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Theorem stirlinglem14 27159
Description: The sequence  A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Distinct variable group:    A, c
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables  d 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
2 stirlinglem14.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
31, 2stirlinglem13 27158 . 2  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
4 nfv 1619 . . 3  |-  F/ d E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
5 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  RR )
65rpefcld 12482 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp `  d )  e.  RR+ )
7 nnuz 10355 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8 1z 10145 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
98a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  1  e.  ZZ )
10 efcn 19926 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
1110a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  exp  e.  ( CC -cn-> CC ) )
12 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
13 nnnn0 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
14 faccl 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
15 nncn 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
17 2cn 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
19 nncn 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
2018, 19mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
2120sqrcld 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
22 epr 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  _e  e.  RR+
23 rpcn 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( _e  e.  RR+  ->  _e  e.  CC )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _e  e.  CC
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
26 epos 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  _e
27 0re 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  RR
28 ere 12467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _e  e.  RR
2927, 28ltnei 9033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  <  _e  ->  _e  =/=  0 )
3026, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _e  =/=  0
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
3219, 25, 31divcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
3332, 13expcld 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
3421, 33mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
3527a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
36 2rp 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR+
3736a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
38 nnrp 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3937, 38rpmulcld 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
4039sqrgt0d 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
4135, 40ltned 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  0  =/=  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
4241necomd 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
43 nnne0 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4419, 25, 43, 31divne0d 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
45 nnz 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4632, 44, 45expne0d 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
4721, 33, 42, 46mulne0d 9510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
4816, 34, 47divcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
4912, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC ) )
501fvmpt2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
5251, 48eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
53 nnne0 9868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
5413, 14, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
5516, 34, 54, 47divne0d 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =/=  0 )
5651, 55eqnetrd 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =/=  0 )
5752, 56logcld 20035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  CC )
5857rgen 2684 . . . . . . . . . 10  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  CC
592fmpt 5764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n ) )  e.  CC  <->  B : NN --> CC )
6058, 59mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  B : NN
--> CC
6160a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B : NN --> CC )
62 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B  ~~>  d )
635recnd 8951 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  CC )
647, 9, 11, 61, 62, 63climcncf 18507 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d ) )
6510elexi 2873 . . . . . . . . . . 11  |-  exp  e.  _V
66 nnex 9842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
6766mptex 5832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  e. 
_V
682, 67eqeltri 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
6965, 68coex 5298 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp 
o.  B )  e. 
_V
7069a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( exp  o.  B
)  e.  _V )
7166mptex 5832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  e.  _V
721, 71eqeltri 2428 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
7372a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  A  e.  _V )
748a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
752funmpt2 5373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Fun  B
7675a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  Fun  B )
77 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
782dmmpt 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  B  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
79 nnrp 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
8013, 14, 793syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
8139rpsqrcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
8222a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
8338, 82rpdivcld 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
8483, 45rpexpcld 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
8581, 84rpmulcld 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
8680, 85rpdivcld 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
8751, 86eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
88 relogcl 20040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  n
) )  e.  RR )
89 elex 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( log `  ( A `
 n ) )  e.  RR  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
9087, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
9190rgen 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. n  e.  NN  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V
92 rabid2 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n
) )  e.  _V } 
<-> 
A. n  e.  NN  ( log `  ( A `
 n ) )  e.  _V )
9391, 92mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
9493eqcomi 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n
) )  e.  _V }  =  NN
9578, 94eqtri 2378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  B  =  NN
9695eqcomi 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  dom  B
9796a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  NN  =  dom  B )
9877, 97eleqtrd 2434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  dom  B )
9976, 98jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( Fun  B  /\  k  e. 
dom  B ) )
100 fvco 5678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  B  /\  k  e.  dom  B )  -> 
( ( exp  o.  B ) `  k
)  =  ( exp `  ( B `  k
) ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( exp `  ( B `  k )
) )
1021a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
103 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
104103fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
105103oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
106105fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
107103oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
108107, 103oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
109106, 108oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
110104, 109oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
111 nnnn0 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
112 faccl 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
113 nncn 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
114111, 112, 1133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
11517a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
116 nncn 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
117115, 116mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
118117sqrcld 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
11924a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
12030a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
121116, 119, 120divcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
122121, 111expcld 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
123118, 122mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
12427a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  0  e.  RR )
12536a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
126 nnrp 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
127125, 126rpmulcld 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
128127sqrgt0d 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
129124, 128ltned 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  0  =/=  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
130129necomd 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
131 nnne0 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
132116, 119, 131, 120divne0d 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
133 nnz 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
134121, 132, 133expne0d 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
135118, 122, 130, 134mulne0d 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
136114, 123, 135divcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
137102, 110, 77, 136fvmptd 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
138137, 136eqeltrd 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
139 nnne0 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
140111, 112, 1393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
141114, 123, 140, 135divne0d 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  =/=  0 )
142137, 141eqnetrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
143138, 142logcld 20035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  CC )
14477, 143jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  CC ) )
145 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
k
146 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n log
147 nfmpt1 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
1481, 147nfcxfr 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n A
149148, 145nffv 5615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( A `  k
)
150146, 149nffv 5615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
151 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
152151fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
153145, 150, 152, 2fvmptf 5699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
154144, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
155154fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( B `  k ) )  =  ( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) ) )
156138, 142jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( A `  k
)  e.  CC  /\  ( A `  k )  =/=  0 ) )
157 eflog 20041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  CC  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) )  =  ( A `  k ) )
158156, 157syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  ( A `  k )
) )  =  ( A `  k ) )
159 eqidd 2359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( A `  k ) )
160155, 158, 1593eqtrd 2394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( B `  k ) )  =  ( A `  k
) )
161101, 160eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
162161adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
1637, 70, 73, 74, 162climeq 12137 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d )  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) ) )
164163trud 1323 . . . . . . 7  |-  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d
)  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
16564, 164sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
1666, 165jca 518 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  (
( exp `  d
)  e.  RR+  /\  A  ~~>  ( exp `  d ) ) )
167 breq2 4108 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( exp `  d
)  ->  ( A  ~~>  c 
<->  A  ~~>  ( exp `  d
) ) )
168167rspcev 2960 . . . . 5  |-  ( ( ( exp `  d
)  e.  RR+  /\  A  ~~>  ( exp `  d ) )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
169166, 168syl 15 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
170169ex 423 . . 3  |-  ( d  e.  RR  ->  ( B 
~~>  d  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c ) )
1714, 170rexlimi 2736 . 2  |-  ( E. d  e.  RR  B  ~~>  d  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1723, 171ax-mp 8 1  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1316    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623   _Vcvv 2864   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   dom cdm 4771    o. ccom 4775   Fun wfun 5331   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    x. cmul 8832    < clt 8957    / cdiv 9513   NNcn 9836   2c2 9885   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   RR+crp 10446   ^cexp 11197   !cfa 11381   sqrcsqr 11814    ~~> cli 12054   expce 12440   _eceu 12441   -cn->ccncf 18483   logclog 20019
This theorem is referenced by:  stirling  27161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-ef 12446  df-e 12447  df-sin 12448  df-cos 12449  df-tan 12450  df-pi 12451  df-dvds 12629  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-cmp 17220  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-ulm 19860  df-log 20021  df-cxp 20022
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