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Theorem stirlinglem10 27502
Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole  B sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem10.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem10.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem10.4  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
stirlinglem10.5  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    n, L    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)    L( k)

Proof of Theorem stirlinglem10
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10455 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1nn0 10171 . . . 4  |-  1  e.  NN0
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
43nn0zd 10307 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
5 stirlinglem10.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6 stirlinglem10.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
7 eqid 2389 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
8 stirlinglem10.4 . . 3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
95, 6, 7, 8stirlinglem9 27501 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
10 2cn 10004 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
12 nncn 9942 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1311, 12mulcld 9043 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
14 ax-1cn 8983 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1613, 15addcld 9042 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
1716sqcld 11450 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
18 0re 9026 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
20 1re 9025 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
22 2re 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
24 nnre 9941 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2523, 24remulcld 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
2625, 21readdcld 9050 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
27 0lt1 9484 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
29 2rp 10551 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
31 nnrp 10555 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
3230, 31rpmulcld 10598 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
3321, 32ltaddrp2d 10612 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3419, 21, 26, 28, 33lttrd 9165 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3534gt0ne0d 9525 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
36 2z 10246 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
3816, 35, 37expne0d 11458 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
3917, 38reccld 9717 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4021renegcld 9398 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  RR )
4126resqcld 11478 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
4241, 38rereccld 9775 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
43 lt0neg2 9469 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
4420, 43ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
4528, 44sylib 189 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  0 )
4626, 35sqgt0d 11480 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
4741, 46recgt0d 9879 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
4840, 19, 42, 45, 47lttrd 9165 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
49 2nn 10067 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
5049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN )
51 expgt1 11347 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  NN  /\  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
5226, 50, 33, 51syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
5341, 46elrpd 10580 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
5453recgt1d 10596 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  <  1 ) )
5552, 54mpbid 202 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 )
5642, 21absltd 12161 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  /\  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 ) ) )
5748, 55, 56mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1 )
58 stirlinglem10.5 . . . . . 6  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
k ) ) )
60 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  k  =  j )
6160oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
62 elnnuz 10456 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6362biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
6463adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN )
6539adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
6664nnnn0d 10208 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN0 )
6765, 66expcld 11452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j
)  e.  CC )
6859, 61, 64, 67fvmptd 5751 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( L `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
6939, 57, 3, 68geolim2 12577 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) ) )
7039exp1d 11447 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  =  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
7117, 38dividd 9722 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  1 )
7271eqcomd 2394 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
7372oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7453rpcnne0d 10591 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )
75 divsubdir 9644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7617, 15, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
77 binom2 11425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7813, 14, 77sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7978oveq1d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  - 
1 ) )
8011, 12sqmuld 11464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) ) )
81 sq2 11406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ 2 )  =  4 )
8382oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8480, 83eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8513mulid1d 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  x.  1 )  =  ( 2  x.  N ) )
8685oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
8711, 11, 12mulassd 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
88 2t2e4 10061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  2 )  =  4 )
9089oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N ) )
9186, 87, 903eqtr2d 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 4  x.  N ) )
9284, 91oveq12d 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
93 4cn 10008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
9512sqcld 11450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
9694, 95, 12adddid 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
9712sqvald 11449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
9812mulid1d 9040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
9998eqcomd 2394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( N  x.  1 ) )
10097, 99oveq12d 6040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
10112, 12, 15adddid 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
102100, 101eqtr4d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )
103102oveq2d 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10492, 96, 1033eqtr2d 2427 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
105 sq1 11405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
107104, 106oveq12d 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  +  1 ) )
108107oveq1d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  +  1 )  - 
1 ) )
10912, 15addcld 9042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
11012, 109mulcld 9043 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
11194, 110mulcld 9043 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
112111, 15pncand 9346 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
11379, 108, 1123eqtrd 2425 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
114113oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11573, 76, 1143eqtr2d 2427 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11670, 115oveq12d 6040 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
117 4pos 10020 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
118117a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
119118gt0ne0d 9525 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
120 nnne0 9966 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
12124, 21readdcld 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
122 nngt0 9963 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
12324ltp1d 9875 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
12419, 24, 121, 122, 123lttrd 9165 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
125124gt0ne0d 9525 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
12612, 109, 120, 125mulne0d 9608 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
12794, 110, 119, 126mulne0d 9608 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =/=  0 )
12815, 17, 111, 17, 38, 38, 127divdivdivd 9771 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
12915, 17mulcomd 9044 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
130129oveq1d 6037 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13115mulid1d 9040 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  =  1 )
132131eqcomd 2394 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 1  x.  1 ) )
133132oveq1d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13415, 94, 15, 110, 119, 126divmuldivd 9765 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
135133, 134eqtr4d 2424 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13671, 135oveq12d 6040 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13717, 17, 15, 111, 38, 127divmuldivd 9765 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13894, 119reccld 9717 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
139110, 126reccld 9717 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
140138, 139mulcld 9043 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  e.  CC )
141140mulid2d 9041 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
142136, 137, 1413eqtr3d 2429 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  1 )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
143128, 130, 1423eqtrd 2425 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
144116, 143eqtrd 2421 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14569, 144breqtrd 4179 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14662biimpi 187 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
147146adantl 453 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
1488a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) ) )
149 oveq2 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
150149oveq1d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
151150oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
152149oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )
153151, 152oveq12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )
154153adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
155 elfznn 11014 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
156155adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN )
15710a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  CC )
158156nncnd 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  CC )
159157, 158mulcld 9043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
16014a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  CC )
161159, 160addcld 9042 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  CC )
16218a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
16320a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
165 nnre 9941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
166164, 165remulcld 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
167166, 163readdcld 9050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
16827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
16929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
170 nnrp 10555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
171169, 170rpmulcld 10598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
172163, 171ltaddrp2d 10612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
173162, 163, 167, 168, 172lttrd 9165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
174155, 173syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
175174gt0ne0d 9525 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
176175adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =/=  0
)
177161, 176reccld 9717 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
17812adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  CC )
179157, 178mulcld 9043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
180179, 160addcld 9042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
18135adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0
)
182180, 181reccld 9717 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
183 2nn0 10172 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
184183a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  NN0 )
185156nnnn0d 10208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN0 )
186184, 185nn0mulcld 10213 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN0 )
187182, 186expcld 11452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  CC )
188177, 187mulcld 9043 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  e.  CC )
189148, 154, 156, 188fvmptd 5751 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
190189adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
191173gt0ne0d 9525 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
192167, 191rereccld 9775 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
193155, 192syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
194193adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
19526, 35rereccld 9775 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
196195adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
197196, 186reexpcld 11469 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  RR )
198197adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
199194, 198remulcld 9051 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )  e.  RR )
200190, 199eqeltrd 2463 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  e.  RR )
201 readdcl 9008 . . . 4  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( n  +  i )  e.  RR )
202201adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )  -> 
( n  +  i )  e.  RR )
203147, 200, 202seqcl 11272 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `
 j )  e.  RR )
20458a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) ) )
205 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n ) )
206205adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )
20739adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
208207, 185expcld 11452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  CC )
209204, 206, 156, 208fvmptd 5751 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
21042adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
211210, 185reexpcld 11469 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR )
212209, 211eqeltrd 2463 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
213212adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
214147, 213, 202seqcl 11272 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  L ) `
 j )  e.  RR )
21536a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  2  e.  ZZ )
216 elfzelz 10993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  ZZ )
217215, 216zmulcld 10315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
218 1exp 11338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
219217, 218syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
220 1exp 11338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
221216, 220syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
222219, 221eqtr4d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  ( 1 ^ n ) )
223222adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1 ^ ( 2  x.  n
) )  =  ( 1 ^ n ) )
224180, 185, 184expmuld 11455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) )
225223, 224oveq12d 6040 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1 ^ ( 2  x.  n ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
226160, 180, 181, 186expdivd 11466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1 ^ (
2  x.  n ) )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
227180sqcld 11450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  CC )
22836a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  ZZ )
229180, 181, 228expne0d 11458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  =/=  0
)
230160, 227, 229, 185expdivd 11466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
231225, 226, 2303eqtr4d 2431 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
232231oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
233 1rp 10550 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
234233a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR+ )
23522a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  RR )
236156nnred 9949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  RR )
237235, 236remulcld 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
238184nn0ge0d 10211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  2
)
239185nn0ge0d 10211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  n
)
240235, 236, 238, 239mulge0d 9537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  n ) )
241237, 240ge0p1rpd 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR+ )
24220a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR )
243234rpge0d 10586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  1
)
244163, 167, 172ltled 9155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
245155, 244syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
246245adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  <_  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )
247234, 241, 242, 243, 246lediv2ad 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  (
1  /  1 ) )
248160div1d 9716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
1 )  =  1 )
249247, 248breqtrd 4179 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  1
)
250156, 192syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
25124adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  RR )
252235, 251remulcld 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
25319, 24, 122ltled 9155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
254253adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  N
)
255235, 251, 238, 254mulge0d 9537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  N ) )
256252, 255ge0p1rpd 10608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
257256, 228rpexpcld 11475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  RR+ )
258257rpreccld 10592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
259216adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  ZZ )
260258, 259rpexpcld 11475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR+ )
261250, 242, 260lemul1d 10621 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_ 
1  <->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) ) )
262249, 261mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
263208mulid2d 9041 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
264262, 263breqtrd 4179 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
265232, 264eqbrtrd 4175 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
266265, 189, 2093brtr4d 4185 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
267266adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
268147, 200, 213, 267serle 11307 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `
 j )  <_ 
(  seq  1 (  +  ,  L ) `
 j ) )
2691, 4, 9, 145, 203, 214, 268climle 12362 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225   -ucneg 9226    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   4c4 9985   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   RR+crp 10546   ...cfz 10977    seq cseq 11252   ^cexp 11311   !cfa 11495   sqrcsqr 11967   abscabs 11968    ~~> cli 12207   _eceu 12594   logclog 20321
This theorem is referenced by:  stirlinglem12  27504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-e 12600  df-sin 12601  df-cos 12602  df-tan 12603  df-pi 12604  df-dvds 12782  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623  df-ulm 20162  df-log 20323  df-cxp 20324
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