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Theorem stirlinglem13 27938
Description:  B is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since  B is  log A, in another theorem it is proven that  A converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem13.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Distinct variable group:    B, d
Allowed substitution hints:    A( n, d)    B( n)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables  j  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
32elrnmpt 4942 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
) ) )
41, 3ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `
 n ) ) )
54biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ran  B  ->  E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )
6 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  y  e.  RR
7 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )
8 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
98stirlinglem2 27927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
109relogcld 19990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
( log `  ( A `  n )
)  e.  RR )
127, 11eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  y  =  ( log `  ( A `  n
) ) )  -> 
y  e.  RR )
1312ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
y  =  ( log `  ( A `  n
) )  ->  y  e.  RR ) )
146, 13rexlimi 2673 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  y  =  ( log `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  RR )
155, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  B  -> 
y  e.  RR )
1615rgen 2621 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ran  B  y  e.  RR
17 dfss3 3183 . . . . . 6  |-  ( ran 
B  C_  RR  <->  A. y  e.  ran  B  y  e.  RR )
1816, 17mpbir 200 . . . . 5  |-  ran  B  C_  RR
19 1nn 9773 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
208stirlinglem2 27927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A `  1 )  e.  RR+ )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A `
 1 )  e.  RR+
22 relogcl 19948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
2419, 23pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A ` 
1 ) )  e.  RR )
25 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
1
26 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n log
27 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
288, 27nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n A
2928, 25nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  1
)
3026, 29nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  1 )
)
31 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( A `  n )  =  ( A ` 
1 ) )
3231fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
3325, 30, 32, 2fvmptf 5632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 1 ) )  e.  RR )  -> 
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  1
) ) )
3424, 33ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( B `
 1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
)
3519, 34pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  /\  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
36 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  1  ->  ( A `  j )  =  ( A ` 
1 ) )
3736fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  ( log `  ( A `  j ) )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )
3837eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  (
( B `  1
)  =  ( log `  ( A `  j
) )  <->  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) ) )
3938rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  1 )
) )  ->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
4035, 39ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) )
4124simpri 448 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  ( A `  1
) )  e.  RR
4234, 41eqeltri 2366 . . . . . . . 8  |-  ( B `
 1 )  e.  RR
43 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( log `  ( A `  n )
)
44 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
j
4528, 44nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( A `  j
)
4626, 45nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( log `  ( A `  j )
)
47 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  j )
) )
4943, 46, 48cbvmpt 4126 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
502, 49eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( j  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 j ) ) )
5150elrnmpt 4942 . . . . . . . 8  |-  ( ( B `  1 )  e.  RR  ->  (
( B `  1
)  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  1 )  =  ( log `  ( A `  j )
) ) )
5242, 51ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B ` 
1 )  =  ( log `  ( A `
 j ) ) )
5340, 52mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( B `
 1 )  e. 
ran  B
54 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( ( B `  1 )  e.  ran  B  ->  ran  B  =/=  (/) )
5553, 54ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  B  =/=  (/)
56 4re 9835 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
57 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
58 4pos 9848 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  4
5957, 58gtneii 8946 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =/=  0
6056, 59rereccli 9541 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  4 )  e.  RR
6142, 60resubcli 9125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  e.  RR
62 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
638, 2, 62stirlinglem12 27937 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )
6463rgen 2621 . . . . . . . . 9  |-  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
6561, 64pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )
66 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  (
x  <_  ( B `  j )  <->  ( ( B `  1 )  -  ( 1  / 
4 ) )  <_ 
( B `  j
) ) )
6766ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  ->  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  <->  A. j  e.  NN  ( ( B `
 1 )  -  ( 1  /  4
) )  <_  ( B `  j )
) )
6867rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B ` 
1 )  -  (
1  /  4 ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  (
( B `  1
)  -  ( 1  /  4 ) )  <_  ( B `  j ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
6965, 68ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
7069idi 2 . . . . . 6  |-  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
71 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
72 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
y  e.  ran  B
)
7310rgen 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  RR
742fnmpt 5386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR  ->  B  Fn  NN )
7573, 74ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  Fn  NN
76 fvelrnb 5586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  Fn  NN  ->  (
y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y ) )
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ran  B  <->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
7872, 77sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y )
79 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
80 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  y  e.  ran  B
8179, 80nfan 1783 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )
82 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  x  <_  y
83 simp1l 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )
)
84 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  j  e.  NN )
8583, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  j  e.  NN ) )
86 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  ( j  e.  NN  ->  x  <_  ( B `  j ) ) )
8786imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  j  e.  NN )  ->  x  <_  ( B `  j
) )
8885, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  ( B `  j
) )
89 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  ( B `  j )  =  y )
9088, 89breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  /\  j  e.  NN  /\  ( B `
 j )  =  y )  ->  x  <_  y )
91903exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( j  e.  NN  ->  ( ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
9281, 82, 91rexlimd 2677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  -> 
( E. j  e.  NN  ( B `  j )  =  y  ->  x  <_  y
) )
9378, 92mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j )  /\  y  e.  ran  B )  ->  x  <_  y )
9493ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  ( y  e.  ran  B  ->  x  <_  y ) )
9571, 94ralrimi 2637 . . . . . . 7  |-  ( A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )
9695reximi 2663 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y )
9770, 96ax-mp 8 . . . . 5  |-  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y
9818, 55, 973pm3.2i 1130 . . . 4  |-  ( ran 
B  C_  RR  /\  ran  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  B  x  <_  y )
99 infmrcl 9749 . . . 4  |-  ( ( ran  B  C_  RR  /\ 
ran  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  B  x  <_ 
y )  ->  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
10098, 99ax-mp 8 . . 3  |-  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR
101 nftru 1544 . . . . 5  |-  F/ j  T.
102 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ j
( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
1032, 102nfcxfr 2429 . . . . 5  |-  F/_ j B
104 nnuz 10279 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
105 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
106105a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
1072fmpt 5697 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  RR  <->  B : NN --> RR )
10873, 107mpbi 199 . . . . . 6  |-  B : NN
--> RR
109108a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  B : NN --> RR )
110 peano2nn 9774 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
1118a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
112 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  n  =  ( j  +  1 ) )
113112fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( j  +  1 ) ) )
114112oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )
115114fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
116112oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( n  /  _e )  =  (
( j  +  1 )  /  _e ) )
117116, 112oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( n  /  _e ) ^
n )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )
118115, 117oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) )
119113, 118oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  ( j  +  1 ) )  ->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
j  +  1 ) ) )  x.  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
120110nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN0 )
121 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( j  +  1 ) )  e.  NN )
122 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
123120, 121, 1223syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
124 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
125124a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
126 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
127 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
128127a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
129126, 128addcld 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
130125, 129mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
131130sqrcld 11935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
132 ere 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _e  e.  RR
133132recni 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _e  e.  CC
134133a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
135 epos 12501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  _e
13657, 132ltnei 8959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  <  _e  ->  _e  =/=  0 )
137135, 136ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _e  =/=  0
138137a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
139129, 134, 138divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  CC )
140139, 120expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
141131, 140mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
14257a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
143 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
144143a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
145 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
146 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
147146a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
148 0le1 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  1
149148a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  1 )
150 nnge1 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
151142, 147, 145, 149, 150letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  j )
152145, 151ge0p1rpd 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  RR+ )
153144, 152rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
154153sqrgt0d 11911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) ) )
155142, 154gtned 8970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
156110nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
157129, 134, 156, 138divne0d 9568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  =/=  0 )
158 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
159158peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
160139, 157, 159expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
161131, 140, 155, 160mulne0d 9436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  =/=  0 )
162123, 141, 161divcld 9552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
163111, 119, 110, 162fvmptd 5622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( j  +  1 ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
164 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
165120, 121, 1643syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ! `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
166153rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
167 epr 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR+
168167a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
169152, 168rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  /  _e )  e.  RR+ )
170169, 159rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
171166, 170rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
172165, 171rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ! `  (
j  +  1 ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( j  +  1 )  /  _e ) ^
( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
173163, 172eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  e.  RR+ )
174173relogcld 19990 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
175110, 174jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
176 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( j  +  1 )
17728, 176nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( A `  (
j  +  1 ) )
17826, 177nffv 5548 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
179 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
180179fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
181176, 178, 180, 2fvmptf 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  (
j  +  1 ) ) ) )
182175, 181syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  =  ( log `  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
183182, 174eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
184108ffvelrni 5680 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  j )  e.  RR )
185 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  z
) ) ) )  =  ( z  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  z )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  z ) ) ) )
1868, 2, 185stirlinglem11 27936 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <  ( B `  j ) )
187183, 184, 186ltled 8983 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
188187adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  ( B `  j ) )
18969a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  x  <_  ( B `  j
) )
190101, 103, 104, 106, 109, 188, 189climinff 27840 . . . 4  |-  (  T. 
->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )
191190trud 1314 . . 3  |-  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )
192100, 191pm3.2i 441 . 2  |-  ( sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )
193 breq2 4043 . . 3  |-  ( d  =  sup ( ran 
B ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( B 
~~>  d  <->  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) ) )
194193rspcev 2897 . 2  |-  ( ( sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  B  ~~>  sup ( ran  B ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. d  e.  RR  B  ~~>  d )
195192, 194ax-mp 8 1  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   4c4 9813   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ^cexp 11120   !cfa 11304   sqrcsqr 11734    ~~> cli 11974   _eceu 12360   logclog 19928
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  27939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ulm 19772  df-log 19930  df-cxp 19931
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