Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem12 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem12 27692
Description: Lemma for stoweid 27743. This Lemma is used by other three Lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem12.1  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem12.2  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem12.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
stoweidlem12.4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
Distinct variable group:    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    P( t)    Q( t)    K( t)    N( t)

Proof of Theorem stoweidlem12
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
2 1re 9080 . . . . 5  |-  1  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
4 stoweidlem12.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
54fnvinran 27616 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
6 stoweidlem12.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  NN0 )
85, 7reexpcld 11530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
93, 8resubcld 9455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
10 stoweidlem12.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
1110, 6jca 519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
13 nn0expcl 11385 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ N
)  e.  NN0 )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
159, 14reexpcld 11530 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
16 stoweidlem12.1 . . 3  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
1716fvmpt2 5804 . 2  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )  -> 
( Q `  t
)  =  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
181, 15, 17syl2anc 643 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8979   1c1 8981    - cmin 9281   NN0cn0 10211   ^cexp 11372
This theorem is referenced by:  stoweidlem24  27704  stoweidlem25  27705  stoweidlem45  27725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-seq 11314  df-exp 11373
  Copyright terms: Public domain W3C validator