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Theorem stirlinglem12 27810
Description: The sequence  B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem12.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10011 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
32stirlinglem2 27800 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
4 relogcl 20473 . . . . . 6  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
6 nfcv 2572 . . . . . 6  |-  F/_ n
1
7 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ n log
8 nfmpt1 4298 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
92, 8nfcxfr 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
109, 6nffv 5735 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( A `  1
)
117, 10nffv 5735 . . . . . 6  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
12 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
1312fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
14 stirlinglem12.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
156, 11, 13, 14fvmptf 5821 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
161, 5, 15mp2an 654 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
1716, 5eqeltri 2506 . . 3  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
1817a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  1 )  e.  RR )
192stirlinglem2 27800 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
2019relogcld 20518 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
21 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ n N
229, 21nffv 5735 . . . . . 6  |-  F/_ n
( A `  N
)
237, 22nffv 5735 . . . . 5  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
24 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
2524fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2621, 23, 25, 14fvmptf 5821 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
2720, 26mpdan 650 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2827, 20eqeltrd 2510 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
29 4re 10073 . . . 4  |-  4  e.  RR
30 0re 9091 . . . . 5  |-  0  e.  RR
31 4pos 10086 . . . . 5  |-  0  <  4
3230, 31gtneii 9185 . . . 4  |-  4  =/=  0
3329, 32rereccli 9779 . . 3  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
3433a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
35 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( B `  k )  =  ( B `  j ) )
36 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
37 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( B `  k )  =  ( B ` 
1 ) )
38 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( B `  k )  =  ( B `  N ) )
39 elnnuz 10522 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4039biimpi 187 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
41 elfznn 11080 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
422stirlinglem2 27800 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4443relogcld 20518 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  RR )
45 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
k
469, 45nffv 5735 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
477, 46nffv 5735 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
48 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
4948fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5045, 47, 49, 14fvmptf 5821 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
5141, 44, 50syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5251adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `
 k ) ) )
5343rpcnd 10650 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5453adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5542rpne0d 10653 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5641, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5756adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
5854, 57logcld 20468 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  e.  CC )
5952, 58eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
6035, 36, 37, 38, 40, 59fsumtscopo 12581 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( B `  1 )  -  ( B `  N ) ) )
61 nnz 10303 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
62 fzoval 11141 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6463sumeq1d 12495 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
6560, 64eqtr3d 2470 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
66 fzfid 11312 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
67 elfznn 11080 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN )
6867adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
692stirlinglem2 27800 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  j )  e.  RR+ )
7069relogcld 20518 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  j ) )  e.  RR )
71 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
j
729, 71nffv 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  j
)
737, 72nffv 5735 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
74 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
7574fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7671, 73, 75, 14fvmptf 5821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( B `  j
)  =  ( log `  ( A `  j
) ) )
7770, 76mpdan 650 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7877, 70eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7968, 78syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
80 peano2nn 10012 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
812stirlinglem2 27800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8382relogcld 20518 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
84 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( j  +  1 )
859, 84nffv 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
867, 85nffv 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
87 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
8887fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
8984, 86, 88, 14fvmptf 5821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
9080, 83, 89syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
9190, 83eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9267, 91syl 16 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9392adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9479, 93resubcld 9465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9566, 94fsumrecl 12528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9633a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
4 )  e.  RR )
9767nnred 10015 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
98 1re 9090 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
10097, 99readdcld 9115 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
10197, 100remulcld 9116 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
10297recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  CC )
103 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
105102, 104addcld 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
10667nnne0d 10044 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  =/=  0 )
10780nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
10867, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
109102, 105, 106, 108mulne0d 9674 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
110101, 109rereccld 9841 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
111110adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
11296, 111remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
11366, 112fsumrecl 12528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
114 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  i
) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  i ) ) ) )
115 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
i ) )
1162, 14, 114, 115stirlinglem10 27808 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  j
)  -  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11768, 116syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) ) )
11866, 94, 112, 117fsumle 12578 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11966, 111fsumrecl 12528 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
12098a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
12129, 31elrpii 10615 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
122121a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
12330a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
124 0lt1 9550 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
126123, 120, 125ltled 9221 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
127120, 122, 126divge0d 10684 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  4
) )
128 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
129 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
130129uztrn2 10503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  NN )
131 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
133 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  n  =  j )
134133oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
135133, 134oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
136135oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
137 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
138 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
13998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
140138, 139readdcld 9115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
141138, 140remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
142 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
143103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
144142, 143addcld 9107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
145 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
146142, 144, 145, 107mulne0d 9674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
147141, 146rereccld 9841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
148132, 136, 137, 147fvmptd 5810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
149130, 148syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
150130nnred 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR )
15198a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
152150, 151readdcld 9115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR )
153150, 152remulcld 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR )
154150recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  CC )
155103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  CC )
156154, 155addcld 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  CC )
157130nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  =/=  0 )
158130, 107syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  =/=  0 )
159154, 156, 157, 158mulne0d 9674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
160153, 159rereccld 9841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
161 seqeq1 11326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq  N (  +  ,  F
)  =  seq  1
(  +  ,  F
) )
162131trireciplem 12641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
163 climrel 12286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  ~~>
164163releldmi 5106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
165162, 164ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
167161, 166eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  seq  N (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
168167adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =  1 )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
169 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  NN )
170 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  -.  N  =  1 )
171 elnn1uz2 10552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
172169, 171sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
173172ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( -.  N  =  1  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
174170, 173mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
175 uz2m1nn 10550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
177 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
178177adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
179103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
180178, 179npcand 9415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
181180eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
182181seqeq1d 11329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  =  seq  ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F ) )
183 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
184147recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
185148, 184eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  e.  CC )
186185adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  CC )
187162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
188129, 183, 186, 187clim2ser 12448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
189188adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
190182, 189eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
191163releldmi 5106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq 
N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
192190, 191syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
193169, 176, 192syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
194168, 193pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  N (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
195128, 61, 149, 160, 194isumrecl 12549 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
196130nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR+ )
197196rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  j )
198150, 197ge0p1rpd 10674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR+ )
199196, 198rpmulcld 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR+ )
200126adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  1 )
201151, 199, 200divge0d 10684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
202128, 61, 149, 160, 194, 201isumge0 12550 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
203123, 195, 119, 202leadd2dd 9641 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  <_ 
( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
204119recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
205204addid1d 9266 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
206205eqcomd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 ) )
207 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
208148adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
209142adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
210103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
211209, 210addcld 9107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
212209, 211mulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  CC )
213145adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
214107adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
215209, 211, 213, 214mulne0d 9674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
216212, 215reccld 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
217165a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
218129, 128, 207, 208, 216, 217isumsplit 12620 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
219203, 206, 2183brtr4d 4242 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
220 1z 10311 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
221220a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
222148adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
223184adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
224162a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
225129, 221, 222, 223, 224isumclim 12541 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  sum_ j  e.  NN  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  1 )
226225trud 1332 . . . . . . . 8  |-  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1
227226a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1 )
228219, 227breqtrd 4236 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  1
)
229119, 120, 34, 127, 228lemul2ad 9951 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( 1  / 
4 )  x.  1 ) )
230 4cn 10074 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
231230a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
23231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
233232gt0ne0d 9591 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
234231, 233reccld 9783 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
235111recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
23666, 234, 235fsummulc2 12567 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
237234mulid1d 9105 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  1 )  =  ( 1  / 
4 ) )
238229, 236, 2373brtr3d 4241 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  (
1  /  4 ) )
23995, 113, 34, 118, 238letrd 9227 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( 1  /  4 ) )
24065, 239eqbrtrd 4232 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  <_  ( 1  / 
4 ) )
24118, 28, 34, 240subled 9629 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   4c4 10051   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043  ..^cfzo 11135    seq cseq 11323   ^cexp 11382   !cfa 11566   sqrcsqr 12038    ~~> cli 12278   sum_csu 12479   _eceu 12665   logclog 20452
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-tan 12674  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-ulm 20293  df-log 20454  df-cxp 20455
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