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Theorem stoweidlem13 27762
Description: Lemma for stoweid 27812. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon , in [BrosowskiDeutsh] p. 92, the last step of the proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem13.2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
stoweidlem13.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
stoweidlem13.4  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
stoweidlem13.5  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
stoweidlem13.6  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
stoweidlem13.7  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
stoweidlem13.8  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
21recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3 stoweidlem13.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
43recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
52, 4jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )
6 negsubdi2 9106 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC )  -> 
-u ( Y  -  X )  =  ( X  -  Y ) )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  =  ( X  -  Y ) )
8 stoweidlem13.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
9 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  j  e.  RR )
10 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
11 3re 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  3  e.  RR
12 3ne0 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  3  =/=  0
1310, 11, 123pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )
14 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
1615a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
179, 16jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( j  e.  RR  /\  ( 1  /  3
)  e.  RR ) )
18 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( 1  /  3
)  e.  RR )  ->  ( j  -  ( 1  /  3
) )  e.  RR )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  RR )
20 stoweidlem13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
21 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2319, 22jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
24 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
263, 25, 13jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  Y  e.  RR )
)
27 lesub1 9268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  <-> 
( X  -  Y
)  <_  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y ) ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  <-> 
( X  -  Y
)  <_  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y ) ) )
298, 28mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <_  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y ) )
30 stoweidlem13.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  Y )
31 4re 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  e.  RR
3231, 11, 123pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )
33 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
4  /  3 )  e.  RR )
3432, 33mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  RR )
359, 34jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( j  e.  RR  /\  ( 4  /  3
)  e.  RR ) )
36 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( 4  /  3
)  e.  RR )  ->  ( j  -  ( 4  /  3
) )  e.  RR )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  RR )
3837, 22jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
39 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
4140, 1, 253jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR ) )
42 ltsub2 9271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  e.  RR )  -> 
( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  Y  <->  ( ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  -  Y )  <  ( ( ( j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  Y  <->  ( ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  -  Y )  <  ( ( ( j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) ) ) )
4430, 43mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
4529, 44jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  <_  (
( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  -  Y )  /\  ( ( ( j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y )  <  (
( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  -  ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E ) ) ) )
463, 1jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR ) )
47 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  -  Y
)  e.  RR )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  RR )
4925, 1jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR  /\  Y  e.  RR ) )
50 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  e.  RR )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  e.  RR )
5225, 40jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR ) )
53 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )  ->  ( ( ( j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  e.  RR )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  e.  RR )
5548, 51, 543jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  e.  RR  /\  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  e.  RR  /\  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  e.  RR ) )
56 lelttr 8912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  -  Y
)  e.  RR  /\  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  e.  RR  /\  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( X  -  Y )  <_  ( ( ( j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y )  /\  (
( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  -  Y )  <  ( ( ( j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) ) )  -> 
( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) ) )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  Y )  <_ 
( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  Y
)  /\  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  Y )  < 
( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )  ->  ( X  -  Y )  <  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) ) )
5845, 57mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
59 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  RR  ->  j  e.  CC )
609, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  j  e.  CC )
6116recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
6260, 61jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC ) )
63 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC )  ->  ( j  -  ( 1  /  3
) )  e.  CC )
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  CC )
6534recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 4  /  3
)  e.  CC )
6660, 65jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC ) )
67 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC )  ->  ( j  -  ( 4  /  3
) )  e.  CC )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  CC )
6922recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
7064, 68, 693jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  e.  CC  /\  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  CC  /\  E  e.  CC )
)
71 subdir 9214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  -  (
1  /  3 ) )  e.  CC  /\  ( j  -  (
4  /  3 ) )  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E )  -  ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) ) )
7362, 66jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  CC  /\  ( 1  /  3 )  e.  CC )  /\  (
j  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC ) ) )
74 sub4 9092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC )  /\  ( j  e.  CC  /\  ( 4  /  3 )  e.  CC ) )  -> 
( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  -  ( ( 1  /  3 )  -  ( 4  /  3
) ) ) )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  -  ( ( 1  /  3 )  -  ( 4  /  3
) ) ) )
7660, 60jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( j  e.  CC  /\  j  e.  CC ) )
77 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( j  -  j
)  e.  CC )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  e.  CC )
7978, 61, 653jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC ) )
80 subsub2 9075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  -  j
)  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC )  ->  ( ( j  -  j )  -  ( ( 1  / 
3 )  -  (
4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) ) )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  -  (
( 1  /  3
)  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
8275, 81eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  -  (
j  -  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
8382oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  -  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
8472, 83eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  -  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )  =  ( ( ( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
8558, 84breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( (
( j  -  j
)  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) ) )  x.  E ) )
86 subid 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  -  j )  =  0 )
8760, 86syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( j  -  j
)  =  0 )
8887oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) ) )
89 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
90 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  =/=  0
9189, 90pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )
92 divid 9451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  -> 
( 1  /  1
)  =  1 )
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  1 )  =  1
9493oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  +  1 )
95 3cn 9818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
9689, 95, 89, 89, 12, 90divadddivi 9522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  3 )  +  ( 1  / 
1 ) )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
9794, 96eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  (
3  x.  1 ) )
9895, 89pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC )
99 addcom 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 ) )
10098, 99ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  1 )  =  ( 1  +  3 )
101 df-4 9806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  =  ( 3  +  1 )
102 mulid1 8835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  x.  1 )  =  1 )
10389, 102ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
104 mulid2 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  e.  CC  ->  (
1  x.  3 )  =  3 )
10595, 104ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
106103, 105oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  ( 1  +  3 )
107100, 101, 1063eqtr4ri 2314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  =  4
108107oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  x.  1 )  +  ( 1  x.  3 ) )  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  (
3  x.  1 ) )
109 mulid1 8835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  e.  CC  ->  (
3  x.  1 )  =  3 )
11095, 109ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
111110oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  /  ( 3  x.  1 ) )  =  ( 4  /  3
)
11297, 108, 1113eqtri 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  3 )  +  1 )  =  ( 4  /  3
)
11331recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  CC
114113, 95, 12divcli 9502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  /  3 )  e.  CC
11589, 95, 12divcli 9502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
116114, 115, 893pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 4  /  3 )  e.  CC  /\  (
1  /  3 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )
117 subadd 9054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 4  /  3
)  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) )  =  1  <-> 
( ( 1  / 
3 )  +  1 )  =  ( 4  /  3 ) ) )
118116, 117ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) )  =  1  <->  ( (
1  /  3 )  +  1 )  =  ( 4  /  3
) )
119112, 118mpbir 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  1
120119oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  ( 0  +  1 )
121 1e0p1 10152 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 0  +  1 )
122120, 121eqtr4i 2306 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  ( ( 4  /  3 )  -  ( 1  /  3
) ) )  =  1
12388, 122syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )  =  1 )
124123oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  j )  +  ( ( 4  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) ) )  x.  E
)  =  ( 1  x.  E ) )
12585, 124breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 1  x.  E ) )
126 1lt2 9886 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
12710a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
128 2re 9815 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
129128a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
130 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  RR+  ->  0  < 
E )
13120, 130syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  E )
13222, 131jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
133127, 129, 1323jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) ) )
134 ltmul1 9606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <  2  <->  ( 1  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) ) )
135133, 134syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  <  2  <->  ( 1  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) ) )
136126, 135mpbii 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
137125, 136jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  <  (
1  x.  E )  /\  ( 1  x.  E )  <  (
2  x.  E ) ) )
138127, 22jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
139 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 1  x.  E
)  e.  RR )
140138, 139syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  E
)  e.  RR )
14122, 128jctil 523 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
142 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
143141, 142syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
14448, 140, 1433jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  e.  RR  /\  ( 1  x.  E
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  E
)  e.  RR ) )
145 lttr 8899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  -  Y
)  e.  RR  /\  ( 1  x.  E
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  E
)  e.  RR )  ->  ( ( ( X  -  Y )  <  ( 1  x.  E )  /\  (
1  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) )  -> 
( X  -  Y
)  <  ( 2  x.  E ) ) )
146144, 145syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  Y )  < 
( 1  x.  E
)  /\  ( 1  x.  E )  < 
( 2  x.  E
) )  ->  ( X  -  Y )  <  ( 2  x.  E
) ) )
147137, 146mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  ( 2  x.  E ) )
1487, 147eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  <  (
2  x.  E ) )
149129, 22jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
150149, 142syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  E
)  e.  RR )
151 renegcl 9110 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  E )  e.  RR  ->  -u (
2  x.  E )  e.  RR )
152150, 151syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( 2  x.  E )  e.  RR )
153 resubcl 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
1541, 3, 153syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
155152, 154jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( 2  x.  E )  e.  RR  /\  ( Y  -  X )  e.  RR ) )
156 ltneg 9274 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( 2  x.  E )  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( -u (
2  x.  E )  <  ( Y  -  X )  <->  -u ( Y  -  X )  <  -u -u ( 2  x.  E ) ) )
157155, 156syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( 2  x.  E )  < 
( Y  -  X
)  <->  -u ( Y  -  X )  <  -u -u (
2  x.  E ) ) )
158 2cn 9816 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
159158a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
160159, 69jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
161 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( 2  x.  E
)  e.  CC )
162160, 161syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  E
)  e.  CC )
163 negneg 9097 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  E )  e.  CC  ->  -u -u (
2  x.  E )  =  ( 2  x.  E ) )
164162, 163syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u -u ( 2  x.  E )  =  ( 2  x.  E ) )
165164breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( Y  -  X )  <  -u -u ( 2  x.  E )  <->  -u ( Y  -  X )  < 
( 2  x.  E
) ) )
166157, 165bitrd 244 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u ( 2  x.  E )  < 
( Y  -  X
)  <->  -u ( Y  -  X )  <  (
2  x.  E ) ) )
167148, 166mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( 2  x.  E )  <  ( Y  -  X )
)
168 5re 9821 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  RR
169168a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
17011a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
17112a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
172169, 170, 1713jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 5  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 ) )
173 redivcl 9479 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
5  /  3 )  e.  RR )
174172, 173syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  e.  RR )
175174, 22jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
176 remulcl 8822 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  /  3
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  e.  RR )
177175, 176syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  e.  RR )
178 negsub 9095 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( Y  +  -u X )  =  ( Y  -  X ) )
1795, 178syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  =  ( Y  -  X ) )
180 renegcl 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  RR  ->  -u X  e.  RR )
1813, 180syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  RR )
1821, 181jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  -u X  e.  RR ) )
183 readdcl 8820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  -u X  e.  RR )  ->  ( Y  +  -u X )  e.  RR )
184182, 183syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  e.  RR )
185 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( 1  /  3
)  e.  RR )  ->  ( j  +  ( 1  /  3
) )  e.  RR )
18617, 185syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR )
187186, 22jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
188 remulcl 8822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
189187, 188syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )
190189, 181jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR  /\  -u X  e.  RR ) )
191 readdcl 8820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  -u X  e.  RR )  ->  ( ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  + 
-u X )  e.  RR )
192190, 191syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u X )  e.  RR )
193 renegcl 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  e.  RR  ->  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  e.  RR )
19440, 193syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR )
195189, 194jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR  /\  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR ) )
196 readdcl 8820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )  ->  ( ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  + 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E ) )  e.  RR )
197195, 196syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  e.  RR )
198 stoweidlem13.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
1991, 189, 1813jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  -u X  e.  RR ) )
200 ltadd1 9241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  -u X  e.  RR )  ->  ( Y  < 
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  <->  ( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u X
) ) )
201199, 200syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  <  (
( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  <-> 
( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u X
) ) )
202198, 201mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u X
) )
203 rexr 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  +  -u X
)  e.  RR  ->  ( Y  +  -u X
)  e.  RR* )
204184, 203syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  e.  RR* )
205 rexr 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u X
)  e.  RR  ->  ( ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u X
)  e.  RR* )
206192, 205syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u X )  e.  RR* )
207204, 206jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  -u X )  e.  RR*  /\  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u X )  e.  RR* ) )
208 xrltle 10483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  +  -u X )  e.  RR*  /\  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u X )  e.  RR* )  ->  ( ( Y  +  -u X )  < 
( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u X )  ->  ( Y  +  -u X )  <_  ( ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  + 
-u X ) ) )
209207, 208syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u X
)  ->  ( Y  +  -u X )  <_ 
( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u X ) ) )
210202, 209mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  <_  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u X
) )
211 stoweidlem13.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  X )
21240, 3jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  e.  RR  /\  X  e.  RR ) )
213 ltneg 9274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  X  <->  -u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
214212, 213syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  X  <->  -u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
215211, 214mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u X  <  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
216181, 194, 1893jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u X  e.  RR  /\  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  e.  RR  /\  (
( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  e.  RR ) )
217 ltadd2 8924 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u X  e.  RR  /\  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR  /\  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  e.  RR )  ->  ( -u X  <  -u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <->  ( (
( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  +  -u X )  < 
( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) ) ) )
218216, 217syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u X  <  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <->  ( ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  + 
-u X )  < 
( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) ) ) )
219215, 218mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
220184, 192, 197, 210, 219lelttrd 8974 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  <  (
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  +  -u (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E ) ) )
22160, 61, 693jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( j  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  E  e.  CC )
)
222 adddir 8830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) ) )
223221, 222syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) ) )
224 negsub 9095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC )  ->  ( j  + 
-u ( 4  / 
3 ) )  =  ( j  -  (
4  /  3 ) ) )
22566, 224syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( j  +  -u ( 4  /  3
) )  =  ( j  -  ( 4  /  3 ) ) )
226225eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( j  -  (
4  /  3 ) )  =  ( j  +  -u ( 4  / 
3 ) ) )
227226oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  +  -u (
4  /  3 ) )  x.  E ) )
228 negcl 9052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  /  3 )  e.  CC  ->  -u (
4  /  3 )  e.  CC )
22965, 228syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u ( 4  / 
3 )  e.  CC )
23060, 229, 693jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( j  e.  CC  /\  -u ( 4  /  3
)  e.  CC  /\  E  e.  CC )
)
231 adddir 8830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  CC  /\  -u ( 4  /  3
)  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( j  + 
-u ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  ( ( j  x.  E
)  +  ( -u ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
232230, 231syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( j  + 
-u ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  ( ( j  x.  E
)  +  ( -u ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
23365, 69jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
3 )  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
234 mulneg1 9216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 4  /  3
)  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( -u ( 4  /  3 )  x.  E )  =  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )
235233, 234syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( -u ( 4  /  3 )  x.  E )  =  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )
236235oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  (
-u ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( j  x.  E
)  +  -u (
( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
237232, 236eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( j  + 
-u ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  ( ( j  x.  E
)  +  -u (
( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
238227, 237eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
239238negeqd 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  -u ( ( j  x.  E )  +  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
24060, 69jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( j  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
241 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( j  x.  E
)  e.  CC )
242240, 241syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  x.  E
)  e.  CC )
243 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 4  /  3
)  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
244233, 243syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
245 negcl 9052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 4  /  3
)  x.  E )  e.  CC  ->  -u (
( 4  /  3
)  x.  E )  e.  CC )
246244, 245syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  e.  CC )
247242, 246jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  e.  CC  /\  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC ) )
248 negdi 9104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  x.  E
)  e.  CC  /\  -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )  ->  -u ( ( j  x.  E )  + 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
249247, 248syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  x.  E )  + 
-u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
250239, 249eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  (
-u ( j  x.  E )  +  -u -u ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
251 negneg 9097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 4  /  3
)  x.  E )  e.  CC  ->  -u -u (
( 4  /  3
)  x.  E )  =  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )
252244, 251syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E )  =  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )
253252oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( j  x.  E )  + 
-u -u ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( -u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
254250, 253eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
255223, 254oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  +  ( -u ( j  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
25661, 69jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
257 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
258256, 257syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )
259242, 258jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC ) )
260 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( j  x.  E
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )  ->  ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  e.  CC )
261259, 260syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  e.  CC )
262 negcl 9052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  x.  E )  e.  CC  ->  -u (
j  x.  E )  e.  CC )
263242, 262syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( j  x.  E )  e.  CC )
264261, 263, 2443jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  e.  CC  /\  -u ( j  x.  E
)  e.  CC  /\  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC ) )
265 addass 8824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  e.  CC  /\  -u ( j  x.  E
)  e.  CC  /\  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( j  x.  E
)  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) )  +  -u ( j  x.  E ) )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  +  ( -u ( j  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
266264, 265syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3
)  x.  E ) )  +  ( -u ( j  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
267242, 258, 2633jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC  /\  -u ( j  x.  E
)  e.  CC ) )
268 add32 9026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  x.  E
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC  /\  -u ( j  x.  E
)  e.  CC )  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) )  + 
-u ( j  x.  E ) )  =  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) ) )
269268oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  x.  E
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC  /\  -u ( j  x.  E
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( j  x.  E
)  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) )  +  -u ( j  x.  E ) )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
270267, 269syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  =  ( ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
271266, 270eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )
272242, 263jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  e.  CC  /\  -u ( j  x.  E
)  e.  CC ) )
273 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  x.  E
)  e.  CC  /\  -u ( j  x.  E
)  e.  CC )  ->  ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  e.  CC )
274272, 273syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  e.  CC )
275274, 258, 2443jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  e.  CC  /\  ( ( 1  /  3 )  x.  E )  e.  CC  /\  ( ( 4  /  3 )  x.  E )  e.  CC ) )
276 addass 8824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC  /\  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( j  x.  E
)  +  -u (
j  x.  E ) )  +  ( ( 1  /  3 )  x.  E ) )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  =  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) ) )
277275, 276syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E ) )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )  =  ( ( ( j  x.  E
)  +  -u (
j  x.  E ) )  +  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
278271, 277eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
279 negid 9094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  x.  E )  e.  CC  ->  (
( j  x.  E
)  +  -u (
j  x.  E ) )  =  0 )
280242, 279syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( j  x.  E )  +  -u ( j  x.  E
) )  =  0 )
281280oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) ) )
282258, 244jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  e.  CC  /\  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC ) )
283 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC  /\  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
)  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) )  e.  CC )
284282, 283syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )  e.  CC )
285 addid2 8995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) )  e.  CC  ->  (
0  +  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  / 
3 )  x.  E
) ) )
286284, 285syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
287281, 286eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  + 
-u ( j  x.  E ) )  +  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
288278, 287eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
3 )  x.  E
)  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
28961, 65, 693jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC  /\  E  e.  CC )
)
290 adddir 8830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
291289, 290syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( ( 1  /  3
)  x.  E )  +  ( ( 4  /  3 )  x.  E ) ) )
292170recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
293292, 61, 653jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC ) )
294 adddi 8826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  (
1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  / 
3 ) ) ) )
295293, 294syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) ) )
29689, 95, 123pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
297 divcan2 9432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( 1  /  3 ) )  =  1 )
298296, 297ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  x.  ( 1  / 
3 ) )  =  1
299113, 95, 123pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
300 divcan2 9432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( 4  /  3 ) )  =  4 )
301299, 300ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  4
302298, 301pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  =  1  /\  (
3  x.  ( 4  /  3 ) )  =  4 )
303 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 3  x.  (
1  /  3 ) )  =  1  /\  ( 3  x.  (
4  /  3 ) )  =  4 )  ->  ( ( 3  x.  ( 1  / 
3 ) )  +  ( 3  x.  (
4  /  3 ) ) )  =  ( 1  +  4 ) )
304302, 303ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  ( 1  +  4 )
30589, 113addcomi 9003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  4 )  =  ( 4  +  1 )
306304, 305eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  ( 4  +  1 )
307 df-5 9807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  =  ( 4  +  1 )
308306, 307eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  x.  ( 1  /  3 ) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3
) ) )  =  5
309308a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( 1  /  3
) )  +  ( 3  x.  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 )
310295, 309eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 )
311169recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  5  e.  CC )
31261, 65jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC ) )
313 addcl 8819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  /  3
)  e.  CC  /\  ( 4  /  3
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  e.  CC )
314312, 313syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  e.  CC )
315292, 171jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )
316311, 314, 3153jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 5  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) ) )
317 divmul 9427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( (
5  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  <->  ( 3  x.  ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) ) )  =  5 ) )
318316, 317syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  =  ( ( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) )  <-> 
( 3  x.  (
( 1  /  3
)  +  ( 4  /  3 ) ) )  =  5 ) )
319310, 318mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  =  ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  / 
3 ) ) )
320319eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  =  ( 5  /  3 ) )
321174recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  e.  CC )
322 gt0ne0 9239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  ->  E  =/=  0 )
323132, 322syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
32469, 323jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
325314, 321, 3243jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  e.  CC  /\  ( 5  /  3
)  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) ) )
326 mulcan2 9406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  e.  CC  /\  ( 5  /  3
)  e.  CC  /\  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  =  ( ( 5  /  3 )  x.  E )  <->  ( (
1  /  3 )  +  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 5  /  3
) ) )
327325, 326syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E )  <-> 
( ( 1  / 
3 )  +  ( 4  /  3 ) )  =  ( 5  /  3 ) ) )
328320, 327mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  +  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  =  ( ( 5  /  3 )  x.  E ) )
329291, 328eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  3 )  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) )  =  ( ( 5  /  3 )  x.  E ) )
330288, 329eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  x.  E )  +  ( ( 1  / 
3 )  x.  E
) )  +  (
-u ( j  x.  E )  +  ( ( 4  /  3
)  x.  E ) ) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
331255, 330eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  +  -u ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
) )  =  ( ( 5  /  3
)  x.  E ) )
332220, 331breqtrd 4047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  +  -u X )  <  (
( 5  /  3
)  x.  E ) )
333179, 332eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( (
5  /  3 )  x.  E ) )
334 rexr 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  -  X )  e.  RR  ->  ( Y  -  X )  e.  RR* )
335154, 334syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR* )
336 rexr 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 5  /  3
)  x.  E )  e.  RR  ->  (
( 5  /  3
)  x.  E )  e.  RR* )
337177, 336syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  e.  RR* )
338335, 337jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  e.  RR*  /\  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  e.  RR* )
)
339 xrltle 10483 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  -  X
)  e.  RR*  /\  (
( 5  /  3
)  x.  E )  e.  RR* )  ->  (
( Y  -  X
)  <  ( (
5  /  3 )  x.  E )  -> 
( Y  -  X
)  <_  ( (
5  /  3 )  x.  E ) ) )
340338, 339syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  <  (
( 5  /  3
)  x.  E )  ->  ( Y  -  X )  <_  (
( 5  /  3
)  x.  E ) ) )
341333, 340mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <_  ( (
5  /  3 )  x.  E ) )
342 5lt6 9896 . . . . . . . 8  |-  5  <  6
343 3t2e6 9872 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
344342, 343breqtrri 4048 . . . . . . 7  |-  5  <  ( 3  x.  2 )
345 3pos 9830 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
34611, 345pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
347168, 128, 3463pm3.2i 1130 . . . . . . . 8  |-  ( 5  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
348 ltdivmul 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  (
3  x.  2 ) ) )
349347, 348ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  /  3 )  <  2  <->  5  <  ( 3  x.  2 ) )
350344, 349mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( 5  /  3 )  <  2
351350a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 5  /  3
)  <  2 )
352174, 129, 1323jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) ) )
353 ltmul1 9606 . . . . . 6  |-  ( ( ( 5  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( ( 5  / 
3 )  <  2  <->  ( ( 5  /  3
)  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) ) )
354352, 353syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  <  2  <->  ( ( 5  /  3
)  x.  E )  <  ( 2  x.  E ) ) )
355351, 354mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 5  / 
3 )  x.  E
)  <  ( 2  x.  E ) )
356154, 177, 143, 341, 355lelttrd 8974 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <  ( 2  x.  E ) )
357167, 356jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u ( 2  x.  E )  < 
( Y  -  X
)  /\  ( Y  -  X )  <  (
2  x.  E ) ) )
358154, 143jca 518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  e.  RR  /\  ( 2  x.  E
)  e.  RR ) )
359 abslt 11798 . . . 4  |-  ( ( ( Y  -  X
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  E
)  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Y  -  X
) )  <  (
2  x.  E )  <-> 
( -u ( 2  x.  E )  <  ( Y  -  X )  /\  ( Y  -  X
)  <  ( 2  x.  E ) ) ) )
360358, 359syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E )  <->  ( -u (
2  x.  E )  <  ( Y  -  X )  /\  ( Y  -  X )  <  ( 2  x.  E
) ) ) )
361360bicomd 192 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
2  x.  E )  <  ( Y  -  X )  /\  ( Y  -  X )  <  ( 2  x.  E
) )  <->  ( abs `  ( Y  -  X
) )  <  (
2  x.  E ) ) )
362357, 361mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  X )
)  <  ( 2  x.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   RR+crp 10354   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  27810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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