Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem13 Unicode version

Theorem stirlinglem13 27938
 Description: is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since is , in another theorem it is proven that converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1
stirlinglem13.2
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . . . . . 10
2 stirlinglem13.2 . . . . . . . . . . 11
32elrnmpt 4942 . . . . . . . . . 10
41, 3ax-mp 8 . . . . . . . . 9
54biimpi 186 . . . . . . . 8
6 nfv 1609 . . . . . . . . 9
7 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
8 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . . . . . 14
98stirlinglem2 27927 . . . . . . . . . . . . 13
109relogcld 19990 . . . . . . . . . . . 12
1110adantr 451 . . . . . . . . . . 11
127, 11eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10
1312ex 423 . . . . . . . . 9
146, 13rexlimi 2673 . . . . . . . 8
155, 14syl 15 . . . . . . 7
1615rgen 2621 . . . . . 6
17 dfss3 3183 . . . . . 6
1816, 17mpbir 200 . . . . 5
19 1nn 9773 . . . . . . . . 9
208stirlinglem2 27927 . . . . . . . . . . . . 13
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
22 relogcl 19948 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
2419, 23pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10
25 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
26 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
27 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . 14
288, 27nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . 13
2928, 25nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12
3026, 29nffv 5548 . . . . . . . . . . 11
31 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
3231fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11
3325, 30, 32, 2fvmptf 5632 . . . . . . . . . 10
3424, 33ax-mp 8 . . . . . . . . 9
3519, 34pm3.2i 441 . . . . . . . 8
36 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
3736fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
3837eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9
3938rspcev 2897 . . . . . . . 8
4035, 39ax-mp 8 . . . . . . 7
4124simpri 448 . . . . . . . . 9
4234, 41eqeltri 2366 . . . . . . . 8
43 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
44 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
4528, 44nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12
4626, 45nffv 5548 . . . . . . . . . . 11
47 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11
4943, 46, 48cbvmpt 4126 . . . . . . . . . 10
502, 49eqtri 2316 . . . . . . . . 9
5150elrnmpt 4942 . . . . . . . 8
5242, 51ax-mp 8 . . . . . . 7
5340, 52mpbir 200 . . . . . 6
54 ne0i 3474 . . . . . 6
5553, 54ax-mp 8 . . . . 5
56 4re 9835 . . . . . . . . . . 11
57 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12
58 4pos 9848 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58gtneii 8946 . . . . . . . . . . 11
6056, 59rereccli 9541 . . . . . . . . . 10
6142, 60resubcli 9125 . . . . . . . . 9
62 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
638, 2, 62stirlinglem12 27937 . . . . . . . . . 10
6463rgen 2621 . . . . . . . . 9
6561, 64pm3.2i 441 . . . . . . . 8
66 breq1 4042 . . . . . . . . . 10
6766ralbidv 2576 . . . . . . . . 9
6867rspcev 2897 . . . . . . . 8
6965, 68ax-mp 8 . . . . . . 7
7069idi 2 . . . . . 6
71 nfv 1609 . . . . . . . 8
72 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
7310rgen 2621 . . . . . . . . . . . . 13
742fnmpt 5386 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 74ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
76 fvelrnb 5586 . . . . . . . . . . . 12
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
7872, 77sylib 188 . . . . . . . . . 10
79 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12
80 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12
8179, 80nfan 1783 . . . . . . . . . . 11
82 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
83 simp1l 979 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . 15
8583, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
86 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14
8885, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
89 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 89breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . 12
91903exp 1150 . . . . . . . . . . 11
9281, 82, 91rexlimd 2677 . . . . . . . . . 10
9378, 92mpd 14 . . . . . . . . 9
9493ex 423 . . . . . . . 8
9571, 94ralrimi 2637 . . . . . . 7
9695reximi 2663 . . . . . 6
9770, 96ax-mp 8 . . . . 5
9818, 55, 973pm3.2i 1130 . . . 4
99 infmrcl 9749 . . . 4
10098, 99ax-mp 8 . . 3
101 nftru 1544 . . . . 5
102 nfcv 2432 . . . . . 6
1032, 102nfcxfr 2429 . . . . 5
104 nnuz 10279 . . . . 5
105 1z 10069 . . . . . 6
106105a1i 10 . . . . 5
1072fmpt 5697 . . . . . . 7
10873, 107mpbi 199 . . . . . 6
109108a1i 10 . . . . 5
110 peano2nn 9774 . . . . . . . . . 10
1118a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
112 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14
114112oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15
116112oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116, 112oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15
118115, 117oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14
119113, 118oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13
120110nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15
121 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15
122 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15
123120, 121, 1223syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
124 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125124a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128127a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129126, 128addcld 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130125, 129mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131130sqrcld 11935 . . . . . . . . . . . . . . 15
132 ere 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133132recni 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134133a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135 epos 12501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13657, 132ltnei 8959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137135, 136ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138137a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139129, 134, 138divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140139, 120expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15
141131, 140mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14
14257a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144143a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
147146a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148 0le1 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
149148a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
150 nnge1 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151142, 147, 145, 149, 150letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152145, 151ge0p1rpd 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153144, 152rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153sqrgt0d 11911 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155142, 154gtned 8970 . . . . . . . . . . . . . . 15
156110nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
157129, 134, 156, 138divne0d 9568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
159158peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . . . . . 16
160139, 157, 159expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15
161131, 140, 155, 160mulne0d 9436 . . . . . . . . . . . . . 14
162123, 141, 161divcld 9552 . . . . . . . . . . . . 13
163111, 119, 110, 162fvmptd 5622 . . . . . . . . . . . 12
164 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . 14
165120, 121, 1643syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
166153rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . . . . 14
167 epr 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
168167a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
169152, 168rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . 15
170169, 159rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . . 14
171166, 170rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . 13
172165, 171rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . 12
173163, 172eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11
174173relogcld 19990 . . . . . . . . . 10
175110, 174jca 518 . . . . . . . . 9
176 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10
17728, 176nffv 5548 . . . . . . . . . . 11
17826, 177nffv 5548 . . . . . . . . . 10
179 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
180179fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
181176, 178, 180, 2fvmptf 5632 . . . . . . . . 9
182175, 181syl 15 . . . . . . . 8
183182, 174eqeltrd 2370 . . . . . . 7
184108ffvelrni 5680 . . . . . . 7
185 eqid 2296 . . . . . . . 8
1868, 2, 185stirlinglem11 27936 . . . . . . 7
187183, 184, 186ltled 8983 . . . . . 6
188187adantl 452 . . . . 5
18969a1i 10 . . . . 5
190101, 103, 104, 106, 109, 188, 189climinff 27840 . . . 4
191190trud 1314 . . 3
192100, 191pm3.2i 441 . 2
193 breq2 4043 . . 3
194193rspcev 2897 . 2
195192, 194ax-mp 8 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 176   wa 358   w3a 934   wtru 1307   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   crn 4706   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  c4 9813  cn0 9981  cz 10040  crp 10370  cexp 11120  cfa 11304  csqr 11734   cli 11974  ceu 12360  clog 19928 This theorem is referenced by:  stirlinglem14  27939 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ulm 19772  df-log 19930  df-cxp 19931
 Copyright terms: Public domain W3C validator