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Theorem stirlinglem1 27146
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem1.4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10352 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10142 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
5 ax-1cn 8882 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6 divcnv 12403 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0
84, 7eqbrtri 4121 . . . . . . . 8  |-  L  ~~>  0
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  L  ~~>  0 )
10 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
11 nnex 9839 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1211mptex 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
1310, 12eqeltri 2428 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
1413a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G  e.  _V )
154a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
1716oveq2d 5958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  n
)  =  ( 1  /  k ) )
18 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
19 nnrp 10452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2019rpreccld 10489 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
2115, 17, 18, 20fvmptd 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
22 nnrecre 9869 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
2321, 22eqeltrd 2432 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2510a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2616oveq2d 5958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
2726oveq1d 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2827oveq2d 5958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
29 2re 9902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
31 nnre 9840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3230, 31remulcld 8950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
33 0le1 9384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  1
34 1lt2 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
35 1re 8924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
3635, 29ltlei 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  <  2  ->  1  <_  2 )
3734, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  2
3833, 37pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <_  1  /\  1  <_  2 )
39 0re 8925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
4039, 35, 29letri 9035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  <_  1  /\  1  <_  2 )  -> 
0  <_  2 )
4138, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
4319rpge0d 10483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  k )
4430, 31, 42, 43mulge0d 9436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  k
) )
4532, 44ge0p1rpd 10505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
4645rpreccld 10489 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4725, 28, 18, 46fvmptd 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
4846rpred 10479 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
4947, 48eqeltrd 2432 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
5049adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
5135a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
5233a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  1 )
5332, 51readdcld 8949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
54 nncn 9841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5554mulid2d 8940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  =  k )
5655eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =  ( 1  x.  k ) )
5734a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <  2 )
5851, 30, 19, 57ltmul1dd 10530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  <  ( 2  x.  k ) )
5956, 58eqbrtrd 4122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( 2  x.  k
) )
6032ltp1d 9774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
6131, 32, 53, 59, 60lttrd 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
6231, 53, 61ltled 9054 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
6319, 45, 51, 52, 62lediv2ad 10501 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
6463, 47, 213brtr4d 4132 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
6564adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
6646rpge0d 10483 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
6766, 47breqtrrd 4128 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( G `  k
) )
6867adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
691, 3, 9, 14, 24, 50, 65, 68climsqz2 12205 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
705a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
71 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
7211mptex 5829 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
7371, 72eqeltri 2428 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
7473a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F  e.  _V )
7550recnd 8948 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7671a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
7728oveq2d 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
785a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
79 2cn 9903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
8180, 54mulcld 8942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
8281, 78addcld 8941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
8345rpne0d 10484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
8482, 83reccld 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
8578, 84subcld 9244 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8676, 77, 18, 85fvmptd 5686 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
87 eqidd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
8847eqcomd 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
8988oveq2d 5958 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
9086, 87, 893eqtrd 2394 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
9190adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
921, 3, 69, 70, 74, 75, 91climsubc2 12202 . . . . 5  |-  (  T. 
->  F  ~~>  ( 1  -  0 ) )
935subid1i 9205 . . . . . 6  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9493a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 1  -  0 )  =  1 )
9592, 94breqtrd 4126 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  ~~>  1 )
9670halfcld 10045 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
97 stirlinglem1.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
9811mptex 5829 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
9997, 98eqeltri 2428 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
10099a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  H  e.  _V )
10186, 85eqeltrd 2432 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  CC )
102101adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
103 nncn 9841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
104103sqcld 11333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
105104mulid2d 8940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
106105eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( 1  x.  ( n ^ 2 ) ) )
10779a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
108107, 103mulcld 8942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1095a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
110103, 108, 109adddid 8946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n  x.  ( 2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) ) )
111103, 107, 103mul12d 9108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  n
) ) )
112103sqvald 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
113112eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  n )  =  ( n ^
2 ) )
114113oveq2d 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
115111, 114eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
116103mulid1d 8939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
117115, 116oveq12d 5960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  (
2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  n ) )
118 2ne0 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
120103, 107, 119divcan2d 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
121120eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )
122121oveq2d 5958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
123103, 107, 119divcld 9623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  CC )
124107, 104, 123adddid 8946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
125124eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
126122, 125eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
127110, 117, 1263eqtrd 2394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
128106, 127oveq12d 5960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
129104, 123addcld 8941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  CC )
13039a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
131 nnrp 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
132 2z 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ZZ
133132a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
134131, 133rpexpcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  RR+ )
135131rphalfcld 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  RR+ )
136134, 135rpaddcld 10494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  RR+ )
137136rpgt0d 10482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) )
138130, 137jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  0  <  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )
139 ltne 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) )  -> 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  =/=  0 )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  =/=  0 )
141109, 107, 104, 129, 119, 140divmuldivd 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
142141eqcomd 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  x.  (
n ^ 2 ) )  /  ( 2  x.  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
143104, 123pncand 9245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  /  2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
144143eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) )  -  ( n  /  2
) ) )
145144oveq1d 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  / 
2 ) )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
146129, 123, 129, 140divsubdird 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  -  (
n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) )  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
147129, 140dividd 9621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  1 )
148147oveq1d 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) )  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
149145, 146, 1483eqtrd 2394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
150 nnne0 9865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
151107, 103, 150divcld 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  e.  CC )
152107, 103, 119, 150divne0d 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  =/=  0 )
153123, 129, 151, 140, 152divcan5rd 9650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( n  /  2 )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
154153eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( n  /  2 )  x.  ( 2  /  n ) )  / 
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  x.  (
2  /  n ) ) ) )
155103, 107, 150, 119divcan6d 9642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  x.  ( 2  /  n ) )  =  1 )
156104, 123, 151adddird 8947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  +  ( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) ) ) )
157104, 107, 103, 150div12d 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  /  n
) ) )
158103exp1d 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
159158eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( n ^
1 ) )
160 2m1e1 9928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  -  1 )  =  1
161160eqcomi 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  =  ( 2  -  1 )
162161oveq2i 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n ^ 1 )  =  ( n ^ (
2  -  1 ) )
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  ( n ^
( 2  -  1 ) ) )
164103, 150, 133expm1d 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
165159, 163, 1643eqtrd 2394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
166165eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
167166oveq2d 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
168157, 167eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
169168, 155oveq12d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  x.  (
2  /  n ) )  +  ( ( n  /  2 )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
170156, 169eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
171155, 170oveq12d 5960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
172154, 171eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
173172oveq2d 5958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
174149, 173eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
175174oveq2d 5958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
176128, 142, 1753eqtrd 2394 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
177176mpteq2ia 4181 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
17897, 177eqtri 2378 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
179178a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
18077oveq2d 5958 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
18178halfcld 10045 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
182181, 85mulcld 8942 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
183179, 180, 18, 182fvmptd 5686 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
18486oveq2d 5958 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
185184eqcomd 2363 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
186183, 185eqtrd 2390 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
187186adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
1881, 3, 95, 96, 100, 102, 187climmulc2 12200 . . 3  |-  (  T. 
->  H  ~~>  ( (
1  /  2 )  x.  1 ) )
189188trud 1323 . 2  |-  H  ~~>  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )
19079, 118reccli 9577 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
191190mulid1i 8926 . 2  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )  =  ( 1  /  2
)
192189, 191breqtri 4125 1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1316    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   _Vcvv 2864   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124    / cdiv 9510   NNcn 9833   2c2 9882   ZZcz 10113   RR+crp 10443   ^cexp 11194    ~~> cli 12048
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-rp 10444  df-fl 11014  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-rlim 12053
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