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Theorem stirlinglem8 27153
Description: If  A converges to  C, then 
F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1  |-  F/ n ph
stirlinglem8.2  |-  F/_ n A
stirlinglem8.3  |-  F/_ n D
stirlinglem8.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem8.5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
stirlinglem8.10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem8.11  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4190 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2491 . . 3  |-  F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4190 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2491 . . 3  |-  F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4190 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2491 . . 3  |-  F/_ n F
11 nnuz 10355 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10145 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 stirlinglem8.2 . . . 4  |-  F/_ n A
15 stirlinglem8.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
16 rrpsscn 27042 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  CC
1716a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  CC )
1815, 17jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A : NN --> RR+ 
/\  RR+  C_  CC )
)
19 fss 5480 . . . . 5  |-  ( ( A : NN --> RR+  /\  RR+  C_  CC )  ->  A : NN --> CC )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN --> CC )
21 stirlinglem8.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
22 4nn0 10076 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
2322a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
24 nnex 9842 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2524mptex 5832 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  e.  _V
262, 25eqeltri 2428 . . . . 5  |-  L  e. 
_V
2726a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
28 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2915ffvelrnda 5748 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  RR+ )
3029rpcnd 10484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
3122a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e. 
NN0 )
3230, 31expcld 11338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )
3328, 32jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC ) )
342fvmpt2 5691 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )  ->  ( L `  n )  =  ( ( A `  n
) ^ 4 ) )
3533, 34syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
361, 14, 4, 11, 13, 20, 21, 23, 27, 35climexp 27054 . . 3  |-  ( ph  ->  L  ~~>  ( C ^
4 ) )
3724mptex 5832 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )  e.  _V
388, 37eqeltri 2428 . . . 4  |-  F  e. 
_V
3938a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
40 stirlinglem8.3 . . . 4  |-  F/_ n D
4120adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN
--> CC )
42 2nn 9969 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
4342a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
44 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
4543, 44nnmulcld 9883 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
4628, 45syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
4741, 46ffvelrnd 5749 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
48 stirlinglem8.4 . . . . 5  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
491, 47, 48fmptdf 27041 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : NN --> CC )
50 nfmpt1 4190 . . . . 5  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) )
5124a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
5220, 51jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A : NN --> CC  /\  NN  e.  _V ) )
53 fex 5835 . . . . . 6  |-  ( ( A : NN --> CC  /\  NN  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
5452, 53syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
55 1nn 9847 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
5655a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
57 2cn 9906 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
5857a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
59 ax-1cn 8885 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6059a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
6158, 60mulcld 8945 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  CC )
6256, 61jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  NN  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC ) )
63 nfcv 2494 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
1
64 nfcv 2494 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( 2  x.  1 )
65 oveq2 5953 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  1 ) )
66 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )
6763, 64, 65, 66fvmptf 5699 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
6862, 67syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
6942a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
7069, 56nnmulcld 9883 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  NN )
7168, 70eqeltrd 2432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  e.  NN )
7243nnge1d 9878 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  2 )
73 1re 8927 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
7473a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
7543nnred 9851 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
7645nnred 9851 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
7774, 75, 76leadd2d 9457 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  <_  2  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  <_ 
( ( 2  x.  n )  +  2 ) ) )
7872, 77mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
7944, 45jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  e.  NN ) )
8066fvmpt2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  =  ( 2  x.  n
) )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  =  ( 2  x.  n ) )
8281oveq1d 5960 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
83 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( 2  x.  n
)
84 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( 2  x.  k
)
85 oveq2 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
8683, 84, 85cbvmpt 4191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) )
8786a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) ) )
88 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  k  =  ( n  +  1 ) )
8988oveq2d 5961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
90 peano2nn 9848 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
9143, 90nnmulcld 9883 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
9287, 89, 90, 91fvmptd 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )
9357a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
94 nncn 9844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9559a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
9693, 94, 95adddid 8949 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
9793mulid1d 8942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
9897oveq2d 5961 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
9996, 98eqtrd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
10092, 99eqtrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
10178, 82, 1003brtr4d 4134 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
10245nnzd 10208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
10381, 102eqeltrd 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  e.  ZZ )
104103peano2zd 10212 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  e.  ZZ )
10591nnzd 10208 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
10692, 105eqeltrd 2432 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
107104, 106jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ ) )
108 eluz 10333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <->  ( (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  +  1 )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
109107, 108syl 15 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
110101, 109mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 ) ) )
111110adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) ) )
11224mptex 5832 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )  e.  _V
11348, 112eqeltri 2428 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
114113a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
11528, 47jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC ) )
11648fvmpt2 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
117115, 116syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
2  x.  n ) ) )
11828, 81syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  =  ( 2  x.  n ) )
119118eqcomd 2363 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n ) )
120119fveq2d 5612 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
121117, 120eqtrd 2390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
1221, 14, 40, 50, 11, 13, 54, 30, 21, 71, 111, 114, 121climsuse 27057 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  ~~>  C )
123 2nn0 10074 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
124123a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
12524mptex 5832 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  _V
1265, 125eqeltri 2428 . . . . 5  |-  M  e. 
_V
127126a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  _V )
128117, 47eqeltrd 2432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  CC )
129128sqcld 11336 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )
13028, 129jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC ) )
1315fvmpt2 5691 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( M `  n )  =  ( ( D `  n
) ^ 2 ) )
132130, 131syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
1331, 40, 7, 11, 13, 49, 122, 124, 127, 132climexp 27054 . . 3  |-  ( ph  ->  M  ~~>  ( C ^
2 ) )
134 stirlinglem8.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
135134rpcnd 10484 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
136134rpne0d 10487 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
137 2z 10146 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
138137a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
139135, 136, 138expne0d 11344 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =/=  0 )
1401, 32, 2fmptdf 27041 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : NN --> CC )
141140ffvelrnda 5748 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  e.  CC )
142132, 129eqeltrd 2432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  CC )
143 0re 8928 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
144143a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
145117oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
146132, 145eqtrd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
147 stirlinglem8.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
148117, 147eqeltrrd 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
149137a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
150148, 149rpexpcld 11361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
151146, 150eqeltrd 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  RR+ )
152151rpgt0d 10485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( M `  n
) )
153144, 152jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( M `  n
) ) )
154 ltne 9007 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( M `  n ) )  -> 
( M `  n
)  =/=  0 )
155153, 154syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =/=  0 )
156155neneqd 2537 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  =  0 )
157 0cn 8921 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
158 elsnc2g 3744 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( M `  n
)  e.  { 0 }  <->  ( M `  n )  =  0 ) )
159157, 158ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( M `  n )  e.  { 0 }  <-> 
( M `  n
)  =  0 )
160156, 159sylnibr 296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  e.  { 0 } )
161142, 160jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M `  n )  e.  CC  /\  -.  ( M `  n )  e.  { 0 } ) )
162 eldif 3238 . . . 4  |-  ( ( M `  n )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( M `  n )  e.  CC  /\ 
-.  ( M `  n )  e.  {
0 } ) )
163161, 162sylibr 203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
16431nn0zd 10207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e.  ZZ )
16529, 164rpexpcld 11361 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )
166147, 149rpexpcld 11361 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  RR+ )
167165, 166rpdivcld 10499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
16828, 167jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  RR+ ) )
1698fvmpt2 5691 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  RR+ )  ->  ( F `  n
)  =  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )
170168, 169syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
17128, 165jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  RR+ ) )
1722fvmpt2 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )  ->  ( L `  n
)  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
173171, 172syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
174173, 132oveq12d 5963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( L `  n )  /  ( M `  n ) )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
175174eqcomd 2363 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  =  ( ( L `  n )  /  ( M `  n )
) )
176170, 175eqtrd 2390 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( L `  n )  /  ( M `  n )
) )
1771, 4, 7, 10, 11, 13, 36, 39, 133, 139, 141, 163, 176climdivf 27061 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( ( C ^ 4 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
178 4cn 9910 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
179 2p2e4 9934 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  2 )  =  4
180178, 57, 57, 179subaddrii 9225 . . . . . 6  |-  ( 4  -  2 )  =  2
181180eqcomi 2362 . . . . 5  |-  2  =  ( 4  -  2 )
182181a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =  ( 4  -  2 ) )
183182oveq2d 5961 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C ^ ( 4  -  2 ) ) )
18423nn0zd 10207 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  ZZ )
185135, 136, 138, 184expsubd 11349 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
4  -  2 ) )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
186183, 185eqtrd 2390 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
187177, 186breqtrrd 4130 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   F/wnf 1544    = wceq 1642    e. wcel 1710   F/_wnfc 2481    =/= wne 2521   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127    / cdiv 9513   NNcn 9836   2c2 9885   4c4 9887   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   RR+crp 10446   ^cexp 11197    ~~> cli 12054
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  27160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485
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