Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem14 Unicode version

Theorem stirlinglem14 27159
 Description: The sequence converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1
stirlinglem14.2
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3
2 stirlinglem14.2 . . 3
31, 2stirlinglem13 27158 . 2
4 nfv 1619 . . 3
5 simpl 443 . . . . . . 7
65rpefcld 12482 . . . . . 6
7 nnuz 10355 . . . . . . . 8
8 1z 10145 . . . . . . . . 9
98a1i 10 . . . . . . . 8
10 efcn 19926 . . . . . . . . 9
1110a1i 10 . . . . . . . 8
12 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 nnnn0 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14 faccl 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15 nncn 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 2cn 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19 nncn 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2018, 19mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2120sqrcld 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 epr 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
23 rpcn 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26 epos 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
27 0re 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
28 ere 12467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2927, 28ltnei 9033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3026, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3219, 25, 31divcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3332, 13expcld 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3421, 33mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3527a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36 2rp 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3736a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38 nnrp 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3937, 38rpmulcld 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039sqrgt0d 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4135, 40ltned 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241necomd 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 nnne0 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4419, 25, 43, 31divne0d 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 nnz 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4632, 44, 45expne0d 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4721, 33, 42, 46mulne0d 9510 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4816, 34, 47divcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15
4912, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
501fvmpt2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
5251, 48eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . 12
53 nnne0 9868 . . . . . . . . . . . . . . 15
5413, 14, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
5516, 34, 54, 47divne0d 9642 . . . . . . . . . . . . 13
5651, 55eqnetrd 2539 . . . . . . . . . . . 12
5752, 56logcld 20035 . . . . . . . . . . 11
5857rgen 2684 . . . . . . . . . 10
592fmpt 5764 . . . . . . . . . 10
6058, 59mpbi 199 . . . . . . . . 9
6160a1i 10 . . . . . . . 8
62 simpr 447 . . . . . . . 8
635recnd 8951 . . . . . . . 8
647, 9, 11, 61, 62, 63climcncf 18507 . . . . . . 7
6510elexi 2873 . . . . . . . . . . 11
66 nnex 9842 . . . . . . . . . . . . 13
6766mptex 5832 . . . . . . . . . . . 12
682, 67eqeltri 2428 . . . . . . . . . . 11
6965, 68coex 5298 . . . . . . . . . 10
7069a1i 10 . . . . . . . . 9
7166mptex 5832 . . . . . . . . . . 11
721, 71eqeltri 2428 . . . . . . . . . 10
7372a1i 10 . . . . . . . . 9
748a1i 10 . . . . . . . . 9
752funmpt2 5373 . . . . . . . . . . . . . 14
7675a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
77 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14
782dmmpt 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 nnrp 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8013, 14, 793syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8139rpsqrcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8222a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8338, 82rpdivcld 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8483, 45rpexpcld 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8581, 84rpmulcld 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8680, 85rpdivcld 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8751, 86eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
88 relogcl 20040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
89 elex 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9087, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9190rgen 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
92 rabid2 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9391, 92mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9493eqcomi 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9578, 94eqtri 2378 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9695eqcomi 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
9877, 97eleqtrd 2434 . . . . . . . . . . . . 13
9976, 98jca 518 . . . . . . . . . . . 12
100 fvco 5678 . . . . . . . . . . . 12
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . 11
1021a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
103 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104103fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105103oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106105fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107103oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
108107, 103oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109106, 108oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110104, 109oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111 nnnn0 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112 faccl 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113 nncn 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114111, 112, 1133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11517a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116 nncn 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
117115, 116mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
118117sqrcld 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11924a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12030a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
121116, 119, 120divcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
122121, 111expcld 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123118, 122mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12427a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12536a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
126 nnrp 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
127125, 126rpmulcld 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
128127sqrgt0d 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
129124, 128ltned 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
130129necomd 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
131 nnne0 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
132116, 119, 131, 120divne0d 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133 nnz 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
134121, 132, 133expne0d 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135118, 122, 130, 134mulne0d 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136114, 123, 135divcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137102, 110, 77, 136fvmptd 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138137, 136eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139 nnne0 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140111, 112, 1393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141114, 123, 140, 135divne0d 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142137, 141eqnetrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143138, 142logcld 20035 . . . . . . . . . . . . . . 15
14477, 143jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
145 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15
146 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16
147 nfmpt1 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1481, 147nfcxfr 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149148, 145nffv 5615 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150146, 149nffv 5615 . . . . . . . . . . . . . . 15
151 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152151fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . 15
153145, 150, 152, 2fvmptf 5699 . . . . . . . . . . . . . 14
154144, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
155154fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . 12
156138, 142jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
157 eflog 20041 . . . . . . . . . . . . 13
158156, 157syl 15 . . . . . . . . . . . 12
159 eqidd 2359 . . . . . . . . . . . 12
160155, 158, 1593eqtrd 2394 . . . . . . . . . . 11
161101, 160eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10
162161adantl 452 . . . . . . . . 9
1637, 70, 73, 74, 162climeq 12137 . . . . . . . 8
164163trud 1323 . . . . . . 7
16564, 164sylib 188 . . . . . 6
1666, 165jca 518 . . . . 5
167 breq2 4108 . . . . . 6
168167rspcev 2960 . . . . 5
169166, 168syl 15 . . . 4
170169ex 423 . . 3
1714, 170rexlimi 2736 . 2
1723, 171ax-mp 8 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 176   wa 358   wtru 1316   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  wral 2619  wrex 2620  crab 2623  cvv 2864   class class class wbr 4104   cmpt 4158   cdm 4771   ccom 4775   wfun 5331  wf 5333  cfv 5337  (class class class)co 5945  cc 8825  cr 8826  cc0 8827  c1 8828   cmul 8832   clt 8957   cdiv 9513  cn 9836  c2 9885  cn0 10057  cz 10116  crp 10446  cexp 11197  cfa 11381  csqr 11814   cli 12054  ce 12440  ceu 12441  ccncf 18483  clog 20019 This theorem is referenced by:  stirling  27161 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-ef 12446  df-e 12447  df-sin 12448  df-cos 12449  df-tan 12450  df-pi 12451  df-dvds 12629  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-cmp 17220  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-ulm 19860  df-log 20021  df-cxp 20022
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