HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stge1i Unicode version

Theorem stge1i 23590
Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stge1i  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  <->  ( S `  A )  =  1 ) )

Proof of Theorem stge1i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
2 stle1 23577 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  <_  1
) )
31, 2mpi 17 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  <_  1
)
43anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( S  e.  States  /\  1  <_  ( S `  A
) )  ->  (
( S `  A
)  <_  1  /\  1  <_  ( S `  A ) ) )
54ex 424 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  ->  ( ( S `  A )  <_  1  /\  1  <_ 
( S `  A
) ) ) )
6 stcl 23568 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
71, 6mpi 17 . . . 4  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  e.  RR )
8 1re 9024 . . . 4  |-  1  e.  RR
9 letri3 9094 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( S `  A )  =  1  <-> 
( ( S `  A )  <_  1  /\  1  <_  ( S `
 A ) ) ) )
107, 8, 9sylancl 644 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  =  1  <->  ( ( S `
 A )  <_ 
1  /\  1  <_  ( S `  A ) ) ) )
115, 10sylibrd 226 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  ->  ( S `  A )  =  1 ) )
12 1le1 9583 . . 3  |-  1  <_  1
13 breq2 4158 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  (
1  <_  ( S `  A )  <->  1  <_  1 ) )
1412, 13mpbiri 225 . 2  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  1  <_  ( S `  A
) )
1511, 14impbid1 195 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  <->  ( S `  A )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4154   ` cfv 5395   RRcr 8923   1c1 8925    <_ cle 9055   CHcch 22281   Statescst 22314
This theorem is referenced by:  stm1i  23595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-hilex 22351
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-icc 10856  df-sh 22558  df-ch 22573  df-st 23563
  Copyright terms: Public domain W3C validator