Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Unicode version

Theorem stirlinglem8 27153
 Description: If converges to , then converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1
stirlinglem8.2
stirlinglem8.3
stirlinglem8.4
stirlinglem8.5
stirlinglem8.6
stirlinglem8.7
stirlinglem8.8
stirlinglem8.9
stirlinglem8.10
stirlinglem8.11
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3
2 stirlinglem8.7 . . . 4
3 nfmpt1 4190 . . . 4
42, 3nfcxfr 2491 . . 3
5 stirlinglem8.8 . . . 4
6 nfmpt1 4190 . . . 4
75, 6nfcxfr 2491 . . 3
8 stirlinglem8.6 . . . 4
9 nfmpt1 4190 . . . 4
108, 9nfcxfr 2491 . . 3
11 nnuz 10355 . . 3
12 1z 10145 . . . 4
1312a1i 10 . . 3
14 stirlinglem8.2 . . . 4
15 stirlinglem8.5 . . . . . 6
16 rrpsscn 27042 . . . . . . 7
1716a1i 10 . . . . . 6
1815, 17jca 518 . . . . 5
19 fss 5480 . . . . 5
2018, 19syl 15 . . . 4
21 stirlinglem8.11 . . . 4
22 4nn0 10076 . . . . 5
2322a1i 10 . . . 4
24 nnex 9842 . . . . . . 7
2524mptex 5832 . . . . . 6
262, 25eqeltri 2428 . . . . 5
2726a1i 10 . . . 4
28 simpr 447 . . . . . 6
2915ffvelrnda 5748 . . . . . . . 8
3029rpcnd 10484 . . . . . . 7
3122a1i 10 . . . . . . 7
3230, 31expcld 11338 . . . . . 6
3328, 32jca 518 . . . . 5
342fvmpt2 5691 . . . . 5
3533, 34syl 15 . . . 4
361, 14, 4, 11, 13, 20, 21, 23, 27, 35climexp 27054 . . 3
3724mptex 5832 . . . . 5
388, 37eqeltri 2428 . . . 4
3938a1i 10 . . 3
40 stirlinglem8.3 . . . 4
4120adantr 451 . . . . . 6
42 2nn 9969 . . . . . . . . 9
4342a1i 10 . . . . . . . 8
44 id 19 . . . . . . . 8
4543, 44nnmulcld 9883 . . . . . . 7
4628, 45syl 15 . . . . . 6
4741, 46ffvelrnd 5749 . . . . 5
48 stirlinglem8.4 . . . . 5
491, 47, 48fmptdf 27041 . . . 4
50 nfmpt1 4190 . . . . 5
5124a1i 10 . . . . . . 7
5220, 51jca 518 . . . . . 6
53 fex 5835 . . . . . 6
5452, 53syl 15 . . . . 5
55 1nn 9847 . . . . . . . . 9
5655a1i 10 . . . . . . . 8
57 2cn 9906 . . . . . . . . . 10
5857a1i 10 . . . . . . . . 9
59 ax-1cn 8885 . . . . . . . . . 10
6059a1i 10 . . . . . . . . 9
6158, 60mulcld 8945 . . . . . . . 8
6256, 61jca 518 . . . . . . 7
63 nfcv 2494 . . . . . . . 8
64 nfcv 2494 . . . . . . . 8
65 oveq2 5953 . . . . . . . 8
66 eqid 2358 . . . . . . . 8
6763, 64, 65, 66fvmptf 5699 . . . . . . 7
6862, 67syl 15 . . . . . 6
6942a1i 10 . . . . . . 7
7069, 56nnmulcld 9883 . . . . . 6
7168, 70eqeltrd 2432 . . . . 5
7243nnge1d 9878 . . . . . . . . 9
73 1re 8927 . . . . . . . . . . 11
7473a1i 10 . . . . . . . . . 10
7543nnred 9851 . . . . . . . . . 10
7645nnred 9851 . . . . . . . . . 10
7774, 75, 76leadd2d 9457 . . . . . . . . 9
7872, 77mpbid 201 . . . . . . . 8
7944, 45jca 518 . . . . . . . . . 10
8066fvmpt2 5691 . . . . . . . . . 10
8179, 80syl 15 . . . . . . . . 9
8281oveq1d 5960 . . . . . . . 8
83 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . 12
84 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . 12
85 oveq2 5953 . . . . . . . . . . . 12
8683, 84, 85cbvmpt 4191 . . . . . . . . . . 11
8786a1i 10 . . . . . . . . . 10
88 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
8988oveq2d 5961 . . . . . . . . . 10
90 peano2nn 9848 . . . . . . . . . 10
9143, 90nnmulcld 9883 . . . . . . . . . 10
9287, 89, 90, 91fvmptd 5689 . . . . . . . . 9
9357a1i 10 . . . . . . . . . . 11
94 nncn 9844 . . . . . . . . . . 11
9559a1i 10 . . . . . . . . . . 11
9693, 94, 95adddid 8949 . . . . . . . . . 10
9793mulid1d 8942 . . . . . . . . . . 11
9897oveq2d 5961 . . . . . . . . . 10
9996, 98eqtrd 2390 . . . . . . . . 9
10092, 99eqtrd 2390 . . . . . . . 8
10178, 82, 1003brtr4d 4134 . . . . . . 7
10245nnzd 10208 . . . . . . . . . . 11
10381, 102eqeltrd 2432 . . . . . . . . . 10
104103peano2zd 10212 . . . . . . . . 9
10591nnzd 10208 . . . . . . . . . 10
10692, 105eqeltrd 2432 . . . . . . . . 9
107104, 106jca 518 . . . . . . . 8
108 eluz 10333 . . . . . . . 8
109107, 108syl 15 . . . . . . 7
110101, 109mpbird 223 . . . . . 6
111110adantl 452 . . . . 5
11224mptex 5832 . . . . . . 7
11348, 112eqeltri 2428 . . . . . 6
114113a1i 10 . . . . 5
11528, 47jca 518 . . . . . . 7
11648fvmpt2 5691 . . . . . . 7
117115, 116syl 15 . . . . . 6
11828, 81syl 15 . . . . . . . 8
119118eqcomd 2363 . . . . . . 7
120119fveq2d 5612 . . . . . 6
121117, 120eqtrd 2390 . . . . 5
1221, 14, 40, 50, 11, 13, 54, 30, 21, 71, 111, 114, 121climsuse 27057 . . . 4
123 2nn0 10074 . . . . 5
124123a1i 10 . . . 4
12524mptex 5832 . . . . . 6
1265, 125eqeltri 2428 . . . . 5
127126a1i 10 . . . 4
128117, 47eqeltrd 2432 . . . . . . 7
129128sqcld 11336 . . . . . 6
13028, 129jca 518 . . . . 5
1315fvmpt2 5691 . . . . 5
132130, 131syl 15 . . . 4
1331, 40, 7, 11, 13, 49, 122, 124, 127, 132climexp 27054 . . 3
134 stirlinglem8.10 . . . . 5
135134rpcnd 10484 . . . 4
136134rpne0d 10487 . . . 4
137 2z 10146 . . . . 5
138137a1i 10 . . . 4
139135, 136, 138expne0d 11344 . . 3
1401, 32, 2fmptdf 27041 . . . 4
141140ffvelrnda 5748 . . 3
142132, 129eqeltrd 2432 . . . . 5
143 0re 8928 . . . . . . . . . 10
144143a1i 10 . . . . . . . . 9
145117oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . 12
146132, 145eqtrd 2390 . . . . . . . . . . 11
147 stirlinglem8.9 . . . . . . . . . . . . 13
148117, 147eqeltrrd 2433 . . . . . . . . . . . 12
149137a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
150148, 149rpexpcld 11361 . . . . . . . . . . 11
151146, 150eqeltrd 2432 . . . . . . . . . 10
152151rpgt0d 10485 . . . . . . . . 9
153144, 152jca 518 . . . . . . . 8
154 ltne 9007 . . . . . . . 8
155153, 154syl 15 . . . . . . 7
156155neneqd 2537 . . . . . 6
157 0cn 8921 . . . . . . 7
158 elsnc2g 3744 . . . . . . 7
159157, 158ax-mp 8 . . . . . 6
160156, 159sylnibr 296 . . . . 5
161142, 160jca 518 . . . 4
162 eldif 3238 . . . 4
163161, 162sylibr 203 . . 3
16431nn0zd 10207 . . . . . . . 8
16529, 164rpexpcld 11361 . . . . . . 7
166147, 149rpexpcld 11361 . . . . . . 7
167165, 166rpdivcld 10499 . . . . . 6
16828, 167jca 518 . . . . 5
1698fvmpt2 5691 . . . . 5
170168, 169syl 15 . . . 4
17128, 165jca 518 . . . . . . 7
1722fvmpt2 5691 . . . . . . 7
173171, 172syl 15 . . . . . 6
174173, 132oveq12d 5963 . . . . 5
175174eqcomd 2363 . . . 4
176170, 175eqtrd 2390 . . 3
1771, 4, 7, 10, 11, 13, 36, 39, 133, 139, 141, 163, 176climdivf 27061 . 2
178 4cn 9910 . . . . . . 7
179 2p2e4 9934 . . . . . . 7
180178, 57, 57, 179subaddrii 9225 . . . . . 6
181180eqcomi 2362 . . . . 5
182181a1i 10 . . . 4
183182oveq2d 5961 . . 3
18423nn0zd 10207 . . . 4
185135, 136, 138, 184expsubd 11349 . . 3
186183, 185eqtrd 2390 . 2
187177, 186breqtrrd 4130 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358  wnf 1544   wceq 1642   wcel 1710  wnfc 2481   wne 2521  cvv 2864   cdif 3225   wss 3228  csn 3716   class class class wbr 4104   cmpt 4158  wf 5333  cfv 5337  (class class class)co 5945  cc 8825  cr 8826  cc0 8827  c1 8828   caddc 8830   cmul 8832   clt 8957   cle 8958   cmin 9127   cdiv 9513  cn 9836  c2 9885  c4 9887  cn0 10057  cz 10116  cuz 10322  crp 10446  cexp 11197   cli 12054 This theorem is referenced by:  stirlinglem15  27160 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-mulf 8907 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485
 Copyright terms: Public domain W3C validator