Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Unicode version

Theorem stirlingr 27942
Description: Stirling's approximation formula for  n factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 27941 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable  R is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlingr.2  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
Assertion
Ref Expression
stirlingr  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
21stirling 27941 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1
3 stirlingr.2 . . . 4  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
4 nnuz 10279 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
65a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
7 nnnn0 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
8 faccl 11314 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
9 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
11 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
1211a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
13 pire 19848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR )
1512, 14remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
16 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
1715, 16remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR )
18 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
20 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
2120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  2 )
2219, 12, 21ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  2 )
23 pipos 19849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  pi
2418, 13, 23ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  pi
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  pi )
2612, 14, 22, 25mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  pi ) )
277nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  n )
2815, 16, 26, 27mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )
2917, 28resqrcld 11916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR )
30 ere 12386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  RR
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR )
32 epos 12501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  _e
3318, 32gtneii 8946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  =/=  0
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
3516, 31, 34redivcld 9604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR )
3635, 7reexpcld 11278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR )
3729, 36remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )
387, 37jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR ) )
391fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
4140, 37eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  e.  RR )
42 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
4413, 23elrpii 10373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR+ )
4643, 45rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
47 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
4846, 47rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR+ )
4948rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR+ )
50 epr 12502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  _e  e.  RR+
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
5247, 51rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
53 nnz 10061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
5452, 53rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
5549, 54rpmulcld 10422 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
5640, 55eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  e.  RR+ )
5756rpne0d 10411 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  =/=  0 )
5810, 41, 57redivcld 9604 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) )  e.  RR )
5958rgen 2621 . . . . . 6  |-  A. n  e.  NN  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) )  e.  RR
60 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )
6160fmpt 5697 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) )  e.  RR  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) ) : NN --> RR )
6259, 61mpbi 199 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) : NN --> RR
6362a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) ) : NN --> RR )
643, 4, 6, 63climreeq 27842 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) ) R 1  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )  ~~>  1 ) )
6564trud 1314 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) ) R 1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 )
662, 65mpbir 200 1  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   ^cexp 11120   !cfa 11304   sqrcsqr 11734    ~~> cli 11974   _eceu 12360   picpi 12364   topGenctg 13358   ~~> tclm 16972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ulm 19772  df-log 19930  df-cxp 19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator