Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem12 Unicode version

Theorem stirlinglem12 27157
 Description: The sequence is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1
stirlinglem12.2
stirlinglem12.3
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 9844 . . . . 5
2 stirlinglem12.1 . . . . . . . . . 10
32stirlinglem2 27147 . . . . . . . . 9
41, 3ax-mp 8 . . . . . . . 8
5 relogcl 20034 . . . . . . . 8
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7
76jctr 526 . . . . . 6
8 nfcv 2494 . . . . . . 7
9 nfcv 2494 . . . . . . . 8
10 nfmpt1 4188 . . . . . . . . . 10
112, 10nfcxfr 2491 . . . . . . . . 9
1211, 8nffv 5612 . . . . . . . 8
139, 12nffv 5612 . . . . . . 7
14 fveq2 5605 . . . . . . . 8
1514fveq2d 5609 . . . . . . 7
16 stirlinglem12.2 . . . . . . 7
178, 13, 15, 16fvmptf 5696 . . . . . 6
187, 17syl 15 . . . . 5
191, 18ax-mp 8 . . . 4
2019, 6eqeltri 2428 . . 3
2120a1i 10 . 2
22 id 19 . . . . 5
232stirlinglem2 27147 . . . . . 6
2423relogcld 20079 . . . . 5
2522, 24jca 518 . . . 4
26 nfcv 2494 . . . . 5
2711, 26nffv 5612 . . . . . 6
289, 27nffv 5612 . . . . 5
29 fveq2 5605 . . . . . 6
3029fveq2d 5609 . . . . 5
3126, 28, 30, 16fvmptf 5696 . . . 4
3225, 31syl 15 . . 3
3332, 24eqeltrd 2432 . 2
34 4re 9906 . . . 4
35 0re 8925 . . . . 5
36 4pos 9919 . . . . 5
3735, 36gtneii 9017 . . . 4
3834, 37rereccli 9612 . . 3
3938a1i 10 . 2
40 fveq2 5605 . . . . . 6
41 fveq2 5605 . . . . . 6
42 fveq2 5605 . . . . . 6
43 fveq2 5605 . . . . . 6
44 nnuz 10352 . . . . . . . 8
4544eleq2i 2422 . . . . . . 7
4645biimpi 186 . . . . . 6
47 elfznn 10908 . . . . . . . . . 10
482stirlinglem2 27147 . . . . . . . . . . . 12
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11
5049relogcld 20079 . . . . . . . . . 10
5147, 50jca 518 . . . . . . . . 9
52 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10
5311, 52nffv 5612 . . . . . . . . . . 11
549, 53nffv 5612 . . . . . . . . . 10
55 fveq2 5605 . . . . . . . . . . 11
5655fveq2d 5609 . . . . . . . . . 10
5752, 54, 56, 16fvmptf 5696 . . . . . . . . 9
5851, 57syl 15 . . . . . . . 8
5958adantl 452 . . . . . . 7
6049rpcnd 10481 . . . . . . . . 9
6160adantl 452 . . . . . . . 8
6248rpne0d 10484 . . . . . . . . . 10
6347, 62syl 15 . . . . . . . . 9
6463adantl 452 . . . . . . . 8
6561, 64logcld 20029 . . . . . . 7
6659, 65eqeltrd 2432 . . . . . 6
6740, 41, 42, 43, 46, 66fsumtscopo 12351 . . . . 5 ..^
6867eqcomd 2363 . . . 4 ..^
69 nnz 10134 . . . . . 6
70 fzoval 10965 . . . . . 6 ..^
7169, 70syl 15 . . . . 5 ..^
7271sumeq1d 12265 . . . 4 ..^
7368, 72eqtrd 2390 . . 3
74 fzfid 11124 . . . . 5
75 elfznn 10908 . . . . . . . 8
7675adantl 452 . . . . . . 7
77 elnnuz 10353 . . . . . . . . . . . 12
7877biimpi 186 . . . . . . . . . . 11
7977biimpri 197 . . . . . . . . . . 11
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . 10
812stirlinglem2 27147 . . . . . . . . . . 11
8281relogcld 20079 . . . . . . . . . 10
8380, 82jca 518 . . . . . . . . 9
84 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10
8511, 84nffv 5612 . . . . . . . . . . 11
869, 85nffv 5612 . . . . . . . . . 10
87 fveq2 5605 . . . . . . . . . . 11
8887fveq2d 5609 . . . . . . . . . 10
8984, 86, 88, 16fvmptf 5696 . . . . . . . . 9
9083, 89syl 15 . . . . . . . 8
9190, 82eqeltrd 2432 . . . . . . 7
9276, 91syl 15 . . . . . 6
93 peano2nn 9845 . . . . . . . . . . 11
942stirlinglem2 27147 . . . . . . . . . . . . 13
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . . 12
9695relogcld 20079 . . . . . . . . . . 11
9793, 96jca 518 . . . . . . . . . 10
98 nfcv 2494 . . . . . . . . . . 11
9911, 98nffv 5612 . . . . . . . . . . . 12
1009, 99nffv 5612 . . . . . . . . . . 11
101 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . 12
102101fveq2d 5609 . . . . . . . . . . 11
10398, 100, 102, 16fvmptf 5696 . . . . . . . . . 10
10497, 103syl 15 . . . . . . . . 9
105104, 96eqeltrd 2432 . . . . . . . 8
10675, 105syl 15 . . . . . . 7
107106adantl 452 . . . . . 6
10892, 107resubcld 9298 . . . . 5
10974, 108fsumrecl 12298 . . . 4
11038a1i 10 . . . . . 6
111 1re 8924 . . . . . . . . 9
112111a1i 10 . . . . . . . 8
11375nnred 9848 . . . . . . . . 9
114113, 112readdcld 8949 . . . . . . . . 9
115113, 114remulcld 8950 . . . . . . . 8
116113recnd 8948 . . . . . . . . 9
117 ax-1cn 8882 . . . . . . . . . . 11
118117a1i 10 . . . . . . . . . 10
119116, 118addcld 8941 . . . . . . . . 9
12075nnne0d 9877 . . . . . . . . 9
12193nnne0d 9877 . . . . . . . . . 10
12275, 121syl 15 . . . . . . . . 9
123116, 119, 120, 122mulne0d 9507 . . . . . . . 8
124112, 115, 123redivcld 9675 . . . . . . 7
125124adantl 452 . . . . . 6
126110, 125remulcld 8950 . . . . 5
12774, 126fsumrecl 12298 . . . 4
128 eqid 2358 . . . . . . 7
129 eqid 2358 . . . . . . 7
1302, 16, 128, 129stirlinglem10 27155 . . . . . 6
13176, 130syl 15 . . . . 5
13274, 108, 126, 131fsumle 12348 . . . 4
133 4cn 9907 . . . . . . . . 9
134133a1i 10 . . . . . . . 8
13535a1i 10 . . . . . . . . 9
13636a1i 10 . . . . . . . . 9
137135, 136gtned 9041 . . . . . . . 8
138134, 137reccld 9616 . . . . . . 7
139125recnd 8948 . . . . . . 7
14074, 138, 139fsummulc2 12337 . . . . . 6
141140eqcomd 2363 . . . . 5
14274, 125fsumrecl 12298 . . . . . . 7
143111a1i 10 . . . . . . 7
14434, 36elrpii 10446 . . . . . . . . 9
145144a1i 10 . . . . . . . 8
146 0lt1 9383 . . . . . . . . . 10
147146a1i 10 . . . . . . . . 9
148135, 143, 147ltled 9054 . . . . . . . 8
149143, 145, 148divge0d 10515 . . . . . . 7
150142recnd 8948 . . . . . . . . . . . 12
151150addid1d 9099 . . . . . . . . . . 11
152151eqcomd 2363 . . . . . . . . . 10
153 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12
15444uztrn2 10334 . . . . . . . . . . . . 13
155 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
156155a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
157 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158157oveq1d 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159157, 158oveq12d 5960 . . . . . . . . . . . . . . 15
160159oveq2d 5958 . . . . . . . . . . . . . 14
161111a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
162 nnre 9840 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163162, 161readdcld 8949 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164162, 163remulcld 8950 . . . . . . . . . . . . . . 15
165 nncn 9841 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167165, 166addcld 8941 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168 nnne0 9865 . . . . . . . . . . . . . . . 16
169165, 167, 168, 121mulne0d 9507 . . . . . . . . . . . . . . 15
170161, 164, 169redivcld 9675 . . . . . . . . . . . . . 14
171156, 160, 80, 170fvmptd 5686 . . . . . . . . . . . . 13
172154, 171syl 15 . . . . . . . . . . . 12
173111a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
174154nnred 9848 . . . . . . . . . . . . . 14
175174, 173readdcld 8949 . . . . . . . . . . . . . 14
176174, 175remulcld 8950 . . . . . . . . . . . . 13
177174recnd 8948 . . . . . . . . . . . . . 14
178117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
179177, 178addcld 8941 . . . . . . . . . . . . . 14
180154nnne0d 9877 . . . . . . . . . . . . . 14
181154, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
182177, 179, 180, 181mulne0d 9507 . . . . . . . . . . . . 13
183173, 176, 182redivcld 9675 . . . . . . . . . . . 12
184 seqeq1 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15
185155trireciplem 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
186 climrel 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
187186releldmi 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
188185, 187ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
189188a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
190184, 189eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . . . 14
191190adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
192 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15
193 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
194 elnn1uz2 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
195192, 194sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196195ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
197193, 196mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
198 uz2m1nn 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199197, 198syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
200192, 199jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
201 nncn 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
203117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
204202, 203npcand 9248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
205204eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
206205seqeq1d 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16
207 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
208170recnd 8948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
209171, 208eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
210209adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
211185a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21244, 207, 210, 211clim2ser 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
213212adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
214206, 213eqbrtrd 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15
215186releldmi 4994 . . . . . . . . . . . . . . 15
216214, 215syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
217200, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
218191, 217pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . 12
219154nnrpd 10478 . . . . . . . . . . . . . 14
220219rpred 10479 . . . . . . . . . . . . . . 15
221219rpge0d 10483 . . . . . . . . . . . . . . 15
222220, 221ge0p1rpd 10505 . . . . . . . . . . . . . 14
223219, 222rpmulcld 10495 . . . . . . . . . . . . 13
224148adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
225173, 223, 224divge0d 10515 . . . . . . . . . . . 12
226153, 69, 172, 183, 218, 225isumge0 12320 . . . . . . . . . . 11
227153, 69, 172, 183, 218isumrecl 12319 . . . . . . . . . . . 12
228135, 227, 142leadd2d 9454 . . . . . . . . . . 11
229226, 228mpbid 201 . . . . . . . . . 10
230152, 229eqbrtrd 4122 . . . . . . . . 9
23178adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
232231, 79, 1713syl 18 . . . . . . . . . . 11
233231, 79, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
234117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
235233, 234addcld 8941 . . . . . . . . . . . . 13
236233, 235mulcld 8942 . . . . . . . . . . . 12
237231, 79, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
238231, 79, 1213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
239233, 235, 237, 238mulne0d 9507 . . . . . . . . . . . 12
240236, 239reccld 9616 . . . . . . . . . . 11
241188a1i 10 . . . . . . . . . . 11
24244, 153, 22, 232, 240, 241isumsplit 12390 . . . . . . . . . 10
243242eqcomd 2363 . . . . . . . . 9
244230, 243breqtrd 4126 . . . . . . . 8
245 1z 10142 . . . . . . . . . . . 12
246245a1i 10 . . . . . . . . . . 11
247171adantl 452 . . . . . . . . . . 11
248208adantl 452 . . . . . . . . . . 11
249185a1i 10 . . . . . . . . . . 11
25044, 246, 247, 248, 249isumclim 12311 . . . . . . . . . 10
251250trud 1323 . . . . . . . . 9
252251a1i 10 . . . . . . . 8
253244, 252breqtrd 4126 . . . . . . 7
254142, 143, 39, 149, 253lemul2ad 9784 . . . . . 6
255138mulid1d 8939 . . . . . 6
256254, 255breqtrd 4126 . . . . 5
257141, 256eqbrtrd 4122 . . . 4
258109, 127, 39, 132, 257letrd 9060 . . 3
25973, 258eqbrtrd 4122 . 2
26021, 33, 39, 259subled 9462 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 357   wa 358   wtru 1316   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521   class class class wbr 4102   cmpt 4156   cdm 4768  cfv 5334  (class class class)co 5942  cc 8822  cr 8823  cc0 8824  c1 8825   caddc 8827   cmul 8829   clt 8954   cle 8955   cmin 9124   cdiv 9510  cn 9833  c2 9882  c4 9884  cz 10113  cuz 10319  crp 10443  cfz 10871  ..^cfzo 10959   cseq 11135  cexp 11194  cfa 11378  csqr 11808   cli 12048  csu 12249  ceu 12435  clog 20013 This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27158 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ioc 10750  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-fac 11379  df-bc 11406  df-hash 11428  df-shft 11652  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-limsup 12035  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-ef 12440  df-e 12441  df-sin 12442  df-cos 12443  df-tan 12444  df-pi 12445  df-dvds 12623  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lp 16968  df-perf 16969  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-haus 17143  df-cmp 17214  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cncf 18479  df-limc 19314  df-dv 19315  df-ulm 19854  df-log 20015  df-cxp 20016
 Copyright terms: Public domain W3C validator