Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem11 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem11 27727
 Description: This lemma is used to prove that there is a function as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1
stoweidlem11.2
stoweidlem11.3
stoweidlem11.4
stoweidlem11.5
stoweidlem11.6
stoweidlem11.7
stoweidlem11.8
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3
2 sumex 12473 . . 3
3 eqid 2435 . . . 4
43fvmpt2 5804 . . 3
51, 2, 4sylancl 644 . 2
6 fzfid 11304 . . . 4
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7
87rpred 10640 . . . . . 6
98adantr 452 . . . . 5
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6
111adantr 452 . . . . . 6
1210, 11ffvelrnd 5863 . . . . 5
139, 12remulcld 9108 . . . 4
146, 13fsumrecl 12520 . . 3
15 stoweidlem11.3 . . . . . . . . 9
16 elfzuz 11047 . . . . . . . . 9
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8
18 eluz2 10486 . . . . . . . 8
1917, 18sylib 189 . . . . . . 7
2019simp2d 970 . . . . . 6
2120zred 10367 . . . . 5
228, 21remulcld 9108 . . . 4
23 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8
2423nnred 10007 . . . . . . 7
2524, 21resubcld 9457 . . . . . 6
26 1re 9082 . . . . . . 7
2726a1i 11 . . . . . 6
2825, 27readdcld 9107 . . . . 5
298, 23nndivred 10040 . . . . . 6
308, 29remulcld 9108 . . . . 5
3128, 30remulcld 9108 . . . 4
3222, 31readdcld 9107 . . 3
33 3re 10063 . . . . . . 7
3433a1i 11 . . . . . 6
35 3ne0 10077 . . . . . . 7
3635a1i 11 . . . . . 6
3734, 36rereccld 9833 . . . . 5
3821, 37readdcld 9107 . . . 4
3938, 8remulcld 9108 . . 3
40 fzfid 11304 . . . . . 6
418adantr 452 . . . . . . 7
42 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . 12
43 peano2zm 10312 . . . . . . . . . . . 12
4415, 42, 433syl 19 . . . . . . . . . . 11
4523nnzd 10366 . . . . . . . . . . 11
4621, 27resubcld 9457 . . . . . . . . . . . 12
4721lem1d 9936 . . . . . . . . . . . 12
48 elfzuz3 11048 . . . . . . . . . . . . 13
49 eluzle 10490 . . . . . . . . . . . . 13
5015, 48, 493syl 19 . . . . . . . . . . . 12
5146, 21, 24, 47, 50letrd 9219 . . . . . . . . . . 11
52 eluz2 10486 . . . . . . . . . . 11
5344, 45, 51, 52syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10
54 fzss2 11084 . . . . . . . . . 10
5553, 54syl 16 . . . . . . . . 9
5655sselda 3340 . . . . . . . 8
5756, 12syldan 457 . . . . . . 7
5841, 57remulcld 9108 . . . . . 6
5940, 58fsumrecl 12520 . . . . 5
6059, 31readdcld 9107 . . . 4
6121ltm1d 9935 . . . . . . 7
62 fzdisj 11070 . . . . . . 7
6361, 62syl 16 . . . . . 6
64 fzssp1 11087 . . . . . . . . . 10
6523nncnd 10008 . . . . . . . . . . . 12
66 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
6865, 67npcand 9407 . . . . . . . . . . 11
6968oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10
7064, 69syl5sseq 3388 . . . . . . . . 9
71 1z 10303 . . . . . . . . . . . . 13
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
73 fzsubel 11080 . . . . . . . . . . . 12
7472, 45, 20, 72, 73syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11
7515, 74mpbid 202 . . . . . . . . . 10
76 1m1e0 10060 . . . . . . . . . . 11
7776oveq1i 6083 . . . . . . . . . 10
7875, 77syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9
7970, 78sseldd 3341 . . . . . . . 8
80 fzsplit 11069 . . . . . . . 8
8179, 80syl 16 . . . . . . 7
8220zcnd 10368 . . . . . . . . . 10
8382, 67npcand 9407 . . . . . . . . 9
8483oveq1d 6088 . . . . . . . 8
8584uneq2d 3493 . . . . . . 7
8681, 85eqtrd 2467 . . . . . 6
877rpcnd 10642 . . . . . . . 8
8887adantr 452 . . . . . . 7
8912recnd 9106 . . . . . . 7
9088, 89mulcld 9100 . . . . . 6
9163, 86, 6, 90fsumsplit 12525 . . . . 5
92 fzfid 11304 . . . . . . 7
938adantr 452 . . . . . . . 8
94 0z 10285 . . . . . . . . . . . . . 14
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
96 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
98 0le1 9543 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
10019simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . 14
10197, 27, 21, 99, 100letrd 9219 . . . . . . . . . . . . 13
102 eluz2 10486 . . . . . . . . . . . . 13
10395, 20, 101, 102syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . 12
104 fzss1 11083 . . . . . . . . . . . 12
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . 11
106105sselda 3340 . . . . . . . . . 10
107106, 10syldan 457 . . . . . . . . 9
1081adantr 452 . . . . . . . . 9
109107, 108ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8
11093, 109remulcld 9108 . . . . . . 7
11192, 110fsumrecl 12520 . . . . . 6
112 eluzfz2 11057 . . . . . . . . . 10
11315, 48, 1123syl 19 . . . . . . . . 9
114 ne0i 3626 . . . . . . . . 9
115113, 114syl 16 . . . . . . . 8
11623adantr 452 . . . . . . . . . 10
11793, 116nndivred 10040 . . . . . . . . 9
11893, 117remulcld 9108 . . . . . . . 8
119 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9
1207rpgt0d 10643 . . . . . . . . . . 11
121120adantr 452 . . . . . . . . . 10
122 ltmul2 9853 . . . . . . . . . 10
123109, 117, 93, 121, 122syl112anc 1188 . . . . . . . . 9
124119, 123mpbid 202 . . . . . . . 8
12592, 115, 110, 118, 124fsumlt 12571 . . . . . . 7
12623nnne0d 10036 . . . . . . . . . . 11
12787, 65, 126divcld 9782 . . . . . . . . . 10
12887, 127mulcld 9100 . . . . . . . . 9
129 fsumconst 12565 . . . . . . . . 9
13092, 128, 129syl2anc 643 . . . . . . . 8
131 hashfz 11684 . . . . . . . . . 10
13215, 48, 1313syl 19 . . . . . . . . 9
133132oveq1d 6088 . . . . . . . 8
134130, 133eqtrd 2467 . . . . . . 7
135125, 134breqtrd 4228 . . . . . 6
136111, 31, 59, 135ltadd2dd 9221 . . . . 5
13791, 136eqbrtrd 4224 . . . 4
138 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10
13956, 138syldan 457 . . . . . . . . 9
14026a1i 11 . . . . . . . . . 10
141120adantr 452 . . . . . . . . . 10
142 lemul2 9855 . . . . . . . . . 10
14357, 140, 41, 141, 142syl112anc 1188 . . . . . . . . 9
144139, 143mpbid 202 . . . . . . . 8
14587mulid1d 9097 . . . . . . . . 9
146145adantr 452 . . . . . . . 8
147144, 146breqtrd 4228 . . . . . . 7
14840, 58, 41, 147fsumle 12570 . . . . . 6
149 fsumconst 12565 . . . . . . . 8
15040, 87, 149syl2anc 643 . . . . . . 7
151 1e0p1 10402 . . . . . . . . . . . . 13
152151fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . 12
15317, 152syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . 11
154 eluzp1m1 10501 . . . . . . . . . . 11
15594, 153, 154sylancr 645 . . . . . . . . . 10
156 hashfz 11684 . . . . . . . . . 10
157155, 156syl 16 . . . . . . . . 9
15882, 67subcld 9403 . . . . . . . . . . 11
159158subid1d 9392 . . . . . . . . . 10
160159oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
161157, 160, 833eqtrd 2471 . . . . . . . 8
162161oveq1d 6088 . . . . . . 7
16382, 87mulcomd 9101 . . . . . . 7
164150, 162, 1633eqtrd 2471 . . . . . 6
165148, 164breqtrd 4228 . . . . 5
16659, 22, 31, 165leadd1dd 9632 . . . 4
16714, 60, 32, 137, 166ltletrd 9222 . . 3
1688, 8remulcld 9108 . . . . 5
16922, 168readdcld 9107 . . . 4
17065, 82subcld 9403 . . . . . . . 8
171170, 67addcld 9099 . . . . . . 7
17287, 171, 127mul12d 9267 . . . . . 6
173172oveq2d 6089 . . . . 5
17428, 29remulcld 9108 . . . . . . 7
1758, 174remulcld 9108 . . . . . 6
176171, 87, 65, 126div12d 9818 . . . . . . . 8
17727, 21resubcld 9457 . . . . . . . . . . . . . 14
178 elfzle1 11052 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17915, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
18027, 21suble0d 9609 . . . . . . . . . . . . . . 15
181179, 180mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14
182177, 97, 24, 181leadd2dd 9633 . . . . . . . . . . . . 13
18365, 67, 82addsub12d 9426 . . . . . . . . . . . . . 14
18467, 170addcomd 9260 . . . . . . . . . . . . . 14
185183, 184eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13
18665addid1d 9258 . . . . . . . . . . . . 13
187182, 185, 1863brtr3d 4233 . . . . . . . . . . . 12
18823nngt0d 10035 . . . . . . . . . . . . 13
189 lediv1 9867 . . . . . . . . . . . . 13
19028, 24, 24, 188, 189syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12
191187, 190mpbid 202 . . . . . . . . . . 11
19265, 126dividd 9780 . . . . . . . . . . 11
193191, 192breqtrd 4228 . . . . . . . . . 10
19428, 23nndivred 10040 . . . . . . . . . . 11
195194, 27, 7lemul2d 10680 . . . . . . . . . 10
196193, 195mpbid 202 . . . . . . . . 9
197196, 145breqtrd 4228 . . . . . . . 8
198176, 197eqbrtrd 4224 . . . . . . 7
199174, 8, 7lemul2d 10680 . . . . . . 7
200198, 199mpbid 202 . . . . . 6
201175, 168, 22, 200leadd2dd 9633 . . . . 5
202173, 201eqbrtrrd 4226 . . . 4
20387, 82mulcomd 9101 . . . . . . 7
204203oveq1d 6088 . . . . . 6
20582, 87, 87adddird 9105 . . . . . 6
206204, 205eqtr4d 2470 . . . . 5
20721, 8readdcld 9107 . . . . . 6
208 stoweidlem11.8 . . . . . . 7
2098, 37, 21, 208ltadd2dd 9221 . . . . . 6
210207, 38, 7, 209ltmul1dd 10691 . . . . 5
211206, 210eqbrtrd 4224 . . . 4
21232, 169, 39, 202, 211lelttrd 9220 . . 3
21314, 32, 39, 167, 212lttrd 9223 . 2
2145, 213eqbrtrd 4224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204   cmpt 4258  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  c3 10042  cz 10274  cuz 10480  crp 10604  cfz 11035  chash 11610  csu 12471 This theorem is referenced by:  stoweidlem34  27750 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472
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