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Theorem stirlinglem12 27834
Description: The sequence  B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem12.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 9757 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2 stirlinglem12.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
32stirlinglem2 27824 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
41, 3ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A `
 1 )  e.  RR+
5 relogcl 19932 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
76jctr 526 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR ) )
8 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ n
1
9 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ n log
10 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
112, 10nfcxfr 2416 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n A
1211, 8nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  1
)
139, 12nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
14 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
1514fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
16 stirlinglem12.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
178, 13, 15, 16fvmptf 5616 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
187, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
191, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
2019, 6eqeltri 2353 . . 3  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
2120a1i 10 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  1 )  e.  RR )
22 id 19 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
232stirlinglem2 27824 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
2423relogcld 19974 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
2522, 24jca 518 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR ) )
26 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ n N
2711, 26nffv 5532 . . . . . 6  |-  F/_ n
( A `  N
)
289, 27nffv 5532 . . . . 5  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
29 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
3029fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
3126, 28, 30, 16fvmptf 5616 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
3225, 31syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
3332, 24eqeltrd 2357 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
34 4re 9819 . . . 4  |-  4  e.  RR
35 0re 8838 . . . . 5  |-  0  e.  RR
36 4pos 9832 . . . . 5  |-  0  <  4
3735, 36gtneii 8930 . . . 4  |-  4  =/=  0
3834, 37rereccli 9525 . . 3  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
3938a1i 10 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
40 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( B `  k )  =  ( B `  j ) )
41 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
42 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  ( B `  k )  =  ( B ` 
1 ) )
43 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  ( B `  k )  =  ( B `  N ) )
44 nnuz 10263 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4544eleq2i 2347 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4645biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
47 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
482stirlinglem2 27824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
5049relogcld 19974 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  RR )
5147, 50jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  RR ) )
52 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
k
5311, 52nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  k
)
549, 53nffv 5532 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
55 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
5655fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5752, 54, 56, 16fvmptf 5616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
5851, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5958adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `
 k ) ) )
6049rpcnd 10392 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
6160adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
6248rpne0d 10395 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
6347, 62syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
6463adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
6561, 64logcld 19928 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  e.  CC )
6659, 65eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
6740, 41, 42, 43, 46, 66fsumtscopo 12260 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( B `  1 )  -  ( B `  N ) ) )
6867eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  =  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j
)  -  ( B `
 ( j  +  1 ) ) ) )
69 nnz 10045 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
70 fzoval 10876 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
7169, 70syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
7271sumeq1d 12174 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
7368, 72eqtrd 2315 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
74 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
75 elfznn 10819 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN )
7675adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
77 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7877biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7977biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
812stirlinglem2 27824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  j )  e.  RR+ )
8281relogcld 19974 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  j ) )  e.  RR )
8380, 82jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 j ) )  e.  RR ) )
84 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
j
8511, 84nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  j
)
869, 85nffv 5532 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
87 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
8887fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
8984, 86, 88, 16fvmptf 5616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( B `  j
)  =  ( log `  ( A `  j
) ) )
9083, 89syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
9190, 82eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
9276, 91syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
93 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
942stirlinglem2 27824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
9695relogcld 19974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9793, 96jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
98 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( j  +  1 )
9911, 98nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
1009, 99nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
101 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
102101fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10398, 100, 102, 16fvmptf 5616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
10497, 103syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
105104, 96eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
10675, 105syl 15 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
107106adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
10892, 107resubcld 9211 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
10974, 108fsumrecl 12207 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
11038a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
4 )  e.  RR )
111 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
112111a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
11375nnred 9761 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
114113, 112readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
115113, 114remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
116113recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  CC )
117 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
118117a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
119116, 118addcld 8854 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
12075nnne0d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  =/=  0 )
12193nnne0d 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
12275, 121syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
123116, 119, 120, 122mulne0d 9420 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
124112, 115, 123redivcld 9588 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
125124adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
126110, 125remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
12774, 126fsumrecl 12207 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
128 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  i
) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  i ) ) ) )
129 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
i ) )
1302, 16, 128, 129stirlinglem10 27832 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  j
)  -  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
13176, 130syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) ) )
13274, 108, 126, 131fsumle 12257 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
133 4cn 9820 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
134133a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
13535a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
13636a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
137135, 136gtned 8954 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
138134, 137reccld 9529 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
139125recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
14074, 138, 139fsummulc2 12246 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
141140eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) ) )
14274, 125fsumrecl 12207 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
143111a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
14434, 36elrpii 10357 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR+
145144a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
146 0lt1 9296 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
147146a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
148135, 143, 147ltled 8967 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
149143, 145, 148divge0d 10426 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  4
) )
150142recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
151150addid1d 9012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
152151eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 ) )
153 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
15444uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  NN )
155 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
156155a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
157 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  n  =  j )
158157oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
159157, 158oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
160159oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
161111a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
162 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
163162, 161readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
164162, 163remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
165 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
166117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
167165, 166addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
168 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
169165, 167, 168, 121mulne0d 9420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
170161, 164, 169redivcld 9588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
171156, 160, 80, 170fvmptd 5606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
172154, 171syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
173111a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
174154nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR )
175174, 173readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR )
176174, 175remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR )
177174recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  CC )
178117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  CC )
179177, 178addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  CC )
180154nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  =/=  0 )
181154, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  =/=  0 )
182177, 179, 180, 181mulne0d 9420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
183173, 176, 182redivcld 9588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
184 seqeq1 11049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  seq  N (  +  ,  F
)  =  seq  1
(  +  ,  F
) )
185155trireciplem 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
186 climrel 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Rel  ~~>
187186releldmi 4915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
188185, 187ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>
189188a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
190184, 189eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  seq  N (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
191190adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =  1 )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
192 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  NN )
193 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  -.  N  =  1 )
194 elnn1uz2 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
195192, 194sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
196195ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( -.  N  =  1  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
197193, 196mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
198 uz2m1nn 10292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
199197, 198syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
200192, 199jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
201 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
203117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
204202, 203npcand 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
205204eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
206205seqeq1d 11052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  =  seq  ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F ) )
207 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
208170recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
209171, 208eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  e.  CC )
210209adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  CC )
211185a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
21244, 207, 210, 211clim2ser 12128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
213212adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
214206, 213eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
215186releldmi 4915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq 
N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
216214, 215syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
217200, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
218191, 217pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  N (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
219154nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR+ )
220219rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR )
221219rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  j )
222220, 221ge0p1rpd 10416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR+ )
223219, 222rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR+ )
224148adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  1 )
225173, 223, 224divge0d 10426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
226153, 69, 172, 183, 218, 225isumge0 12229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
227153, 69, 172, 183, 218isumrecl 12228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
228135, 227, 142leadd2d 9367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  <->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  +  0 )  <_  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
229226, 228mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  <_ 
( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
230152, 229eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
23178adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
232231, 79, 1713syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
233231, 79, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
234117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
235233, 234addcld 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
236233, 235mulcld 8855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  CC )
237231, 79, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
238231, 79, 1213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
239233, 235, 237, 238mulne0d 9420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
240236, 239reccld 9529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
241188a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
24244, 153, 22, 232, 240, 241isumsplit 12299 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
243242eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
244230, 243breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
245 1z 10053 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
246245a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
247171adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
248208adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
249185a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
25044, 246, 247, 248, 249isumclim 12220 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  sum_ j  e.  NN  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  1 )
251250trud 1314 . . . . . . . . 9  |-  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1
252251a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1 )
253244, 252breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  1
)
254142, 143, 39, 149, 253lemul2ad 9697 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( 1  / 
4 )  x.  1 ) )
255138mulid1d 8852 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  1 )  =  ( 1  / 
4 ) )
256254, 255breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  <_ 
( 1  /  4
) )
257141, 256eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  (
1  /  4 ) )
258109, 127, 39, 132, 257letrd 8973 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( 1  /  4 ) )
25973, 258eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  <_  ( 1  / 
4 ) )
26021, 33, 39, 259subled 9375 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   4c4 9797   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870    seq cseq 11046   ^cexp 11104   !cfa 11288   sqrcsqr 11718    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   _eceu 12344   logclog 19912
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ulm 19756  df-log 19914  df-cxp 19915
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