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Theorem stirlinglem1 27823
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem1.4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
5 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6 divcnv 12312 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0
84, 7eqbrtri 4042 . . . . . . . 8  |-  L  ~~>  0
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  L  ~~>  0 )
10 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
11 nnex 9752 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1211mptex 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
1310, 12eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
1413a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G  e.  _V )
154a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
1716oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  n
)  =  ( 1  /  k ) )
18 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
19 nnrp 10363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2019rpreccld 10400 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
2115, 17, 18, 20fvmptd 5606 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
22 nnrecre 9782 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
2321, 22eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2510a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2616oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
2726oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2827oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
29 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
31 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3230, 31remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
33 0le1 9297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  1
34 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
35 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
3635, 29ltlei 8940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  <  2  ->  1  <_  2 )
3734, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  2
3833, 37pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <_  1  /\  1  <_  2 )
39 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
4039, 35, 29letri 8948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  <_  1  /\  1  <_  2 )  -> 
0  <_  2 )
4138, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
4319rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  k )
4430, 31, 42, 43mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  k
) )
4532, 44ge0p1rpd 10416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
4645rpreccld 10400 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4725, 28, 18, 46fvmptd 5606 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
4846rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
4947, 48eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
5049adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
5135a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
5233a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  1 )
5332, 51readdcld 8862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
54 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5554mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  =  k )
5655eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =  ( 1  x.  k ) )
5734a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <  2 )
5851, 30, 19, 57ltmul1dd 10441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  <  ( 2  x.  k ) )
5956, 58eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( 2  x.  k
) )
6032ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
6131, 32, 53, 59, 60lttrd 8977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
6231, 53, 61ltled 8967 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
6319, 45, 51, 52, 62lediv2ad 10412 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
6463, 47, 213brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
6564adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
6646rpge0d 10394 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
6766, 47breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( G `  k
) )
6867adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
691, 3, 9, 14, 24, 50, 65, 68climsqz2 12115 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
705a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
71 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
7211mptex 5746 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
7371, 72eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
7473a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F  e.  _V )
7550recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7671a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
7728oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
785a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
79 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
8180, 54mulcld 8855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
8281, 78addcld 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
8345rpne0d 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
8482, 83reccld 9529 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
8578, 84subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8676, 77, 18, 85fvmptd 5606 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
87 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
8847eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
8988oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
9086, 87, 893eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
9190adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
921, 3, 69, 70, 74, 75, 91climsubc2 12112 . . . . 5  |-  (  T. 
->  F  ~~>  ( 1  -  0 ) )
935subid1i 9118 . . . . . 6  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9493a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 1  -  0 )  =  1 )
9592, 94breqtrd 4047 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  ~~>  1 )
9670halfcld 9956 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
97 stirlinglem1.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
9811mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
9997, 98eqeltri 2353 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
10099a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  H  e.  _V )
10186, 85eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  CC )
102101adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
103 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
104103sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
105104mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
106105eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( 1  x.  ( n ^ 2 ) ) )
10779a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
108107, 103mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1095a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
110103, 108, 109adddid 8859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n  x.  ( 2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) ) )
111103, 107, 103mul12d 9021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  n
) ) )
112103sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
113112eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  n )  =  ( n ^
2 ) )
114113oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
115111, 114eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
116103mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
117115, 116oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  (
2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  n ) )
118 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
120103, 107, 119divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
121120eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )
122121oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
123103, 107, 119divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  CC )
124107, 104, 123adddid 8859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
125124eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
126122, 125eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
127110, 117, 1263eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
128106, 127oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
129104, 123addcld 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  CC )
13039a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
131 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
132 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ZZ
133132a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
134131, 133rpexpcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  RR+ )
135131rphalfcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  RR+ )
136134, 135rpaddcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  RR+ )
137136rpgt0d 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) )
138130, 137jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  0  <  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )
139 ltne 8917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) )  -> 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  =/=  0 )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  =/=  0 )
141109, 107, 104, 129, 119, 140divmuldivd 9577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
142141eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  x.  (
n ^ 2 ) )  /  ( 2  x.  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
143104, 123pncand 9158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  /  2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
144143eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) )  -  ( n  /  2
) ) )
145144oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  / 
2 ) )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
146129, 123, 129, 140divsubdird 9575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  -  (
n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) )  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
147129, 140dividd 9534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  1 )
148147oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) )  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
149145, 146, 1483eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
150 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
151107, 103, 150divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  e.  CC )
152107, 103, 119, 150divne0d 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  =/=  0 )
153123, 129, 151, 140, 152divcan5rd 9563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( n  /  2 )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
154153eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( n  /  2 )  x.  ( 2  /  n ) )  / 
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  x.  (
2  /  n ) ) ) )
155103, 107, 150, 119divcan6d 9555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  x.  ( 2  /  n ) )  =  1 )
156104, 123, 151adddird 8860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  +  ( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) ) ) )
157104, 107, 103, 150div12d 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  /  n
) ) )
158103exp1d 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
159158eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( n ^
1 ) )
160 2m1e1 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  -  1 )  =  1
161160eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  =  ( 2  -  1 )
162161oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n ^ 1 )  =  ( n ^ (
2  -  1 ) )
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  ( n ^
( 2  -  1 ) ) )
164103, 150, 133expm1d 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
165159, 163, 1643eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
166165eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
167166oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
168157, 167eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
169168, 155oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  x.  (
2  /  n ) )  +  ( ( n  /  2 )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
170156, 169eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
171155, 170oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
172154, 171eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
173172oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
174149, 173eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
175174oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
176128, 142, 1753eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
177176mpteq2ia 4102 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
17897, 177eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
179178a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
18077oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
18178halfcld 9956 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
182181, 85mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
183179, 180, 18, 182fvmptd 5606 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
18486oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
185184eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
186183, 185eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
187186adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
1881, 3, 95, 96, 100, 102, 187climmulc2 12110 . . 3  |-  (  T. 
->  H  ~~>  ( (
1  /  2 )  x.  1 ) )
189188trud 1314 . 2  |-  H  ~~>  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )
19079, 118reccli 9490 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
191190mulid1i 8839 . 2  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )  =  ( 1  /  2
)
192189, 191breqtri 4046 1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ^cexp 11104    ~~> cli 11958
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963
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