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Theorem stoweidlem11 27727
Description: This lemma is used to prove that there is a function  g as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here  E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem11.2  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
stoweidlem11.3  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
stoweidlem11.4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
stoweidlem11.5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
stoweidlem11.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
stoweidlem11.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem11.8  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Distinct variable groups:    i, j    t, i, E    i, N, t    ph, i    t, T   
t, X
Allowed substitution hints:    ph( t, j)    T( i, j)    E( j)    N( j)    X( i, j)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  T )
2 sumex 12473 . . 3  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  _V
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
43fvmpt2 5804 . . 3  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  e.  _V )  -> 
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
51, 2, 4sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
6 fzfid 11304 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
87rpred 10640 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  RR )
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
111adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  t  e.  T )
1210, 11ffvelrnd 5863 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
139, 12remulcld 9108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
146, 13fsumrecl 12520 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
15 stoweidlem11.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
16 elfzuz 11047 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
18 eluz2 10486 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
1917, 18sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  1  <_  j ) )
2019simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  j  e.  ZZ )
2120zred 10367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
228, 21remulcld 9108 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  e.  RR )
23 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2423nnred 10007 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2524, 21resubcld 9457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  RR )
26 1re 9082 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2825, 27readdcld 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR )
298, 23nndivred 10040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  RR )
308, 29remulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
3128, 30remulcld 9108 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
3222, 31readdcld 9107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  e.  RR )
33 3re 10063 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
35 3ne0 10077 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
3734, 36rereccld 9833 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
3821, 37readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
3938, 8remulcld 9108 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
40 fzfid 11304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
418adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  E  e.  RR )
42 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
43 peano2zm 10312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
j  -  1 )  e.  ZZ )
4415, 42, 433syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ZZ )
4523nnzd 10366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4621, 27resubcld 9457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  RR )
4721lem1d 9936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  j )
48 elfzuz3 11048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  j )
)
49 eluzle 10490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  N )
5015, 48, 493syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  <_  N )
5146, 21, 24, 47, 50letrd 9219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <_  N )
52 eluz2 10486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  <->  ( ( j  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( j  -  1 )  <_  N ) )
5344, 45, 51, 52syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( j  -  1 ) ) )
54 fzss2 11084 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
j  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( j  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
5655sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
5756, 12syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
5841, 57remulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
5940, 58fsumrecl 12520 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
6059, 31readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  e.  RR )
6121ltm1d 9935 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  <  j )
62 fzdisj 11070 . . . . . . 7  |-  ( ( j  -  1 )  <  j  ->  (
( 0 ... (
j  -  1 ) )  i^i  ( j ... N ) )  =  (/) )
6361, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  i^i  (
j ... N ) )  =  (/) )
64 fzssp1 11087 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
6523nncnd 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
66 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
6865, 67npcand 9407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6968oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
7064, 69syl5sseq 3388 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
71 1z 10303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
73 fzsubel 11080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( j  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7472, 45, 20, 72, 73syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ) )
7515, 74mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
76 1m1e0 10060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
7776oveq1i 6083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
7875, 77syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
7970, 78sseldd 3341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
80 fzsplit 11069 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... N )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
8220zcnd 10368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
8382, 67npcand 9407 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  +  1 )  =  j )
8483oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  +  1 ) ... N
)  =  ( j ... N ) )
8584uneq2d 3493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  (
( ( j  - 
1 )  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
8681, 85eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... ( j  -  1 ) )  u.  ( j ... N ) ) )
877rpcnd 10642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
8887adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  E  e.  CC )
8912recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  CC )
9088, 89mulcld 9100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  CC )
9163, 86, 6, 90fsumsplit 12525 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  =  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) )
92 fzfid 11304 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  e.  Fin )
938adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  E  e.  RR )
94 0z 10285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
96 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
98 0le1 9543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
10019simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
10197, 27, 21, 99, 100letrd 9219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  j )
102 eluz2 10486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
10395, 20, 101, 102syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
104 fzss1 11083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( j ... N )  C_  (
0 ... N ) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  C_  ( 0 ... N ) )
106105sselda 3340 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
107106, 10syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
1081adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  t  e.  T )
109107, 108ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  e.  RR )
11093, 109remulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  e.  RR )
11192, 110fsumrecl 12520 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  e.  RR )
112 eluzfz2 11057 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  N  e.  ( j ... N
) )
11315, 48, 1123syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( j ... N ) )
114 ne0i 3626 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( j ... N )  ->  (
j ... N )  =/=  (/) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j ... N
)  =/=  (/) )
11623adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  N  e.  NN )
11793, 116nndivred 10040 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  /  N )  e.  RR )
11893, 117remulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
119 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
) )
1207rpgt0d 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  E )
121120adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  0  <  E )
122 ltmul2 9853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  ( E  /  N
)  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  ->  ( (
( X `  i
) `  t )  <  ( E  /  N
)  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
123109, 117, 93, 121, 122syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <  ( E  /  N )  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
124119, 123mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( j ... N
) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  < 
( E  x.  ( E  /  N ) ) )
12592, 115, 110, 118, 124fsumlt 12571 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( E  /  N
) ) )
12623nnne0d 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
12787, 65, 126divcld 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  N
)  e.  CC )
12887, 127mulcld 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )
129 fsumconst 12565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j ... N
)  e.  Fin  /\  ( E  x.  ( E  /  N ) )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
13092, 128, 129syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( # `  ( j ... N
) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
131 hashfz 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
13215, 48, 1313syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
j ... N ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
133132oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
j ... N ) )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
134130, 133eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  ( E  /  N ) )  =  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )
135125, 134breqtrd 4228 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( j ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
136111, 31, 59, 135ltadd2dd 9221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  sum_ i  e.  ( j ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  < 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) ) )
13791, 136eqbrtrd 4224 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
138 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
13956, 138syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( X `  i
) `  t )  <_  1 )
14026a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
141120adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <  E )
142 lemul2 9855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( ( ( X `
 i ) `  t )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
14357, 140, 41, 141, 142syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (
( ( X `  i ) `  t
)  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
144139, 143mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_ 
( E  x.  1 ) )
14587mulid1d 9097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
146145adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  1 )  =  E )
147144, 146breqtrd 4228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  <_  E )
14840, 58, 41, 147fsumle 12570 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) E )
149 fsumconst 12565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
15040, 87, 149syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( (
# `  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) )  x.  E ) )
151 1e0p1 10402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
152151fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
15317, 152syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
154 eluzp1m1 10501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  -> 
( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
15594, 153, 154sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
156 hashfz 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( j  -  1 )  -  0 )  +  1 ) )
15882, 67subcld 9403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  1 )  e.  CC )
159158subid1d 9392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  - 
1 )  -  0 )  =  ( j  -  1 ) )
160159oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  1 )  - 
0 )  +  1 )  =  ( ( j  -  1 )  +  1 ) )
161157, 160, 833eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  =  j )
162161oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
0 ... ( j  - 
1 ) ) )  x.  E )  =  ( j  x.  E
) )
16382, 87mulcomd 9101 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  =  ( E  x.  j ) )
164150, 162, 1633eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) E  =  ( E  x.  j ) )
165148, 164breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <_  ( E  x.  j ) )
16659, 22, 31, 165leadd1dd 9632 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
16714, 60, 32, 137, 166ltletrd 9222 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
1688, 8remulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  x.  E
)  e.  RR )
16922, 168readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  e.  RR )
17065, 82subcld 9403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  j
)  e.  CC )
171170, 67addcld 9099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  CC )
17287, 171, 127mul12d 9267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  =  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N
) ) ) )
173172oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  =  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) ) )
17428, 29remulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  e.  RR )
1758, 174remulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  e.  RR )
176171, 87, 65, 126div12d 9818 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  =  ( E  x.  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
) ) )
17727, 21resubcld 9457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  e.  RR )
178 elfzle1 11052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  j )
17915, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  <_  j )
18027, 21suble0d 9609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  j )  <_  0  <->  1  <_  j ) )
181179, 180mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  j
)  <_  0 )
182177, 97, 24, 181leadd2dd 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  <_  ( N  +  0 ) )
18365, 67, 82addsub12d 9426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( 1  +  ( N  -  j ) ) )
18467, 170addcomd 9260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( N  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
185183, 184eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  j ) )  =  ( ( N  -  j )  +  1 ) )
18665addid1d 9258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
187182, 185, 1863brtr3d 4233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N )
18823nngt0d 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  N )
189 lediv1 9867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
19028, 24, 24, 188, 189syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  <_  N  <->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  ( N  /  N ) ) )
191187, 190mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  ( N  /  N ) )
19265, 126dividd 9780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  /  N
)  =  1 )
193191, 192breqtrd 4228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  <_  1 )
19428, 23nndivred 10040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N
)  e.  RR )
195194, 27, 7lemul2d 10680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  /  N )  <_  1  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) ) )
196193, 195mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  ( E  x.  1 ) )
197196, 145breqtrd 4228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  /  N ) )  <_  E )
198176, 197eqbrtrd 4224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) )  <_  E )
199174, 8, 7lemul2d 10680 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N
) )  <_  E  <->  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) ) )
200198, 199mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  x.  (
( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) )  <_  ( E  x.  E ) )
201175, 168, 22, 200leadd2dd 9633 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  ( ( ( N  -  j
)  +  1 )  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
202173, 201eqbrtrrd 4226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <_  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) ) )
20387, 82mulcomd 9101 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E  x.  j
)  =  ( j  x.  E ) )
204203oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
20582, 87, 87adddird 9105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( E  x.  E ) ) )
206204, 205eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  =  ( ( j  +  E )  x.  E ) )
20721, 8readdcld 9107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  e.  RR )
208 stoweidlem11.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
2098, 37, 21, 208ltadd2dd 9221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  E
)  <  ( j  +  ( 1  / 
3 ) ) )
210207, 38, 7, 209ltmul1dd 10691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  E )  x.  E
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
211206, 210eqbrtrd 4224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( E  x.  E ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
21232, 169, 39, 202, 211lelttrd 9220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  j )  +  ( ( ( N  -  j )  +  1 )  x.  ( E  x.  ( E  /  N ) ) ) )  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
21314, 32, 39, 167, 212lttrd 9223 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
2145, 213eqbrtrd 4224 1  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   3c3 10042   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   ...cfz 11035   #chash 11610   sum_csu 12471
This theorem is referenced by:  stoweidlem34  27750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472
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