Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem13 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem13 27813
 Description: is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since is , in another theorem it is proven that converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1
stirlinglem13.2
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . . . 6
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7
32elrnmpt 5119 . . . . . 6
41, 3ax-mp 8 . . . . 5
5 simpr 449 . . . . . . 7
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10
76stirlinglem2 27802 . . . . . . . . 9
87relogcld 20520 . . . . . . . 8
98adantr 453 . . . . . . 7
105, 9eqeltrd 2512 . . . . . 6
1110rexlimiva 2827 . . . . 5
124, 11sylbi 189 . . . 4
1312ssriv 3354 . . 3
14 1nn 10013 . . . . . 6
156stirlinglem2 27802 . . . . . . . . 9
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8
17 relogcl 20475 . . . . . . . 8
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . 7
19 nfcv 2574 . . . . . . . 8
20 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
21 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . . 11
226, 21nfcxfr 2571 . . . . . . . . . 10
2322, 19nffv 5737 . . . . . . . . 9
2420, 23nffv 5737 . . . . . . . 8
25 fveq2 5730 . . . . . . . . 9
2625fveq2d 5734 . . . . . . . 8
2719, 24, 26, 2fvmptf 5823 . . . . . . 7
2814, 18, 27mp2an 655 . . . . . 6
29 fveq2 5730 . . . . . . . . 9
3029fveq2d 5734 . . . . . . . 8
3130eqeq2d 2449 . . . . . . 7
3231rspcev 3054 . . . . . 6
3314, 28, 32mp2an 655 . . . . 5
3428, 18eqeltri 2508 . . . . . 6
35 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
36 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11
3722, 36nffv 5737 . . . . . . . . . 10
3820, 37nffv 5737 . . . . . . . . 9
39 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
4039fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
4135, 38, 40cbvmpt 4301 . . . . . . . 8
422, 41eqtri 2458 . . . . . . 7
4342elrnmpt 5119 . . . . . 6
4434, 43ax-mp 8 . . . . 5
4533, 44mpbir 202 . . . 4
46 ne0i 3636 . . . 4
4745, 46ax-mp 8 . . 3
48 4re 10075 . . . . . . 7
49 0re 9093 . . . . . . . 8
50 4pos 10088 . . . . . . . 8
5149, 50gtneii 9187 . . . . . . 7
5248, 51rereccli 9781 . . . . . 6
5334, 52resubcli 9365 . . . . 5
54 eqid 2438 . . . . . . 7
556, 2, 54stirlinglem12 27812 . . . . . 6
5655rgen 2773 . . . . 5
57 breq1 4217 . . . . . . 7
5857ralbidv 2727 . . . . . 6
5958rspcev 3054 . . . . 5
6053, 56, 59mp2an 655 . . . 4
61 simpr 449 . . . . . . . 8
628rgen 2773 . . . . . . . . . 10
632fnmpt 5573 . . . . . . . . . 10
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . 9
65 fvelrnb 5776 . . . . . . . . 9
6664, 65ax-mp 8 . . . . . . . 8
6761, 66sylib 190 . . . . . . 7
68 nfra1 2758 . . . . . . . . 9
69 nfv 1630 . . . . . . . . 9
7068, 69nfan 1847 . . . . . . . 8
71 nfv 1630 . . . . . . . 8
72 simp1l 982 . . . . . . . . . . 11
73 simp2 959 . . . . . . . . . . 11
74 rsp 2768 . . . . . . . . . . 11
7572, 73, 74sylc 59 . . . . . . . . . 10
76 simp3 960 . . . . . . . . . 10
7775, 76breqtrd 4238 . . . . . . . . 9
78773exp 1153 . . . . . . . 8
7970, 71, 78rexlimd 2829 . . . . . . 7
8067, 79mpd 15 . . . . . 6
8180ralrimiva 2791 . . . . 5
8281reximi 2815 . . . 4
8360, 82ax-mp 8 . . 3
84 infmrcl 9989 . . 3
8513, 47, 83, 84mp3an 1280 . 2
86 nnuz 10523 . . . 4
87 1z 10313 . . . . 5
8887a1i 11 . . . 4
892, 8fmpti 5894 . . . . 5
9089a1i 11 . . . 4
91 peano2nn 10014 . . . . . . . 8
926a1i 11 . . . . . . . . . . 11
93 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
9493fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12
9593oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14
9695fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13
9793oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14
9897, 93oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13
9996, 98oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12
10094, 99oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11
10191nnnn0d 10276 . . . . . . . . . . . . 13
102 faccl 11578 . . . . . . . . . . . . 13
103 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . 13
104101, 102, 1033syl 19 . . . . . . . . . . . 12
105 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110107, 109addcld 9109 . . . . . . . . . . . . . . 15
111106, 110mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14
112111sqrcld 12241 . . . . . . . . . . . . 13
113 ere 12693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113recni 9104 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
116 epos 12808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11749, 116gtneii 9187 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
119110, 115, 118divcld 9792 . . . . . . . . . . . . . 14
120119, 101expcld 11525 . . . . . . . . . . . . 13
121112, 120mulcld 9110 . . . . . . . . . . . 12
122 2rp 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12549a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128 0le1 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130 nnge1 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131125, 127, 124, 129, 130letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132124, 131ge0p1rpd 10676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133123, 132rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133sqrgt0d 12217 . . . . . . . . . . . . . 14
135134gt0ne0d 9593 . . . . . . . . . . . . 13
13691nnne0d 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15
137110, 115, 136, 118divne0d 9808 . . . . . . . . . . . . . 14
138 nnz 10305 . . . . . . . . . . . . . . 15
139138peano2zd 10380 . . . . . . . . . . . . . 14
140119, 137, 139expne0d 11531 . . . . . . . . . . . . 13
141112, 120, 135, 140mulne0d 9676 . . . . . . . . . . . 12
142104, 121, 141divcld 9792 . . . . . . . . . . 11
14392, 100, 91, 142fvmptd 5812 . . . . . . . . . 10
144 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . 12
145101, 102, 1443syl 19 . . . . . . . . . . 11
146133rpsqrcld 12216 . . . . . . . . . . . 12
147 epr 12809 . . . . . . . . . . . . . . 15
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
149132, 148rpdivcld 10667 . . . . . . . . . . . . 13
150149, 139rpexpcld 11548 . . . . . . . . . . . 12
151146, 150rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . 11
152145, 151rpdivcld 10667 . . . . . . . . . 10
153143, 152eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9
154153relogcld 20520 . . . . . . . 8
155 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
15622, 155nffv 5737 . . . . . . . . . 10
15720, 156nffv 5737 . . . . . . . . 9
158 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
159158fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
160155, 157, 159, 2fvmptf 5823 . . . . . . . 8
16191, 154, 160syl2anc 644 . . . . . . 7
162161, 154eqeltrd 2512 . . . . . 6
16389ffvelrni 5871 . . . . . 6
164 eqid 2438 . . . . . . 7
1656, 2, 164stirlinglem11 27811 . . . . . 6
166162, 163, 165ltled 9223 . . . . 5
167166adantl 454 . . . 4
16860a1i 11 . . . 4
16986, 88, 90, 167, 168climinf 27710 . . 3
170169trud 1333 . 2
171 breq2 4218 . . 3
172171rspcev 3054 . 2
17385, 170, 172mp2an 655 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   w3a 937   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  c0 3630   class class class wbr 4214   cmpt 4268  ccnv 4879   crn 4881   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  csup 7447  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   clt 9122   cle 9123   cmin 9293   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  c4 10053  cn0 10223  cz 10284  crp 10614  cexp 11384  cfa 11568  csqr 12040   cli 12280  ceu 12667  clog 20454 This theorem is referenced by:  stirlinglem14  27814 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-e 12673  df-sin 12674  df-cos 12675  df-tan 12676  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-ulm 20295  df-log 20456  df-cxp 20457
 Copyright terms: Public domain W3C validator