HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle0i Unicode version

Theorem stle0i 22835
Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stle0i  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  <->  ( S `  A )  =  0 ) )

Proof of Theorem stle0i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
2 stge0 22820 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  0  <_  ( S `  A )
) )
31, 2mpi 16 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  0  <_  ( S `  A )
)
43anim2i 552 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  <_  0  /\  S  e.  States )  -> 
( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( S `
 A ) ) )
54expcom 424 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  ->  ( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_ 
( S `  A
) ) ) )
6 stcl 22812 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
71, 6mpi 16 . . . 4  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  e.  RR )
8 0re 8854 . . . 4  |-  0  e.  RR
9 letri3 8923 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( S `  A )  =  0  <-> 
( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( S `
 A ) ) ) )
107, 8, 9sylancl 643 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  =  0  <->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  /\  0  <_  ( S `  A ) ) ) )
115, 10sylibrd 225 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  ->  ( S `  A )  =  0 ) )
12 0le0 9843 . . 3  |-  0  <_  0
13 breq1 4042 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  0  ->  (
( S `  A
)  <_  0  <->  0  <_  0 ) )
1412, 13mpbiri 224 . 2  |-  ( ( S `  A )  =  0  ->  ( S `  A )  <_  0 )
1511, 14impbid1 194 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  <->  ( S `  A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   RRcr 8752   0cc0 8753    <_ cle 8884   CHcch 21525   Statescst 21558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-hilex 21595
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-icc 10679  df-sh 21802  df-ch 21817  df-st 22807
  Copyright terms: Public domain W3C validator