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Theorem stoweidlem14 27777
 Description: There exists a as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: is an integer and 1 < k * δ < 2. is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem14.1
stoweidlem14.2
stoweidlem14.3
Assertion
Ref Expression
stoweidlem14
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem14
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem14.1 . . . . . 6
2 ssrab2 3414 . . . . . . 7
32a1i 11 . . . . . 6
41, 3syl5eqss 3378 . . . . 5
5 stoweidlem14.2 . . . . . . 7
65rprecred 10690 . . . . . 6
7 arch 10249 . . . . . 6
8 breq2 4241 . . . . . . . . . . 11
98elrab 3098 . . . . . . . . . 10
109biimpri 199 . . . . . . . . 9
1110, 1syl6eleqr 2533 . . . . . . . 8
12 simpr 449 . . . . . . . 8
1311, 12jca 520 . . . . . . 7
1413reximi2 2818 . . . . . 6
15 rexn0 3754 . . . . . 6
166, 7, 14, 154syl 20 . . . . 5
17 nnwo 10573 . . . . 5
184, 16, 17syl2anc 644 . . . 4
19 df-rex 2717 . . . 4
2018, 19sylib 190 . . 3
218, 1elrab2 3100 . . . . . . . 8
2221simplbi 448 . . . . . . 7
2322ad2antrl 710 . . . . . 6
24 simpl 445 . . . . . . 7
25 simprl 734 . . . . . . 7
26 simprr 735 . . . . . . . 8
27 nfcv 2578 . . . . . . . . 9
28 nfrab1 2894 . . . . . . . . . 10
291, 28nfcxfr 2575 . . . . . . . . 9
30 nfv 1630 . . . . . . . . 9
31 nfv 1630 . . . . . . . . 9
32 breq2 4241 . . . . . . . . 9
3327, 29, 30, 31, 32cbvralf 2932 . . . . . . . 8
3426, 33sylib 190 . . . . . . 7
3521simprbi 452 . . . . . . . . 9
3635ad2antrl 710 . . . . . . . 8
3722ad2antrl 710 . . . . . . . . 9
38 1re 9121 . . . . . . . . . . 11
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10
40 nnre 10038 . . . . . . . . . . 11
4140adantl 454 . . . . . . . . . 10
425rpregt0d 10685 . . . . . . . . . . 11
4342adantr 453 . . . . . . . . . 10
44 ltdivmul2 9916 . . . . . . . . . 10
4539, 41, 43, 44syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
4637, 45syldan 458 . . . . . . . 8
4736, 46mpbid 203 . . . . . . 7
4824, 25, 34, 47syl12anc 1183 . . . . . 6
49 oveq1 6117 . . . . . . . . . . . 12
5049adantl 454 . . . . . . . . . . 11
515rpcnd 10681 . . . . . . . . . . . . 13
5251adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
5352mulid2d 9137 . . . . . . . . . . 11
5450, 53eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10
5554oveq1d 6125 . . . . . . . . 9
565rpred 10679 . . . . . . . . . . . 12
5756rehalfcld 10245 . . . . . . . . . . 11
5838rehalfcli 10247 . . . . . . . . . . . 12
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11
6038a1i 11 . . . . . . . . . . 11
61 stoweidlem14.3 . . . . . . . . . . . 12
62 2re 10100 . . . . . . . . . . . . . 14
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
64 2pos 10113 . . . . . . . . . . . . . 14
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
66 ltdiv1 9905 . . . . . . . . . . . . 13
6756, 60, 63, 65, 66syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . 12
6861, 67mpbid 203 . . . . . . . . . . 11
69 halflt1 10220 . . . . . . . . . . . 12
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11
7157, 59, 60, 68, 70lttrd 9262 . . . . . . . . . 10
7271adantr 453 . . . . . . . . 9
7355, 72eqbrtrd 4257 . . . . . . . 8
7473adantlr 697 . . . . . . 7
75 simpll 732 . . . . . . . 8
76 simplrl 738 . . . . . . . . . 10
7776, 22syl 16 . . . . . . . . 9
78 df-ne 2607 . . . . . . . . . . 11
7978biimpri 199 . . . . . . . . . 10
8079adantl 454 . . . . . . . . 9
81 eluz2b3 10580 . . . . . . . . 9
8277, 80, 81sylanbrc 647 . . . . . . . 8
83 1z 10342 . . . . . . . . . . . 12
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11
85 df-2 10089 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685fveq2i 5760 . . . . . . . . . . . . . 14
8786eleq2i 2506 . . . . . . . . . . . . 13
88 eluzsub 10546 . . . . . . . . . . . . 13
8987, 88syl3an3b 1223 . . . . . . . . . . . 12
90 nnuz 10552 . . . . . . . . . . . 12
9189, 90syl6eleqr 2533 . . . . . . . . . . 11
9284, 84, 82, 91syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
9322, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9493adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95 peano2rem 9398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9897ltm1d 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
99 ltnle 9186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10098, 99mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10196, 94, 100syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 breq2 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103102notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104103rspcev 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105101, 104syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 rexnal 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107105, 106sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108107ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 imnan 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110108, 109sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110con2i 115 . . . . . . . . . . . . . 14
112111ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13
113 breq2 4241 . . . . . . . . . . . . . 14
114113, 1elrab2 3100 . . . . . . . . . . . . 13
115112, 114sylnib 297 . . . . . . . . . . . 12
116 ianor 476 . . . . . . . . . . . 12
117115, 116sylib 190 . . . . . . . . . . 11
118 imor 403 . . . . . . . . . . 11
119117, 118sylibr 205 . . . . . . . . . 10
12092, 119mpd 15 . . . . . . . . 9
12176, 22, 40, 954syl 20 . . . . . . . . . 10
12256ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
1235rpne0d 10684 . . . . . . . . . . . 12
124123ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
125122, 124rereccld 9872 . . . . . . . . . 10
126121, 125lenltd 9250 . . . . . . . . 9
127120, 126mpbird 225 . . . . . . . 8
128 eluzelre 10528 . . . . . . . . . . . . 13
129128adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
13056adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
131129, 130remulcld 9147 . . . . . . . . . . 11
132131rehalfcld 10245 . . . . . . . . . 10
1331323adant3 978 . . . . . . . . 9
13460, 56readdcld 9146 . . . . . . . . . . . 12
135134adantr 453 . . . . . . . . . . 11
136135rehalfcld 10245 . . . . . . . . . 10
1371363adant3 978 . . . . . . . . 9
13838a1i 11 . . . . . . . . 9
139 eluzelcn 27738 . . . . . . . . . . . . . . 15
140139adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
14151adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
142140, 141mulcld 9139 . . . . . . . . . . . . 13
1431423adant3 978 . . . . . . . . . . . 12
144513ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12
145143, 144npcand 9446 . . . . . . . . . . 11
146131, 130resubcld 9496 . . . . . . . . . . . . 13
1471463adant3 978 . . . . . . . . . . . 12
148563ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12
149 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . 14
15038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151128, 150resubcld 9496 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1521513ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . 15
15363ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . 15
154423ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . 15
155 lemul1 9893 . . . . . . . . . . . . . . 15
156152, 153, 154, 155syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
157149, 156mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13
158 ax-1cn 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
160140, 159, 141subdird 9521 . . . . . . . . . . . . . . 15
161141mulid2d 9137 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162161oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . . 15
163160, 162eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14
1641633adant3 978 . . . . . . . . . . . . 13
165158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166165, 51, 1233jca 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15
1671663ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . 14
168 divcan1 9718 . . . . . . . . . . . . . 14
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
170157, 164, 1693brtr3d 4266 . . . . . . . . . . . 12
171147, 138, 148, 170leadd1dd 9671 . . . . . . . . . . 11
172145, 171eqbrtrrd 4259 . . . . . . . . . 10
1731313adant3 978 . . . . . . . . . . 11
1741343ad2ant1 979 . . . . . . . . . . 11
17562, 64pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . 12
176175a1i 11 . . . . . . . . . . 11
177 lediv1 9906 . . . . . . . . . . 11
178173, 174, 176, 177syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
179172, 178mpbid 203 . . . . . . . . 9
18056, 60, 60, 61ltadd2dd 9260 . . . . . . . . . . . . 13
181 1p1e2 10125 . . . . . . . . . . . . 13
182180, 181syl6breq 4276 . . . . . . . . . . . 12
183 ltdiv1 9905 . . . . . . . . . . . . 13
184134, 63, 63, 65, 183syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . 12
185182, 184mpbid 203 . . . . . . . . . . 11
186 2cn 10101 . . . . . . . . . . . 12
187 2ne0 10114 . . . . . . . . . . . 12
188186, 187dividi 9778 . . . . . . . . . . 11
189185, 188syl6breq 4276 . . . . . . . . . 10
1901893ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
191133, 137, 138, 179, 190lelttrd 9259 . . . . . . . 8
19275, 82, 127, 191syl3anc 1185 . . . . . . 7
19374, 192pm2.61dan 768 . . . . . 6
19423, 48, 193jca32 523 . . . . 5
195194ex 425 . . . 4
196195eximdv 1633 . . 3
19720, 196mpd 15 . 2
198 df-rex 2717 . 2
199197, 198sylibr 205 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  wral 2711  wrex 2712  crab 2715   wss 3306  c0 3613   class class class wbr 4237  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc 9019  cr 9020  cc0 9021  c1 9022   caddc 9024   cmul 9026   clt 9151   cle 9152   cmin 9322   cdiv 9708  cn 10031  c2 10080  cz 10313  cuz 10519  crp 10643 This theorem is referenced by:  stoweidlem49  27812 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644
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