Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem11 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem11 27811
Description:  B is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem11.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem11.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem11.3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)

Proof of Theorem stirlinglem11
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9093 . . . 4  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
3 stirlinglem11.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) ) ) )
5 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  k  =  1 )
65oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
76oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )
87oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) ) )
96oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )
108, 9oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) ) )
11 1nn 10013 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN )
13 2cn 10072 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
15 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1714, 16mulcld 9110 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
1817, 16addcld 9109 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  CC )
1913mulid1i 9094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2019oveq1i 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
21 2p1e3 10105 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  +  1 )  =  3
2220, 21eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
23 3ne0 10087 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
2422, 23eqnetri 2620 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  =/=  0 )
2618, 25reccld 9785 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
27 nncn 10010 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2814, 27mulcld 9110 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
2928, 16addcld 9109 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
30 1re 9092 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
32 2re 10071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
34 nnre 10009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3533, 34remulcld 9118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
3635, 31readdcld 9117 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
37 0lt1 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
39 2rp 10619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
41 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
4240, 41rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
4331, 42ltaddrp2d 10680 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
442, 31, 36, 38, 43lttrd 9233 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4544gt0ne0d 9593 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
4629, 45reccld 9785 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
47 2nn0 10240 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
4847a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
49 1nn0 10239 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
5049a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
5148, 50nn0mulcld 10281 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  NN0 )
5246, 51expcld 11525 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  CC )
5326, 52mulcld 9110 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  CC )
544, 10, 12, 53fvmptd 5812 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  1 ) ) ) )
5532, 30remulcli 9106 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  e.  RR
5655, 30readdcli 9105 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR
5756, 24rereccli 9781 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR
5857a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
5936, 45rereccld 9843 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
6059, 51reexpcld 11542 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR )
6158, 60remulcld 9118 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR )
6254, 61eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR )
63 stirlinglem11.1 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6463stirlinglem2 27802 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
6564relogcld 20520 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
66 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ n N
67 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ n log
68 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6963, 68nfcxfr 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n A
7069, 66nffv 5737 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  N
)
7167, 70nffv 5737 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
72 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
7372fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
74 stirlinglem11.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
7566, 71, 73, 74fvmptf 5823 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
7665, 75mpdan 651 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
7776, 65eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
78 peano2nn 10014 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
7963stirlinglem2 27802 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8078, 79syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
8180relogcld 20520 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
82 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( N  +  1 )
8369, 82nffv 5737 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  ( N  +  1 ) )
8467, 83nffv 5737 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) )
85 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( N  +  1
) ) )
8685fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8782, 84, 86, 74fvmptf 5823 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8878, 81, 87syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( N  +  1 ) ) ) )
8988, 81eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
9077, 89resubcld 9467 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
9133, 31remulcld 9118 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
9247nn0ge0i 10251 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  2
9392a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
94 0le1 9553 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
9633, 31, 93, 95mulge0d 9605 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  1 ) )
9791, 96ge0p1rpd 10676 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  +  1 )  e.  RR+ )
9897rpreccld 10660 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  1 )  +  1 ) )  e.  RR+ )
9941rpge0d 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
10033, 34, 93, 99mulge0d 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
10135, 100ge0p1rpd 10676 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR+ )
102101rpreccld 10660 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR+ )
103 2z 10314 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
104103a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
105 1z 10313 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
106105a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
107104, 106zmulcld 10383 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  ZZ )
108102, 107rpexpcld 11548 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) )  e.  RR+ )
10998, 108rpmulcld 10666 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  1 ) ) )  e.  RR+ )
11054, 109eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  RR+ )
111110rpgt0d 10653 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( K `  1
) )
11290, 62resubcld 9467 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  e.  RR )
113 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
114106peano2zd 10380 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  ZZ )
115 nnuz 10523 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1163a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) ) ) )
117 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
118117oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
119118oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
120117oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) )
121119, 120oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) ) ) )
122121adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  k  =  j )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) ) )
123 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
12413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
125 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
126125adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
127124, 126mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  CC )
12815a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
129127, 128addcld 9109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  CC )
1301a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
13130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
13232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
133 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
134133adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR )
135132, 134remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR )
136135, 131readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
13737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  1 )
13839a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
139 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
140139adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR+ )
141138, 140rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  RR+ )
142131, 141ltaddrp2d 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
143130, 131, 136, 137, 142lttrd 9233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
144143gt0ne0d 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
145129, 144reccld 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
14627adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
147124, 146mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
148147, 128addcld 9109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
14945adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
150148, 149reccld 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
15147a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
152 nnnn0 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
153152adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
154151, 153nn0mulcld 10281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
155150, 154expcld 11525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  CC )
156145, 155mulcld 9110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
157116, 122, 123, 156fvmptd 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
1581a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
15930a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16032a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
161160, 133remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
162161, 159readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
16337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
16439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
165164, 139rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
166159, 165ltaddrp2d 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
167158, 159, 162, 163, 166lttrd 9233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
168167gt0ne0d 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
169168adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
170129, 169reccld 9785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  CC )
171170, 155mulcld 9110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  CC )
172157, 171eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( K `  j
)  e.  CC )
173 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
17463, 74, 173, 3stirlinglem9 27809 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
175115, 12, 172, 174clim2ser 12450 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  ( 1  +  1 ) (  +  ,  K )  ~~>  ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  K
) `  1 )
) )
176 peano2nn 10014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  NN )
177 uznnssnn 10526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  +  1 )  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
17811, 176, 177mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  C_  NN
179178a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  ( 1  +  1 ) )  C_  NN )
180179sseld 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN ) )
181180imdistani 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )
182181, 157syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
18332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  e.  RR )
184 eluzelre 10499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  RR )
185183, 184remulcld 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
18630a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
187185, 186readdcld 9117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
188178sseli 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  j  e.  NN )
189188, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =/=  0 )
190187, 189rereccld 9843 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR )
191190adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  e.  RR )
19236adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR )
19345adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0 )
194192, 193rereccld 9843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR )
195181, 154syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  NN0 )
196194, 195reexpcld 11542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  j ) )  e.  RR )
197191, 196remulcld 9118 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )  e.  RR )
198182, 197eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( K `  j
)  e.  RR )
19930a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
1  e.  RR )
20032a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
2  e.  RR )
201181, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  RR )
202200, 201remulcld 9118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  j
)  e.  RR )
20392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  2 )
2041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  e.  RR )
20592a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  2 )
206 1p1e2 10096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
207 eluzle 10500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  ( 1  +  1 )  <_ 
j )
208206, 207syl5eqbrr 4248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  2  <_  j )
209204, 183, 184, 205, 208letrd 9229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  ->  0  <_  j )
210209adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  j )
211200, 201, 203, 210mulge0d 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  j ) )
212202, 211ge0p1rpd 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR+ )
21394a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  1 )
214199, 212, 213divge0d 10686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
21534adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
216200, 215remulcld 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
21799adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  N )
218200, 215, 203, 217mulge0d 9605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  N ) )
219216, 218ge0p1rpd 10676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
220199, 219, 213divge0d 10686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
221194, 195, 220expge0d 11543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  j ) ) )
222191, 196, 214, 221mulge0d 9605 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  j
) ) ) )
223222, 182breqtrrd 4240 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( K `  j ) )
224113, 114, 175, 198, 223iserge0 12456 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  1
) ) )
225 seq1 11338 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
226105, 225mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  1
)  =  ( K `
 1 ) )
227226oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  1
) )  =  ( ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
228224, 227breqtrd 4238 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) ) )
2292, 112, 62, 228leadd1dd 9642 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  <_  ( ( ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  -  ( K ` 
1 ) )  +  ( K `  1
) ) )
23054, 53eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  e.  CC )
231230addid2d 9269 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  +  ( K `
 1 ) )  =  ( K ` 
1 ) )
23277recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  CC )
23389recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
234232, 233subcld 9413 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
235234, 230npcand 9417 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( B `
 N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) )  -  ( K `
 1 ) )  +  ( K ` 
1 ) )  =  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
236229, 231, 2353brtr3d 4243 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K `  1 )  <_  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
2372, 62, 90, 111, 236ltletrd 9232 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1 ) ) ) )
23889, 77posdifd 9615 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `
 N )  <->  0  <  ( ( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
239237, 238mpbird 225 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  ( N  +  1 ) )  <  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   3c3 10052   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614    seq cseq 11325   ^cexp 11384   !cfa 11568   sqrcsqr 12040   _eceu 12667   logclog 20454
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-e 12673  df-sin 12674  df-cos 12675  df-tan 12676  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-ulm 20295  df-log 20456  df-cxp 20457
  Copyright terms: Public domain W3C validator