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Theorem stirlinglem1 27799
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem1.4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10521 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10311 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
5 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6 divcnv 12633 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0
84, 7eqbrtri 4231 . . . . . . . 8  |-  L  ~~>  0
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  L  ~~>  0 )
10 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
11 nnex 10006 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1211mptex 5966 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
1310, 12eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G  e.  _V )
154a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
1716oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  n
)  =  ( 1  /  k ) )
18 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
19 nnrp 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2019rpreccld 10658 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
2115, 17, 18, 20fvmptd 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
22 nnrecre 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
2321, 22eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2423adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2510a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2616oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
2726oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2827oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
29 2re 10069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
31 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3230, 31remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
33 0le1 9551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
34 1re 9090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
35 1lt2 10142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  2
3634, 29, 35ltleii 9196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <_  2
37 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
3837, 34, 29letri 9202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  <_  1  /\  1  <_  2 )  -> 
0  <_  2 )
3933, 36, 38mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
4119rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  k )
4230, 31, 40, 41mulge0d 9603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  k
) )
4332, 42ge0p1rpd 10674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
4443rpreccld 10658 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4525, 28, 18, 44fvmptd 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
4644rpred 10648 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
4745, 46eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4847adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4934a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
5033a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  1 )
5132, 49readdcld 9115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
52 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5352mulid2d 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  =  k )
5435a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <  2 )
5549, 30, 19, 54ltmul1dd 10699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  <  ( 2  x.  k ) )
5653, 55eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( 2  x.  k
) )
5732ltp1d 9941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5831, 32, 51, 56, 57lttrd 9231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5931, 51, 58ltled 9221 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
6019, 43, 49, 50, 59lediv2ad 10670 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
6160, 45, 213brtr4d 4242 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
6261adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
6344rpge0d 10652 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
6463, 45breqtrrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( G `  k
) )
6564adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
661, 3, 9, 14, 24, 48, 62, 65climsqz2 12435 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
675a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
68 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
6911mptex 5966 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
7068, 69eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F  e.  _V )
7248recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7368a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
7428oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
755a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
76 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
7877, 52mulcld 9108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
7978, 75addcld 9107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
8043rpne0d 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
8179, 80reccld 9783 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
8275, 81subcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8373, 74, 18, 82fvmptd 5810 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
8445eqcomd 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
8584oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8683, 85eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8786adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
881, 3, 66, 67, 71, 72, 87climsubc2 12432 . . . . 5  |-  (  T. 
->  F  ~~>  ( 1  -  0 ) )
895subid1i 9372 . . . . 5  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9088, 89syl6breq 4251 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  ~~>  1 )
9167halfcld 10212 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
92 stirlinglem1.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
9311mptex 5966 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
9492, 93eqeltri 2506 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
9594a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  H  e.  _V )
9683, 82eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9796adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
98 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9998sqcld 11521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
10099mulid2d 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
101100eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( 1  x.  ( n ^ 2 ) ) )
10276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
103102, 98mulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1045a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
10598, 103, 104adddid 9112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n  x.  ( 2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) ) )
10698, 102, 98mul12d 9275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  n
) ) )
10798sqvald 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
108107eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  n )  =  ( n ^
2 ) )
109108oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
110106, 109eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
11198mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
112110, 111oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  (
2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  n ) )
113 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
11598, 102, 114divcan2d 9792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
116115eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )
117116oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
11898halfcld 10212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  CC )
119102, 99, 118adddid 9112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
120117, 119eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
121105, 112, 1203eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
122101, 121oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
12399, 118addcld 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  CC )
124 nnrp 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
125 2z 10312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
127124, 126rpexpcld 11546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  RR+ )
128124rphalfcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  RR+ )
129127, 128rpaddcld 10663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  RR+ )
130129rpne0d 10653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  =/=  0 )
131104, 102, 99, 123, 114, 130divmuldivd 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
13299, 118pncand 9412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  /  2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
133132eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) )  -  ( n  /  2
) ) )
134133oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  / 
2 ) )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
135123, 118, 123, 130divsubdird 9829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  -  (
n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) )  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
136123, 130dividd 9788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  1 )
137136oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) )  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
138134, 135, 1373eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
139 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
140102, 98, 139divcld 9790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  e.  CC )
141102, 98, 114, 139divne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  =/=  0 )
142118, 123, 140, 130, 141divcan5rd 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( n  /  2 )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
14398, 102, 139, 114divcan6d 9809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  x.  ( 2  /  n ) )  =  1 )
14499, 118, 140adddird 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  +  ( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) ) ) )
14599, 102, 98, 139div12d 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  /  n
) ) )
146 2m1e1 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  -  1 )  =  1
147146eqcomi 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =  ( 2  -  1 )
148147oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n ^ 1 )  =  ( n ^ (
2  -  1 ) )
14998exp1d 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
15098, 139, 126expm1d 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
151148, 149, 1503eqtr3a 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
152151eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
153152oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
154145, 153eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
155154, 143oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  x.  (
2  /  n ) )  +  ( ( n  /  2 )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
156144, 155eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
157143, 156oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
158142, 157eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
159158oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
160138, 159eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
161160oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
162122, 131, 1613eqtr2d 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
163162mpteq2ia 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
16492, 163eqtri 2456 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
165164a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
16674oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
16775halfcld 10212 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
168167, 82mulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
169165, 166, 18, 168fvmptd 5810 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
17083oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
171169, 170eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
172171adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
1731, 3, 90, 91, 95, 97, 172climmulc2 12430 . . 3  |-  (  T. 
->  H  ~~>  ( (
1  /  2 )  x.  1 ) )
174173trud 1332 . 2  |-  H  ~~>  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )
17576, 113reccli 9744 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
176175mulid1i 9092 . 2  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )  =  ( 1  /  2
)
177174, 176breqtri 4235 1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ZZcz 10282   RR+crp 10612   ^cexp 11382    ~~> cli 12278
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  27813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283
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