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Theorem stirlinglem13 27702
Description:  B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since  B is  log A, in another theorem it is proven that  A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Distinct variable group:    B, d
Allowed substitution hints:    A( n, d)    B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables  j  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
32elrnmpt 5076 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
) ) )
41, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `
 n ) ) )
5 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
76stirlinglem2 27691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
87relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR )
98adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
( log `  ( A `  n )
)  e.  RR )
105, 9eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  e.  RR )
1110rexlimiva 2785 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  RR )
124, 11sylbi 188 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  B  -> 
y  e.  RR )
1312ssriv 3312 . . 3  |-  ran  B  C_  RR
14 1nn 9967 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
156stirlinglem2 27691 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A `
 1 )  e.  RR+
17 relogcl 20426 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
19 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
1
20 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n log
21 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
226, 21nfcxfr 2537 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n A
2322, 19nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( A `  1
)
2420, 23nffv 5694 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
25 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
2625fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
2719, 24, 26, 2fvmptf 5780 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
2814, 18, 27mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
29 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( A `  j )  =  ( A ` 
1 ) )
3029fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  ( log `  ( A `  j ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
3130eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  j
) )  <->  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) ) )
3231rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )  ->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
3314, 28, 32mp2an 654 . . . . 5  |-  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) )
3428, 18eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
35 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( log `  ( A `  n )
)
36 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
j
3722, 36nffv 5694 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  j
)
3820, 37nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
39 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
4039fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
4135, 38, 40cbvmpt 4259 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
422, 41eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4342elrnmpt 5076 . . . . . 6  |-  ( ( B `  1 )  e.  RR  ->  (
( B `  1
)  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  j )
) ) )
4434, 43ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4533, 44mpbir 201 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  e. 
ran  B
46 ne0i 3594 . . . 4  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  ->  ran  B  =/=  (/) )
4745, 46ax-mp 8 . . 3  |-  ran  B  =/=  (/)
48 4re 10029 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
49 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
50 4pos 10042 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
5149, 50gtneii 9141 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
5248, 51rereccli 9735 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
5334, 52resubcli 9319 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  e.  RR
54 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
556, 2, 54stirlinglem12 27701 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )
5655rgen 2731 . . . . 5  |-  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
57 breq1 4175 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  <_  ( B `  j )  <->  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  <_ 
( B `  j
) ) )
5857ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  <->  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
) )
5958rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B ` 
1 )  -  (
1  /  4 ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
6053, 56, 59mp2an 654 . . . 4  |-  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
61 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
y  e.  ran  B
)
628rgen 2731 . . . . . . . . . 10  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  RR
632fnmpt 5530 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR  ->  B  Fn  NN )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  B  Fn  NN
65 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( B  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y ) )
6664, 65ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
6761, 66sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
68 nfra1 2716 . . . . . . . . 9  |-  F/ j A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
69 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  y  e.  ran  B
7068, 69nfan 1842 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )
71 nfv 1626 . . . . . . . 8  |-  F/ j  x  <_  y
72 simp1l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
)
73 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  j  e.  NN )
74 rsp 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  ( j  e.  NN  ->  x  <_  ( B `  j ) ) )
7572, 73, 74sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  ( B `  j
) )
76 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  ( B `  j )  =  y )
7775, 76breqtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  y )
78773exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( j  e.  NN  ->  ( ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
7970, 71, 78rexlimd 2787 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) )
8067, 79mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  x  <_  y )
8180ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )
8281reximi 2773 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y )
8360, 82ax-mp 8 . . 3  |-  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y
84 infmrcl 9943 . . 3  |-  ( ( ran  B  C_  RR  /\ 
ran  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )  ->  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8513, 47, 83, 84mp3an 1279 . 2  |-  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR
86 nnuz 10477 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
87 1z 10267 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
8887a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
892, 8fmpti 5851 . . . . 5  |-  B : NN
--> RR
9089a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  B : NN --> RR )
91 peano2nn 9968 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
926a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
93 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
9493fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
9593oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )
9695fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
9793oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( n  /  _e )  =  (
( j  +  1 )  /  _e ) )
9897, 93oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( n  /  _e ) ^
n )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )
9996, 98oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) )
10094, 99oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
10191nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
102 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
103 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
104101, 102, 1033syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
105 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
107 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
108 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
110107, 109addcld 9063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
111106, 110mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
112111sqrcld 12194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
113 ere 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR
114113recni 9058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
116 epos 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
11749, 116gtneii 9141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
119110, 115, 118divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  CC )
120119, 101expcld 11478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
121112, 120mulcld 9064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
122 2rp 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
124 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
12549a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
126 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
128 0le1 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <_  1
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  1 )
130 nnge1 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
131125, 127, 124, 129, 130letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  j )
132124, 131ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR+ )
133123, 132rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
134133sqrgt0d 12170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
135134gt0ne0d 9547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
13691nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
137110, 115, 136, 118divne0d 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  =/=  0 )
138 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
139138peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
140119, 137, 139expne0d 11484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
141112, 120, 135, 140mulne0d 9630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
142104, 121, 141divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
14392, 100, 91, 142fvmptd 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( j  +  1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
144 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
145101, 102, 1443syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
146133rpsqrcld 12169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
147 epr 12762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  RR+
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
149132, 148rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
150149, 139rpexpcld 11501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
151146, 150rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
152145, 151rpdivcld 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
153143, 152eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
154153relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
155 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( j  +  1 )
15622, 155nffv 5694 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
15720, 156nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
158 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
159158fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
160155, 157, 159, 2fvmptf 5780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
16191, 154, 160syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
162161, 154eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
16389ffvelrni 5828 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
164 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  z
) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  z ) ) ) )
1656, 2, 164stirlinglem11 27700 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <  ( B `  j ) )
166162, 163, 165ltled 9177 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
167166adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
16860a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
16986, 88, 90, 167, 168climinf 27599 . . 3  |-  (  T. 
->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )
170169trud 1329 . 2  |-  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )
171 breq2 4176 . . 3  |-  ( d  =  sup ( ran 
B ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( B 
~~>  d  <->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
172171rspcev 3012 . 2  |-  ( ( sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. d  e.  RR  B  ~~>  d )
17385, 170, 172mp2an 654 1  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337   !cfa 11521   sqrcsqr 11993    ~~> cli 12233   _eceu 12620   logclog 20405
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  27703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-cxp 20408
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