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Theorem stoweidlem13 27431
Description: Lemma for stoweid 27481. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon , in [BrosowskiDeutsh] p. 92, the last step of the proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem13.2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
stoweidlem13.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
stoweidlem13.4  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
stoweidlem13.5  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
stoweidlem13.6  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
stoweidlem13.7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
stoweidlem13.8  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2 stoweidlem13.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
31, 2resubcld 9398 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
4 2re 10002 . . . 4  |-  2  e.  RR
5 stoweidlem13.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
65rpred 10581 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7 remulcl 9009 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
84, 6, 7sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
91recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
102recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
119, 10negsubdi2d 9360 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  =  ( X  -  Y ) )
122, 1resubcld 9398 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  RR )
13 1re 9024 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1514, 6remulcld 9050 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  e.  RR )
16 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
17 3re 10004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
18 3ne0 10018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
1917, 18rereccli 9712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
2116, 20resubcld 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  RR )
2221, 6remulcld 9050 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
2322, 1resubcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  e.  RR )
24 4re 10006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
2524, 17, 183pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )
26 redivcl 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
4  /  3 )  e.  RR )
2725, 26mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  RR )
2816, 27resubcld 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  RR )
2928, 6remulcld 9050 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
3022, 29resubcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  e.  RR )
31 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
322, 22, 1, 31lesub1dd 9575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <_  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y ) )
33 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
3429, 1, 22, 33ltsub2dd 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3512, 23, 30, 32, 34lelttrd 9161 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3616recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
3720recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
3836, 37subcld 9344 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  CC )
3927recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  CC )
4036, 39subcld 9344 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  CC )
416recnd 9048 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
4238, 40, 41subdird 9423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
4336, 37, 36, 39sub4d 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  -  ( ( 1  /  3 )  -  ( 4  /  3
) ) ) )
4436, 36subcld 9344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  e.  CC )
4544, 37, 39subsub2d 9373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  -  (
( 1  /  3
)  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4643, 45eqtrd 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4746oveq1d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4842, 47eqtr3d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4935, 48breqtrd 4178 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
5036subidd 9332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  =  0 )
5150oveq1d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
52 4cn 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
53 3cn 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
5452, 53, 18divcli 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  /  3 )  e.  CC
55 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5655, 53, 18divcli 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
5755div1i 9675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5857oveq2i 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  +  1 )
59 ax-1ne0 8993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  0
6055, 53, 55, 55, 18, 59divadddivi 9709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6158, 60eqtr3i 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6253, 55addcomi 9190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
63 df-4 9993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
64 1t1e1 10059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6553mulid2i 9027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
6664, 65oveq12i 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  ( 1  +  3 )
6762, 63, 663eqtr4ri 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  4
6867oveq1i 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  (
3  x.  1 ) )
6953mulid1i 9026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
7069oveq2i 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  3
)
7161, 68, 703eqtri 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( 4  /  3
)
7254, 56, 55, 71subaddrii 9322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  1
7372oveq2i 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 0  +  1 )
74 1e0p1 10343 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7573, 74eqtr4i 2411 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  1
7651, 75syl6eq 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  1 )
7776oveq1d 6036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( 1  x.  E ) )
7849, 77breqtrd 4178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 1  x.  E ) )
79 1lt2 10075 . . . . . 6  |-  1  <  2
804a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
8114, 80, 5ltmul1d 10618 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) ) )
8279, 81mpbii 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
8312, 15, 8, 78, 82lttrd 9164 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 2  x.  E ) )
8411, 83eqbrtrd 4174 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  <  (
2  x.  E ) )
853, 8, 84ltnegcon1d 9539 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( 2  x.  E )  <  ( Y  -  X )
)
86 5re 10008 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
8786a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
8817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
8918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
9087, 88, 89redivcld 9775 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  e.  RR )
9190, 6remulcld 9050 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  e.  RR )
922renegcld 9397 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  RR )
9316, 20readdcld 9049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
9493, 6remulcld 9050 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
9529renegcld 9397 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR )
96 stoweidlem13.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
97 stoweidlem13.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
9829, 2ltnegd 9537 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  X  <->  -u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
9997, 98mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
1001, 92, 94, 95, 96, 99lt2addd 9581 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
1019, 10negsubd 9350 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  =  ( Y  -  X ) )
10236, 37, 41adddird 9047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) ) )
10336, 39negsubd 9350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  +  -u ( 4  /  3
) )  =  ( j  -  ( 4  /  3 ) ) )
104103eqcomd 2393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  =  ( j  +  -u ( 4  / 
3 ) ) )
105104oveq1d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  +  -u (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
10639negcld 9331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( 4  / 
3 )  e.  CC )
10736, 106, 41adddird 9047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  + 
-u ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  ( ( j  x.  E
)  +  ( -u ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
10839, 41mulneg1d 9419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( 4  /  3 )  x.  E )  =  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )
109108oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  (
-u ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( j  x.  E
)  +  -u (
( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
110105, 107, 1093eqtrd 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
111110negeqd 9233 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  -u ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
11236, 41mulcld 9042 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  e.  CC )
11339, 41mulcld 9042 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
114113negcld 9331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  e.  CC )
115112, 114negdid 9357 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  x.  E )  + 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
116113negnegd 9335 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  =  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )
117116oveq2d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
118111, 115, 1173eqtrd 2424 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
119102, 118oveq12d 6039 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  +  ( -u ( j  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
12037, 41mulcld 9042 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
121112negcld 9331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( j  x.  E )  e.  CC )
122112, 120, 121, 113add4d 9222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
123112negidd 9334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  =  0 )
124123oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
125120, 113addcld 9041 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )  e.  CC )
126125addid2d 9200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
127122, 124, 1263eqtrd 2424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12837, 39, 41adddird 9047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12988recnd 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
130129, 37, 39adddid 9046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) ) )
13155, 52addcomi 9190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  4 )  =  ( 4  +  1 )
13255, 53, 18divcan2i 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( 1  / 
3 ) )  =  1
13352, 53, 18divcan2i 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  4
134132, 133oveq12i 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  ( 1  +  4 )
135 df-5 9994 . . . . . . . . . . 11  |-  5  =  ( 4  +  1 )
136131, 134, 1353eqtr4i 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  5
137130, 136syl6eq 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 )
13887recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  5  e.  CC )
13937, 39addcld 9041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  e.  CC )
140138, 129, 139, 89divmuld 9745 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  =  ( ( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) )  <-> 
( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 ) )
141137, 140mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  =  ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  / 
3 ) ) )
142141eqcomd 2393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  =  ( 5  /  3 ) )
143142oveq1d 6036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( 5  /  3 )  x.  E ) )
144127, 128, 1433eqtr2d 2426 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
145119, 144eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
146100, 101, 1453brtr3d 4183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( (
5  /  3 )  x.  E ) )
147 5lt6 10085 . . . . . . 7  |-  5  <  6
148 3t2e6 10061 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
149147, 148breqtrri 4179 . . . . . 6  |-  5  <  ( 3  x.  2 )
150 3pos 10017 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
15117, 150pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
152 ltdivmul 9815 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  (
3  x.  2 ) ) )
15386, 4, 151, 152mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  ( 3  x.  2 ) )
154149, 153mpbir 201 . . . . 5  |-  ( 5  /  3 )  <  2
155154a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  <  2 )
15690, 80, 5, 155ltmul1dd 10632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
1573, 91, 8, 146, 156lttrd 9164 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( 2  x.  E ) )
1583, 8absltd 12160 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E )  <->  ( -u (
2  x.  E )  <  ( Y  -  X )  /\  ( Y  -  X )  <  ( 2  x.  E
) ) ) )
15985, 157, 158mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   -ucneg 9225    / cdiv 9610   2c2 9982   3c3 9983   4c4 9984   5c5 9985   6c6 9986   RR+crp 10545   abscabs 11967
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  27479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969
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