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Theorem stirlinglem10 27707
Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole  B sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem10.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem10.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem10.4  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
stirlinglem10.5  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    n, L    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)    L( k)

Proof of Theorem stirlinglem10
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10485 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1nn0 10201 . . . 4  |-  1  e.  NN0
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
43nn0zd 10337 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
5 stirlinglem10.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6 stirlinglem10.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
7 eqid 2412 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
8 stirlinglem10.4 . . 3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
95, 6, 7, 8stirlinglem9 27706 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
10 2cn 10034 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
12 nncn 9972 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1311, 12mulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
14 ax-1cn 9012 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1613, 15addcld 9071 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
1716sqcld 11484 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
18 0re 9055 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
20 1re 9054 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
22 2re 10033 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
24 nnre 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2523, 24remulcld 9080 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
2625, 21readdcld 9079 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
27 0lt1 9514 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
29 2rp 10581 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
31 nnrp 10585 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
3230, 31rpmulcld 10628 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
3321, 32ltaddrp2d 10642 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3419, 21, 26, 28, 33lttrd 9195 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3534gt0ne0d 9555 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
36 2z 10276 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
3816, 35, 37expne0d 11492 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
3917, 38reccld 9747 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4021renegcld 9428 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  RR )
4126resqcld 11512 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
4241, 38rereccld 9805 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
43 lt0neg2 9499 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
4420, 43ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
4528, 44sylib 189 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  0 )
4626, 35sqgt0d 11514 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
4741, 46recgt0d 9909 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
4840, 19, 42, 45, 47lttrd 9195 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
49 2nn 10097 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
5049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN )
51 expgt1 11381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  NN  /\  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
5226, 50, 33, 51syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
5341, 46elrpd 10610 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
5453recgt1d 10626 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  <  1 ) )
5552, 54mpbid 202 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 )
5642, 21absltd 12195 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  /\  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 ) ) )
5748, 55, 56mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1 )
58 stirlinglem10.5 . . . . . 6  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
k ) ) )
60 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  k  =  j )
6160oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
62 elnnuz 10486 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6362biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
6463adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN )
6539adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
6664nnnn0d 10238 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN0 )
6765, 66expcld 11486 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j
)  e.  CC )
6859, 61, 64, 67fvmptd 5777 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( L `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
6939, 57, 3, 68geolim2 12611 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) ) )
7039exp1d 11481 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  =  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
7117, 38dividd 9752 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  1 )
7271eqcomd 2417 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
7372oveq1d 6063 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7453rpcnne0d 10621 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )
75 divsubdir 9674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7617, 15, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
77 binom2 11459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7813, 14, 77sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7978oveq1d 6063 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  - 
1 ) )
8011, 12sqmuld 11498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) ) )
81 sq2 11440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ 2 )  =  4 )
8382oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8480, 83eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8513mulid1d 9069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  x.  1 )  =  ( 2  x.  N ) )
8685oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
8711, 11, 12mulassd 9075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
88 2t2e4 10091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  2 )  =  4 )
9089oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N ) )
9186, 87, 903eqtr2d 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 4  x.  N ) )
9284, 91oveq12d 6066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
93 4cn 10038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
9512sqcld 11484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
9694, 95, 12adddid 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
9712sqvald 11483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
9812mulid1d 9069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
9998eqcomd 2417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( N  x.  1 ) )
10097, 99oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
10112, 12, 15adddid 9076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
102100, 101eqtr4d 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )
103102oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10492, 96, 1033eqtr2d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
105 sq1 11439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
107104, 106oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  +  1 ) )
108107oveq1d 6063 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  +  1 )  - 
1 ) )
10912, 15addcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
11012, 109mulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
11194, 110mulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
112111, 15pncand 9376 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
11379, 108, 1123eqtrd 2448 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
114113oveq1d 6063 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11573, 76, 1143eqtr2d 2450 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11670, 115oveq12d 6066 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
117 4pos 10050 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
118117a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
119118gt0ne0d 9555 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
120 nnne0 9996 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
12124, 21readdcld 9079 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
122 nngt0 9993 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
12324ltp1d 9905 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
12419, 24, 121, 122, 123lttrd 9195 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
125124gt0ne0d 9555 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
12612, 109, 120, 125mulne0d 9638 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
12794, 110, 119, 126mulne0d 9638 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =/=  0 )
12815, 17, 111, 17, 38, 38, 127divdivdivd 9801 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
12915, 17mulcomd 9073 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
130129oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13115mulid1d 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  =  1 )
132131eqcomd 2417 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 1  x.  1 ) )
133132oveq1d 6063 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13415, 94, 15, 110, 119, 126divmuldivd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
135133, 134eqtr4d 2447 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13671, 135oveq12d 6066 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13717, 17, 15, 111, 38, 127divmuldivd 9795 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13894, 119reccld 9747 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
139110, 126reccld 9747 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
140138, 139mulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  e.  CC )
141140mulid2d 9070 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
142136, 137, 1413eqtr3d 2452 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  1 )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
143128, 130, 1423eqtrd 2448 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
144116, 143eqtrd 2444 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14569, 144breqtrd 4204 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14662biimpi 187 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
147146adantl 453 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
1488a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) ) )
149 oveq2 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
150149oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
151150oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
152149oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )
153151, 152oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )
154153adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
155 elfznn 11044 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
156155adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN )
15710a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  CC )
158156nncnd 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  CC )
159157, 158mulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
16014a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  CC )
161159, 160addcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  CC )
16218a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
16320a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
165 nnre 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
166164, 165remulcld 9080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
167166, 163readdcld 9079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
16827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
16929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
170 nnrp 10585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
171169, 170rpmulcld 10628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
172163, 171ltaddrp2d 10642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
173162, 163, 167, 168, 172lttrd 9195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
174155, 173syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
175174gt0ne0d 9555 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
176175adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =/=  0
)
177161, 176reccld 9747 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
17812adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  CC )
179157, 178mulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
180179, 160addcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
18135adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0
)
182180, 181reccld 9747 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
183 2nn0 10202 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
184183a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  NN0 )
185156nnnn0d 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN0 )
186184, 185nn0mulcld 10243 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN0 )
187182, 186expcld 11486 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  CC )
188177, 187mulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  e.  CC )
189148, 154, 156, 188fvmptd 5777 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
190189adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
191173gt0ne0d 9555 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
192167, 191rereccld 9805 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
193155, 192syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
194193adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
19526, 35rereccld 9805 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
196195adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
197196, 186reexpcld 11503 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  RR )
198197adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
199194, 198remulcld 9080 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )  e.  RR )
200190, 199eqeltrd 2486 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  e.  RR )
201 readdcl 9037 . . . 4  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( n  +  i )  e.  RR )
202201adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )  -> 
( n  +  i )  e.  RR )
203147, 200, 202seqcl 11306 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `
 j )  e.  RR )
20458a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) ) )
205 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n ) )
206205adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )
20739adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
208207, 185expcld 11486 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  CC )
209204, 206, 156, 208fvmptd 5777 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
21042adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
211210, 185reexpcld 11503 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR )
212209, 211eqeltrd 2486 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
213212adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
214147, 213, 202seqcl 11306 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  L ) `
 j )  e.  RR )
21536a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  2  e.  ZZ )
216 elfzelz 11023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  ZZ )
217215, 216zmulcld 10345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
218 1exp 11372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
219217, 218syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
220 1exp 11372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
221216, 220syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
222219, 221eqtr4d 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  ( 1 ^ n ) )
223222adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1 ^ ( 2  x.  n
) )  =  ( 1 ^ n ) )
224180, 185, 184expmuld 11489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) )
225223, 224oveq12d 6066 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1 ^ ( 2  x.  n ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
226160, 180, 181, 186expdivd 11500 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1 ^ (
2  x.  n ) )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
227180sqcld 11484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  CC )
22836a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  ZZ )
229180, 181, 228expne0d 11492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  =/=  0
)
230160, 227, 229, 185expdivd 11500 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
231225, 226, 2303eqtr4d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
232231oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
233 1rp 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
234233a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR+ )
23522a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  RR )
236156nnred 9979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  RR )
237235, 236remulcld 9080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
238184nn0ge0d 10241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  2
)
239185nn0ge0d 10241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  n
)
240235, 236, 238, 239mulge0d 9567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  n ) )
241237, 240ge0p1rpd 10638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR+ )
24220a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR )
243234rpge0d 10616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  1
)
244163, 167, 172ltled 9185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
245155, 244syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
246245adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  <_  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )
247234, 241, 242, 243, 246lediv2ad 10634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  (
1  /  1 ) )
248160div1d 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
1 )  =  1 )
249247, 248breqtrd 4204 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  1
)
250156, 192syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
25124adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  RR )
252235, 251remulcld 9080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
25319, 24, 122ltled 9185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
254253adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  N
)
255235, 251, 238, 254mulge0d 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  N ) )
256252, 255ge0p1rpd 10638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
257256, 228rpexpcld 11509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  RR+ )
258257rpreccld 10622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
259216adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  ZZ )
260258, 259rpexpcld 11509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR+ )
261250, 242, 260lemul1d 10651 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_ 
1  <->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) ) )
262249, 261mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
263208mulid2d 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
264262, 263breqtrd 4204 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
265232, 264eqbrtrd 4200 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
266265, 189, 2093brtr4d 4210 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
267266adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
268147, 200, 213, 267serle 11341 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `
 j )  <_ 
(  seq  1 (  +  ,  L ) `
 j ) )
2691, 4, 9, 145, 203, 214, 268climle 12396 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   4c4 10015   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576   ...cfz 11007    seq cseq 11286   ^cexp 11345   !cfa 11529   sqrcsqr 12001   abscabs 12002    ~~> cli 12241   _eceu 12628   logclog 20413
This theorem is referenced by:  stirlinglem12  27709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-e 12634  df-sin 12635  df-cos 12636  df-tan 12637  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-cmp 17412  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-ulm 20254  df-log 20415  df-cxp 20416
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