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Theorem stirlinglem12 27157
Description: The sequence  B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem12.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem12.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 9844 . . . . 5  |-  1  e.  NN
2 stirlinglem12.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
32stirlinglem2 27147 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
41, 3ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A `
 1 )  e.  RR+
5 relogcl 20034 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
76jctr 526 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR ) )
8 nfcv 2494 . . . . . . 7  |-  F/_ n
1
9 nfcv 2494 . . . . . . . 8  |-  F/_ n log
10 nfmpt1 4188 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
112, 10nfcxfr 2491 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n A
1211, 8nffv 5612 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( A `  1
)
139, 12nffv 5612 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
14 fveq2 5605 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
1514fveq2d 5609 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
16 stirlinglem12.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
178, 13, 15, 16fvmptf 5696 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
187, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
191, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
2019, 6eqeltri 2428 . . 3  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
2120a1i 10 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  1 )  e.  RR )
22 id 19 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
232stirlinglem2 27147 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A `  N )  e.  RR+ )
2423relogcld 20079 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR )
2522, 24jca 518 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `  N ) )  e.  RR ) )
26 nfcv 2494 . . . . 5  |-  F/_ n N
2711, 26nffv 5612 . . . . . 6  |-  F/_ n
( A `  N
)
289, 27nffv 5612 . . . . 5  |-  F/_ n
( log `  ( A `  N )
)
29 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
3029fveq2d 5609 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
3126, 28, 30, 16fvmptf 5696 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( B `  N
)  =  ( log `  ( A `  N
) ) )
3225, 31syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  =  ( log `  ( A `  N )
) )
3332, 24eqeltrd 2432 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B `  N )  e.  RR )
34 4re 9906 . . . 4  |-  4  e.  RR
35 0re 8925 . . . . 5  |-  0  e.  RR
36 4pos 9919 . . . . 5  |-  0  <  4
3735, 36gtneii 9017 . . . 4  |-  4  =/=  0
3834, 37rereccli 9612 . . 3  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
3938a1i 10 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  RR )
40 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( B `  k )  =  ( B `  j ) )
41 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
42 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  ( B `  k )  =  ( B ` 
1 ) )
43 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  ( B `  k )  =  ( B `  N ) )
44 nnuz 10352 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4544eleq2i 2422 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4645biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
47 elfznn 10908 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
482stirlinglem2 27147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  RR+ )
5049relogcld 20079 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  RR )
5147, 50jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  (
k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  RR ) )
52 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
k
5311, 52nffv 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  k
)
549, 53nffv 5612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
55 fveq2 5605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
5655fveq2d 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5752, 54, 56, 16fvmptf 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
5851, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
5958adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `
 k ) ) )
6049rpcnd 10481 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
6160adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
6248rpne0d 10484 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
6347, 62syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
6463adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  k )  =/=  0
)
6561, 64logcld 20029 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  ( A `  k )
)  e.  CC )
6659, 65eqeltrd 2432 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
6740, 41, 42, 43, 46, 66fsumtscopo 12351 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( B `  1 )  -  ( B `  N ) ) )
6867eqcomd 2363 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  =  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j
)  -  ( B `
 ( j  +  1 ) ) ) )
69 nnz 10134 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
70 fzoval 10965 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
7169, 70syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
7271sumeq1d 12265 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1..^ N ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
7368, 72eqtrd 2390 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `  j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
74 fzfid 11124 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
75 elfznn 10908 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN )
7675adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
77 elnnuz 10353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7877biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7977biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
812stirlinglem2 27147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  j )  e.  RR+ )
8281relogcld 20079 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  j ) )  e.  RR )
8380, 82jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 j ) )  e.  RR ) )
84 nfcv 2494 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
j
8511, 84nffv 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  j
)
869, 85nffv 5612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
87 fveq2 5605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
8887fveq2d 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
8984, 86, 88, 16fvmptf 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( B `  j
)  =  ( log `  ( A `  j
) ) )
9083, 89syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
9190, 82eqeltrd 2432 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
9276, 91syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
93 peano2nn 9845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
942stirlinglem2 27147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
9695relogcld 20079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
9793, 96jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
98 nfcv 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( j  +  1 )
9911, 98nffv 5612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
1009, 99nffv 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
101 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
102101fveq2d 5609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10398, 100, 102, 16fvmptf 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
10497, 103syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
105104, 96eqeltrd 2432 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
10675, 105syl 15 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
107106adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
10892, 107resubcld 9298 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
10974, 108fsumrecl 12298 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
11038a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
4 )  e.  RR )
111 1re 8924 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
112111a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
11375nnred 9848 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
114113, 112readdcld 8949 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
115113, 114remulcld 8950 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
116113recnd 8948 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  CC )
117 ax-1cn 8882 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
118117a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
119116, 118addcld 8941 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
12075nnne0d 9877 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  =/=  0 )
12193nnne0d 9877 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
12275, 121syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
123116, 119, 120, 122mulne0d 9507 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
124112, 115, 123redivcld 9675 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
125124adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
126110, 125remulcld 8950 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
12774, 126fsumrecl 12298 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
128 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  i
) ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  i )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  i ) ) ) )
129 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )  =  ( i  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
i ) )
1302, 16, 128, 129stirlinglem10 27155 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  j
)  -  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
13176, 130syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) ) )
13274, 108, 126, 131fsumle 12348 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
133 4cn 9907 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
134133a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
13535a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
13636a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
137135, 136gtned 9041 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
138134, 137reccld 9616 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
139125recnd 8948 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
14074, 138, 139fsummulc2 12337 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
141140eqcomd 2363 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) ) )
14274, 125fsumrecl 12298 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
143111a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
14434, 36elrpii 10446 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR+
145144a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
146 0lt1 9383 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
147146a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
148135, 143, 147ltled 9054 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  1 )
149143, 145, 148divge0d 10515 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  4
) )
150142recnd 8948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
151150addid1d 9099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
152151eqcomd 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 ) )
153 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
15444uztrn2 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  NN )
155 stirlinglem12.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
156155a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
157 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  n  =  j )
158157oveq1d 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
159157, 158oveq12d 5960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( n  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
160159oveq2d 5958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
161111a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
162 nnre 9840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
163162, 161readdcld 8949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR )
164162, 163remulcld 8950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
165 nncn 9841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
166117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
167165, 166addcld 8941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
168 nnne0 9865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
169165, 167, 168, 121mulne0d 9507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
170161, 164, 169redivcld 9675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
171156, 160, 80, 170fvmptd 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
172154, 171syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
173111a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  RR )
174154nnred 9848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR )
175174, 173readdcld 8949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR )
176174, 175remulcld 8950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR )
177174recnd 8948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  CC )
178117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
1  e.  CC )
179177, 178addcld 8941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  CC )
180154nnne0d 9877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  =/=  0 )
181154, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  =/=  0 )
182177, 179, 180, 181mulne0d 9507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
183173, 176, 182redivcld 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
184 seqeq1 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  seq  N (  +  ,  F
)  =  seq  1
(  +  ,  F
) )
185155trireciplem 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
186 climrel 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Rel  ~~>
187186releldmi 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
188185, 187ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>
189188a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
190184, 189eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  seq  N (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
191190adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =  1 )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
192 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  NN )
193 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  -.  N  =  1 )
194 elnn1uz2 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
195192, 194sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
196195ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( -.  N  =  1  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
197193, 196mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
198 uz2m1nn 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
199197, 198syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
200192, 199jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
201 nncn 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
203117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
204202, 203npcand 9248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
205204eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
206205seqeq1d 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  =  seq  ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F ) )
207 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
208170recnd 8948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
209171, 208eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  e.  CC )
210209adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  CC )
211185a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
21244, 207, 210, 211clim2ser 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  seq  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) ) )
213212adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  ( ( N  -  1 )  +  1 ) (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
214206, 213eqbrtrd 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( N  -  1 ) ) ) )
215186releldmi 4994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq 
N (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( N  -  1 ) ) )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
216214, 215syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( N  -  1
)  e.  NN )  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
217200, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  N  =  1
)  ->  seq  N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
218191, 217pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  N (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
219154nnrpd 10478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR+ )
220219rpred 10479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
j  e.  RR )
221219rpge0d 10483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  j )
222220, 221ge0p1rpd 10505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  RR+ )
223219, 222rpmulcld 10495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  RR+ )
224148adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  1 )
225173, 223, 224divge0d 10515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
226153, 69, 172, 183, 218, 225isumge0 12320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
227153, 69, 172, 183, 218isumrecl 12319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
228135, 227, 142leadd2d 9454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  <->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  +  0 )  <_  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
229226, 228mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  0 )  <_ 
( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
230152, 229eqbrtrd 4122 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
23178adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
232231, 79, 1713syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  =  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
233231, 79, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
234117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
235233, 234addcld 8941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  CC )
236233, 235mulcld 8942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  e.  CC )
237231, 79, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
238231, 79, 1213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  =/=  0 )
239233, 235, 237, 238mulne0d 9507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  x.  (
j  +  1 ) )  =/=  0 )
240236, 239reccld 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
241188a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
24244, 153, 22, 232, 240, 241isumsplit 12390 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  N )
( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
243242eqcomd 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  +  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  N ) ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
244230, 243breqtrd 4126 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
245 1z 10142 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
246245a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
247171adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
248208adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
249185a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  1 )
25044, 246, 247, 248, 249isumclim 12311 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  sum_ j  e.  NN  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  1 )
251250trud 1323 . . . . . . . . 9  |-  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1
252251a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  NN  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  1 )
253244, 252breqtrd 4126 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  <_  1
)
254142, 143, 39, 149, 253lemul2ad 9784 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( 1  / 
4 )  x.  1 ) )
255138mulid1d 8939 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  1 )  =  ( 1  / 
4 ) )
256254, 255breqtrd 4126 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )  <_ 
( 1  /  4
) )
257141, 256eqbrtrd 4122 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  <_  (
1  /  4 ) )
258109, 127, 39, 132, 257letrd 9060 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( B `
 j )  -  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( 1  /  4 ) )
25973, 258eqbrtrd 4122 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( B `
 N ) )  <_  ( 1  / 
4 ) )
26021, 33, 39, 259subled 9462 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    T. wtru 1316    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156   dom cdm 4768   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124    / cdiv 9510   NNcn 9833   2c2 9882   4c4 9884   ZZcz 10113   ZZ>=cuz 10319   RR+crp 10443   ...cfz 10871  ..^cfzo 10959    seq cseq 11135   ^cexp 11194   !cfa 11378   sqrcsqr 11808    ~~> cli 12048   sum_csu 12249   _eceu 12435   logclog 20013
This theorem is referenced by:  stirlinglem13  27158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ioc 10750  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-fac 11379  df-bc 11406  df-hash 11428  df-shft 11652  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-limsup 12035  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-ef 12440  df-e 12441  df-sin 12442  df-cos 12443  df-tan 12444  df-pi 12445  df-dvds 12623  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lp 16968  df-perf 16969  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-haus 17143  df-cmp 17214  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cncf 18479  df-limc 19314  df-dv 19315  df-ulm 19854  df-log 20015  df-cxp 20016
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