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Theorem stirlinglem13 27813
Description:  B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since  B is  log A, in another theorem it is proven that  A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Distinct variable group:    B, d
Allowed substitution hints:    A( n, d)    B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables  j  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
32elrnmpt 5119 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
) ) )
41, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `
 n ) ) )
5 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
76stirlinglem2 27802 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
87relogcld 20520 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR )
98adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
( log `  ( A `  n )
)  e.  RR )
105, 9eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  e.  RR )
1110rexlimiva 2827 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  RR )
124, 11sylbi 189 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  B  -> 
y  e.  RR )
1312ssriv 3354 . . 3  |-  ran  B  C_  RR
14 1nn 10013 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
156stirlinglem2 27802 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A `
 1 )  e.  RR+
17 relogcl 20475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
19 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
1
20 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n log
21 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
226, 21nfcxfr 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n A
2322, 19nffv 5737 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( A `  1
)
2420, 23nffv 5737 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
25 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
2625fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
2719, 24, 26, 2fvmptf 5823 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
2814, 18, 27mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
29 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( A `  j )  =  ( A ` 
1 ) )
3029fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  ( log `  ( A `  j ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
3130eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  j
) )  <->  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) ) )
3231rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )  ->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
3314, 28, 32mp2an 655 . . . . 5  |-  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) )
3428, 18eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
35 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( log `  ( A `  n )
)
36 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
j
3722, 36nffv 5737 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  j
)
3820, 37nffv 5737 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
39 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
4039fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
4135, 38, 40cbvmpt 4301 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
422, 41eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4342elrnmpt 5119 . . . . . 6  |-  ( ( B `  1 )  e.  RR  ->  (
( B `  1
)  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  j )
) ) )
4434, 43ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4533, 44mpbir 202 . . . 4  |-  ( B `
 1 )  e. 
ran  B
46 ne0i 3636 . . . 4  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  ->  ran  B  =/=  (/) )
4745, 46ax-mp 8 . . 3  |-  ran  B  =/=  (/)
48 4re 10075 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
49 0re 9093 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
50 4pos 10088 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
5149, 50gtneii 9187 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
5248, 51rereccli 9781 . . . . . 6  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
5334, 52resubcli 9365 . . . . 5  |-  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  e.  RR
54 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
556, 2, 54stirlinglem12 27812 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )
5655rgen 2773 . . . . 5  |-  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
57 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  <_  ( B `  j )  <->  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  <_ 
( B `  j
) ) )
5857ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  <->  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
) )
5958rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B ` 
1 )  -  (
1  /  4 ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
6053, 56, 59mp2an 655 . . . 4  |-  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
61 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
y  e.  ran  B
)
628rgen 2773 . . . . . . . . . 10  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  RR
632fnmpt 5573 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR  ->  B  Fn  NN )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  B  Fn  NN
65 fvelrnb 5776 . . . . . . . . 9  |-  ( B  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y ) )
6664, 65ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
6761, 66sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
68 nfra1 2758 . . . . . . . . 9  |-  F/ j A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
69 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  y  e.  ran  B
7068, 69nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )
71 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ j  x  <_  y
72 simp1l 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
)
73 simp2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  j  e.  NN )
74 rsp 2768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  ( j  e.  NN  ->  x  <_  ( B `  j ) ) )
7572, 73, 74sylc 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  ( B `  j
) )
76 simp3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  ( B `  j )  =  y )
7775, 76breqtrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  y )
78773exp 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( j  e.  NN  ->  ( ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
7970, 71, 78rexlimd 2829 . . . . . . 7  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) )
8067, 79mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  x  <_  y )
8180ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )
8281reximi 2815 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y )
8360, 82ax-mp 8 . . 3  |-  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y
84 infmrcl 9989 . . 3  |-  ( ( ran  B  C_  RR  /\ 
ran  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )  ->  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
8513, 47, 83, 84mp3an 1280 . 2  |-  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR
86 nnuz 10523 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
87 1z 10313 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
8887a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
892, 8fmpti 5894 . . . . 5  |-  B : NN
--> RR
9089a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  B : NN --> RR )
91 peano2nn 10014 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
926a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
93 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
9493fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
9593oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )
9695fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
9793oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( n  /  _e )  =  (
( j  +  1 )  /  _e ) )
9897, 93oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( n  /  _e ) ^
n )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )
9996, 98oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) )
10094, 99oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
10191nnnn0d 10276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
102 faccl 11578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
103 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
104101, 102, 1033syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
105 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
107 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
108 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
110107, 109addcld 9109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
111106, 110mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
112111sqrcld 12241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
113 ere 12693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR
114113recni 9104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
116 epos 12808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
11749, 116gtneii 9187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
119110, 115, 118divcld 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  CC )
120119, 101expcld 11525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
121112, 120mulcld 9110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
122 2rp 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
124 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
12549a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
126 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
128 0le1 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <_  1
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  1 )
130 nnge1 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
131125, 127, 124, 129, 130letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  j )
132124, 131ge0p1rpd 10676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR+ )
133123, 132rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
134133sqrgt0d 12217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
135134gt0ne0d 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
13691nnne0d 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
137110, 115, 136, 118divne0d 9808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  =/=  0 )
138 nnz 10305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
139138peano2zd 10380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
140119, 137, 139expne0d 11531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
141112, 120, 135, 140mulne0d 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
142104, 121, 141divcld 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
14392, 100, 91, 142fvmptd 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( j  +  1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
144 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
145101, 102, 1443syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
146133rpsqrcld 12216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
147 epr 12809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  RR+
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
149132, 148rpdivcld 10667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
150149, 139rpexpcld 11548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
151146, 150rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
152145, 151rpdivcld 10667 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
153143, 152eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
154153relogcld 20520 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
155 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( j  +  1 )
15622, 155nffv 5737 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
15720, 156nffv 5737 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
158 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
159158fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
160155, 157, 159, 2fvmptf 5823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
16191, 154, 160syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
162161, 154eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
16389ffvelrni 5871 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
164 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  z
) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  z ) ) ) )
1656, 2, 164stirlinglem11 27811 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <  ( B `  j ) )
166162, 163, 165ltled 9223 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
167166adantl 454 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
16860a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
16986, 88, 90, 167, 168climinf 27710 . . 3  |-  (  T. 
->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )
170169trud 1333 . 2  |-  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )
171 breq2 4218 . . 3  |-  ( d  =  sup ( ran 
B ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( B 
~~>  d  <->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
172171rspcev 3054 . 2  |-  ( ( sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. d  e.  RR  B  ~~>  d )
17385, 170, 172mp2an 655 1  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   ran crn 4881    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   4c4 10053   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   RR+crp 10614   ^cexp 11384   !cfa 11568   sqrcsqr 12040    ~~> cli 12280   _eceu 12667   logclog 20454
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  27814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-e 12673  df-sin 12674  df-cos 12675  df-tan 12676  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-ulm 20295  df-log 20456  df-cxp 20457
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