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Theorem stoweidlem1 27726
Description: Lemma for stoweid 27788. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 11505. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem1.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem1.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem1.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
stoweidlem1.6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
stoweidlem1.7  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
stoweidlem1.8  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9090 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
43rpred 10648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10274 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
74, 6reexpcld 11540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )
82, 7resubcld 9465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  RR )
9 stoweidlem1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
109nnnn0d 10274 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
1110, 6nn0expcld 11545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
128, 11reexpcld 11540 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
13 2nn0 10238 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
1514, 6nn0mulcld 10279 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
164, 15reexpcld 11540 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
172, 16resubcld 9465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
1817, 11reexpcld 11540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
199nnred 10015 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
2019, 4remulcld 9116 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  RR )
2120, 6reexpcld 11540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR )
229nncnd 10016 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
233rpcnd 10650 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
249nnne0d 10044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
253rpne0d 10653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2622, 23, 24, 25mulne0d 9674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  =/=  0 )
2722, 23mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  A
)  e.  CC )
28 expne0 11411 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
2927, 5, 28syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  A )  =/=  0 ) )
3026, 29mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =/=  0 )
3118, 21, 30redivcld 9842 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
3332rpred 10648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3419, 33remulcld 9116 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
3534, 6reexpcld 11540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  e.  RR )
3632rpcnd 10650 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3732rpne0d 10653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
3822, 36, 24, 37mulne0d 9674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  =/=  0 )
3922, 36mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  CC )
40 expne0 11411 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4139, 5, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
4238, 41mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  =/=  0 )
432, 35, 42redivcld 9842 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  e.  RR )
4419, 6reexpcld 11540 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  RR )
4544, 7remulcld 9116 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  RR )
462, 45readdcld 9115 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  RR )
4712, 46remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR )
4847, 21, 30redivcld 9842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
492, 7readdcld 9115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  RR )
5049, 11reexpcld 11540 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
5112, 50remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR )
5251, 21, 30redivcld 9842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
5346, 21, 30redivcld 9842 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
56 exple1 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  <_  1 )
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  <_  1 )
582, 7subge0d 9616 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ N ) )  <-> 
( A ^ N
)  <_  1 ) )
5957, 58mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^ N ) ) )
608, 11, 59expge0d 11541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
6127, 6expcld 11523 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  CC )
6261, 30dividd 9788 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  1 )
6361addid2d 9267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
64 0re 9091 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
66 0le1 9551 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
6865, 2, 21, 67leadd1dd 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
6963, 68eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
702, 21readdcld 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR )
715nnzd 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
729nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  K )
733rpgt0d 10651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
7419, 4, 72, 73mulgt0d 9225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  A ) )
75 expgt0 11413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  A
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )
7620, 71, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
77 lediv1 9875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  <_  ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  <->  ( (
( K  x.  A
) ^ N )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <_ 
( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )
7821, 70, 21, 76, 77syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  <_  (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  <-> 
( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
7969, 78mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8062, 79eqbrtrrd 4234 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8122, 23, 6mulexpd 11538 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  =  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )
8281oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N
) ) ) )
8382oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( ( K  x.  A ) ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8480, 83breqtrd 4236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
8512, 53, 60, 84lemulge11d 9948 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
86 ax-1cn 9048 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
8786a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8823, 6expcld 11523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
8987, 88subcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
9089, 11expcld 11523 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  CC )
9122, 6expcld 11523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  CC )
9291, 88mulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  e.  CC )
9387, 92addcld 9107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  e.  CC )
9490, 93, 61, 30divassd 9825 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) ) )
9585, 94breqtrrd 4238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
9691, 88mulcomd 9109 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) )
9796oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N
) ) ) )
982renegcld 9464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
99 le0neg2 9537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
1001, 99ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
10166, 100mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  <_  0
102101a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  0
)
1034, 6, 54expge0d 11541 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ N ) )
10498, 65, 7, 102, 103letrd 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  ( A ^ N ) )
105 bernneq 11505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A ^ N
) )  ->  (
1  +  ( ( A ^ N )  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
1067, 11, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( A ^ N
)  x.  ( K ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10797, 106eqbrtrd 4232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) )  <_  ( (
1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
10846, 50, 12, 60, 107lemul2ad 9951 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  ( (
( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
109 lediv1 9875 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( K  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  0  <  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )  ->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
11047, 51, 21, 76, 109syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  <_  (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  <->  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N )  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) ) )
111108, 110mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( ( K ^ N
)  x.  ( A ^ N ) ) ) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( (
( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
11212, 48, 52, 95, 111letrd 9227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) ) )
11387, 88addcld 9107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( A ^ N ) )  e.  CC )
11489, 113mulcomd 9109 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) )  x.  (
1  +  ( A ^ N ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
115114oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
11689, 113, 11mulexpd 11538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  +  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) ) )
117 subsq 11488 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A ^ N )  e.  CC )  -> 
( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
11887, 88, 117syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N
) ) ) )
119 sq1 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
12123, 14, 6expmuld 11526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( ( A ^ N ) ^ 2 ) )
1225nncnd 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
123 2cn 10070 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
125122, 124mulcomd 9109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  x.  2 )  =  ( 2  x.  N ) )
126125oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  x.  2 ) )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
127121, 126eqtr3d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ N ) ^ 2 )  =  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
128120, 127oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  -  (
( A ^ N
) ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
129118, 128eqtr3d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( A ^ N
) )  x.  (
1  -  ( A ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
130129oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  ( A ^ N ) )  x.  ( 1  -  ( A ^ N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) ) )
131115, 116, 1303eqtr3d 2476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  x.  (
( 1  +  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
132131oveq1d 6096 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  x.  ( ( 1  +  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )  /  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )  =  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
133112, 132breqtrd 4236 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  / 
( ( K  x.  A ) ^ N
) ) )
13418, 2jca 519 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
135 exple1 11439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  1 )  /\  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1364, 54, 55, 15, 135syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 )
1372, 16subge0d 9616 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <-> 
( A ^ (
2  x.  N ) )  <_  1 ) )
138136, 137mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) )
13917, 11, 138expge0d 11541 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
140 1m1e0 10068 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1414, 15, 54expge0d 11541 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
142140, 141syl5eqbr 4245 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  <_  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )
1432, 2, 16, 142subled 9629 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )
144 exple1 11439 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) )  /\  ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
14517, 138, 143, 11, 144syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
146134, 139, 145jca32 522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) ) )
14735, 21jca 519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  A ) ^ N
)  e.  RR ) )
14832rpgt0d 10651 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  D )
14919, 33, 72, 148mulgt0d 9225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( K  x.  D ) )
150 expgt0 11413 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  x.  D
) )  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N
) )
15134, 71, 149, 150syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )
15265, 19, 72ltled 9221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
15365, 33, 148ltled 9221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
15419, 33, 152, 153mulge0d 9603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( K  x.  D ) )
155 stoweidlem1.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  <_  A )
15633, 4, 19, 152, 155lemul2ad 9951 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) )
157 leexp1a 11438 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  D )  e.  RR  /\  ( K  x.  A
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  D )  /\  ( K  x.  D
)  <_  ( K  x.  A ) ) )  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) )
15834, 20, 6, 154, 156, 157syl32anc 1192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  <_  ( ( K  x.  A ) ^ N ) )
159151, 158jca 519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) )
160 lediv12a 9903 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( (
1  -  ( A ^ ( 2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  /\  ( ( 1  -  ( A ^ (
2  x.  N ) ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 ) )  /\  ( ( ( ( K  x.  D
) ^ N )  e.  RR  /\  (
( K  x.  A
) ^ N )  e.  RR )  /\  ( 0  <  (
( K  x.  D
) ^ N )  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N )  <_  (
( K  x.  A
) ^ N ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
161146, 147, 159, 160syl12anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( A ^
( 2  x.  N
) ) ) ^
( K ^ N
) )  /  (
( K  x.  A
) ^ N ) )  <_  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
16212, 31, 43, 133, 161letrd 9227 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( A ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   RR+crp 10612   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  stoweidlem25  27750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383
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