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Theorem stoweidlem13 27738
Description: Lemma for stoweid 27788. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem13.2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
stoweidlem13.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
stoweidlem13.4  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
stoweidlem13.5  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
stoweidlem13.6  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
stoweidlem13.7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
stoweidlem13.8  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2 stoweidlem13.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
31, 2resubcld 9465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
4 2re 10069 . . . 4  |-  2  e.  RR
5 stoweidlem13.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
65rpred 10648 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7 remulcl 9075 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
84, 6, 7sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
91recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
102recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
119, 10negsubdi2d 9427 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  =  ( X  -  Y ) )
122, 1resubcld 9465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  RR )
13 1re 9090 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1514, 6remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  e.  RR )
16 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
17 3re 10071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
18 3ne0 10085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
1917, 18rereccli 9779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
2116, 20resubcld 9465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  RR )
2221, 6remulcld 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
2322, 1resubcld 9465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  e.  RR )
24 4re 10073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
2524, 17, 183pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )
26 redivcl 9733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
4  /  3 )  e.  RR )
2725, 26mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  RR )
2816, 27resubcld 9465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  RR )
2928, 6remulcld 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
3022, 29resubcld 9465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  e.  RR )
31 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
322, 22, 1, 31lesub1dd 9642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <_  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y ) )
33 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
3429, 1, 22, 33ltsub2dd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3512, 23, 30, 32, 34lelttrd 9228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
3616recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
3720recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
3836, 37subcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  CC )
3927recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  CC )
4036, 39subcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  CC )
416recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
4238, 40, 41subdird 9490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
4336, 37, 36, 39sub4d 9460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  -  ( ( 1  /  3 )  -  ( 4  /  3
) ) ) )
4436, 36subcld 9411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  e.  CC )
4544, 37, 39subsub2d 9440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  -  (
( 1  /  3
)  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4643, 45eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
4746oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4842, 47eqtr3d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
4935, 48breqtrd 4236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
5036subidd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  =  0 )
5150oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
52 4cn 10074 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
53 3cn 10072 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
5452, 53, 18divcli 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  /  3 )  e.  CC
55 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5655, 53, 18divcli 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
5755div1i 9742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5857oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  +  1 )
59 ax-1ne0 9059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  0
6055, 53, 55, 55, 18, 59divadddivi 9776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6158, 60eqtr3i 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
6253, 55addcomi 9257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
63 df-4 10060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
64 1t1e1 10126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6553mulid2i 9093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
6664, 65oveq12i 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  ( 1  +  3 )
6762, 63, 663eqtr4ri 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  4
6867oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  (
3  x.  1 ) )
6953mulid1i 9092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
7069oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  3
)
7161, 68, 703eqtri 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( 4  /  3
)
7254, 56, 55, 71subaddrii 9389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  1
7372oveq2i 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 0  +  1 )
74 1e0p1 10410 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7573, 74eqtr4i 2459 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  1
7651, 75syl6eq 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  1 )
7776oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( 1  x.  E ) )
7849, 77breqtrd 4236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 1  x.  E ) )
79 1lt2 10142 . . . . . 6  |-  1  <  2
804a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
8114, 80, 5ltmul1d 10685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) ) )
8279, 81mpbii 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
8312, 15, 8, 78, 82lttrd 9231 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 2  x.  E ) )
8411, 83eqbrtrd 4232 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  <  (
2  x.  E ) )
853, 8, 84ltnegcon1d 9606 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( 2  x.  E )  <  ( Y  -  X )
)
86 5re 10075 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
8786a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
8817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
8918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
9087, 88, 89redivcld 9842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  e.  RR )
9190, 6remulcld 9116 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  e.  RR )
922renegcld 9464 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  RR )
9316, 20readdcld 9115 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
9493, 6remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
9529renegcld 9464 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR )
96 stoweidlem13.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
97 stoweidlem13.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
9829, 2ltnegd 9604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  X  <->  -u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
9997, 98mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
1001, 92, 94, 95, 96, 99lt2addd 9648 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
1019, 10negsubd 9417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  =  ( Y  -  X ) )
10236, 37, 41adddird 9113 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) ) )
10336, 39negsubd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  +  -u ( 4  /  3
) )  =  ( j  -  ( 4  /  3 ) ) )
104103eqcomd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  =  ( j  +  -u ( 4  / 
3 ) ) )
105104oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  +  -u (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
10639negcld 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( 4  / 
3 )  e.  CC )
10736, 106, 41adddird 9113 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  + 
-u ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  ( ( j  x.  E
)  +  ( -u ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
10839, 41mulneg1d 9486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( 4  /  3 )  x.  E )  =  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )
109108oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  (
-u ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( j  x.  E
)  +  -u (
( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
110105, 107, 1093eqtrd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
111110negeqd 9300 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  -u ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
11236, 41mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  e.  CC )
11339, 41mulcld 9108 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
114113negcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  e.  CC )
115112, 114negdid 9424 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  x.  E )  + 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
116113negnegd 9402 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  =  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )
117116oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
118111, 115, 1173eqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
119102, 118oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  +  ( -u ( j  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
12037, 41mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
121112negcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( j  x.  E )  e.  CC )
122112, 120, 121, 113add4d 9289 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
123112negidd 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  =  0 )
124123oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
125120, 113addcld 9107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )  e.  CC )
126125addid2d 9267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
127122, 124, 1263eqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12837, 39, 41adddird 9113 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
12988recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
130129, 37, 39adddid 9112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) ) )
13155, 52addcomi 9257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  4 )  =  ( 4  +  1 )
13255, 53, 18divcan2i 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( 1  / 
3 ) )  =  1
13352, 53, 18divcan2i 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  4
134132, 133oveq12i 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  ( 1  +  4 )
135 df-5 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  5  =  ( 4  +  1 )
136131, 134, 1353eqtr4i 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  5
137130, 136syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 )
13887recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  5  e.  CC )
13937, 39addcld 9107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  e.  CC )
140138, 129, 139, 89divmuld 9812 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  =  ( ( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) )  <-> 
( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 ) )
141137, 140mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  =  ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  / 
3 ) ) )
142141eqcomd 2441 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  =  ( 5  /  3 ) )
143142oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( 5  /  3 )  x.  E ) )
144127, 128, 1433eqtr2d 2474 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
145119, 144eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
146100, 101, 1453brtr3d 4241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( (
5  /  3 )  x.  E ) )
147 5lt6 10152 . . . . . . 7  |-  5  <  6
148 3t2e6 10128 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
149147, 148breqtrri 4237 . . . . . 6  |-  5  <  ( 3  x.  2 )
150 3pos 10084 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
15117, 150pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
152 ltdivmul 9882 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  (
3  x.  2 ) ) )
15386, 4, 151, 152mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  ( 3  x.  2 ) )
154149, 153mpbir 201 . . . . 5  |-  ( 5  /  3 )  <  2
155154a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  <  2 )
15690, 80, 5, 155ltmul1dd 10699 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
1573, 91, 8, 146, 156lttrd 9231 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( 2  x.  E ) )
1583, 8absltd 12232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E )  <->  ( -u (
2  x.  E )  <  ( Y  -  X )  /\  ( Y  -  X )  <  ( 2  x.  E
) ) ) )
15985, 157, 158mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   5c5 10052   6c6 10053   RR+crp 10612   abscabs 12039
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  27786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041
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