Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweid Structured version   Unicode version

Theorem stoweid 27779
 Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real valued functions: let be a compact topology on , and be the set of real continuous functions on . Assume that is a subalgebra of (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if and are distinct points in , then there exists a function in such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function and for any positive real , there exists a function in the subalgebra , such that approximates up to ( represents the usual ε value). As a classical example, given any a,b reals, the closed interval could be taken, along with the subalgebra of real polynomials on , and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on . The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweid.1
stoweid.2
stoweid.3
stoweid.4
stoweid.5
stoweid.6
stoweid.7
stoweid.8
stoweid.9
stoweid.10
stoweid.11
stoweid.12
stoweid.13
Assertion
Ref Expression
stoweid
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,,)   ()   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweid
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4
2 stoweid.10 . . . . . . 7
32ralrimiva 2781 . . . . . 6
4 1re 9082 . . . . . 6
5 id 20 . . . . . . . . 9
65mpteq2dv 4288 . . . . . . . 8
76eleq1d 2501 . . . . . . 7
87rspccv 3041 . . . . . 6
93, 4, 8ee10 1385 . . . . 5
109adantr 452 . . . 4
111, 10stoweidlem9 27725 . . 3
12 stoweid.1 . . . 4
13 nfv 1629 . . . . 5
14 nfv 1629 . . . . 5
1513, 14nfan 1846 . . . 4
16 stoweid.2 . . . . 5
17 nfv 1629 . . . . 5
1816, 17nfan 1846 . . . 4
19 eqid 2435 . . . 4
20 stoweid.3 . . . 4
21 stoweid.5 . . . 4
22 stoweid.4 . . . . 5
2322adantr 452 . . . 4
24 stoweid.6 . . . 4
25 stoweid.7 . . . . 5
2625adantr 452 . . . 4
27 stoweid.8 . . . . 5
28273adant1r 1177 . . . 4
29 stoweid.9 . . . . 5
30293adant1r 1177 . . . 4
312adantlr 696 . . . 4
32 stoweid.11 . . . . 5
3332adantlr 696 . . . 4
34 stoweid.12 . . . . 5
3534adantr 452 . . . 4
36 stoweid.13 . . . . . 6
37 4re 10065 . . . . . . . . 9
38 4pos 10078 . . . . . . . . 9
3937, 38elrpii 10607 . . . . . . . 8
4039a1i 11 . . . . . . 7
4140rpreccld 10650 . . . . . 6
42 ifcl 3767 . . . . . 6
4336, 41, 42syl2anc 643 . . . . 5
4443adantr 452 . . . 4
45 df-ne 2600 . . . . . 6
4645biimpri 198 . . . . 5
4746adantl 453 . . . 4
4836rpred 10640 . . . . . . 7
49 0re 9083 . . . . . . . . . 10
5049, 38gtneii 9177 . . . . . . . . 9
5137, 50rereccli 9771 . . . . . . . 8
5251a1i 11 . . . . . . 7
53 ifcl 3767 . . . . . . 7
5448, 52, 53syl2anc 643 . . . . . 6
55 3re 10063 . . . . . . . 8
56 3ne0 10077 . . . . . . . 8
5755, 56rereccli 9771 . . . . . . 7
5857a1i 11 . . . . . 6
5936rpxrd 10641 . . . . . . 7
6041rpxrd 10641 . . . . . . 7
61 xrmin2 10758 . . . . . . 7
6259, 60, 61syl2anc 643 . . . . . 6
63 3lt4 10137 . . . . . . . 8
64 3pos 10076 . . . . . . . . 9
6555, 37, 64, 38ltrecii 9919 . . . . . . . 8
6663, 65mpbi 200 . . . . . . 7
6766a1i 11 . . . . . 6
6854, 52, 58, 62, 67lelttrd 9220 . . . . 5
6968adantr 452 . . . 4
7012, 15, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 35, 44, 47, 69stoweidlem62 27778 . . 3
7111, 70pm2.61dan 767 . 2
72 nfv 1629 . . . . 5
7316, 72nfan 1846 . . . 4
74 xrmin1 10757 . . . . . . 7
7559, 60, 74syl2anc 643 . . . . . 6
7675ad2antrr 707 . . . . 5
7725ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
78 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11
8020, 21, 24, 79fcnre 27663 . . . . . . . . . 10
81 simpr 448 . . . . . . . . . 10
8280, 81jca 519 . . . . . . . . 9
83 ffvelrn 5860 . . . . . . . . 9
84 recn 9072 . . . . . . . . 9
8582, 83, 843syl 19 . . . . . . . 8
8634ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
8720, 21, 24, 86fcnre 27663 . . . . . . . . . 10
8887, 81jca 519 . . . . . . . . 9
89 ffvelrn 5860 . . . . . . . . 9
90 recn 9072 . . . . . . . . 9
9188, 89, 903syl 19 . . . . . . . 8
9285, 91subcld 9403 . . . . . . 7
9392abscld 12230 . . . . . 6
9437, 38gt0ne0ii 9555 . . . . . . . . . 10
954, 37, 943pm3.2i 1132 . . . . . . . . 9
96 redivcl 9725 . . . . . . . . 9
9795, 96mp1i 12 . . . . . . . 8
9848, 97, 53syl2anc 643 . . . . . . 7
9998ad2antrr 707 . . . . . 6
10048ad2antrr 707 . . . . . 6
101 ltletr 9158 . . . . . 6
10293, 99, 100, 101syl3anc 1184 . . . . 5
10376, 102mpan2d 656 . . . 4
10473, 103ralimdaa 2775 . . 3
105104reximdva 2810 . 2
10671, 105mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725  wnfc 2558   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  c0 3620  cif 3731  cuni 4007   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869   crn 4871  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  csup 7437  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  c3 10042  c4 10043  crp 10604  cioo 10908  cabs 12031  ctg 13657   ccn 17280  ccmp 17441 This theorem is referenced by:  stowei  27780 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344
 Copyright terms: Public domain W3C validator