Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem4 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem4 27802
 Description: Algebraic manipulation of n ) - ( B . It will be used in other theorems to show that is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem4.1
stirlinglem4.2
stirlinglem4.3
Assertion
Ref Expression
stirlinglem4
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10007 . . . . . . . 8
2 nnnn0 10228 . . . . . . . . 9
32nn0ge0d 10277 . . . . . . . 8
41, 3ge0p1rpd 10674 . . . . . . 7
5 nnrp 10621 . . . . . . 7
64, 5rpdivcld 10665 . . . . . 6
76rpsqrcld 12214 . . . . 5
8 nnz 10303 . . . . . 6
96, 8rpexpcld 11546 . . . . 5
107, 9rpmulcld 10664 . . . 4
11 epr 12807 . . . . 5
1211a1i 11 . . . 4
1310, 12relogdivd 20521 . . 3
147, 9relogmuld 20520 . . . . . 6
15 logsqr 20595 . . . . . . . 8
166, 15syl 16 . . . . . . 7
17 relogexp 20490 . . . . . . . 8
186, 8, 17syl2anc 643 . . . . . . 7
1916, 18oveq12d 6099 . . . . . 6
2014, 19eqtrd 2468 . . . . 5
21 peano2nn 10012 . . . . . . . . . 10
2221nncnd 10016 . . . . . . . . 9
23 nncn 10008 . . . . . . . . 9
24 nnne0 10032 . . . . . . . . 9
2522, 23, 24divcld 9790 . . . . . . . 8
2621nnne0d 10044 . . . . . . . . 9
2722, 23, 26, 24divne0d 9806 . . . . . . . 8
2825, 27logcld 20468 . . . . . . 7
29 2cn 10070 . . . . . . . 8
3029a1i 11 . . . . . . 7
31 2rp 10617 . . . . . . . . 9
3231a1i 11 . . . . . . . 8
3332rpne0d 10653 . . . . . . 7
3428, 30, 33divrec2d 9794 . . . . . 6
3534oveq1d 6096 . . . . 5
36 ax-1cn 9048 . . . . . . . . 9
3736a1i 11 . . . . . . . 8
3837halfcld 10212 . . . . . . 7
3938, 23, 28adddird 9113 . . . . . 6
4023, 30, 33divcan4d 9796 . . . . . . . . . 10
4123, 30mulcomd 9109 . . . . . . . . . . 11
4241oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10
4340, 42eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9
4443oveq2d 6097 . . . . . . . 8
4530, 23mulcld 9108 . . . . . . . . 9
4637, 45, 30, 33divdird 9828 . . . . . . . 8
4744, 46eqtr4d 2471 . . . . . . 7
4847oveq1d 6096 . . . . . 6
4939, 48eqtr3d 2470 . . . . 5
5020, 35, 493eqtrd 2472 . . . 4
51 loge 20481 . . . . 5
5251a1i 11 . . . 4
5350, 52oveq12d 6099 . . 3
5413, 53eqtrd 2468 . 2
55 stirlinglem4.1 . . . . . . 7
5655stirlinglem2 27800 . . . . . 6
5756relogcld 20518 . . . . 5
58 nfcv 2572 . . . . . 6
59 nfcv 2572 . . . . . . 7
60 nfmpt1 4298 . . . . . . . . 9
6155, 60nfcxfr 2569 . . . . . . . 8
6261, 58nffv 5735 . . . . . . 7
6359, 62nffv 5735 . . . . . 6
64 fveq2 5728 . . . . . . 7
6564fveq2d 5732 . . . . . 6
66 stirlinglem4.2 . . . . . 6
6758, 63, 65, 66fvmptf 5821 . . . . 5
6857, 67mpdan 650 . . . 4
69 nfcv 2572 . . . . . . . 8
70 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10
7161, 70nffv 5735 . . . . . . . . 9
7259, 71nffv 5735 . . . . . . . 8
73 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
7473fveq2d 5732 . . . . . . . 8
7569, 72, 74cbvmpt 4299 . . . . . . 7
7666, 75eqtri 2456 . . . . . 6
7776a1i 11 . . . . 5
78 simpr 448 . . . . . . 7
7978fveq2d 5732 . . . . . 6
8079fveq2d 5732 . . . . 5
8155stirlinglem2 27800 . . . . . . 7
8221, 81syl 16 . . . . . 6
8382relogcld 20518 . . . . 5
8477, 80, 21, 83fvmptd 5810 . . . 4
8568, 84oveq12d 6099 . . 3
8656, 82relogdivd 20521 . . 3
87 faccl 11576 . . . . . . . . 9
88 nnrp 10621 . . . . . . . . 9
892, 87, 883syl 19 . . . . . . . 8
9032, 5rpmulcld 10664 . . . . . . . . . 10
9190rpsqrcld 12214 . . . . . . . . 9
925, 12rpdivcld 10665 . . . . . . . . . 10
9392, 8rpexpcld 11546 . . . . . . . . 9
9491, 93rpmulcld 10664 . . . . . . . 8
9589, 94rpdivcld 10665 . . . . . . 7
9655a1i 11 . . . . . . . 8
97 simpr 448 . . . . . . . . . 10
9897fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
9997oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
10099fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
10197oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
102101, 97oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10
103100, 102oveq12d 6099 . . . . . . . . 9
10498, 103oveq12d 6099 . . . . . . . 8
105 simpl 444 . . . . . . . 8
10689rpcnd 10650 . . . . . . . . . 10
107106adantr 452 . . . . . . . . 9
10829a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
109105nncnd 10016 . . . . . . . . . . . 12
110108, 109mulcld 9108 . . . . . . . . . . 11
111110sqrcld 12239 . . . . . . . . . 10
112 ere 12691 . . . . . . . . . . . . . 14
113112recni 9102 . . . . . . . . . . . . 13
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
115 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . 14
116 epos 12806 . . . . . . . . . . . . . 14
117115, 116gtneii 9185 . . . . . . . . . . . . 13
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
119109, 114, 118divcld 9790 . . . . . . . . . . 11
120105nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . 11
121119, 120expcld 11523 . . . . . . . . . 10
122111, 121mulcld 9108 . . . . . . . . 9
12391rpne0d 10653 . . . . . . . . . . 11
124123adantr 452 . . . . . . . . . 10
125105nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . 12
126109, 114, 125, 118divne0d 9806 . . . . . . . . . . 11
127105nnzd 10374 . . . . . . . . . . 11
128119, 126, 127expne0d 11529 . . . . . . . . . 10
129111, 121, 124, 128mulne0d 9674 . . . . . . . . 9
130107, 122, 129divcld 9790 . . . . . . . 8
13196, 104, 105, 130fvmptd 5810 . . . . . . 7
13295, 131mpdan 650 . . . . . 6
133 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10
134 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10
135 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
136 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13
137136fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12
138 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13
139 id 20 . . . . . . . . . . . . 13
140138, 139oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12
141137, 140oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11
142135, 141oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10
143133, 134, 142cbvmpt 4299 . . . . . . . . 9
14455, 143eqtri 2456 . . . . . . . 8
145144a1i 11 . . . . . . 7
14678fveq2d 5732 . . . . . . . 8
14778oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10
148147fveq2d 5732 . . . . . . . . 9
14978oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10
150149, 78oveq12d 6099 . . . . . . . . 9
151148, 150oveq12d 6099 . . . . . . . 8
152146, 151oveq12d 6099 . . . . . . 7
15321nnnn0d 10274 . . . . . . . . 9
154 faccl 11576 . . . . . . . . 9
155 nnrp 10621 . . . . . . . . 9
156153, 154, 1553syl 19 . . . . . . . 8
15732, 4rpmulcld 10664 . . . . . . . . . 10
158157rpsqrcld 12214 . . . . . . . . 9
1594, 12rpdivcld 10665 . . . . . . . . . 10
1608peano2zd 10378 . . . . . . . . . 10
161159, 160rpexpcld 11546 . . . . . . . . 9
162158, 161rpmulcld 10664 . . . . . . . 8
163156, 162rpdivcld 10665 . . . . . . 7
164145, 152, 21, 163fvmptd 5810 . . . . . 6
165132, 164oveq12d 6099 . . . . 5
166 facp1 11571 . . . . . . . . . 10
1672, 166syl 16 . . . . . . . . 9
168167oveq1d 6096 . . . . . . . 8
169162rpcnd 10650 . . . . . . . . 9
170162rpne0d 10653 . . . . . . . . 9
171106, 22, 169, 170divassd 9825 . . . . . . . 8
172168, 171eqtrd 2468 . . . . . . 7
173172oveq2d 6097 . . . . . 6
17494rpcnd 10650 . . . . . . 7
17522, 169, 170divcld 9790 . . . . . . . 8
176106, 175mulcld 9108 . . . . . . 7
17794rpne0d 10653 . . . . . . 7
17889rpne0d 10653 . . . . . . . 8
17922, 169, 26, 170divne0d 9806 . . . . . . . 8
180106, 175, 178, 179mulne0d 9674 . . . . . . 7
181106, 174, 176, 177, 180divdiv32d 9815 . . . . . 6
182106, 106, 175, 178, 179divdiv1d 9821 . . . . . . . . 9
183182eqcomd 2441 . . . . . . . 8
184183oveq1d 6096 . . . . . . 7
185106, 178dividd 9788 . . . . . . . . 9
186185oveq1d 6096 . . . . . . . 8
187186oveq1d 6096 . . . . . . 7
18822, 169, 26, 170recdivd 9807 . . . . . . . . 9
189188oveq1d 6096 . . . . . . . 8
190169, 22, 26divcld 9790 . . . . . . . . . 10
19191rpcnd 10650 . . . . . . . . . 10
19293rpcnd 10650 . . . . . . . . . 10
19393rpne0d 10653 . . . . . . . . . 10
194190, 191, 192, 123, 193divdiv1d 9821 . . . . . . . . 9
195169, 22, 191, 26, 123divdiv32d 9815 . . . . . . . . . . 11
196158rpcnd 10650 . . . . . . . . . . . . . 14
197161rpcnd 10650 . . . . . . . . . . . . . 14
198196, 197, 191, 123div23d 9827 . . . . . . . . . . . . 13
19932rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20032rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20121nnred 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
202153nn0ge0d 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
203199, 200, 201, 202sqrmuld 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16
204199, 200, 1, 3sqrmuld 12227 . . . . . . . . . . . . . . . 16
205203, 204oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15
20630sqrcld 12239 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20722sqrcld 12239 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20823sqrcld 12239 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20932rpsqrcld 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
210209rpne0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2115rpsqrcld 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
212211rpne0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
213206, 206, 207, 208, 210, 212divmuldivd 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15
214206, 210dividd 9788 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215201, 202, 5sqrdivd 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
216215eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16
217214, 216oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15
218205, 213, 2173eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . . . . 14
219218oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13
22025sqrcld 12239 . . . . . . . . . . . . . . 15
221220mulid2d 9106 . . . . . . . . . . . . . 14
222221oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13
223198, 219, 2223eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12
224223oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
225195, 224eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10
226225oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
227194, 226eqtr3d 2470 . . . . . . . 8
228220, 197mulcld 9108 . . . . . . . . . 10
229228, 22, 192, 26, 193divdiv32d 9815 . . . . . . . . 9
230220, 197, 192, 193divassd 9825 . . . . . . . . . . 11
23112rpcnd 10650 . . . . . . . . . . . . . 14
23212rpne0d 10653 . . . . . . . . . . . . . 14
23322, 231, 232, 153expdivd 11537 . . . . . . . . . . . . 13
23423, 231, 232, 2expdivd 11537 . . . . . . . . . . . . 13
235233, 234oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12
236235oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
23722, 153expcld 11523 . . . . . . . . . . . . . 14
238231, 153expcld 11523 . . . . . . . . . . . . . 14
23923, 2expcld 11523 . . . . . . . . . . . . . 14
240231, 2expcld 11523 . . . . . . . . . . . . . 14
241231, 232, 160expne0d 11529 . . . . . . . . . . . . . 14
242231, 232, 8expne0d 11529 . . . . . . . . . . . . . 14
24323, 24, 8expne0d 11529 . . . . . . . . . . . . . 14
244237, 238, 239, 240, 241, 242, 243divdivdivd 9837 . . . . . . . . . . . . 13
245237, 240mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . . . 14
246245oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13
247240, 238, 237, 239, 241, 243divmuldivd 9831 . . . . . . . . . . . . . 14
248231, 2expp1d 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
249248oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16
250240, 240, 231, 242, 232divdiv1d 9821 . . . . . . . . . . . . . . . 16
251240, 242dividd 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
252251oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16
253249, 250, 2523eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15
254253oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14
255247, 254eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13
256244, 246, 2553eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12
257256oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
258230, 236, 2573eqtrd 2472 . . . . . . . . . 10
259258oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
260237, 239, 243divcld 9790 . . . . . . . . . . . . 13
26137, 231, 260, 232div32d 9813 . . . . . . . . . . . 12
262260, 231, 232divcld 9790 . . . . . . . . . . . . 13
263262mulid2d 9106 . . . . . . . . . . . 12
264261, 263eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11
265264oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10
266231, 232reccld 9783 . . . . . . . . . . . 12
267266, 260mulcld 9108 . . . . . . . . . . 11
268220, 267, 22, 26div23d 9827 . . . . . . . . . 10
269220, 22, 26divcld 9790 . . . . . . . . . . 11
270269, 260, 231, 232divassd 9825 . . . . . . . . . 10
271265, 268, 2703eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9
272229, 259, 2713eqtrd 2472 . . . . . . . 8
273189, 227, 2723eqtrd 2472 . . . . . . 7
274184, 187, 2733eqtrd 2472 . . . . . 6
275173, 181, 2743eqtrd 2472 . . . . 5
276220, 22, 260, 26div32d 9813 . . . . . . 7
27722, 2expp1d 11524 . . . . . . . . . . . 12
278277oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
27922, 2expcld 11523 . . . . . . . . . . . 12
280279, 22, 26divcan4d 9796 . . . . . . . . . . 11
281278, 280eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10
282281oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
283237, 239, 22, 243, 26divdiv32d 9815 . . . . . . . . 9
28422, 23, 24, 2expdivd 11537 . . . . . . . . 9
285282, 283, 2843eqtr4d 2478 . . . . . . . 8
286285oveq2d 6097 . . . . . . 7
287276, 286eqtrd 2468 . . . . . 6
288287oveq1d 6096 . . . . 5
289165, 275, 2883eqtrd 2472 . . . 4
290289fveq2d 5732 . . 3
29185, 86, 2903eqtr2d 2474 . 2
29237, 45addcld 9107 . . . . . 6
293292halfcld 10212 . . . . 5
294293, 28mulcld 9108 . . . 4
295294, 37subcld 9411 . . 3
296 stirlinglem4.3 . . . . 5
297296a1i 11 . . . 4
298 simpr 448 . . . . . . . . 9
299298oveq2d 6097 . . . . . . . 8
300299oveq2d 6097 . . . . . . 7
301300oveq1d 6096 . . . . . 6
302298oveq1d 6096 . . . . . . . 8
303302, 298oveq12d 6099 . . . . . . 7
304303fveq2d 5732 . . . . . 6
305301, 304oveq12d 6099 . . . . 5
306305oveq1d 6096 . . . 4
307 simpl 444 . . . 4
308 simpr 448 . . . 4
309297, 306, 307, 308fvmptd 5810 . . 3
310295, 309mpdan 650 . 2
31154, 291, 3103eqtr4d 2478 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   cmpt 4266  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  crp 10612  cexp 11382  cfa 11566  csqr 12038  ceu 12665  clog 20452 This theorem is referenced by:  stirlinglem9  27807 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455
 Copyright terms: Public domain W3C validator