Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem1 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem1 27726
 Description: Lemma for stoweid 27788. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 11505. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1
stoweidlem1.2
stoweidlem1.3
stoweidlem1.5
stoweidlem1.6
stoweidlem1.7
stoweidlem1.8
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9090 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6
43rpred 10648 . . . . 5
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6
65nnnn0d 10274 . . . . 5
74, 6reexpcld 11540 . . . 4
82, 7resubcld 9465 . . 3
9 stoweidlem1.2 . . . . 5
109nnnn0d 10274 . . . 4
1110, 6nn0expcld 11545 . . 3
128, 11reexpcld 11540 . 2
13 2nn0 10238 . . . . . . . 8
1413a1i 11 . . . . . . 7
1514, 6nn0mulcld 10279 . . . . . 6
164, 15reexpcld 11540 . . . . 5
172, 16resubcld 9465 . . . 4
1817, 11reexpcld 11540 . . 3
199nnred 10015 . . . . 5
2019, 4remulcld 9116 . . . 4
2120, 6reexpcld 11540 . . 3
229nncnd 10016 . . . . 5
233rpcnd 10650 . . . . 5
249nnne0d 10044 . . . . 5
253rpne0d 10653 . . . . 5
2622, 23, 24, 25mulne0d 9674 . . . 4
2722, 23mulcld 9108 . . . . 5
28 expne0 11411 . . . . 5
2927, 5, 28syl2anc 643 . . . 4
3026, 29mpbird 224 . . 3
3118, 21, 30redivcld 9842 . 2
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6
3332rpred 10648 . . . . 5
3419, 33remulcld 9116 . . . 4
3534, 6reexpcld 11540 . . 3
3632rpcnd 10650 . . . . 5
3732rpne0d 10653 . . . . 5
3822, 36, 24, 37mulne0d 9674 . . . 4
3922, 36mulcld 9108 . . . . 5
40 expne0 11411 . . . . 5
4139, 5, 40syl2anc 643 . . . 4
4238, 41mpbird 224 . . 3
432, 35, 42redivcld 9842 . 2
4419, 6reexpcld 11540 . . . . . . . 8
4544, 7remulcld 9116 . . . . . . 7
462, 45readdcld 9115 . . . . . 6
4712, 46remulcld 9116 . . . . 5
4847, 21, 30redivcld 9842 . . . 4
492, 7readdcld 9115 . . . . . . 7
5049, 11reexpcld 11540 . . . . . 6
5112, 50remulcld 9116 . . . . 5
5251, 21, 30redivcld 9842 . . . 4
5346, 21, 30redivcld 9842 . . . . . 6
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9
56 exple1 11439 . . . . . . . . 9
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1187 . . . . . . . 8
582, 7subge0d 9616 . . . . . . . 8
5957, 58mpbird 224 . . . . . . 7
608, 11, 59expge0d 11541 . . . . . 6
6127, 6expcld 11523 . . . . . . . . 9
6261, 30dividd 9788 . . . . . . . 8
6361addid2d 9267 . . . . . . . . . 10
64 0re 9091 . . . . . . . . . . . 12
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11
66 0le1 9551 . . . . . . . . . . . 12
6766a1i 11 . . . . . . . . . . 11
6865, 2, 21, 67leadd1dd 9640 . . . . . . . . . 10
6963, 68eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . 9
702, 21readdcld 9115 . . . . . . . . . 10
715nnzd 10374 . . . . . . . . . . 11
729nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . 12
733rpgt0d 10651 . . . . . . . . . . . 12
7419, 4, 72, 73mulgt0d 9225 . . . . . . . . . . 11
75 expgt0 11413 . . . . . . . . . . 11
7620, 71, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
77 lediv1 9875 . . . . . . . . . 10
7821, 70, 21, 76, 77syl112anc 1188 . . . . . . . . 9
7969, 78mpbid 202 . . . . . . . 8
8062, 79eqbrtrrd 4234 . . . . . . 7
8122, 23, 6mulexpd 11538 . . . . . . . . 9
8281oveq2d 6097 . . . . . . . 8
8382oveq1d 6096 . . . . . . 7
8480, 83breqtrd 4236 . . . . . 6
8512, 53, 60, 84lemulge11d 9948 . . . . 5
86 ax-1cn 9048 . . . . . . . . 9
8786a1i 11 . . . . . . . 8
8823, 6expcld 11523 . . . . . . . 8
8987, 88subcld 9411 . . . . . . 7
9089, 11expcld 11523 . . . . . 6
9122, 6expcld 11523 . . . . . . . 8
9291, 88mulcld 9108 . . . . . . 7
9387, 92addcld 9107 . . . . . 6
9490, 93, 61, 30divassd 9825 . . . . 5
9585, 94breqtrrd 4238 . . . 4
9691, 88mulcomd 9109 . . . . . . . 8
9796oveq2d 6097 . . . . . . 7
982renegcld 9464 . . . . . . . . 9
99 le0neg2 9537 . . . . . . . . . . . 12
1001, 99ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
10166, 100mpbi 200 . . . . . . . . . 10
102101a1i 11 . . . . . . . . 9
1034, 6, 54expge0d 11541 . . . . . . . . 9
10498, 65, 7, 102, 103letrd 9227 . . . . . . . 8
105 bernneq 11505 . . . . . . . 8
1067, 11, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . 7
10797, 106eqbrtrd 4232 . . . . . 6
10846, 50, 12, 60, 107lemul2ad 9951 . . . . 5
109 lediv1 9875 . . . . . 6
11047, 51, 21, 76, 109syl112anc 1188 . . . . 5
111108, 110mpbid 202 . . . 4
11212, 48, 52, 95, 111letrd 9227 . . 3
11387, 88addcld 9107 . . . . . . 7
11489, 113mulcomd 9109 . . . . . 6
115114oveq1d 6096 . . . . 5
11689, 113, 11mulexpd 11538 . . . . 5
117 subsq 11488 . . . . . . . 8
11887, 88, 117syl2anc 643 . . . . . . 7
119 sq1 11476 . . . . . . . . 9
120119a1i 11 . . . . . . . 8
12123, 14, 6expmuld 11526 . . . . . . . . 9
1225nncnd 10016 . . . . . . . . . . 11
123 2cn 10070 . . . . . . . . . . . 12
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11
125122, 124mulcomd 9109 . . . . . . . . . 10
126125oveq2d 6097 . . . . . . . . 9
127121, 126eqtr3d 2470 . . . . . . . 8
128120, 127oveq12d 6099 . . . . . . 7
129118, 128eqtr3d 2470 . . . . . 6
130129oveq1d 6096 . . . . 5
131115, 116, 1303eqtr3d 2476 . . . 4
132131oveq1d 6096 . . 3
133112, 132breqtrd 4236 . 2
13418, 2jca 519 . . . 4
135 exple1 11439 . . . . . . 7
1364, 54, 55, 15, 135syl31anc 1187 . . . . . 6
1372, 16subge0d 9616 . . . . . 6
138136, 137mpbird 224 . . . . 5
13917, 11, 138expge0d 11541 . . . 4
140 1m1e0 10068 . . . . . . 7
1414, 15, 54expge0d 11541 . . . . . . 7
142140, 141syl5eqbr 4245 . . . . . 6
1432, 2, 16, 142subled 9629 . . . . 5
144 exple1 11439 . . . . 5
14517, 138, 143, 11, 144syl31anc 1187 . . . 4
146134, 139, 145jca32 522 . . 3
14735, 21jca 519 . . 3
14832rpgt0d 10651 . . . . . 6
14919, 33, 72, 148mulgt0d 9225 . . . . 5
150 expgt0 11413 . . . . 5
15134, 71, 149, 150syl3anc 1184 . . . 4
15265, 19, 72ltled 9221 . . . . . 6
15365, 33, 148ltled 9221 . . . . . 6
15419, 33, 152, 153mulge0d 9603 . . . . 5
155 stoweidlem1.8 . . . . . 6
15633, 4, 19, 152, 155lemul2ad 9951 . . . . 5
157 leexp1a 11438 . . . . 5
15834, 20, 6, 154, 156, 157syl32anc 1192 . . . 4
159151, 158jca 519 . . 3
160 lediv12a 9903 . . 3
161146, 147, 159, 160syl12anc 1182 . 2
16212, 31, 43, 133, 161letrd 9227 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291  cneg 9292   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  crp 10612  cexp 11382 This theorem is referenced by:  stoweidlem25  27750 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383
 Copyright terms: Public domain W3C validator