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Theorem stirlinglem6 27151
Description: A series that converges to log (N+1)/N (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem6.1  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem6  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
Distinct variable group:    j, N
Allowed substitution hint:    H( j)

Proof of Theorem stirlinglem6
StepHypRef Expression
1 2re 9902 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
21a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
3 nnre 9840 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
42, 3remulcld 8950 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
5 2pos 9915 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
6 0re 8925 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
76, 1ltlei 9027 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  2  ->  0  <_  2 )
85, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <_  2
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  2 )
106a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
11 nngt0 9862 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1210, 3, 11ltled 9054 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
132, 3, 9, 12mulge0d 9436 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  N
) )
144, 13ge0p1rpd 10505 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR+ )
1514rpreccld 10489 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR+ )
16 1re 8924 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
1716a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
1817renegcld 9297 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  RR )
1915rpred 10479 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
20 0lt1 9383 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
21 lt0neg2 9368 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
2216, 21ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
2320, 22mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  -u 1  <  0
2423a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  0 )
2515rpgt0d 10482 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )
2618, 10, 19, 24, 25lttrd 9064 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )
27 ax-1cn 8882 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2827a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
2928div1d 9615 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  =  1 )
30 2rp 10448 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
3130a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
32 nnrp 10452 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
3331, 32rpmulcld 10495 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
3417, 33ltaddrp2d 10509 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3529, 34eqbrtrd 4122 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
36 1rp 10447 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
3736a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
3837rpregt0d 10485 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
3914rpregt0d 10485 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
4017, 38, 393jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )
41 ltdiv23 9734 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
1 )  <  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <  1 ) )
4240, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  1
)  <  ( (
2  x.  N )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <  1 ) )
4335, 42mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <  1 )
4426, 43jca 518 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u 1  <  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /\  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <  1 ) )
4519, 17absltd 12002 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  /\  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  <  1 ) ) )
4644, 45mpbird 223 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1 )
4715, 46jca 518 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR+  /\  ( abs `  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1 ) )
48 eqid 2358 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )
49 eqid 2358 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ j )  / 
j ) )
50 eqid 2358 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ j
)  /  j ) )  +  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ j
)  /  j ) )  +  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ j )  /  j ) ) )
51 stirlinglem6.1 . . . 4  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
52 eqid 2358 . . . 4  |-  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  =  ( j  e. 
NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
53 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR+  /\  ( abs `  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1 )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR+ )
54 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR+  /\  ( abs `  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1 )  ->  ( abs `  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1 )
5548, 49, 50, 51, 52, 53, 54stirlinglem5 27150 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  e.  RR+  /\  ( abs `  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) ) )
5647, 55syl 15 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) ) )
57 2cn 9903 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
5857a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
59 nncn 9841 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
6058, 59mulcld 8942 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
6160, 28addcld 8941 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
624, 17readdcld 8949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
635a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
642, 3, 63, 11mulgt0d 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  N
) )
654ltp1d 9774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
6610, 4, 62, 64, 65lttrd 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
6710, 66ltned 9042 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  =/=  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
6867necomd 2604 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
6961, 68dividd 9621 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  1 )
7069eqcomd 2363 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
7170oveq1d 5957 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
7270oveq1d 5957 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
7371, 72oveq12d 5960 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )
7461, 28, 61, 68divdird 9661 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
7574eqcomd 2363 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
7661, 28, 61, 68divsubdird 9662 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
7776eqcomd 2363 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 )  -  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
7875, 77oveq12d 5960 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  - 
1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
7960, 28, 28addassd 8944 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  +  1 ) ) )
80 1p1e2 9927 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8180a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
8281oveq2d 5958 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  2 ) )
8358mulid1d 8939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
8483eqcomd 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
8584oveq2d 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8658, 59, 28adddid 8946 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8786eqcomd 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
8885, 87eqtrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  2 )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
8979, 82, 883eqtrd 2394 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( N  +  1 ) ) )
9089oveq1d 5957 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
9160, 28, 28addsubassd 9264 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 1  -  1 ) ) )
9228subidd 9232 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  =  0 )
9392oveq2d 5958 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  ( 1  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  0 ) )
9460addid1d 9099 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  0 )  =  ( 2  x.  N ) )
9591, 93, 943eqtrd 2394 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  N ) )
9695oveq1d 5957 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )
9790, 96oveq12d 5960 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  +  1 )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  -  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
98 eqidd 2359 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
9978, 97, 983eqtrd 2394 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  N )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ) )
10059, 28addcld 8941 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
10158, 100mulcld 8942 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
10210, 64gtned 9041 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =/=  0 )
103101, 60, 61, 102, 68divcan7d 9651 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( 2  x.  N
) ) )
10410, 63gtned 9041 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
10510, 11gtned 9041 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
10658, 58, 100, 59, 104, 105divmuldivd 9664 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  /  2
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( 2  x.  N
) ) )
107106eqcomd 2363 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( 2  /  2 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
10858, 104dividd 9621 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  /  2 )  =  1 )
109108oveq1d 5957 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  /  2
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( 1  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
110100, 59, 105divcld 9623 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
111110mulid2d 8940 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
112109, 111eqtrd 2390 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  /  2
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
113103, 107, 1123eqtrd 2394 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( N  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  N )  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
11473, 99, 1133eqtrd 2394 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
115114fveq2d 5609 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) )  / 
( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
11656, 115breqtrd 4126 1  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124   -ucneg 9125    / cdiv 9510   NNcn 9833   2c2 9882   NN0cn0 10054   RR+crp 10443    seq cseq 11135   ^cexp 11194   abscabs 11809    ~~> cli 12048   logclog 20013
This theorem is referenced by:  stirlinglem7  27152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ioc 10750  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-fac 11379  df-bc 11406  df-hash 11428  df-shft 11652  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-limsup 12035  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-ef 12440  df-sin 12442  df-cos 12443  df-tan 12444  df-pi 12445  df-dvds 12623  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lp 16968  df-perf 16969  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-haus 17143  df-cmp 17214  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cncf 18479  df-limc 19314  df-dv 19315  df-ulm 19854  df-log 20015
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