Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Unicode version

Theorem stirlingr 27942
 Description: Stirling's approximation formula for factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 27941 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1
stirlingr.2
Assertion
Ref Expression
stirlingr

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3
21stirling 27941 . 2
3 stirlingr.2 . . . 4
4 nnuz 10279 . . . 4
5 1z 10069 . . . . 5
65a1i 10 . . . 4
7 nnnn0 9988 . . . . . . . . 9
8 faccl 11314 . . . . . . . . 9
9 nnre 9769 . . . . . . . . 9
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8
11 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 pire 19848 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
1512, 14remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . 14
16 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . 13
18 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2219, 12, 21ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 pipos 19849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2418, 13, 23ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
2612, 14, 22, 25mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . . . 14
277nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . 14
2815, 16, 26, 27mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . . 13
2917, 28resqrcld 11916 . . . . . . . . . . . 12
30 ere 12386 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
32 epos 12501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3318, 32gtneii 8946 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
3516, 31, 34redivcld 9604 . . . . . . . . . . . . 13
3635, 7reexpcld 11278 . . . . . . . . . . . 12
3729, 36remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11
387, 37jca 518 . . . . . . . . . 10
391fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10
4038, 39syl 15 . . . . . . . . 9
4140, 37eqeltrd 2370 . . . . . . . 8
42 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
4413, 23elrpii 10373 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
4643, 45rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . 13
47 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . 13
4846, 47rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . 12
4948rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . 11
50 epr 12502 . . . . . . . . . . . . . 14
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
5247, 51rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . 12
53 nnz 10061 . . . . . . . . . . . 12
5452, 53rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . 11
5549, 54rpmulcld 10422 . . . . . . . . . 10
5640, 55eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9
5756rpne0d 10411 . . . . . . . 8
5810, 41, 57redivcld 9604 . . . . . . 7
5958rgen 2621 . . . . . 6
60 eqid 2296 . . . . . . 7
6160fmpt 5697 . . . . . 6
6259, 61mpbi 199 . . . . 5
6362a1i 10 . . . 4
643, 4, 6, 63climreeq 27842 . . 3
6564trud 1314 . 2
662, 65mpbir 200 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 176   wa 358   wtru 1307   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556   class class class wbr 4039   cmpt 4093   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  crp 10370  cioo 10672  cexp 11120  cfa 11304  csqr 11734   cli 11974  ceu 12360  cpi 12364  ctg 13358  clm 16972 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ulm 19772  df-log 19930  df-cxp 19931
 Copyright terms: Public domain W3C validator