HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle0i Structured version   Unicode version

Theorem stle0i 23742
Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stle0i  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  <->  ( S `  A )  =  0 ) )

Proof of Theorem stle0i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
2 stge0 23727 . . . . . 6  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  0  <_  ( S `  A )
) )
31, 2mpi 17 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  0  <_  ( S `  A )
)
43anim2i 553 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  <_  0  /\  S  e.  States )  -> 
( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( S `
 A ) ) )
54expcom 425 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  ->  ( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_ 
( S `  A
) ) ) )
6 stcl 23719 . . . . 5  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
71, 6mpi 17 . . . 4  |-  ( S  e.  States  ->  ( S `  A )  e.  RR )
8 0re 9091 . . . 4  |-  0  e.  RR
9 letri3 9160 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( S `  A )  =  0  <-> 
( ( S `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( S `
 A ) ) ) )
107, 8, 9sylancl 644 . . 3  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  =  0  <->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  /\  0  <_  ( S `  A ) ) ) )
115, 10sylibrd 226 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  ->  ( S `  A )  =  0 ) )
12 0le0 10081 . . 3  |-  0  <_  0
13 breq1 4215 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  0  ->  (
( S `  A
)  <_  0  <->  0  <_  0 ) )
1412, 13mpbiri 225 . 2  |-  ( ( S `  A )  =  0  ->  ( S `  A )  <_  0 )
1511, 14impbid1 195 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( ( S `
 A )  <_ 
0  <->  ( S `  A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   RRcr 8989   0cc0 8990    <_ cle 9121   CHcch 22432   Statescst 22465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-hilex 22502
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-icc 10923  df-sh 22709  df-ch 22724  df-st 23714
  Copyright terms: Public domain W3C validator