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Theorem stoweidlem14 27763
Description: There exists a  k as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90:  k is an integer and 1 < k * δ < 2.  D is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem14.1  |-  A  =  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
stoweidlem14.2  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem14.3  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem14  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
Distinct variable groups:    j, k, D    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( j)

Proof of Theorem stoweidlem14
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem14.1 . . . . . . . 8  |-  A  =  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
2 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  C_  NN
32a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  C_  NN )
41, 3syl5eqss 3222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
5 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
65a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7 stoweidlem14.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
8 rpre 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
10 rpne0 10369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  =/=  0 )
117, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
126, 9, 113jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  D  =/=  0 ) )
13 redivcl 9479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  D  =/=  0 )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  D
)  e.  RR )
15 arch 9962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  D )  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  D )  <  k
)
16 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
k ) )
1716elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  < 
j }  <->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D )  < 
k ) )
1817biimpri 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  k  e.  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j } )
1918, 1syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  k  e.  A )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  ( 1  /  D
)  <  k )
2119, 20jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  ( k  e.  A  /\  ( 1  /  D
)  <  k )
)
2221eximi 1563 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. k ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D )  < 
k )  ->  E. k
( k  e.  A  /\  ( 1  /  D
)  <  k )
)
23 df-rex 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. k  e.  NN  (
1  /  D )  <  k  <->  E. k
( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )
)
24 df-rex 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. k  e.  A  ( 1  /  D )  <  k  <->  E. k
( k  e.  A  /\  ( 1  /  D
)  <  k )
)
2522, 23, 243imtr4i 257 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k  e.  NN  (
1  /  D )  <  k  ->  E. k  e.  A  ( 1  /  D )  < 
k )
26 rexn0 3556 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k  e.  A  ( 1  /  D )  <  k  ->  A  =/=  (/) )
2715, 25, 263syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  D )  e.  RR  ->  A  =/=  (/) )
2814, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
294, 28jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) ) )
30 nnwo 10284 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z )
31 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z A
32 nfrab1 2720 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
331, 32nfcxfr 2416 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j A
34 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  k  <_  z
35 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  k  <_  j
36 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  j  ->  (
k  <_  z  <->  k  <_  j ) )
3731, 33, 34, 35, 36cbvralf 2758 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  k  <_  z  <->  A. j  e.  A  k  <_  j )
3837rexbii 2568 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z  <->  E. k  e.  A  A. j  e.  A  k  <_  j )
3930, 38sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  A  A. j  e.  A  k  <_  j )
4029, 39syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  A. j  e.  A  k  <_  j )
4140, 38sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z )
42 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z  <->  E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
4341, 42sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
44 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  k  e.  A )
451eleq2i 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  <->  k  e.  { j  e.  NN  | 
( 1  /  D
)  <  j }
)
4645, 17bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  <->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D )  < 
k ) )
4746simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  NN )
4844, 47syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  k  e.  NN )
49 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  ph )
50 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  A. z  e.  A  k  <_  z )
5150, 37sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  A. j  e.  A  k  <_  j )
5244, 51jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )
5349, 52jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  ( ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) ) )
54 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  k  e.  A )
5546simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  (
1  /  D )  <  k )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  (
1  /  D )  <  k )
57 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  ph )
5847ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  k  e.  NN )
5957, 58jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN ) )
605a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
61 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
6261adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
63 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  < 
D )
647, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  D )
659, 64jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
6760, 62, 663jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) ) )
68 ltdivmul2 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )  -> 
( ( 1  /  D )  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  D )  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
7059, 69syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  (
( 1  /  D
)  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
7156, 70mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  1  <  ( k  x.  D
) )
7253, 71syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  1  <  ( k  x.  D
) )
73 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
k  x.  D )  =  ( 1  x.  D ) )
7473adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
k  x.  D )  =  ( 1  x.  D ) )
75 rpcn 10362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  CC )
767, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
7776adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  D  e.  CC )
78 mulid2 8836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  CC  ->  (
1  x.  D )  =  D )
7977, 78syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
1  x.  D )  =  D )
8074, 79eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
k  x.  D )  =  D )
8180oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  =  ( D  / 
2 ) )
82 stoweidlem14.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
83 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
8483a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
85 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
8685a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
8784, 86jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
889, 6, 873jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) ) )
89 ltdiv1 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( D  <  1  <->  ( D  / 
2 )  <  (
1  /  2 ) ) )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  <  1  <->  ( D  /  2 )  <  ( 1  / 
2 ) ) )
9182, 90mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  ( 1  /  2 ) )
92 halflt1 9933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  2 )  <  1
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
9491, 93jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( D  / 
2 )  <  (
1  /  2 )  /\  ( 1  / 
2 )  <  1
) )
95 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
9695a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
979, 84, 963jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 ) )
98 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
1005, 83, 953pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )
101 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
102100, 101ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
103102a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
10499, 103, 63jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D  / 
2 )  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
105 lttr 8899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  /  2
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( D  /  2 )  < 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <  1 )  ->  ( D  /  2 )  <  1 ) )
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  /  2 )  < 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <  1 )  ->  ( D  /  2 )  <  1 ) )
10794, 106mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  1 )
108107adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( D  /  2 )  <  1 )
10981, 108eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
110109adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  k  =  1 )  ->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <  1 )
111 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  ph )
112 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  A )
113112, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  NN )
114 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =/=  1  <->  -.  k  =  1 )
115114biimpri 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  =  1  -> 
k  =/=  1 )
116115adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  =/=  1 )
117113, 116jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  e.  NN  /\  k  =/=  1 ) )
118 eluz2b3 10291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  k  =/=  1 ) )
119117, 118sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
120 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
121120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  1  e.  ZZ )
122121, 121, 1193jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
123 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =  ( 1  +  1 )
124 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  =  ( 1  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  2 )  =  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
125123, 124ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
126125eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  k  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
127 eluzsub 10257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
128126, 127syl3an3b 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
129 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
130128, 129syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  NN )
131122, 130syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN )
132 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( k  -  1 )  e.  A )
13347, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  RR )
134133adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR )
135 peano2rem 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
137136, 134jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( ( k  - 
1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )
138 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
139 ltm1 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  <  k )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( k  -  1 )  <  k )
141 ltnle 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( k  - 
1 )  <  k  <->  -.  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
142140, 141mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  -.  k  <_  (
k  -  1 ) )
143137, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  <_  (
k  -  1 ) )
144132, 143jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( ( k  - 
1 )  e.  A  /\  -.  k  <_  (
k  -  1 ) ) )
145 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ z  -.  k  <_  (
k  -  1 )
146 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( k  - 
1 )  ->  (
k  <_  z  <->  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
147146notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( k  - 
1 )  ->  ( -.  k  <_  z  <->  -.  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
148145, 147rspce 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  -.  k  <_  ( k  -  1 ) )  ->  E. z  e.  A  -.  k  <_  z )
149144, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  E. z  e.  A  -.  k  <_  z )
150 rexnal 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  A  -.  k  <_  z  <->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z )
151149, 150sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z
)
152151ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  ->  (
k  e.  A  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
153 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z )  <->  -.  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
154152, 153sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  ->  -.  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
155154con2i 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  A )
156155ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  A )
1571eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  <->  ( k  -  1 )  e. 
{ j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j } )
158 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
( k  -  1 ) ) )
159158elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  -  1 )  e.  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  < 
j }  <->  ( (
k  -  1 )  e.  NN  /\  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
160157, 159bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  <->  ( (
k  -  1 )  e.  NN  /\  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
161156, 160sylnib 295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( ( k  - 
1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
162 ianor 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( ( k  - 
1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )  <-> 
( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
163161, 162sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  ( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
164 imor 401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  NN  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )  <-> 
( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
165163, 164sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  -  1 )  e.  NN  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
166131, 165mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )
167112, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  RR )
168167, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
1695a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  1  e.  RR )
1709ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  D  e.  RR )
17111ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  D  =/=  0 )
172169, 170, 1713jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
1  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  D  =/=  0 ) )
173172, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
174173idi 2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
175168, 174jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  -  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR ) )
176 lenlt 8901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR )  ->  ( ( k  -  1 )  <_ 
( 1  /  D
)  <->  -.  ( 1  /  D )  < 
( k  -  1 ) ) )
177175, 176syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D )  <->  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
178166, 177mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )
179111, 119, 1783jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  ( ph  /\  k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) ) )
180118simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN )
181 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
182180, 181syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  CC )
183182adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  CC )
18476adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  D  e.  CC )
185183, 184jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )
186 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( k  x.  D
)  e.  CC )
187185, 186syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  x.  D )  e.  CC )
1881873adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  CC )
189763ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  D  e.  CC )
190188, 189jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )
191 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  D
)  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D
)  =  ( k  x.  D ) )
192190, 191syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D )  =  ( k  x.  D ) )
193 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  - 
1 )  <_  (
1  /  D ) )
194 eluzelre 10239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  RR )
1955a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
196194, 195jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( k  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
197 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
198196, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
1991983ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  RR )
200143ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  /  D )  e.  RR )
201653ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( D  e.  RR  /\  0  < 
D ) )
202199, 200, 2013jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  D )  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) ) )
203 lemul1 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )  ->  ( (
k  -  1 )  <_  ( 1  /  D )  <->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  <_ 
( ( 1  /  D )  x.  D
) ) )
204202, 203syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  <_ 
( 1  /  D
)  <->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  <_  (
( 1  /  D
)  x.  D ) ) )
205193, 204mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  <_  (
( 1  /  D
)  x.  D ) )
206 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
207206a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  e.  CC )
208183, 207, 1843jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )
209 subdir 9214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (
( k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D )  -  ( 1  x.  D
) ) )
210208, 209syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D )  -  (
1  x.  D ) ) )
211184, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
212211oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  -  ( 1  x.  D ) )  =  ( ( k  x.  D )  -  D
) )
213210, 212eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D )  -  D
) )
2142133adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D
)  -  D ) )
215206a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
216215, 76, 113jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
2172163ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
218 divcan1 9433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  D
)  x.  D )  =  1 )
219217, 218syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  /  D )  x.  D )  =  1 )
220205, 214, 2193brtr3d 4052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  -  D )  <_  1
)
221194adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  RR )
2229adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  D  e.  RR )
223221, 222jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )
224 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( k  x.  D
)  e.  RR )
225223, 224syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
226225, 222jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )
227 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  x.  D
)  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( k  x.  D )  -  D
)  e.  RR )
228226, 227syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  -  D )  e.  RR )
2292283adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  -  D )  e.  RR )
2305a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  1  e.  RR )
23193ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  D  e.  RR )
232229, 230, 2313jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )
233 leadd1 9242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( k  x.  D )  -  D
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  (
( ( k  x.  D )  -  D
)  <_  1  <->  ( (
( k  x.  D
)  -  D )  +  D )  <_ 
( 1  +  D
) ) )
234232, 233syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  <_ 
1  <->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D )  <_  (
1  +  D ) ) )
235220, 234mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D )  <_  (
1  +  D ) )
236192, 235eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  <_  (
1  +  D ) )
2372253adant3 975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
2386, 9jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )
239 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( 1  +  D
)  e.  RR )
240238, 239syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  e.  RR )
2412403ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  +  D )  e.  RR )
24283, 85pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
243242a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
244237, 241, 2433jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  e.  RR  /\  ( 1  +  D )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) ) )
245 lediv1 9621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  x.  D
)  e.  RR  /\  ( 1  +  D
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
k  x.  D )  <_  ( 1  +  D )  <->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <_ 
( ( 1  +  D )  /  2
) ) )
246244, 245syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  <_ 
( 1  +  D
)  <->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <_  (
( 1  +  D
)  /  2 ) ) )
247236, 246mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <_  (
( 1  +  D
)  /  2 ) )
2489, 6, 63jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
249 ltadd2 8924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( D  <  1  <->  ( 1  +  D )  < 
( 1  +  1 ) ) )
250248, 249syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D  <  1  <->  ( 1  +  D )  <  ( 1  +  1 ) ) )
25182, 250mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  <  ( 1  +  1 ) )
252 1p1e2 9840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
253251, 252syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  <  2 )
254240, 84, 873jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) ) )
255 ltdiv1 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  +  D
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  +  D )  <  2  <->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  <  (
2  /  2 ) ) )
256254, 255syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  <  2  <->  ( ( 1  +  D
)  /  2 )  <  ( 2  / 
2 ) ) )
257253, 256mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  /  2
)  <  ( 2  /  2 ) )
258 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
259258, 95pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
260 divid 9451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( 2  /  2
)  =  1 )
261259, 260ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  /  2 )  =  1
262257, 261syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  /  2
)  <  1 )
2632623ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  <  1
)
264247, 263jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  /  2 )  <_ 
( ( 1  +  D )  /  2
)  /\  ( (
1  +  D )  /  2 )  <  1 ) )
26583a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  2  e.  RR )
26695a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  2  =/=  0 )
267225, 265, 2663jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 ) )
268 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  D
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  e.  RR )
269267, 268syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  e.  RR )
2702693adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  e.  RR )
271240adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  +  D )  e.  RR )
272271, 265, 2663jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
1  +  D )  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 ) )
273 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  D
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 1  +  D
)  /  2 )  e.  RR )
274272, 273syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
1  +  D )  /  2 )  e.  RR )
2752743adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  e.  RR )
276270, 275, 2303jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  /  2 )  e.  RR  /\  ( ( 1  +  D )  /  2 )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
277 lelttr 8912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  x.  D )  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( 1  +  D )  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( ( k  x.  D )  /  2 )  <_ 
( ( 1  +  D )  /  2
)  /\  ( (
1  +  D )  /  2 )  <  1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )
278276, 277syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( ( k  x.  D
)  /  2 )  <_  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  /\  (
( 1  +  D
)  /  2 )  <  1 )  -> 
( ( k  x.  D )  /  2
)  <  1 ) )
279264, 278mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
)
280179, 279syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
281110, 280pm2.61dan 766 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
28272, 281jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) )
28348, 282jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
k  e.  NN  /\  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) ) )
284283ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) ) )
285284eximdv 1608 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  E. k ( k  e.  NN  /\  ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) ) )
28643, 285mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. k ( k  e.  NN  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) )
287 df-rex 2549 . 2  |-  ( E. k  e.  NN  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )  <->  E. k
( k  e.  NN  /\  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) ) )
288286, 287sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  27798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355
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