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Theorem stirlinglem12 27701
Description: The sequence  B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem12.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 9967 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2 stirlinglem12.1 . . . . . . 7  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
32stirlinglem2 27691 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
4 relogcl 20426 . . . . . 6  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
51, 3, 4mp2b 10 . . . . 5  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
6 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ n
1
7 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ n log
8 nfmpt1 4258 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
92, 8nfcxfr 2537 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
109, 6nffv 5694 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( A `  1
)
117, 10nffv 5694 . . . . . 6  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
12 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
1312fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
14 stirlinglem12.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
156, 11, 13, 14fvmptf 5780 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
161, 5, 15mp2an 654 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
1716, 5eqeltri 2474 . . 3  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
1817a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  1 )  e.  RR )
192stirlinglem2 27691 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
2019relogcld 20471 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
21 nfcv 2540 . . . . 5  |-  F/_ n N
229, 21nffv 5694 . . . . . 6  |-  F/_ n
( A `  N
)
237, 22nffv 5694 . . . . 5  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
24 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
2524fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2621, 23, 25, 14fvmptf 5780 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
2720, 26mpdan 650 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
2827, 20eqeltrd 2478 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
29 4re 10029 . . . 4  |-  4  e.  RR
30 0re 9047 . . . . 5  |-  0  e.  RR
31 4pos 10042 . . . . 5  |-  0  <  4
3230, 31gtneii 9141 . . . 4  |-  4  =/=  0
3329, 32rereccli 9735 . . 3  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
3433a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
35 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( B `  k )  =  ( B `  j ) )
36 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
37 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( B `  k )  =  ( B ` 
1 ) )
38 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( B `  k )  =  ( B `  N ) )
39 elnnuz 10478 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4039biimpi 187 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
41 elfznn 11036 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
422stirlinglem2 27691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4443relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  RR )
45 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
k
469, 45nffv 5694 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
477, 46nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
48 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
4948fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5045, 47, 49, 14fvmptf 5780 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
5141, 44, 50syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5251adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `
 k ) ) )
5343rpcnd 10606 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5453adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
5542rpne0d 10609 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5641, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
5756adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
5854, 57logcld 20421 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  e.  CC )
5952, 58eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
6035, 36, 37, 38, 40, 59fsumtscopo 12536 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( B `  1 )  -  ( B `  N ) ) )
61 nnz 10259 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
62 fzoval 11096 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
6463sumeq1d 12450 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
6560, 64eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
66 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
67 elfznn 11036 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN )
6867adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
692stirlinglem2 27691 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  j )  e.  RR+ )
7069relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  j ) )  e.  RR )
71 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
j
729, 71nffv 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  j
)
737, 72nffv 5694 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
74 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
7574fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7671, 73, 75, 14fvmptf 5780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( B `  j
)  =  ( log `  ( A `  j
) ) )
7770, 76mpdan 650 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
7877, 70eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7968, 78syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
80 peano2nn 9968 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
812stirlinglem2 27691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
8382relogcld 20471 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
84 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( j  +  1 )
859, 84nffv 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
867, 85nffv 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
87 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
8887fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
8984, 86, 88, 14fvmptf 5780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
9080, 83, 89syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
9190, 83eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9267, 91syl 16 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9392adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
9479, 93resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9566, 94fsumrecl 12483 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9633a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
4 )  e.  RR )
9767nnred 9971 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
98 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
10097, 99readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
10197, 100remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
10297recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  CC )
103 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
105102, 104addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
10667nnne0d 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  =/=  0 )
10780nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
10867, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
109102, 105, 106, 108mulne0d 9630 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
110101, 109rereccld 9797 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
111110adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
11296, 111remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
11366, 112fsumrecl 12483 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
114 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  i
) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  i ) ) ) )
115 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
i ) )
1162, 14, 114, 115stirlinglem10 27699 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  j
)  -  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11768, 116syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) ) )
11866, 94, 112, 117fsumle 12533 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
11966, 111fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
12098a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
12129, 31elrpii 10571 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
122121a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
12330a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
124 0lt1 9506 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
126123, 120, 125ltled 9177 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
127120, 122, 126divge0d 10640 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  4
) )
128 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
129 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
130129uztrn2 10459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  NN )
131 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
133 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  n  =  j )
134133oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
135133, 134oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
136135oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
137 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
138 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
13998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
140138, 139readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
141138, 140remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
142 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
143103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
144142, 143addcld 9063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
145 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
146142, 144, 145, 107mulne0d 9630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
147141, 146rereccld 9797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
148132, 136, 137, 147fvmptd 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
149130, 148syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
150130nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR )
15198a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
152150, 151readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR )
153150, 152remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR )
154150recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  CC )
155103a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  CC )
156154, 155addcld 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  CC )
157130nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  =/=  0 )
158130, 107syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  =/=  0 )
159154, 156, 157, 158mulne0d 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
160153, 159rereccld 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
161 seqeq1 11281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq  N (  +  ,  F
)  =  seq  1
(  +  ,  F
) )
162131trireciplem 12596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
163 climrel 12241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  ~~>
164163releldmi 5065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
165162, 164ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
167161, 166eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  seq  N (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
168167adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =  1 )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
169 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  NN )
170 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  -.  N  =  1 )
171 elnn1uz2 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
172169, 171sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
173172ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( -.  N  =  1  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
174170, 173mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
175 uz2m1nn 10506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
177 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
178177adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
179103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
180178, 179npcand 9371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
181180eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
182181seqeq1d 11284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  =  seq  ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F ) )
183 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
184147recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
185148, 184eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  e.  CC )
186185adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  CC )
187162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
188129, 183, 186, 187clim2ser 12403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
189188adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
190182, 189eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
191163releldmi 5065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq 
N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
192190, 191syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
193169, 176, 192syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
194168, 193pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  N (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
195128, 61, 149, 160, 194isumrecl 12504 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
196130nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR+ )
197196rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  j )
198150, 197ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR+ )
199196, 198rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR+ )
200126adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  1 )
201151, 199, 200divge0d 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
202128, 61, 149, 160, 194, 201isumge0 12505 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
203123, 195, 119, 202leadd2dd 9597 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  <_ 
( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
204119recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
205204addid1d 9222 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
206205eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 ) )
207 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
208148adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
209142adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
210103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
211209, 210addcld 9063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
212209, 211mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  CC )
213145adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
214107adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
215209, 211, 213, 214mulne0d 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
216212, 215reccld 9739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
217165a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
218129, 128, 207, 208, 216, 217isumsplit 12575 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
219203, 206, 2183brtr4d 4202 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
220 1z 10267 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
221220a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
222148adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
223184adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
224162a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
225129, 221, 222, 223, 224isumclim 12496 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  sum_ j  e.  NN  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  1 )
226225trud 1329 . . . . . . . 8  |-  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1
227226a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1 )
228219, 227breqtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  1
)
229119, 120, 34, 127, 228lemul2ad 9907 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( 1  / 
4 )  x.  1 ) )
230 4cn 10030 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
231230a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
23231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
233232gt0ne0d 9547 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
234231, 233reccld 9739 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
235111recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
23666, 234, 235fsummulc2 12522 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
237234mulid1d 9061 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  1 )  =  ( 1  / 
4 ) )
238229, 236, 2373brtr3d 4201 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  (
1  /  4 ) )
23995, 113, 34, 118, 238letrd 9183 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( 1  /  4 ) )
24065, 239eqbrtrd 4192 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  <_  ( 1  / 
4 ) )
24118, 28, 34, 240subled 9585 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090    seq cseq 11278   ^cexp 11337   !cfa 11521   sqrcsqr 11993    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   _eceu 12620   logclog 20405
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-cxp 20408
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