Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem8 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem8 27808
 Description: If converges to , then converges to C^2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem8.1
stirlinglem8.2
stirlinglem8.3
stirlinglem8.4
stirlinglem8.5
stirlinglem8.6
stirlinglem8.7
stirlinglem8.8
stirlinglem8.9
stirlinglem8.10
stirlinglem8.11
Assertion
Ref Expression
stirlinglem8

Proof of Theorem stirlinglem8
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem8.1 . . 3
2 stirlinglem8.7 . . . 4
3 nfmpt1 4300 . . . 4
42, 3nfcxfr 2571 . . 3
5 stirlinglem8.8 . . . 4
6 nfmpt1 4300 . . . 4
75, 6nfcxfr 2571 . . 3
8 stirlinglem8.6 . . . 4
9 nfmpt1 4300 . . . 4
108, 9nfcxfr 2571 . . 3
11 nnuz 10523 . . 3
12 1z 10313 . . . 4
1312a1i 11 . . 3
14 stirlinglem8.2 . . . 4
15 stirlinglem8.5 . . . . 5
16 rrpsscn 27697 . . . . 5
17 fss 5601 . . . . 5
1815, 16, 17sylancl 645 . . . 4
19 stirlinglem8.11 . . . 4
20 4nn0 10242 . . . . 5
2120a1i 11 . . . 4
22 nnex 10008 . . . . . . 7
2322mptex 5968 . . . . . 6
242, 23eqeltri 2508 . . . . 5
2524a1i 11 . . . 4
26 simpr 449 . . . . 5
2715ffvelrnda 5872 . . . . . . 7
2827rpcnd 10652 . . . . . 6
2920a1i 11 . . . . . 6
3028, 29expcld 11525 . . . . 5
312fvmpt2 5814 . . . . 5
3226, 30, 31syl2anc 644 . . . 4
331, 14, 4, 11, 13, 18, 19, 21, 25, 32climexp 27709 . . 3
3422mptex 5968 . . . . 5
358, 34eqeltri 2508 . . . 4
3635a1i 11 . . 3
37 stirlinglem8.3 . . . 4
3818adantr 453 . . . . . 6
39 2nn 10135 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
41 id 21 . . . . . . . 8
4240, 41nnmulcld 10049 . . . . . . 7
4342adantl 454 . . . . . 6
4438, 43ffvelrnd 5873 . . . . 5
45 stirlinglem8.4 . . . . 5
461, 44, 45fmptdf 27696 . . . 4
47 nfmpt1 4300 . . . . 5
48 fex 5971 . . . . . 6
4918, 22, 48sylancl 645 . . . . 5
50 1nn 10013 . . . . . . 7
51 2cn 10072 . . . . . . . . 9
5251a1i 11 . . . . . . . 8
53 ax-1cn 9050 . . . . . . . . 9
5453a1i 11 . . . . . . . 8
5552, 54mulcld 9110 . . . . . . 7
56 oveq2 6091 . . . . . . . 8
57 eqid 2438 . . . . . . . 8
5856, 57fvmptg 5806 . . . . . . 7
5950, 55, 58sylancr 646 . . . . . 6
6039a1i 11 . . . . . . 7
6150a1i 11 . . . . . . 7
6260, 61nnmulcld 10049 . . . . . 6
6359, 62eqeltrd 2512 . . . . 5
64 1re 9092 . . . . . . . . . 10
6564a1i 11 . . . . . . . . 9
6640nnred 10017 . . . . . . . . 9
6742nnred 10017 . . . . . . . . 9
6840nnge1d 10044 . . . . . . . . 9
6965, 66, 67, 68leadd2dd 9643 . . . . . . . 8
7057fvmpt2 5814 . . . . . . . . . 10
7142, 70mpdan 651 . . . . . . . . 9
7271oveq1d 6098 . . . . . . . 8
73 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12
7473cbvmptv 4302 . . . . . . . . . . 11
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10
76 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
7776oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10
78 peano2nn 10014 . . . . . . . . . 10
7940, 78nnmulcld 10049 . . . . . . . . . 10
8075, 77, 78, 79fvmptd 5812 . . . . . . . . 9
8151a1i 11 . . . . . . . . . 10
82 nncn 10010 . . . . . . . . . 10
8353a1i 11 . . . . . . . . . 10
8481, 82, 83adddid 9114 . . . . . . . . 9
8581mulid1d 9107 . . . . . . . . . 10
8685oveq2d 6099 . . . . . . . . 9
8780, 84, 863eqtrd 2474 . . . . . . . 8
8869, 72, 873brtr4d 4244 . . . . . . 7
8942nnzd 10376 . . . . . . . . . 10
9071, 89eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9
9190peano2zd 10380 . . . . . . . 8
9279nnzd 10376 . . . . . . . . 9
9380, 92eqeltrd 2512 . . . . . . . 8
94 eluz 10501 . . . . . . . 8
9591, 93, 94syl2anc 644 . . . . . . 7
9688, 95mpbird 225 . . . . . 6
9796adantl 454 . . . . 5
9822mptex 5968 . . . . . . 7
9945, 98eqeltri 2508 . . . . . 6
10099a1i 11 . . . . 5
10145fvmpt2 5814 . . . . . . 7
10226, 44, 101syl2anc 644 . . . . . 6
10371adantl 454 . . . . . . . 8
104103eqcomd 2443 . . . . . . 7
105104fveq2d 5734 . . . . . 6
106102, 105eqtrd 2470 . . . . 5
1071, 14, 37, 47, 11, 13, 49, 28, 19, 63, 97, 100, 106climsuse 27712 . . . 4
108 2nn0 10240 . . . . 5
109108a1i 11 . . . 4
11022mptex 5968 . . . . . 6
1115, 110eqeltri 2508 . . . . 5
112111a1i 11 . . . 4
113 stirlinglem8.9 . . . . . . 7
114113rpcnd 10652 . . . . . 6
115114sqcld 11523 . . . . 5
1165fvmpt2 5814 . . . . 5
11726, 115, 116syl2anc 644 . . . 4
1181, 37, 7, 11, 13, 46, 107, 109, 112, 117climexp 27709 . . 3
119 stirlinglem8.10 . . . . 5
120119rpcnd 10652 . . . 4
121119rpne0d 10655 . . . 4
122 2z 10314 . . . . 5
123122a1i 11 . . . 4
124120, 121, 123expne0d 11531 . . 3
1251, 30, 2fmptdf 27696 . . . 4
126125ffvelrnda 5872 . . 3
127117, 115eqeltrd 2512 . . . 4
128102oveq1d 6098 . . . . . . . . 9
129117, 128eqtrd 2470 . . . . . . . 8
130102, 113eqeltrrd 2513 . . . . . . . . 9
131122a1i 11 . . . . . . . . 9
132130, 131rpexpcld 11548 . . . . . . . 8
133129, 132eqeltrd 2512 . . . . . . 7
134133rpne0d 10655 . . . . . 6
135134neneqd 2619 . . . . 5
136 0cn 9086 . . . . . 6
137 elsnc2g 3844 . . . . . 6
138136, 137ax-mp 8 . . . . 5
139135, 138sylnibr 298 . . . 4
140127, 139eldifd 3333 . . 3
14129nn0zd 10375 . . . . . . 7
14227, 141rpexpcld 11548 . . . . . 6
143113, 131rpexpcld 11548 . . . . . 6
144142, 143rpdivcld 10667 . . . . 5
1458fvmpt2 5814 . . . . 5
14626, 144, 145syl2anc 644 . . . 4
1472fvmpt2 5814 . . . . . 6
14826, 142, 147syl2anc 644 . . . . 5
149148, 117oveq12d 6101 . . . 4
150146, 149eqtr4d 2473 . . 3
1511, 4, 7, 10, 11, 13, 33, 36, 118, 124, 126, 140, 150climdivf 27716 . 2
152 4cn 10076 . . . . . . 7
153 2p2e4 10100 . . . . . . 7
154152, 51, 51, 153subaddrii 9391 . . . . . 6
155154eqcomi 2442 . . . . 5
156155a1i 11 . . . 4
157156oveq2d 6099 . . 3
15821nn0zd 10375 . . . 4
159120, 121, 123, 158expsubd 11536 . . 3
160157, 159eqtrd 2470 . 2
161151, 160breqtrrd 4240 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561  cvv 2958   wss 3322  csn 3816   class class class wbr 4214   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   cle 9123   cmin 9293   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  c4 10053  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490  crp 10614  cexp 11384   cli 12280 This theorem is referenced by:  stirlinglem15  27815 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910
 Copyright terms: Public domain W3C validator