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Theorem stirlinglem13 27835
Description:  B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since  B is  log A, in another theorem it is proven that  A converges also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Distinct variable group:    B, d
Allowed substitution hints:    A( n, d)    B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables  j  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
32elrnmpt 4926 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
) ) )
41, 3ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `
 n ) ) )
54biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  B  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )
6 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  y  e.  RR
7 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )
8 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
98stirlinglem2 27824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
109relogcld 19974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
( log `  ( A `  n )
)  e.  RR )
127, 11eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  e.  RR )
1312ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
y  =  ( log `  ( A `  n
) )  ->  y  e.  RR ) )
146, 13rexlimi 2660 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  RR )
155, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  B  -> 
y  e.  RR )
1615rgen 2608 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ran  B  y  e.  RR
17 dfss3 3170 . . . . . 6  |-  ( ran 
B  C_  RR  <->  A. y  e.  ran  B  y  e.  RR )
1816, 17mpbir 200 . . . . 5  |-  ran  B  C_  RR
19 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
208stirlinglem2 27824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A `
 1 )  e.  RR+
22 relogcl 19932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
2419, 23pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A ` 
1 ) )  e.  RR )
25 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
1
26 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n log
27 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
288, 27nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n A
2928, 25nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  1
)
3026, 29nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
31 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
3231fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
3325, 30, 32, 2fvmptf 5616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
3424, 33ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
3519, 34pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  /\  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
36 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  1  ->  ( A `  j )  =  ( A ` 
1 ) )
3736fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  ( log `  ( A `  j ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
3837eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  (
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  j
) )  <->  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) ) )
3938rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )  ->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4035, 39ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) )
4124simpri 448 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
4234, 41eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
43 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( log `  ( A `  n )
)
44 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
j
4528, 44nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  j
)
4626, 45nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
47 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
4847fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
4943, 46, 48cbvmpt 4110 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
502, 49eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
5150elrnmpt 4926 . . . . . . . 8  |-  ( ( B `  1 )  e.  RR  ->  (
( B `  1
)  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  j )
) ) )
5242, 51ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
5340, 52mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  e. 
ran  B
54 ne0i 3461 . . . . . 6  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  ->  ran  B  =/=  (/) )
5553, 54ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  B  =/=  (/)
56 4re 9819 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
57 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
58 4pos 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  4
5957, 58gtneii 8930 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =/=  0
6056, 59rereccli 9525 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
6142, 60resubcli 9109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  e.  RR
62 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
638, 2, 62stirlinglem12 27834 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )
6463rgen 2608 . . . . . . . . 9  |-  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
6561, 64pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )
66 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  <_  ( B `  j )  <->  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  <_ 
( B `  j
) ) )
6766ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  <->  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
) )
6867rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B ` 
1 )  -  (
1  /  4 ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
6965, 68ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
7069idi 2 . . . . . 6  |-  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
71 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
72 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
y  e.  ran  B
)
7310rgen 2608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  RR
742fnmpt 5370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR  ->  B  Fn  NN )
7573, 74ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  Fn  NN
76 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y ) )
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
7872, 77sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
79 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
80 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  y  e.  ran  B
8179, 80nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )
82 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  x  <_  y
83 simp1l 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
)
84 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  j  e.  NN )
8583, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  j  e.  NN ) )
86 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  ( j  e.  NN  ->  x  <_  ( B `  j ) ) )
8786imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  j  e.  NN )  ->  x  <_  ( B `  j
) )
8885, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  ( B `  j
) )
89 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  ( B `  j )  =  y )
9088, 89breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  y )
91903exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( j  e.  NN  ->  ( ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
9281, 82, 91rexlimd 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) )
9378, 92mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  x  <_  y )
9493ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  ( y  e.  ran  B  ->  x  <_  y ) )
9571, 94ralrimi 2624 . . . . . . 7  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )
9695reximi 2650 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y )
9770, 96ax-mp 8 . . . . 5  |-  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y
9818, 55, 973pm3.2i 1130 . . . 4  |-  ( ran 
B  C_  RR  /\  ran  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y )
99 infmrcl 9733 . . . 4  |-  ( ( ran  B  C_  RR  /\ 
ran  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )  ->  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
10098, 99ax-mp 8 . . 3  |-  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR
101 nftru 1541 . . . . 5  |-  F/ j  T.
102 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ j
( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
1032, 102nfcxfr 2416 . . . . 5  |-  F/_ j B
104 nnuz 10263 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
105 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
106105a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
1072fmpt 5681 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR  <->  B : NN --> RR )
10873, 107mpbi 199 . . . . . 6  |-  B : NN
--> RR
109108a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  B : NN --> RR )
110 peano2nn 9758 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
1118a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
112 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
113112fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
114112oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )
115114fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
116112oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( n  /  _e )  =  (
( j  +  1 )  /  _e ) )
117116, 112oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( n  /  _e ) ^
n )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )
118115, 117oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) )
119113, 118oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
120110nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
121 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
122 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
123120, 121, 1223syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
124 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
125124a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
126 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
127 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
128127a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
129126, 128addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
130125, 129mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
131130sqrcld 11919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
132 ere 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _e  e.  RR
133132recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _e  e.  CC
134133a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
135 epos 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  _e
13657, 132ltnei 8943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  <  _e  ->  _e  =/=  0 )
137135, 136ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _e  =/=  0
138137a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
139129, 134, 138divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  CC )
140139, 120expcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
141131, 140mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
14257a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
143 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
144143a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
145 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
146 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
147146a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
148 0le1 9297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  1
149148a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  1 )
150 nnge1 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
151142, 147, 145, 149, 150letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  j )
152145, 151ge0p1rpd 10416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR+ )
153144, 152rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
154153sqrgt0d 11895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
155142, 154gtned 8954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
156110nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
157129, 134, 156, 138divne0d 9552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  =/=  0 )
158 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
159158peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
160139, 157, 159expne0d 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
161131, 140, 155, 160mulne0d 9420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
162123, 141, 161divcld 9536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
163111, 119, 110, 162fvmptd 5606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( j  +  1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
164 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
165120, 121, 1643syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
166153rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
167 epr 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR+
168167a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
169152, 168rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
170169, 159rpexpcld 11268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
171166, 170rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
172165, 171rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
173163, 172eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
174173relogcld 19974 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
175110, 174jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
176 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( j  +  1 )
17728, 176nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
17826, 177nffv 5532 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
179 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
180179fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
181176, 178, 180, 2fvmptf 5616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
182175, 181syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
183182, 174eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
184108ffvelrni 5664 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
185 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  z
) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  z ) ) ) )
1868, 2, 185stirlinglem11 27833 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <  ( B `  j ) )
187183, 184, 186ltled 8967 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
188187adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
18969a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
190101, 103, 104, 106, 109, 188, 189climinff 27737 . . . 4  |-  (  T. 
->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )
191190trud 1314 . . 3  |-  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )
192100, 191pm3.2i 441 . 2  |-  ( sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )
193 breq2 4027 . . 3  |-  ( d  =  sup ( ran 
B ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( B 
~~>  d  <->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
194193rspcev 2884 . 2  |-  ( ( sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. d  e.  RR  B  ~~>  d )
195192, 194ax-mp 8 1  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   4c4 9797   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ^cexp 11104   !cfa 11288   sqrcsqr 11718    ~~> cli 11958   _eceu 12344   logclog 19912
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  27836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ulm 19756  df-log 19914  df-cxp 19915
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