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Theorem stirlinglem8 27808
Description: If  A converges to  C, then 
F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1  |-  F/ n ph
stirlinglem8.2  |-  F/_ n A
stirlinglem8.3  |-  F/_ n D
stirlinglem8.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem8.5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
stirlinglem8.10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem8.11  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4300 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2571 . . 3  |-  F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4300 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2571 . . 3  |-  F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4300 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2571 . . 3  |-  F/_ n F
11 nnuz 10523 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10313 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 stirlinglem8.2 . . . 4  |-  F/_ n A
15 stirlinglem8.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
16 rrpsscn 27697 . . . . 5  |-  RR+  C_  CC
17 fss 5601 . . . . 5  |-  ( ( A : NN --> RR+  /\  RR+  C_  CC )  ->  A : NN --> CC )
1815, 16, 17sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN --> CC )
19 stirlinglem8.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
20 4nn0 10242 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
22 nnex 10008 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5968 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  e.  _V
242, 23eqeltri 2508 . . . . 5  |-  L  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
26 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2715ffvelrnda 5872 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  RR+ )
2827rpcnd 10652 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
2920a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e. 
NN0 )
3028, 29expcld 11525 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )
312fvmpt2 5814 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )  ->  ( L `  n )  =  ( ( A `  n
) ^ 4 ) )
3226, 30, 31syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
331, 14, 4, 11, 13, 18, 19, 21, 25, 32climexp 27709 . . 3  |-  ( ph  ->  L  ~~>  ( C ^
4 ) )
3422mptex 5968 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )  e.  _V
358, 34eqeltri 2508 . . . 4  |-  F  e. 
_V
3635a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
37 stirlinglem8.3 . . . 4  |-  F/_ n D
3818adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN
--> CC )
39 2nn 10135 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
41 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
4240, 41nnmulcld 10049 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
4342adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
4438, 43ffvelrnd 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
45 stirlinglem8.4 . . . . 5  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
461, 44, 45fmptdf 27696 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : NN --> CC )
47 nfmpt1 4300 . . . . 5  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) )
48 fex 5971 . . . . . 6  |-  ( ( A : NN --> CC  /\  NN  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
4918, 22, 48sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
50 1nn 10013 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
51 2cn 10072 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 ax-1cn 9050 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5552, 54mulcld 9110 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  CC )
56 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  1 ) )
57 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )
5856, 57fvmptg 5806 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
5950, 55, 58sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
6039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
6260, 61nnmulcld 10049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  NN )
6359, 62eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  e.  NN )
64 1re 9092 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
6640nnred 10017 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
6742nnred 10017 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
6840nnge1d 10044 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  2 )
6965, 66, 67, 68leadd2dd 9643 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
7057fvmpt2 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  =  ( 2  x.  n
) )
7142, 70mpdan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  =  ( 2  x.  n ) )
7271oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
73 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
7473cbvmptv 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) )
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) ) )
76 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  k  =  ( n  +  1 ) )
7776oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
78 peano2nn 10014 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
7940, 78nnmulcld 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
8075, 77, 78, 79fvmptd 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )
8151a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
82 nncn 10010 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
8353a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
8481, 82, 83adddid 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8581mulid1d 9107 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
8685oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8780, 84, 863eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8869, 72, 873brtr4d 4244 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
8942nnzd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
9071, 89eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  e.  ZZ )
9190peano2zd 10380 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  e.  ZZ )
9279nnzd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
9380, 92eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
94 eluz 10501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <->  ( (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  +  1 )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
9591, 93, 94syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
9688, 95mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 ) ) )
9796adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) ) )
9822mptex 5968 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )  e.  _V
9945, 98eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
10099a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
10145fvmpt2 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
10226, 44, 101syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
2  x.  n ) ) )
10371adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  =  ( 2  x.  n ) )
104103eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n ) )
105104fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
106102, 105eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
1071, 14, 37, 47, 11, 13, 49, 28, 19, 63, 97, 100, 106climsuse 27712 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  ~~>  C )
108 2nn0 10240 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
109108a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
11022mptex 5968 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  _V
1115, 110eqeltri 2508 . . . . 5  |-  M  e. 
_V
112111a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  _V )
113 stirlinglem8.9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
114113rpcnd 10652 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  CC )
115114sqcld 11523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )
1165fvmpt2 5814 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( M `  n )  =  ( ( D `  n
) ^ 2 ) )
11726, 115, 116syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
1181, 37, 7, 11, 13, 46, 107, 109, 112, 117climexp 27709 . . 3  |-  ( ph  ->  M  ~~>  ( C ^
2 ) )
119 stirlinglem8.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
120119rpcnd 10652 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
121119rpne0d 10655 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
122 2z 10314 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
123122a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
124120, 121, 123expne0d 11531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =/=  0 )
1251, 30, 2fmptdf 27696 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : NN --> CC )
126125ffvelrnda 5872 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  e.  CC )
127117, 115eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  CC )
128102oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
129117, 128eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
130102, 113eqeltrrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
131122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
132130, 131rpexpcld 11548 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
133129, 132eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  RR+ )
134133rpne0d 10655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =/=  0 )
135134neneqd 2619 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  =  0 )
136 0cn 9086 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
137 elsnc2g 3844 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( M `  n
)  e.  { 0 }  <->  ( M `  n )  =  0 ) )
138136, 137ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( M `  n )  e.  { 0 }  <-> 
( M `  n
)  =  0 )
139135, 138sylnibr 298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  e.  { 0 } )
140127, 139eldifd 3333 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
14129nn0zd 10375 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e.  ZZ )
14227, 141rpexpcld 11548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )
143113, 131rpexpcld 11548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  RR+ )
144142, 143rpdivcld 10667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
1458fvmpt2 5814 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  RR+ )  ->  ( F `  n
)  =  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )
14626, 144, 145syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
1472fvmpt2 5814 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )  ->  ( L `  n
)  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
14826, 142, 147syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
149148, 117oveq12d 6101 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( L `  n )  /  ( M `  n ) )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
150146, 149eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( L `  n )  /  ( M `  n )
) )
1511, 4, 7, 10, 11, 13, 33, 36, 118, 124, 126, 140, 150climdivf 27716 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( ( C ^ 4 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
152 4cn 10076 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
153 2p2e4 10100 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  2 )  =  4
154152, 51, 51, 153subaddrii 9391 . . . . . 6  |-  ( 4  -  2 )  =  2
155154eqcomi 2442 . . . . 5  |-  2  =  ( 4  -  2 )
156155a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =  ( 4  -  2 ) )
157156oveq2d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C ^ ( 4  -  2 ) ) )
15821nn0zd 10375 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  ZZ )
159120, 121, 123, 158expsubd 11536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
4  -  2 ) )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
160157, 159eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
161151, 160breqtrrd 4240 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   4c4 10053   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ^cexp 11384    ~~> cli 12280
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910
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