Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlingr Unicode version

Theorem stirlingr 27839
Description: Stirling's approximation formula for  n factorial: here convergence is expressed with respect to the standard topology on the reals. The main theorem stirling 27838 is proven for convergence in the topology of complex numbers. The variable  R is used to denote convergence with respect to the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlingr.1  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlingr.2  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
Assertion
Ref Expression
stirlingr  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1

Proof of Theorem stirlingr
StepHypRef Expression
1 stirlingr.1 . . 3  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
21stirling 27838 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1
3 stirlingr.2 . . . 4  |-  R  =  ( ~~> t `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
4 nnuz 10263 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
65a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
7 nnnn0 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
8 faccl 11298 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
9 nnre 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR )
11 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
1211a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
13 pire 19832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR )
1512, 14remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
16 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
1715, 16remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR )
18 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
1918a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
20 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
2120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  2 )
2219, 12, 21ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  2 )
23 pipos 19833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  pi
2418, 13, 23ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  pi
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  pi )
2612, 14, 22, 25mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  pi ) )
277nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  n )
2815, 16, 26, 27mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )
2917, 28resqrcld 11900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR )
30 ere 12370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  RR
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR )
32 epos 12485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  _e
3318, 32gtneii 8930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  =/=  0
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
3516, 31, 34redivcld 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR )
3635, 7reexpcld 11262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR )
3729, 36remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )
387, 37jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR ) )
391fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
4140, 37eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  e.  RR )
42 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
4413, 23elrpii 10357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  RR+ )
4643, 45rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
47 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
4846, 47rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  RR+ )
4948rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  e.  RR+ )
50 epr 12486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  _e  e.  RR+
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
5247, 51rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
53 nnz 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
5452, 53rpexpcld 11268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
5549, 54rpmulcld 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
5640, 55eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  e.  RR+ )
5756rpne0d 10395 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S `  n )  =/=  0 )
5810, 41, 57redivcld 9588 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) )  e.  RR )
5958rgen 2608 . . . . . 6  |-  A. n  e.  NN  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) )  e.  RR
60 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )
6160fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) )  e.  RR  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) ) : NN --> RR )
6259, 61mpbi 199 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) : NN --> RR
6362a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) ) : NN --> RR )
643, 4, 6, 63climreeq 27739 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) ) R 1  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( S `  n
) ) )  ~~>  1 ) )
6564trud 1314 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) ) R 1  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 )
662, 65mpbir 200 1  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) ) R 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ^cexp 11104   !cfa 11288   sqrcsqr 11718    ~~> cli 11958   _eceu 12344   picpi 12348   topGenctg 13342   ~~> tclm 16956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ulm 19756  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator