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Theorem stdbdxmet 18061
Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
stdbdxmet  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, R, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem stdbdxmet
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmetcl 17896 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e. 
RR* )
3 xmetge0 17909 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  0  <_  ( x C y ) )
4 elxrge0 10747 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
x C y )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x C y ) ) )
52, 3, 4sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x C y )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
653expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
71, 6sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x C y )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8 xmetf 17894 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  C : ( X  X.  X ) --> RR* )
983ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C : ( X  X.  X ) -->
RR* )
10 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( C : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  Fn  ( X  X.  X ) )
12 fnov 5952 . . . . 5  |-  ( C  Fn  ( X  X.  X )  <->  C  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
1311, 12sylib 188 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  C  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x C y ) ) )
14 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) )
15 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  (
z  <_  R  <->  ( x C y )  <_  R ) )
16 id 19 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  z  =  ( x C y ) )
17 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  R  =  R )
1815, 16, 17ifbieq12d 3587 . . . 4  |-  ( z  =  ( x C y )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( x C y )  <_  R , 
( x C y ) ,  R ) )
197, 13, 14, 18fmpt2co 6202 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) ) )
20 stdbdmet.1 . . 3  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x C y )  <_  R ,  ( x C y ) ,  R ) )
2119, 20syl6eqr 2333 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  =  D )
22 elxrge0 10747 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( z  e.  RR*  /\  0  <_ 
z ) )
2322simplbi 446 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  z  e.  RR* )
24 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  e.  RR* )
25 ifcl 3601 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
2623, 24, 25syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  z  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  e.  RR* )
27 eqid 2283 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )
2826, 27fmptd 5684 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) : ( 0 [,] 
+oo ) --> RR* )
29 id 19 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
30 vex 2791 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
31 ifexg 3624 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )
3230, 24, 31sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e. 
_V )
33 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  (
z  <_  R  <->  a  <_  R ) )
34 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  z  =  a )
35 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  R  =  R )
3633, 34, 35ifbieq12d 3587 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( a  <_  R , 
a ,  R ) )
3736, 27fvmptg 5600 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R ) )
3829, 32, 37syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
3938eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
40 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
4140bibi1d 310 . . . . 5  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( a  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
42 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
if ( a  <_  R ,  a ,  R )  =  0 ) )
4342bibi1d 310 . . . . 5  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( ( R  =  0  <->  a  =  0 )  <->  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R )  =  0  <->  a  = 
0 ) ) )
44 biidd 228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  a  <_  R )  ->  (
a  =  0  <->  a  =  0 ) )
45 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <  R
)
4645gt0ne0d 9337 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  R  =/=  0
)
4746neneqd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  -.  R  = 
0 )
4847ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  R  =  0
)
49 0xr 8878 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
50 xrltle 10483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
5149, 24, 50sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( 0  < 
R  ->  0  <_  R ) )
5245, 51mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  0  <_  R
)
5352adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  0  <_  R )
54 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  <_  R  <->  0  <_  R ) )
5553, 54syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
a  =  0  -> 
a  <_  R )
)
5655con3and 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  ->  -.  a  =  0
)
5748, 562falsed 340 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  -.  a  <_  R )  -> 
( R  =  0  <-> 
a  =  0 ) )
5841, 43, 44, 57ifbothda 3595 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  =  0  <->  a  =  0 ) )
5939, 58bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  a  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  =  0  <->  a  =  0 ) )
60 elxrge0 10747 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( a  e.  RR*  /\  0  <_ 
a ) )
6160simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  a  e.  RR* )
6261ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  a  e.  RR* )
6324adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  R  e.  RR* )
64 xrmin1 10506 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
6562, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  a )
66 ifcl 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  RR* )
6762, 63, 66syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  e.  RR* )
68 elxrge0 10747 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( b  e.  RR*  /\  0  <_ 
b ) )
6968simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  b  e.  RR* )
7069ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  b  e.  RR* )
71 xrletr 10489 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
7267, 62, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
a  /\  a  <_  b )  ->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  b ) )
7365, 72mpand 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  b )
)
74 xrmin2 10507 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7562, 63, 74syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  R )
7673, 75jctird 528 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  b  /\  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_  R
) ) )
77 xrlemin 10513 . . . . . 6  |-  ( ( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7867, 70, 63, 77syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R )  <-> 
( if ( a  <_  R ,  a ,  R )  <_ 
b  /\  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  R ) ) )
7976, 78sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  if ( a  <_  R ,  a ,  R
)  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) ) )
8038adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R
) )
81 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  b  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
82 vex 2791 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
83 ifexg 3624 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )
8482, 24, 83sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e. 
_V )
85 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  (
z  <_  R  <->  b  <_  R ) )
86 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  z  =  b )
87 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  b  ->  R  =  R )
8885, 86, 87ifbieq12d 3587 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )
8988, 27fvmptg 5600 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
9081, 84, 89syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b )  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )
9180, 90breq12d 4036 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a )  <_ 
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 b )  <->  if (
a  <_  R , 
a ,  R )  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
9279, 91sylibrd 225 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a  <_  b  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  a )  <_  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  b ) ) )
9362, 70xaddcld 10621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a + e b )  e.  RR* )
94 xrmin1 10506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( a + e b ) )
9593, 63, 94syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e b ) )
96 ifcl 3601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  e.  RR* )
9793, 63, 96syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  e.  RR* )
9862, 63xaddcld 10621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
a + e R )  e.  RR* )
99 xrmin2 10507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  R )
10093, 63, 99syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  R
)
101 xaddid2 10567 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( 0 + e R )  =  R )
10263, 101syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
0 + e R )  =  R )
10349a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  e.  RR* )
10460simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  a )
105104ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  <_  a )
106 xleadd1a 10573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  a  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  a )  ->  (
0 + e R )  <_  ( a + e R ) )
107103, 62, 63, 105, 106syl31anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
0 + e R )  <_  ( a + e R ) )
108102, 107eqbrtrrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  R  <_  ( a + e R ) )
10997, 63, 98, 100, 108xrletrd 10493 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e R ) )
110 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a + e
b )  =  ( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
111110breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( a + e b )  <->  if (
( a + e
b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) ) )
112 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( a + e R )  =  ( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
113112breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( a + e R )  <->  if (
( a + e
b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) ) )
114111, 113ifboth 3596 . . . . . 6  |-  ( ( if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( a + e b )  /\  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e R ) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
11595, 109, 114syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  (
a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
116 ifcl 3601 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  RR* )
11770, 63, 116syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( b  <_  R ,  b ,  R
)  e.  RR* )
11863, 117xaddcld 10621 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( R + e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  e.  RR* )
119 xaddid1 10566 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR*  ->  ( R + e 0 )  =  R )
12063, 119syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( R + e 0 )  =  R )
12168simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  b )
122121ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  <_  b )
12352adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  <_  R )
124 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  b  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
125 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  -> 
( 0  <_  R  <->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
126124, 125ifboth 3596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  b  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  if (
b  <_  R , 
b ,  R ) )
127122, 123, 126syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  0  <_  if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )
128 xleadd2a 10574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  if ( b  <_  R ,  b ,  R )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  0  <_  if ( b  <_  R , 
b ,  R ) )  ->  ( R + e 0 )  <_ 
( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
129103, 117, 63, 127, 128syl31anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( R + e 0 )  <_  ( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )
130120, 129eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  R  <_  ( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
13197, 63, 118, 100, 130xrletrd 10493 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( R + e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) )
132 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
133132breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( a  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  <-> 
if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) + e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
134 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R ) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
135134breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( R  =  if ( a  <_  R ,  a ,  R )  -> 
( if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  <-> 
if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R , 
a ,  R ) + e if ( b  <_  R , 
b ,  R ) ) ) )
136133, 135ifboth 3596 . . . . 5  |-  ( ( if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( a + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) )  /\  if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  <_  ( R + e if ( b  <_  R ,  b ,  R ) ) )  ->  if (
( a + e
b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
137115, 131, 136syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  <_  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
138 ge0xaddcl 10750 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
a + e b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
139 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( a + e b )  e.  _V
140 ifexg 3624 . . . . . 6  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  _V  /\  R  e.  RR* )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  e.  _V )
141139, 24, 140sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
)  e.  _V )
142 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a + e b )  -> 
( z  <_  R  <->  ( a + e b )  <_  R )
)
143 id 19 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a + e b )  -> 
z  =  ( a + e b ) )
144 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( a + e b )  ->  R  =  R )
145142, 143, 144ifbieq12d 3587 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( a + e b )  ->  if ( z  <_  R ,  z ,  R
)  =  if ( ( a + e
b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R ) )
146145, 27fvmptg 5600 . . . . 5  |-  ( ( ( a + e
b )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 ( a + e b ) )  =  if ( ( a + e b )  <_  R , 
( a + e
b ) ,  R
) )
147138, 141, 146syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a + e
b ) )  =  if ( ( a + e b )  <_  R ,  ( a + e b ) ,  R ) )
14880, 90oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `
 a ) + e ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  b ) )  =  ( if ( a  <_  R ,  a ,  R
) + e if ( b  <_  R ,  b ,  R
) ) )
149137, 147, 1483brtr4d 4053 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* 
/\  0  <  R
)  /\  ( a  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  b  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R ,  z ,  R ) ) `  ( a + e
b ) )  <_ 
( ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  a ) + e ( ( z  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) ) `  b ) ) )
1501, 28, 59, 92, 149comet 18059 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  |->  if ( z  <_  R , 
z ,  R ) )  o.  C )  e.  ( * Met `  X ) )
15121, 150eqeltrrd 2358 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR*  /\  0  <  R )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   + ecxad 10450   [,]cicc 10659   * Metcxmt 16369
This theorem is referenced by:  stdbdmet  18062  stdbdbl  18063  stdbdmopn  18064
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-xmet 16373
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