Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Structured version   Unicode version

Theorem stirlingr 27815
Description: Stirling's approximation formula for  n factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 27814 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable  R is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlingr.2  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
Assertion
Ref Expression
stirlingr  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
21stirling 27814 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1
3 stirlingr.2 . . . 4  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
4 nnuz 10521 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 1z 10311 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
65a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
7 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )
8 nnnn0 10228 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
9 faccl 11576 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
10 nnre 10007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
118, 9, 103syl 19 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
12 2re 10069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
14 pire 20372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR )
1613, 15remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
17 nnre 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
1816, 17remulcld 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR )
19 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
21 2pos 10082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  2 )
2320, 13, 22ltled 9221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  2 )
24 pipos 20373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  pi
2519, 14, 24ltleii 9196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  pi
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  pi )
2713, 15, 23, 26mulge0d 9603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  pi ) )
288nn0ge0d 10277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  n )
2916, 17, 27, 28mulge0d 9603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )
3018, 29resqrcld 12220 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR )
31 ere 12691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR )
33 epos 12806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
3419, 33gtneii 9185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
3617, 32, 35redivcld 9842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR )
3736, 8reexpcld 11540 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR )
3830, 37remulcld 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )
391fvmpt2 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
408, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
41 2rp 10617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
4314, 24elrpii 10615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR+
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR+ )
4542, 44rpmulcld 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
46 nnrp 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
4745, 46rpmulcld 10664 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR+ )
4847rpsqrcld 12214 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR+ )
49 epr 12807 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
5146, 50rpdivcld 10665 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
52 nnz 10303 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
5351, 52rpexpcld 11546 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
5448, 53rpmulcld 10664 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
5540, 54eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  e.  RR+ )
5611, 55rerpdivcld 10675 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) )  e.  RR )
577, 56fmpti 5892 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) : NN --> RR
5857a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) ) : NN --> RR )
593, 4, 6, 58climreeq 27715 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) ) R 1  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )  ~~>  1 ) )
6059trud 1332 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) ) R 1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 )
612, 60mpbir 201 1  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   ^cexp 11382   !cfa 11566   sqrcsqr 12038    ~~> cli 12278   _eceu 12665   picpi 12669   topGenctg 13665   ~~> tclm 17290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-tan 12674  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-lm 17293  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562  df-limc 19753  df-dv 19754  df-ulm 20293  df-log 20454  df-cxp 20455
  Copyright terms: Public domain W3C validator