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Theorem stirlinglem3 26973
Description: Long but simple algebraic transformations are applied to show that  V, the Wallis formula for π , can be expressed in terms of  A, the Stirling's approximation formula for the factorial, up to a constant factor. This will allow (in a later theorem) to determine the right constant factor to be put into the  A, in order to get the exact Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem3.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem3.2  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem3.3  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem3.4  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem3  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem stirlinglem3
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem3.4 . 2  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
2 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
3 nnnn0 10019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
4 faccl 11345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
5 nncn 9799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
7 2cn 9861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
87a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
9 nncn 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
108, 9mulcld 8900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1110sqrcld 11966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
12 ere 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _e  e.  RR
1312recni 8894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  CC
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
15 epos 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  _e
1612, 15gt0ne0ii 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  =/=  0
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
189, 14, 17divcld 9581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
1918, 3expcld 11292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2011, 19mulcld 8900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
21 0re 8883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
2221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
23 2rp 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
2423a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
25 nnrp 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
2624, 25rpmulcld 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
2726sqrgt0d 11942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
2822, 27jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )
29 ltne 8962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
31 nnne0 9823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
329, 14, 31, 17divne0d 9597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
33 nnz 10092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
3418, 32, 33expne0d 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
3511, 19, 30, 34mulne0d 9465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
366, 20, 35divcld 9581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
372, 36jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC ) )
38 stirlinglem3.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
3938fvmpt2 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
4037, 39syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4140oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ^ 4 ) )
422, 20jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC ) )
43 stirlinglem3.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
4443fvmpt2 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )  -> 
( E `  n
)  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
4542, 44syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  n )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
4645oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  n
) ^ 4 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) )
4741, 46oveq12d 5918 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) ) )
48 4nn0 10031 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
4948a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
506, 20, 35, 49expdivd 11306 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  n ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) ) )
5150oveq1d 5915 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) )  =  ( ( ( ( ! `  n ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) ) )
526, 49expcld 11292 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
5320, 49expcld 11292 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  e.  CC )
5449nn0zd 10162 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  ZZ )
5520, 35, 54expne0d 11298 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  =/=  0 )
5652, 53, 55divcan1d 9582 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 n ) ^
4 )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) )  =  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )
5747, 51, 563eqtrd 2352 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  =  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )
5857eqcomd 2321 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
) ^ 4 )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )
5958oveq2d 5916 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) ) ) )
60 2nn0 10029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
6261, 3nn0mulcld 10070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
63 faccl 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  n ) )  e.  NN )
64 nncn 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
6665sqcld 11290 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
678, 10mulcld 8900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
6867sqrcld 11966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  e.  CC )
6910, 14, 17divcld 9581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  _e )  e.  CC )
7069, 62expcld 11292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
7168, 70mulcld 8900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
7271sqcld 11290 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7324, 26rpmulcld 10453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
7473sqrgt0d 11942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) )
7522, 74jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
76 ltne 8962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  =/=  0 )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  =/=  0 )
7824rpne0d 10442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
798, 9, 78, 31mulne0d 9465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  =/=  0 )
8010, 14, 79, 17divne0d 9597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  _e )  =/=  0 )
81 2z 10101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
8382, 33zmulcld 10170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
8469, 80, 83expne0d 11298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
8568, 70, 77, 84mulne0d 9465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) )  =/=  0 )
8671, 85, 82expne0d 11298 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
8766, 72, 86divcan1d 9582 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
8887eqcomd 2321 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  /  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
8965, 71, 85, 61expdivd 11306 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
9089eqcomd 2321 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 ) )
9190oveq1d 5915 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
9288, 91eqtrd 2348 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ! `  (
2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
93 nfcv 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ m
( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
94 nfcv 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( ( ! `  m )  /  (
( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) )
95 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  m ) )
96 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  m ) )
9796fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  m ) ) )
98 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
n  /  _e )  =  ( m  /  _e ) )
99 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
10098, 99oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( m  /  _e ) ^ m ) )
10197, 100oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) )
10295, 101oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( ( ! `
 m )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) )
10393, 94, 102cbvmpt 4147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ! `  m
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) )
10438, 103eqtri 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ! `  m )  /  (
( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) )
105104a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  A  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ! `
 m )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) ) )
106 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  ( 2  x.  n
) ) )
107 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
108107fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) )
109 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
m  /  _e )  =  ( ( 2  x.  n )  /  _e ) )
110 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  m  =  ( 2  x.  n ) )
111109, 110oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
( m  /  _e ) ^ m )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) )
112108, 111oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
113106, 112oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
( ! `  m
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
114113adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  =  ( 2  x.  n ) )  ->  ( ( ! `
 m )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
115 2nn 9924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
117116, 2nnmulcld 9838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
11865, 71, 85divcld 9581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) )  e.  CC )
119105, 114, 117, 118fvmptd 5644 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
120119oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 ) )
121120eqcomd 2321 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )
122121oveq1d 5915 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 )  x.  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
123 eqidd 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) )
124112adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  =  ( 2  x.  n ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
125123, 124, 117, 71fvmptd 5644 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
126125oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )
127126eqcomd 2321 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )
128127oveq2d 5916 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
12992, 122, 1283eqtrd 2352 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
130 nfcv 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ m
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )
131 nfcv 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) )
132130, 131, 101cbvmpt 4147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) )
133132a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) )
134133fveq1d 5565 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) )
135134eqcomd 2321 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) )
136135oveq1d 5915 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )
137136oveq2d 5916 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
138119, 118eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
1392, 138jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC ) )
140 stirlinglem3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
141140fvmpt2 5646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
142139, 141syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
143142eqcomd 2321 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  =  ( D `  n
) )
144143oveq1d 5915 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )
14543a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
146145fveq1d 5565 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) )
147146eqcomd 2321 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( E `  ( 2  x.  n
) ) )
148147oveq1d 5915 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
149144, 148oveq12d 5918 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
150129, 137, 1493eqtrd 2352 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
15159, 150oveq12d 5918 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )  / 
( ( ( D `
 n ) ^
2 )  x.  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
152151oveq1d 5915 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
153152mpteq2ia 4139 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
15449, 3nn0mulcld 10070 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4  x.  n )  e.  NN0 )
1558, 154expcld 11292 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
15657, 52eqeltrd 2390 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  e.  CC )
157155, 156mulcomd 8901 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  x.  ( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
158157oveq1d 5915 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n
) ^ 2 )  x.  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) )  / 
( ( ( D `
 n ) ^
2 )  x.  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
159158oveq1d 5915 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) ) )  /  (
( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
160142, 138eqeltrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
161160sqcld 11290 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
162145, 133eqtrd 2348 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  E  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) ) )
163162, 124, 117, 71fvmptd 5644 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
164163, 71eqeltrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
165164sqcld 11290 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
16662, 63syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  NN )
167 nnne0 9823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
168166, 167syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
16965, 71, 168, 85divne0d 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) )  =/=  0 )
170119, 169eqnetrd 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
171142, 170eqnetrd 2497 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =/=  0 )
172160, 171, 82expne0d 11298 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
173163, 85eqnetrd 2497 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
174164, 173, 82expne0d 11298 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
175156, 161, 155, 165, 172, 174divmuldivd 9622 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) )  / 
( ( ( D `
 n ) ^
2 )  x.  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
176175eqcomd 2321 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( ( D `  n
) ^ 2 )  x.  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
177176oveq1d 5915 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  x.  ( 2 ^ (
4  x.  n ) ) )  /  (
( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
17840, 36eqeltrd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
179178, 49expcld 11292 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
18046, 53eqeltrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
181179, 180, 161, 172div23d 9618 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )
182181oveq1d 5915 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
183182oveq1d 5915 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
184179, 161, 172divcld 9581 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
185155, 165, 174divcld 9581 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
186184, 180, 185mulassd 8903 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( ( E `
 n ) ^
4 )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
187186oveq1d 5915 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
188180, 185mulcld 8900 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  e.  CC )
189 ax-1cn 8840 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
190189a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
19110, 190addcld 8899 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
192117nnred 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
193 2re 9860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
194193a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
195 nnre 9798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
196194, 195remulcld 8908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
197 1re 8882 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
198197a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
199196, 198readdcld 8907 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
200117nngt0d 9834 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
201192ltp1d 9732 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
20222, 192, 199, 200, 201lttrd 9022 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
20322, 202jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
204 ltne 8962 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =/=  0 )
205203, 204syl 15 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
206184, 188, 191, 205divassd 9616 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( ( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
207180, 155, 165, 174div12d 9617 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( E `
 n ) ^
4 )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
208163oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )
20946, 208oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
21011, 19, 49mulexpd 11307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) ) )
21168, 70, 61mulexpd 11307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
212210, 211oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
21311, 49expcld 11292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  e.  CC )
21468sqcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
21519, 49expcld 11292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  e.  CC )
21670sqcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
21768, 77, 82expne0d 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
21870, 84, 82expne0d 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
219213, 214, 215, 216, 217, 218divmuldivd 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 )  /  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
220219eqcomd 2321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
221209, 212, 2203eqtrd 2352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
222221oveq2d 5916 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( E `  n
) ^ 4 )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) ^ 4 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  / 
( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) ) ) )
22373rprege0d 10444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
2  x.  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) ) )
224 resqrth 11788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  (
2  x.  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
225223, 224syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
226225oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) ) )
227 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  =  4
228 2t2e4 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
229227, 228eqtr4i 2339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  =  ( 2  x.  2 )
230229a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  4  =  ( 2  x.  2 ) )
231230oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ (
2  x.  2 ) ) )
23211, 61, 613jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 ) )
233 expmul 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ^
2 ) )
234232, 233syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ^
2 ) )
235231, 234eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ^
2 ) )
23626rprege0d 10444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  n ) ) )
237 resqrth 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  n ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  n ) )
238236, 237syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  n ) )
239238oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  n ) ^ 2 ) )
240235, 239eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  n ) ^
2 ) )
2418, 8, 9mulassd 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  n )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
242241eqcomd 2321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  n ) )
243228a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  2 )  =  4 )
244243oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  n )  =  ( 4  x.  n ) )
245242, 244eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 4  x.  n ) )
246240, 245oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  n ) ^
2 )  /  (
4  x.  n ) ) )
2478, 9, 61mulexpd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )
248 sq2 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
249248a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ 2 )  =  4 )
250249oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( n ^ 2 ) ) )
251247, 250eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( n ^ 2 ) ) )
252251oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n ) ^ 2 )  /  ( 4  x.  n ) )  =  ( ( 4  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 4  x.  n
) ) )
25349nn0cnd 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  CC )
2549sqcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
255 4pos 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  4
25621, 255pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  RR  /\  0  <  4 )
257 ltne 8962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  4 )  -> 
4  =/=  0 )
258256, 257ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  =/=  0
259258a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
260253, 253, 254, 9, 259, 31divmuldivd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  /  4
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( ( 4  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 4  x.  n
) ) )
261260eqcomd 2321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  x.  (
n ^ 2 ) )  /  ( 4  x.  n ) )  =  ( ( 4  /  4 )  x.  ( ( n ^
2 )  /  n
) ) )
262 4cn 9865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  CC
263262, 258dividi 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  /  4 )  =  1
264263a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4  /  4 )  =  1 )
2659sqvald 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
266265oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  ( ( n  x.  n )  /  n ) )
2679, 9, 31divcan4d 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  n
)  /  n )  =  n )
268266, 267eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
269264, 268oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  /  4
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 1  x.  n ) )
2709mulid2d 8898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  n )  =  n )
271261, 269, 2703eqtrd 2352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  x.  (
n ^ 2 ) )  /  ( 4  x.  n ) )  =  n )
272252, 271eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n ) ^ 2 )  /  ( 4  x.  n ) )  =  n )
273226, 246, 2723eqtrd 2352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  n )
27418, 49, 3expmuld 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ ( n  x.  4 ) )  =  ( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 ) )
275274eqcomd 2321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  =  ( ( n  /  _e ) ^ ( n  x.  4 ) ) )
2769, 253mulcomd 8901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  4 )  =  ( 4  x.  n ) )
277276oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ ( n  x.  4 ) )  =  ( ( n  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) ) )
2789, 14, 17, 154expdivd 11306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) )  =  ( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
279275, 277, 2783eqtrd 2352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  =  ( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
28069, 61, 62expmuld 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( ( 2  x.  n )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
281280eqcomd 2321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( ( 2  x.  n )  x.  2 ) ) )
2828, 9, 8mul32d 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  2 )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  n ) )
283282, 244eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  2 )  =  ( 4  x.  n ) )
284283oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( ( 2  x.  n )  x.  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) ) )
28510, 14, 17, 154expdivd 11306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  n ) ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
286281, 284, 2853eqtrd 2352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  n ) ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
287279, 286oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( _e ^ (
4  x.  n ) ) )  /  (
( ( 2  x.  n ) ^ (
4  x.  n ) )  /  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
288279, 215eqeltrrd 2391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) )  e.  CC )
28910, 154expcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
29014, 154expcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
_e ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
29154, 33zmulcld 10170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4  x.  n )  e.  ZZ )
29210, 79, 291expne0d 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
29314, 17, 291expne0d 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
_e ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
294288, 289, 290, 292, 293divdiv2d 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( _e ^
( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) )  x.  ( _e ^
( 4  x.  n
) ) )  / 
( ( 2  x.  n ) ^ (
4  x.  n ) ) ) )
2959, 154expcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
296295, 290, 293divcan1d 9582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  x.  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( n ^
( 4  x.  n
) ) )
297296oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( _e ^ (
4  x.  n ) ) )  x.  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( 2  x.  n ) ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( 2  x.  n ) ^ (
4  x.  n ) ) ) )
2988, 9, 154mulexpd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n ^ (
4  x.  n ) ) ) )
299298oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( 2  x.  n ) ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
n ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
300155, 295mulcomd 8901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( n ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
301300oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n ^
( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  x.  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
3029, 31, 291expne0d 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
3038, 78, 291expne0d 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
304295, 295, 155, 302, 303divdiv1d 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
n ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  x.  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
305304eqcomd 2321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( n ^
( 4  x.  n
) ) )  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
306295, 302dividd 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( n ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  1 )
307306oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
n ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
308301, 305, 3073eqtrd 2352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n ^
( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
309297, 299, 3083eqtrd 2352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( _e ^ (
4  x.  n ) ) )  x.  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( 2  x.  n ) ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
310287, 294, 3093eqtrd 2352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
311273, 310oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 )  /  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( n  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )
312311oveq2d 5916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) ) )
313155, 303reccld 9574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  e.  CC )
314155, 9, 313mul12d 9066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( n  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )  =  ( n  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) ) )
315155, 303recidd 9576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( 1  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) ) )  =  1 )
316315oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )  =  ( n  x.  1 ) )
3179mulid1d 8897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
318268eqcomd 2321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
319316, 317, 3183eqtrd 2352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
320312, 314, 3193eqtrd 2352 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
321207, 222, 3203eqtrd 2352 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
322321oveq1d 5915 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( E `
 n ) ^
4 )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  /  n )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
323254, 9, 191, 31, 205divdiv1d 9612 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  /  n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
324322, 323eqtrd 2348 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( E `
 n ) ^
4 )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
325324oveq2d 5916 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
326206, 325eqtrd 2348 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
327183, 187, 3263eqtrd 2352 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
328159, 177, 3273eqtrd 2352 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) ) )  /  (
( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
329328mpteq2ia 4139 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n
) ^ 2 )  x.  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
3301, 153, 3293eqtri 2340 1  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    < clt 8912    <_ cle 8913    / cdiv 9468   NNcn 9791   2c2 9840   4c4 9842   NN0cn0 10012   ZZcz 10071   RR+crp 10401   ^cexp 11151   !cfa 11335   sqrcsqr 11765   _eceu 12391
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  26985
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-ico 10709  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385  df-shft 11609  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-ef 12396  df-e 12397
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