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Theorem stirlinglem8 27705
Description: If  A converges to  C, then 
F converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1  |-  F/ n ph
stirlinglem8.2  |-  F/_ n A
stirlinglem8.3  |-  F/_ n D
stirlinglem8.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem8.5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
stirlinglem8.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem8.7  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
stirlinglem8.8  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
stirlinglem8.9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
stirlinglem8.10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem8.11  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 stirlinglem8.7 . . . 4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
3 nfmpt1 4266 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
42, 3nfcxfr 2545 . . 3  |-  F/_ n L
5 stirlinglem8.8 . . . 4  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
6 nfmpt1 4266 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
75, 6nfcxfr 2545 . . 3  |-  F/_ n M
8 stirlinglem8.6 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
9 nfmpt1 4266 . . . 4  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
108, 9nfcxfr 2545 . . 3  |-  F/_ n F
11 nnuz 10485 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10275 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 stirlinglem8.2 . . . 4  |-  F/_ n A
15 stirlinglem8.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
16 rrpsscn 27594 . . . . 5  |-  RR+  C_  CC
17 fss 5566 . . . . 5  |-  ( ( A : NN --> RR+  /\  RR+  C_  CC )  ->  A : NN --> CC )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN --> CC )
19 stirlinglem8.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
20 4nn0 10204 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  NN0 )
22 nnex 9970 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5933 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  e.  _V
242, 23eqeltri 2482 . . . . 5  |-  L  e. 
_V
2524a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
26 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2715ffvelrnda 5837 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  RR+ )
2827rpcnd 10614 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
2920a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e. 
NN0 )
3028, 29expcld 11486 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )
312fvmpt2 5779 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  CC )  ->  ( L `  n )  =  ( ( A `  n
) ^ 4 ) )
3226, 30, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
331, 14, 4, 11, 13, 18, 19, 21, 25, 32climexp 27606 . . 3  |-  ( ph  ->  L  ~~>  ( C ^
4 ) )
3422mptex 5933 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )  e.  _V
358, 34eqeltri 2482 . . . 4  |-  F  e. 
_V
3635a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
37 stirlinglem8.3 . . . 4  |-  F/_ n D
3818adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A : NN
--> CC )
39 2nn 10097 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
41 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
4240, 41nnmulcld 10011 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
4342adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
4438, 43ffvelrnd 5838 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
45 stirlinglem8.4 . . . . 5  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
461, 44, 45fmptdf 27593 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : NN --> CC )
47 nfmpt1 4266 . . . . 5  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) )
48 fex 5936 . . . . . 6  |-  ( ( A : NN --> CC  /\  NN  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
4918, 22, 48sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
50 1nn 9975 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
51 2cn 10034 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 ax-1cn 9012 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5552, 54mulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  CC )
56 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  1 ) )
57 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )
5856, 57fvmptg 5771 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
5950, 55, 58sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  =  ( 2  x.  1 ) )
6039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
6260, 61nnmulcld 10011 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  e.  NN )
6359, 62eqeltrd 2486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) ` 
1 )  e.  NN )
64 1re 9054 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
6640nnred 9979 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
6742nnred 9979 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
6840nnge1d 10006 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  2 )
6965, 66, 67, 68leadd2dd 9605 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  <_  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
7057fvmpt2 5779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  =  ( 2  x.  n
) )
7142, 70mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  =  ( 2  x.  n ) )
7271oveq1d 6063 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
73 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
7473cbvmptv 4268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) )
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 2  x.  k ) ) )
76 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  k  =  ( n  +  1 ) )
7776oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  =  ( n  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
78 peano2nn 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
7940, 78nnmulcld 10011 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
8075, 77, 78, 79fvmptd 5777 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )
8151a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
82 nncn 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
8353a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
8481, 82, 83adddid 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8581mulid1d 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
8685oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8780, 84, 863eqtrd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
8869, 72, 873brtr4d 4210 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
8942nnzd 10338 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
9071, 89eqeltrd 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  e.  ZZ )
9190peano2zd 10342 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 )  e.  ZZ )
9279nnzd 10338 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
9380, 92eqeltrd 2486 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
94 eluz 10463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <->  ( (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
)  +  1 )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
9591, 93, 94syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
9688, 95mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `
 n )  +  1 ) ) )
9796adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  +  1 ) ) )
9822mptex 5933 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )  e.  _V
9945, 98eqeltri 2482 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
10099a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
10145fvmpt2 5779 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
10226, 44, 101syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
2  x.  n ) ) )
10371adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n )  =  ( 2  x.  n ) )
104103eqcomd 2417 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n ) ) `  n ) )
105104fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
106102, 105eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( A `  (
( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  n
) ) `  n
) ) )
1071, 14, 37, 47, 11, 13, 49, 28, 19, 63, 97, 100, 106climsuse 27609 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  ~~>  C )
108 2nn0 10202 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
109108a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
11022mptex 5933 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  _V
1115, 110eqeltri 2482 . . . . 5  |-  M  e. 
_V
112111a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  _V )
113 stirlinglem8.9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
114113rpcnd 10614 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  CC )
115114sqcld 11484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )
1165fvmpt2 5779 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( M `  n )  =  ( ( D `  n
) ^ 2 ) )
11726, 115, 116syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )
1181, 37, 7, 11, 13, 46, 107, 109, 112, 117climexp 27606 . . 3  |-  ( ph  ->  M  ~~>  ( C ^
2 ) )
119 stirlinglem8.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
120119rpcnd 10614 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
121119rpne0d 10617 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
122 2z 10276 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
123122a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
124120, 121, 123expne0d 11492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =/=  0 )
1251, 30, 2fmptdf 27593 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : NN --> CC )
126125ffvelrnda 5837 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  e.  CC )
127117, 115eqeltrd 2486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  CC )
128102oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
129117, 128eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =  ( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
130102, 113eqeltrrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
131122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
132130, 131rpexpcld 11509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
133129, 132eqeltrd 2486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  RR+ )
134133rpne0d 10617 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  =/=  0 )
135134neneqd 2591 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  =  0 )
136 0cn 9048 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
137 elsnc2g 3810 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( M `  n
)  e.  { 0 }  <->  ( M `  n )  =  0 ) )
138136, 137ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( M `  n )  e.  { 0 }  <-> 
( M `  n
)  =  0 )
139135, 138sylnibr 297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( M `  n )  e.  { 0 } )
140127, 139eldifd 3299 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( M `
 n )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
14129nn0zd 10337 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  4  e.  ZZ )
14227, 141rpexpcld 11509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )
143113, 131rpexpcld 11509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( D `  n ) ^ 2 )  e.  RR+ )
144142, 143rpdivcld 10629 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  e.  RR+ )
1458fvmpt2 5779 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  RR+ )  ->  ( F `  n
)  =  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) ) )
14626, 144, 145syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
1472fvmpt2 5779 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( A `  n ) ^ 4 )  e.  RR+ )  ->  ( L `  n
)  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
14826, 142, 147syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( L `
 n )  =  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )
149148, 117oveq12d 6066 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( L `  n )  /  ( M `  n ) )  =  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
150146, 149eqtr4d 2447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( L `  n )  /  ( M `  n )
) )
1511, 4, 7, 10, 11, 13, 33, 36, 118, 124, 126, 140, 150climdivf 27613 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( ( C ^ 4 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
152 4cn 10038 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
153 2p2e4 10062 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  2 )  =  4
154152, 51, 51, 153subaddrii 9353 . . . . . 6  |-  ( 4  -  2 )  =  2
155154eqcomi 2416 . . . . 5  |-  2  =  ( 4  -  2 )
156155a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =  ( 4  -  2 ) )
157156oveq2d 6064 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C ^ ( 4  -  2 ) ) )
15821nn0zd 10337 . . . 4  |-  ( ph  ->  4  e.  ZZ )
159120, 121, 123, 158expsubd 11497 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
4  -  2 ) )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
160157, 159eqtrd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( C ^ 4 )  /  ( C ^
2 ) ) )
161151, 160breqtrrd 4206 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2535   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   {csn 3782   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   4c4 10015   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576   ^cexp 11345    ~~> cli 12241
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869
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