Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem14 Unicode version

Theorem stirlinglem14 27836
Description: The sequence  A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Distinct variable group:    A, c
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables  d 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
2 stirlinglem14.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
31, 2stirlinglem13 27835 . 2  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
4 nfv 1605 . . 3  |-  F/ d E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
5 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  RR )
65rpefcld 12385 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp `  d )  e.  RR+ )
7 nnuz 10263 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
98a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  1  e.  ZZ )
10 efcn 19819 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
1110a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  exp  e.  ( CC -cn-> CC ) )
12 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
13 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
14 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
15 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
17 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
19 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
2018, 19mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
2120sqrcld 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
22 epr 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  _e  e.  RR+
23 rpcn 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( _e  e.  RR+  ->  _e  e.  CC )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _e  e.  CC
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
26 epos 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  _e
27 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  RR
28 ere 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _e  e.  RR
2927, 28ltnei 8943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  <  _e  ->  _e  =/=  0 )
3026, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _e  =/=  0
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
3219, 25, 31divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
3332, 13expcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
3421, 33mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
3527a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
36 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR+
3736a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
38 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3937, 38rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
4039sqrgt0d 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
4135, 40ltned 8955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  0  =/=  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
4241necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
43 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4419, 25, 43, 31divne0d 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
45 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4632, 44, 45expne0d 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
4721, 33, 42, 46mulne0d 9420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
4816, 34, 47divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
4912, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC ) )
501fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
5251, 48eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
53 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
5413, 14, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
5516, 34, 54, 47divne0d 9552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =/=  0 )
5651, 55eqnetrd 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =/=  0 )
5752, 56logcld 19928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  CC )
5857rgen 2608 . . . . . . . . . 10  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  CC
592fmpt 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  CC  <->  B : NN --> CC )
6058, 59mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  B : NN
--> CC
6160a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B : NN --> CC )
62 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B  ~~>  d )
635recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  CC )
647, 9, 11, 61, 62, 63climcncf 18404 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d ) )
6510elexi 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  exp  e.  _V
66 nnex 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
6766mptex 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  e. 
_V
682, 67eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
6965, 68coex 5216 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp 
o.  B )  e. 
_V
7069a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( exp  o.  B
)  e.  _V )
7166mptex 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  e.  _V
721, 71eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
7372a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  A  e.  _V )
748a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
752funmpt2 5291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Fun  B
7675a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  Fun  B )
77 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
782dmmpt 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  B  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
79 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
8013, 14, 793syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
8139rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
8222a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
8338, 82rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
8483, 45rpexpcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
8581, 84rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
8680, 85rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
8751, 86eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
88 relogcl 19932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  n
) )  e.  RR )
89 elex 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( log `  ( A `
 n ) )  e.  RR  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
9087, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
9190rgen 2608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V
92 rabid2 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n
) )  e.  _V } 
<-> 
A. n  e.  NN  ( log `  ( A `
 n ) )  e.  _V )
9391, 92mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
9493eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n
) )  e.  _V }  =  NN
9578, 94eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  B  =  NN
9695eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  dom  B
9796a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  NN  =  dom  B )
9877, 97eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  dom  B )
9976, 98jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( Fun  B  /\  k  e. 
dom  B ) )
100 fvco 5595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  B  /\  k  e.  dom  B )  -> 
( ( exp  o.  B ) `  k
)  =  ( exp `  ( B `  k
) ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( exp `  ( B `  k )
) )
1021a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
103 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
104103fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
105103oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
106105fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
107103oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
108107, 103oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
109106, 108oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
110104, 109oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
111 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
112 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
113 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
114111, 112, 1133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
11517a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
116 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
117115, 116mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
118117sqrcld 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
11924a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
12030a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
121116, 119, 120divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
122121, 111expcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
123118, 122mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
12427a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  0  e.  RR )
12536a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
126 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
127125, 126rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
128127sqrgt0d 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
129124, 128ltned 8955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  0  =/=  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
130129necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
131 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
132116, 119, 131, 120divne0d 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
133 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
134121, 132, 133expne0d 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
135118, 122, 130, 134mulne0d 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
136114, 123, 135divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
137102, 110, 77, 136fvmptd 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
138137, 136eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
139 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
140111, 112, 1393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
141114, 123, 140, 135divne0d 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  =/=  0 )
142137, 141eqnetrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
143138, 142logcld 19928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  CC )
14477, 143jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  CC ) )
145 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
k
146 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n log
147 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
1481, 147nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n A
149148, 145nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( A `  k
)
150146, 149nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
151 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
152151fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
153145, 150, 152, 2fvmptf 5616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
154144, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
155154fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( B `  k ) )  =  ( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) ) )
156138, 142jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( A `  k
)  e.  CC  /\  ( A `  k )  =/=  0 ) )
157 eflog 19933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  CC  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) )  =  ( A `  k ) )
158156, 157syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  ( A `  k )
) )  =  ( A `  k ) )
159 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( A `  k ) )
160155, 158, 1593eqtrd 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( B `  k ) )  =  ( A `  k
) )
161101, 160eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
162161adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
1637, 70, 73, 74, 162climeq 12041 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d )  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) ) )
164163trud 1314 . . . . . . 7  |-  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d
)  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
16564, 164sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
1666, 165jca 518 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  (
( exp `  d
)  e.  RR+  /\  A  ~~>  ( exp `  d ) ) )
167 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( exp `  d
)  ->  ( A  ~~>  c 
<->  A  ~~>  ( exp `  d
) ) )
168167rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( exp `  d
)  e.  RR+  /\  A  ~~>  ( exp `  d ) )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
169166, 168syl 15 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
170169ex 423 . . 3  |-  ( d  e.  RR  ->  ( B 
~~>  d  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c ) )
1714, 170rexlimi 2660 . 2  |-  ( E. d  e.  RR  B  ~~>  d  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1723, 171ax-mp 8 1  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    o. ccom 4693   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ^cexp 11104   !cfa 11288   sqrcsqr 11718    ~~> cli 11958   expce 12343   _eceu 12344   -cn->ccncf 18380   logclog 19912
This theorem is referenced by:  stirling  27838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ulm 19756  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator