . 5
147138, 141, 146syl2anr 466 . . . 4
14880, 90oveq12d 6101 . . . 4
149137, 147, 1483brtr4d 4244 . . 3
1501, 28, 59, 92, 149comet 18545 . 2
15121, 150eqeltrrd 2513 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  cif 3741   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878   ccom 4884   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  cc0 8992   cpnf 9119  cxr 9121   clt 9122   cle 9123  cxad 10710  cicc 10921  cxmt 16688 This theorem is referenced by:  stdbdmet  18548  stdbdbl  18549  stdbdmopn  18550 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-xmet 16697
 Copyright terms: Public domain W3C validator