HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stge1i Structured version   Unicode version

Theorem stge1i 23733
Description: If a state is greater than or equal to 1, it is 1. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stge1i  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  <->  ( S `  A )  =  1 ) )

Proof of Theorem stge1i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
2 stle1 23720 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  <_  1
) )
31, 2mpi 17 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  <_  1
)
43anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( S  e.  States  /\  1  <_  ( S `  A
) )  ->  (
( S `  A
)  <_  1  /\  1  <_  ( S `  A ) ) )
54ex 424 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  ->  ( ( S `  A )  <_  1  /\  1  <_ 
( S `  A
) ) ) )
6 stcl 23711 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
71, 6mpi 17 . . . 4  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  e.  RR )
8 1re 9082 . . . 4  |-  1  e.  RR
9 letri3 9152 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( S `  A )  =  1  <-> 
( ( S `  A )  <_  1  /\  1  <_  ( S `
 A ) ) ) )
107, 8, 9sylancl 644 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  =  1  <->  ( ( S `
 A )  <_ 
1  /\  1  <_  ( S `  A ) ) ) )
115, 10sylibrd 226 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  ->  ( S `  A )  =  1 ) )
12 1le1 9642 . . 3  |-  1  <_  1
13 breq2 4208 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  (
1  <_  ( S `  A )  <->  1  <_  1 ) )
1412, 13mpbiri 225 . 2  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  1  <_  ( S `  A
) )
1511, 14impbid1 195 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( 1  <_ 
( S `  A
)  <->  ( S `  A )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   RRcr 8981   1c1 8983    <_ cle 9113   CHcch 22424   Statescst 22457
This theorem is referenced by:  stm1i  23738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-hilex 22494
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-icc 10915  df-sh 22701  df-ch 22716  df-st 23706
  Copyright terms: Public domain W3C validator