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Theorem stirlinglem8 27830
Description: If  A converges to  C, then 
F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1  |-  F/ n ph
stirlinglem8.2  |-  F/_ n A
stirlinglem8.3  |-  F/_ n D
stirlinglem8.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem8.5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
stirlinglem8.10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem8.11  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4109 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2416 . . 3  |-  F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4109 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2416 . . 3  |-  F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4109 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2416 . . 3  |-  F/_ n F
11 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 stirlinglem8.2 . . . 4  |-  F/_ n A
15 stirlinglem8.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
16 rrpsscn 27719 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  CC
1716a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  CC )
1815, 17jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A : NN --> RR+ 
/\  RR+  C_  CC )
)
19 fss 5397 . . . . 5  |-  ( ( A : NN --> RR+  /\  RR+  C_  CC )  ->  A : NN --> CC )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN --> CC )
21 stirlinglem8.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
22 4nn0 9984 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
2322a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
24 nnex 9752 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2524mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  e.  _V
262, 25eqeltri 2353 . . . . 5  |-  L  e. 
_V
2726a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
28 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2915ffvelrnda 5665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  RR+ )
3029rpcnd 10392 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
3122a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e. 
NN0 )
3230, 31expcld 11245 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )
3328, 32jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC ) )
342fvmpt2 5608 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )  ->  ( L `  n )  =  ( ( A `  n
) ^ 4 ) )
3533, 34syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
361, 14, 4, 11, 13, 20, 21, 23, 27, 35climexp 27731 . . 3  |-  ( ph  ->  L  ~~>  ( C ^
4 ) )
3724mptex 5746 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )  e.  _V
388, 37eqeltri 2353 . . . 4  |-  F  e. 
_V
3938a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
40 stirlinglem8.3 . . . 4  |-  F/_ n D
4120adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN
--> CC )
42 2nn 9877 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
4342a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
44 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
4543, 44nnmulcld 9793 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
4628, 45syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
4741, 46ffvelrnd 5666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
48 stirlinglem8.4 . . . . 5  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
491, 47, 48fmptdf 27718 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : NN --> CC )
50 nfmpt1 4109 . . . . 5  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) )
5124a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
5220, 51jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A : NN --> CC  /\  NN  e.  _V ) )
53 fex 5749 . . . . . 6  |-  ( ( A : NN --> CC  /\  NN  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
5452, 53syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
55 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
5655a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
57 2cn 9816 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
5857a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
59 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6059a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
6158, 60mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  CC )
6256, 61jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  NN  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC ) )
63 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
1
64 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( 2  x.  1 )
65 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  1 ) )
66 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )
6763, 64, 65, 66fvmptf 5616 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
6862, 67syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
6942a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
7069, 56nnmulcld 9793 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  NN )
7168, 70eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  e.  NN )
7243nnge1d 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  2 )
73 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
7473a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
7543nnred 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
7645nnred 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
7774, 75, 76leadd2d 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  <_  2  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  <_ 
( ( 2  x.  n )  +  2 ) ) )
7872, 77mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
7944, 45jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  e.  NN ) )
8066fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  =  ( 2  x.  n
) )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  =  ( 2  x.  n ) )
8281oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
83 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( 2  x.  n
)
84 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( 2  x.  k
)
85 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
8683, 84, 85cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) )
8786a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) ) )
88 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  k  =  ( n  +  1 ) )
8988oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
90 peano2nn 9758 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
9143, 90nnmulcld 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
9287, 89, 90, 91fvmptd 5606 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )
9357a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
94 nncn 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9559a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
9693, 94, 95adddid 8859 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
9793mulid1d 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
9897oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
9996, 98eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
10092, 99eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
10178, 82, 1003brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
10245nnzd 10116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
10381, 102eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  e.  ZZ )
104103peano2zd 10120 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  e.  ZZ )
10591nnzd 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
10692, 105eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
107104, 106jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ ) )
108 eluz 10241 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <->  ( (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  +  1 )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
109107, 108syl 15 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
110101, 109mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 ) ) )
111110adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) ) )
11224mptex 5746 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )  e.  _V
11348, 112eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
114113a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
11528, 47jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC ) )
11648fvmpt2 5608 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
117115, 116syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
2  x.  n ) ) )
11828, 81syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  =  ( 2  x.  n ) )
119118eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n ) )
120119fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
121117, 120eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
1221, 14, 40, 50, 11, 13, 54, 30, 21, 71, 111, 114, 121climsuse 27734 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  ~~>  C )
123 2nn0 9982 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
124123a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
12524mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  _V
1265, 125eqeltri 2353 . . . . 5  |-  M  e. 
_V
127126a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  _V )
128117, 47eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  CC )
129128sqcld 11243 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )
13028, 129jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC ) )
1315fvmpt2 5608 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( M `  n )  =  ( ( D `  n
) ^ 2 ) )
132130, 131syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
1331, 40, 7, 11, 13, 49, 122, 124, 127, 132climexp 27731 . . 3  |-  ( ph  ->  M  ~~>  ( C ^
2 ) )
134 stirlinglem8.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
135134rpcnd 10392 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
136134rpne0d 10395 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
137 2z 10054 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
138137a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
139135, 136, 138expne0d 11251 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =/=  0 )
1401, 32, 2fmptdf 27718 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : NN --> CC )
141140ffvelrnda 5665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  e.  CC )
142132, 129eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  CC )
143 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
144143a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
145117oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
146132, 145eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
147 stirlinglem8.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
148117, 147eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
149137a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
150148, 149rpexpcld 11268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
151146, 150eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  RR+ )
152151rpgt0d 10393 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( M `  n
) )
153144, 152jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( M `  n
) ) )
154 ltne 8917 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( M `  n ) )  -> 
( M `  n
)  =/=  0 )
155153, 154syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =/=  0 )
156155neneqd 2462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  =  0 )
157 0cn 8831 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
158 elsnc2g 3668 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( M `  n
)  e.  { 0 }  <->  ( M `  n )  =  0 ) )
159157, 158ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( M `  n )  e.  { 0 }  <-> 
( M `  n
)  =  0 )
160156, 159sylnibr 296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  e.  { 0 } )
161142, 160jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  n )  e.  CC  /\  -.  ( M `  n )  e.  { 0 } ) )
162 eldif 3162 . . . 4  |-  ( ( M `  n )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( M `  n )  e.  CC  /\ 
-.  ( M `  n )  e.  {
0 } ) )
163161, 162sylibr 203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
16431nn0zd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e.  ZZ )
16529, 164rpexpcld 11268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )
166147, 149rpexpcld 11268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  RR+ )
167165, 166rpdivcld 10407 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
16828, 167jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  RR+ ) )
1698fvmpt2 5608 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  RR+ )  ->  ( F `  n
)  =  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )
170168, 169syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
17128, 165jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  RR+ ) )
1722fvmpt2 5608 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )  ->  ( L `  n
)  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
173171, 172syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
174173, 132oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( L `  n )  /  ( M `  n ) )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
175174eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  =  ( ( L `  n )  /  ( M `  n )
) )
176170, 175eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( L `  n )  /  ( M `  n )
) )
1771, 4, 7, 10, 11, 13, 36, 39, 133, 139, 141, 163, 176climdivf 27738 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( ( C ^ 4 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
178 4cn 9820 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
179 2p2e4 9842 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  2 )  =  4
180178, 57, 57, 179subaddrii 9135 . . . . . 6  |-  ( 4  -  2 )  =  2
181180eqcomi 2287 . . . . 5  |-  2  =  ( 4  -  2 )
182181a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =  ( 4  -  2 ) )
183182oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C ^ ( 4  -  2 ) ) )
18423nn0zd 10115 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  ZZ )
185135, 136, 138, 184expsubd 11256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
4  -  2 ) )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
186183, 185eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
187177, 186breqtrrd 4049 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   4c4 9797   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ^cexp 11104    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382
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