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Theorem stirlinglem11 27245
Description:  B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem11.3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
3 stirlinglem11.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) ) ) )
5 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  k  =  1 )
65oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
76oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )
87oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) ) )
96oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )
108, 9oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) ) )
11 1nn 9757 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1211a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN )
13 2cn 9816 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
1413a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
15 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1615a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1714, 16mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
1817, 16addcld 8854 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  CC )
1913mulid1i 8839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2019oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
21 2p1e3 9847 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  +  1 )  =  3
2220, 21eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
23 3ne0 9831 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
2422, 23eqnetri 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0
2524a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0 )
2618, 25reccld 9529 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
27 nncn 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2814, 27mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
2928, 16addcld 8854 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
30 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
3130a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
32 2re 9815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
3332a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
34 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3533, 34remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
3635, 31readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
37 0lt1 9296 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
3837a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
39 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
41 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
4240, 41rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
4331, 42ltaddrp2d 10420 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
442, 31, 36, 38, 43lttrd 8977 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
452, 44gtned 8954 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
4629, 45reccld 9529 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
47 2nn0 9982 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
4847a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
49 1nn0 9981 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
5049a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
5148, 50nn0mulcld 10023 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  NN0 )
5246, 51expcld 11245 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  CC )
5326, 52mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  CC )
544, 10, 12, 53fvmptd 5606 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  1 ) ) ) )
5532, 30remulcli 8851 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  e.  RR
5655, 30readdcli 8850 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR
5756, 24rereccli 9525 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR
5857a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
5936, 45rereccld 9587 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
6059, 51reexpcld 11262 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR )
6158, 60remulcld 8863 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR )
6254, 61eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR )
63 id 19 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
64 stirlinglem11.1 . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6564stirlinglem2 27236 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
6665relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
6763, 66jca 518 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR ) )
68 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ n N
69 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ n log
70 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
7164, 70nfcxfr 2416 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n A
7271, 68nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  N
)
7369, 72nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
74 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
7574fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
76 stirlinglem11.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
7768, 73, 75, 76fvmptf 5616 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
7867, 77syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
7978, 66eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
80 peano2nn 9758 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
8164stirlinglem2 27236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8280, 81syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8382relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
8480, 83jca 518 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR ) )
85 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( N  +  1 )
8671, 85nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  ( N  +  1 ) )
8769, 86nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) )
88 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( N  +  1
) ) )
8988fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
9085, 87, 89, 76fvmptf 5616 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
9184, 90syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
9291, 83eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
9379, 92resubcld 9211 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
9433, 31remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
9547nn0ge0i 9993 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  2
9695a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
971, 30, 37ltleii 8941 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
9897a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
9933, 31, 96, 98mulge0d 9349 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  1 ) )
10094, 99ge0p1rpd 10416 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR+ )
101100rpreccld 10400 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR+ )
10241rpge0d 10394 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
10333, 34, 96, 102mulge0d 9349 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
10435, 103ge0p1rpd 10416 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR+ )
105104rpreccld 10400 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR+ )
106 2z 10054 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
107106a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
108 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
109108a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
110107, 109zmulcld 10123 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  ZZ )
111105, 110rpexpcld 11268 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR+ )
112101, 111rpmulcld 10406 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR+ )
11354, 112eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR+ )
114113rpgt0d 10393 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( K `  1
) )
115 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
116109peano2zd 10120 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  ZZ )
117 nnuz 10263 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1183a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) ) ) )
119 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
120119oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
121120oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
122119oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) )
123121, 122oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) ) ) )
124123adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  k  =  j )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) ) )
125 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
12613a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
127 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
129126, 128mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  CC )
13015a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
131129, 130addcld 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  CC )
1321a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
13330a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
13432a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
135 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
136135adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR )
137134, 136remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR )
138137, 133readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
13937a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  1 )
14039a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
141 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
142141adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR+ )
143140, 142rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR+ )
144133, 143ltaddrp2d 10420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
145132, 133, 138, 139, 144lttrd 8977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
146132, 145gtned 8954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
147131, 146reccld 9529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
14827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
149126, 148mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
150149, 130addcld 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
15145adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
152150, 151reccld 9529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
15347a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
154 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
155154adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
156153, 155nn0mulcld 10023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
157152, 156expcld 11245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  CC )
158147, 157mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
159118, 124, 125, 158fvmptd 5606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
1601a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
16130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16232a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
163162, 135remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
164163, 161readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
16537a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
16639a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
167166, 141rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
168161, 167ltaddrp2d 10420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
169160, 161, 164, 165, 168lttrd 8977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
170160, 169gtned 8954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
171170adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
172131, 171reccld 9529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
173172, 157mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
174159, 173eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  e.  CC )
175 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
17664, 76, 175, 3stirlinglem9 27243 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
177117, 12, 174, 176clim2ser 12128 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  ( 1  +  1 ) (  +  ,  K )  ~~>  ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  K
) `  1 )
) )
178 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  NN )
17911, 178ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  1 )  e.  NN
180 uznnssnn 10266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  1 )  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
181179, 180ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  C_  NN
182181a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
183182sseld 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN ) )
184183imdistani 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )
185184, 159syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
18630a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
18732a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  e.  RR )
188 eluzelre 10239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  RR )
189187, 188remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
190189, 186readdcld 8862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
191181sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN )
192191, 170syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
193186, 190, 192redivcld 9588 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR )
194193adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  RR )
19530a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
1  e.  RR )
19636adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
197184, 151syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
198195, 196, 197redivcld 9588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR )
199184, 156syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
200198, 199reexpcld 11262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  RR )
201194, 200remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  RR )
202185, 201eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  e.  RR )
20332a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
2  e.  RR )
204184, 136syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  RR )
205203, 204remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  RR )
20695a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  2 )
2071a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  e.  RR )
20895a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  2 )
209 1p1e2 9840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  1 )  =  2
210209a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
211 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  +  1 )  <_ 
j )
212210, 211eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  <_  j )
213207, 187, 188, 208, 212letrd 8973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  j )
214213adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  j )
215203, 204, 206, 214mulge0d 9349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  j ) )
216205, 215ge0p1rpd 10416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR+ )
21797a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  1 )
218195, 216, 217divge0d 10426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
21934adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
220203, 219remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
221102adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  N )
222203, 219, 206, 221mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  N ) )
223220, 222ge0p1rpd 10416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
224195, 223, 217divge0d 10426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
225198, 199, 224expge0d 11263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )
226194, 200, 218, 225mulge0d 9349 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
227185eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  =  ( K `
 j ) )
228226, 227breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( K `  j ) )
229115, 116, 177, 202, 228iserge0 12134 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  1
) ) )
230 seq1 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
231108, 230ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 )
232231a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
233232oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  1
) )  =  ( ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
234229, 233breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
23593, 62resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  e.  RR )
2362, 235, 62leadd1d 9366 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  ( (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  ( K ` 
1 ) )  <->  ( 0  +  ( K ` 
1 ) )  <_ 
( ( ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) )  -  ( K `  1 ) )  +  ( K `
 1 ) ) ) )
237234, 236mpbid 201 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  <_  ( ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  ( K ` 
1 ) )  +  ( K `  1
) ) )
23854, 53eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  CC )
239238addid2d 9013 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  =  ( K ` 
1 ) )
240239eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  =  ( 0  +  ( K `  1
) ) )
24179recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  CC )
24292recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
243241, 242subcld 9157 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
244243, 238npcand 9161 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  +  ( K ` 
1 ) )  =  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
245244eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  ( K ` 
1 ) )  +  ( K `  1
) ) )
246237, 240, 2453brtr4d 4053 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  <_  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
2472, 62, 93, 114, 246ltletrd 8976 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
24891, 242eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  CC )
24980, 248jca 518 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC ) )
25085, 87, 89, 76fvmptf 5616 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )  -> 
( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
251249, 250syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
252251, 83eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
253252, 79posdifd 9359 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `
 N )  <->  0  <  ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
254247, 253mpbird 223 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354    seq cseq 11046   ^cexp 11104   !cfa 11288   sqrcsqr 11718   _eceu 12344   logclog 19912
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ulm 19756  df-log 19914  df-cxp 19915
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