Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem14 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem14 27826
 Description: The sequence converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1
stirlinglem14.2
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3
2 stirlinglem14.2 . . 3
31, 2stirlinglem13 27825 . 2
4 simpl 445 . . . . 5
54rpefcld 12711 . . . 4
6 nnuz 10526 . . . . . 6
7 1z 10316 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
9 efcn 20364 . . . . . . 7
109a1i 11 . . . . . 6
11 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . . . 13
12 faccl 11581 . . . . . . . . . . . . 13
13 nncn 10013 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 12, 133syl 19 . . . . . . . . . . . 12
15 2cn 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 nncn 10013 . . . . . . . . . . . . . . 15
1816, 17mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . . 14
1918sqrcld 12244 . . . . . . . . . . . . 13
20 epr 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
21 rpcn 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 0re 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
25 epos 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2624, 25gtneii 9190 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
2817, 23, 27divcld 9795 . . . . . . . . . . . . . 14
2928, 11expcld 11528 . . . . . . . . . . . . 13
3019, 29mulcld 9113 . . . . . . . . . . . 12
31 2rp 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 nnrp 10626 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3432, 33rpmulcld 10669 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534sqrgt0d 12220 . . . . . . . . . . . . . 14
3635gt0ne0d 9596 . . . . . . . . . . . . 13
37 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15
3817, 23, 37, 27divne0d 9811 . . . . . . . . . . . . . 14
39 nnz 10308 . . . . . . . . . . . . . 14
4028, 38, 39expne0d 11534 . . . . . . . . . . . . 13
4119, 29, 36, 40mulne0d 9679 . . . . . . . . . . . 12
4214, 30, 41divcld 9795 . . . . . . . . . . 11
431fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . 11
4442, 43mpdan 651 . . . . . . . . . 10
4544, 42eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9
46 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . 12
4711, 12, 463syl 19 . . . . . . . . . . 11
4814, 30, 47, 41divne0d 9811 . . . . . . . . . 10
4944, 48eqnetrd 2621 . . . . . . . . 9
5045, 49logcld 20473 . . . . . . . 8
512, 50fmpti 5895 . . . . . . 7
5251a1i 11 . . . . . 6
53 simpr 449 . . . . . 6
544recnd 9119 . . . . . 6
556, 8, 10, 52, 53, 54climcncf 18935 . . . . 5
569elexi 2967 . . . . . . . . 9
57 nnex 10011 . . . . . . . . . . 11
5857mptex 5969 . . . . . . . . . 10
592, 58eqeltri 2508 . . . . . . . . 9
6056, 59coex 5416 . . . . . . . 8
6160a1i 11 . . . . . . 7
6257mptex 5969 . . . . . . . . 9
631, 62eqeltri 2508 . . . . . . . 8
6463a1i 11 . . . . . . 7
657a1i 11 . . . . . . 7
662funmpt2 5493 . . . . . . . . . 10
67 id 21 . . . . . . . . . . 11
68 rabid2 2887 . . . . . . . . . . . . 13
69 nnrp 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7011, 12, 693syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7134rpsqrcld 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7333, 72rpdivcld 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473, 39rpexpcld 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7571, 74rpmulcld 10669 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7670, 75rpdivcld 10670 . . . . . . . . . . . . . . 15
7744, 76eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14
78 relogcl 20478 . . . . . . . . . . . . . 14
79 elex 2966 . . . . . . . . . . . . . 14
8077, 78, 793syl 19 . . . . . . . . . . . . 13
8168, 80mprgbir 2778 . . . . . . . . . . . 12
822dmmpt 5368 . . . . . . . . . . . 12
8381, 82eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . 11
8467, 83syl6eleq 2528 . . . . . . . . . 10
85 fvco 5802 . . . . . . . . . 10
8666, 84, 85sylancr 646 . . . . . . . . 9
871a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
88 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15
9088oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9190fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9288oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392, 88oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9491, 93oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15
9589, 94oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14
96 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 faccl 11581 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 nncn 10013 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9996, 97, 983syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15
10015a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101 nncn 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102100, 101mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103102sqrcld 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10526a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106101, 104, 105divcld 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107106, 96expcld 11528 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108103, 107mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . . . 15
10931a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110 nnrp 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111109, 110rpmulcld 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112111sqrgt0d 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112gt0ne0d 9596 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115101, 104, 114, 105divne0d 9811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 nnz 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117106, 115, 116expne0d 11534 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118103, 107, 113, 117mulne0d 9679 . . . . . . . . . . . . . . 15
11999, 108, 118divcld 9795 . . . . . . . . . . . . . 14
12087, 95, 67, 119fvmptd 5813 . . . . . . . . . . . . 13
121120, 119eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12
122 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15
12396, 97, 1223syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
12499, 108, 123, 118divne0d 9811 . . . . . . . . . . . . 13
125120, 124eqnetrd 2621 . . . . . . . . . . . 12
126121, 125logcld 20473 . . . . . . . . . . 11
127 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12
128 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13
129 nfmpt1 4301 . . . . . . . . . . . . . . 15
1301, 129nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . 14
131130, 127nffv 5738 . . . . . . . . . . . . 13
132128, 131nffv 5738 . . . . . . . . . . . 12
133 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13
134133fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12
135127, 132, 134, 2fvmptf 5824 . . . . . . . . . . 11
136126, 135mpdan 651 . . . . . . . . . 10
137136fveq2d 5735 . . . . . . . . 9
138 eflog 20479 . . . . . . . . . 10
139121, 125, 138syl2anc 644 . . . . . . . . 9
14086, 137, 1393eqtrd 2474 . . . . . . . 8
141140adantl 454 . . . . . . 7
1426, 61, 64, 65, 141climeq 12366 . . . . . 6
143142trud 1333 . . . . 5
14455, 143sylib 190 . . . 4
145 breq2 4219 . . . . 5
146145rspcev 3054 . . . 4
1475, 144, 146syl2anc 644 . . 3
148147rexlimiva 2827 . 2
1493, 148ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cdm 4881   ccom 4885   wfun 5451  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   cmul 9000   cdiv 9682  cn 10005  c2 10054  cn0 10226  cz 10287  crp 10617  cexp 11387  cfa 11571  csqr 12043   cli 12283  ce 12669  ceu 12670  ccncf 18911  clog 20457 This theorem is referenced by:  stirling  27828 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-e 12676  df-sin 12677  df-cos 12678  df-tan 12679  df-pi 12680  df-dvds 12858  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-ulm 20298  df-log 20459  df-cxp 20460
 Copyright terms: Public domain W3C validator