HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle1 Structured version   Unicode version

Theorem stle1 23718
Description: The value of a state is less than or equal to one. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
stle1  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  <_  1
) )

Proof of Theorem stle1
StepHypRef Expression
1 sticl 23708 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2 0re 9081 . . . 4  |-  0  e.  RR
3 1re 9080 . . . 4  |-  1  e.  RR
42, 3elicc2i 10966 . . 3  |-  ( ( S `  A )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( S `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( S `  A
)  /\  ( S `  A )  <_  1
) )
54simp3bi 974 . 2  |-  ( ( S `  A )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( S `  A )  <_  1 )
61, 5syl6 31 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  <_  1
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    <_ cle 9111   [,]cicc 10909   CHcch 22422   Statescst 22455
This theorem is referenced by:  stge1i  23731  stlei  23733  stlesi  23734  staddi  23739  stadd3i  23741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-hilex 22492
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-icc 10913  df-sh 22699  df-ch 22714  df-st 23704
  Copyright terms: Public domain W3C validator