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Theorem stirlinglem14 27711
Description: The sequence  A converges to a positive real. This proves that the Stirling's formula converges to the factorial, up to a constant. In another theorem, using Wallis' formula for π& , such constant is exactly determined, thus proving the Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem14.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem14.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem14  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Distinct variable group:    A, c
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n, c)

Proof of Theorem stirlinglem14
Dummy variables  d 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem14.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
2 stirlinglem14.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
31, 2stirlinglem13 27710 . 2  |-  E. d  e.  RR  B  ~~>  d
4 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  RR )
54rpefcld 12669 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp `  d )  e.  RR+ )
6 nnuz 10485 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 1z 10275 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  1  e.  ZZ )
9 efcn 20320 . . . . . . 7  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  exp  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11 nnnn0 10192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
12 faccl 11539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
13 nncn 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
1411, 12, 133syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
15 2cn 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
17 nncn 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
1816, 17mulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1918sqrcld 12202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
20 epr 12770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR+
21 rpcn 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _e  e.  RR+  ->  _e  e.  CC )
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
24 0re 9055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
25 epos 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
2624, 25gtneii 9149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
2817, 23, 27divcld 9754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
2928, 11expcld 11486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
3019, 29mulcld 9072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
31 2rp 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
33 nnrp 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3432, 33rpmulcld 10628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
3534sqrgt0d 12178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
3635gt0ne0d 9555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
37 nnne0 9996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3817, 23, 37, 27divne0d 9770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
39 nnz 10267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4028, 38, 39expne0d 11492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
4119, 29, 36, 40mulne0d 9638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
4214, 30, 41divcld 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
431fvmpt2 5779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
4442, 43mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4544, 42eqeltrd 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
46 nnne0 9996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4711, 12, 463syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  =/=  0 )
4814, 30, 47, 41divne0d 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =/=  0 )
4944, 48eqnetrd 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =/=  0 )
5045, 49logcld 20429 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e.  CC )
512, 50fmpti 5859 . . . . . . 7  |-  B : NN
--> CC
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B : NN --> CC )
53 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  B  ~~>  d )
544recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  d  e.  CC )
556, 8, 10, 52, 53, 54climcncf 18891 . . . . 5  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d ) )
569elexi 2933 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  _V
57 nnex 9970 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
5857mptex 5933 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `  n
) ) )  e. 
_V
592, 58eqeltri 2482 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
6056, 59coex 5380 . . . . . . . 8  |-  ( exp 
o.  B )  e. 
_V
6160a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( exp  o.  B
)  e.  _V )
6257mptex 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  e.  _V
631, 62eqeltri 2482 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
6463a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  A  e.  _V )
657a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
662funmpt2 5457 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  B
67 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
68 rabid2 2853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n
) )  e.  _V } 
<-> 
A. n  e.  NN  ( log `  ( A `
 n ) )  e.  _V )
69 nnrp 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
7011, 12, 693syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
7134rpsqrcld 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
7333, 72rpdivcld 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
7473, 39rpexpcld 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
7571, 74rpmulcld 10628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
7670, 75rpdivcld 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
7744, 76eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  RR+ )
78 relogcl 20434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A `  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A `  n
) )  e.  RR )
79 elex 2932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( log `  ( A `
 n ) )  e.  RR  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
8077, 78, 793syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  n ) )  e. 
_V )
8168, 80mprgbir 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
822dmmpt 5332 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  B  =  { n  e.  NN  |  ( log `  ( A `  n )
)  e.  _V }
8381, 82eqtr4i 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  dom  B
8467, 83syl6eleq 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  dom  B )
85 fvco 5766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  B  /\  k  e.  dom  B )  -> 
( ( exp  o.  B ) `  k
)  =  ( exp `  ( B `  k
) ) )
8666, 84, 85sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( exp `  ( B `  k )
) )
871a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
88 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
8988fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
9088oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
9190fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
9288oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
9392, 88oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
9491, 93oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
9589, 94oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
96 nnnn0 10192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
97 faccl 11539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
98 nncn 9972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9996, 97, 983syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
10015a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
101 nncn 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
102100, 101mulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
103102sqrcld 12202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
10422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
10526a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
106101, 104, 105divcld 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
107106, 96expcld 11486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
108103, 107mulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
10931a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
110 nnrp 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
111109, 110rpmulcld 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
112111sqrgt0d 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
113112gt0ne0d 9555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
114 nnne0 9996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
115101, 104, 114, 105divne0d 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
116 nnz 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
117106, 115, 116expne0d 11492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
118103, 107, 113, 117mulne0d 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
11999, 108, 118divcld 9754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
12087, 95, 67, 119fvmptd 5777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
121120, 119eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
122 nnne0 9996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12396, 97, 1223syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
12499, 108, 123, 118divne0d 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  =/=  0 )
125120, 124eqnetrd 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =/=  0 )
126121, 125logcld 20429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( A `  k ) )  e.  CC )
127 nfcv 2548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
k
128 nfcv 2548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n log
129 nfmpt1 4266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
1301, 129nfcxfr 2545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n A
131130, 127nffv 5702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( A `  k
)
132128, 131nffv 5702 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( log `  ( A `  k )
)
133 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
134133fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( A `  n ) )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
135127, 132, 134, 2fvmptf 5788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( log `  ( A `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( B `  k
)  =  ( log `  ( A `  k
) ) )
136126, 135mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( B `  k )  =  ( log `  ( A `  k )
) )
137136fveq2d 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( B `  k ) )  =  ( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) ) )
138 eflog 20435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  CC  /\  ( A `  k )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( A `  k ) ) )  =  ( A `  k ) )
139121, 125, 138syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  ( A `  k )
) )  =  ( A `  k ) )
14086, 137, 1393eqtrd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
141140adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( exp  o.  B
) `  k )  =  ( A `  k ) )
1426, 61, 64, 65, 141climeq 12324 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d )  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) ) )
143142trud 1329 . . . . 5  |-  ( ( exp  o.  B )  ~~>  ( exp `  d
)  <->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
14455, 143sylib 189 . . . 4  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  A  ~~>  ( exp `  d ) )
145 breq2 4184 . . . . 5  |-  ( c  =  ( exp `  d
)  ->  ( A  ~~>  c 
<->  A  ~~>  ( exp `  d
) ) )
146145rspcev 3020 . . . 4  |-  ( ( ( exp `  d
)  e.  RR+  /\  A  ~~>  ( exp `  d ) )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1475, 144, 146syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( d  e.  RR  /\  B 
~~>  d )  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
148147rexlimiva 2793 . 2  |-  ( E. d  e.  RR  B  ~~>  d  ->  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c )
1493, 148ax-mp 8 1  |-  E. c  e.  RR+  A  ~~>  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   E.wrex 2675   {crab 2678   _Vcvv 2924   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   dom cdm 4845    o. ccom 4849   Fun wfun 5415   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    x. cmul 8959    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   RR+crp 10576   ^cexp 11345   !cfa 11529   sqrcsqr 12001    ~~> cli 12241   expce 12627   _eceu 12628   -cn->ccncf 18867   logclog 20413
This theorem is referenced by:  stirling  27713
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-e 12634  df-sin 12635  df-cos 12636  df-tan 12637  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-cmp 17412  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-ulm 20254  df-log 20415  df-cxp 20416
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