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Theorem stirlinglem14 27826
Description: The sequence  A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Distinct variable group:    A, c
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables  d 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
2 stirlinglem14.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
31, 2stirlinglem13 27825 . 2  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
4 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  RR )
54rpefcld 12711 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp `  d )  e.  RR+ )
6 nnuz 10526 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10316 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  1  e.  ZZ )
9 efcn 20364 . . . . . . 7  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  exp  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
12 faccl 11581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
13 nncn 10013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
1411, 12, 133syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
15 2cn 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
17 nncn 10013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
1816, 17mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1918sqrcld 12244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
20 epr 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR+
21 rpcn 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _e  e.  RR+  ->  _e  e.  CC )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
24 0re 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
25 epos 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
2624, 25gtneii 9190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
2817, 23, 27divcld 9795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
2928, 11expcld 11528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
3019, 29mulcld 9113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
31 2rp 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
33 nnrp 10626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3432, 33rpmulcld 10669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
3534sqrgt0d 12220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
3635gt0ne0d 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
37 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3817, 23, 37, 27divne0d 9811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
39 nnz 10308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4028, 38, 39expne0d 11534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
4119, 29, 36, 40mulne0d 9679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
4214, 30, 41divcld 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
431fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
4442, 43mpdan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4544, 42eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
46 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4711, 12, 463syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4814, 30, 47, 41divne0d 9811 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =/=  0 )
4944, 48eqnetrd 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =/=  0 )
5045, 49logcld 20473 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  CC )
512, 50fmpti 5895 . . . . . . 7  |-  B : NN
--> CC
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B : NN --> CC )
53 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B  ~~>  d )
544recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  CC )
556, 8, 10, 52, 53, 54climcncf 18935 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d ) )
569elexi 2967 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  _V
57 nnex 10011 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
5857mptex 5969 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  e. 
_V
592, 58eqeltri 2508 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
6056, 59coex 5416 . . . . . . . 8  |-  ( exp 
o.  B )  e. 
_V
6160a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( exp  o.  B
)  e.  _V )
6257mptex 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  e.  _V
631, 62eqeltri 2508 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
6463a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  A  e.  _V )
657a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
662funmpt2 5493 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  B
67 id 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
68 rabid2 2887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n
) )  e.  _V } 
<-> 
A. n  e.  NN  ( log `  ( A `
 n ) )  e.  _V )
69 nnrp 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
7011, 12, 693syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
7134rpsqrcld 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
7333, 72rpdivcld 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
7473, 39rpexpcld 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
7571, 74rpmulcld 10669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
7670, 75rpdivcld 10670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
7744, 76eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
78 relogcl 20478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A `  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  n
) )  e.  RR )
79 elex 2966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log `  ( A `
 n ) )  e.  RR  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
8077, 78, 793syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
8168, 80mprgbir 2778 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
822dmmpt 5368 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  B  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
8381, 82eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  dom  B
8467, 83syl6eleq 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  dom  B )
85 fvco 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  B  /\  k  e.  dom  B )  -> 
( ( exp  o.  B ) `  k
)  =  ( exp `  ( B `  k
) ) )
8666, 84, 85sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( exp `  ( B `  k )
) )
871a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
88 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
8988fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
9088oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
9190fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
9288oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
9392, 88oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
9491, 93oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
9589, 94oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
96 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
97 faccl 11581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
98 nncn 10013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9996, 97, 983syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
10015a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
101 nncn 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
102100, 101mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
103102sqrcld 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
10422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
10526a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
106101, 104, 105divcld 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
107106, 96expcld 11528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
108103, 107mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
10931a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
110 nnrp 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
111109, 110rpmulcld 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
112111sqrgt0d 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
113112gt0ne0d 9596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
114 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
115101, 104, 114, 105divne0d 9811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
116 nnz 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
117106, 115, 116expne0d 11534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
118103, 107, 113, 117mulne0d 9679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
11999, 108, 118divcld 9795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
12087, 95, 67, 119fvmptd 5813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
121120, 119eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
122 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12396, 97, 1223syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12499, 108, 123, 118divne0d 9811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  =/=  0 )
125120, 124eqnetrd 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
126121, 125logcld 20473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  CC )
127 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
k
128 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n log
129 nfmpt1 4301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
1301, 129nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n A
131130, 127nffv 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( A `  k
)
132128, 131nffv 5738 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
133 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
134133fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
135127, 132, 134, 2fvmptf 5824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
136126, 135mpdan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
137136fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( B `  k ) )  =  ( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) ) )
138 eflog 20479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  CC  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) )  =  ( A `  k ) )
139121, 125, 138syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  ( A `  k )
) )  =  ( A `  k ) )
14086, 137, 1393eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
141140adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
1426, 61, 64, 65, 141climeq 12366 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d )  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) ) )
143142trud 1333 . . . . 5  |-  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d
)  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
14455, 143sylib 190 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
145 breq2 4219 . . . . 5  |-  ( c  =  ( exp `  d
)  ->  ( A  ~~>  c 
<->  A  ~~>  ( exp `  d
) ) )
146145rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( ( exp `  d
)  e.  RR+  /\  A  ~~>  ( exp `  d ) )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1475, 144, 146syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
148147rexlimiva 2827 . 2  |-  ( E. d  e.  RR  B  ~~>  d  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1493, 148ax-mp 5 1  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   dom cdm 4881    o. ccom 4885   Fun wfun 5451   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   RR+crp 10617   ^cexp 11387   !cfa 11571   sqrcsqr 12043    ~~> cli 12283   expce 12669   _eceu 12670   -cn->ccncf 18911   logclog 20457
This theorem is referenced by:  stirling  27828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-e 12676  df-sin 12677  df-cos 12678  df-tan 12679  df-pi 12680  df-dvds 12858  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-ulm 20298  df-log 20459  df-cxp 20460
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