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Theorem stoweidlem14 27638
Description: There exists a  k as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90:  k is an integer and 1 < k * δ < 2.  D is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem14.1  |-  A  =  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
stoweidlem14.2  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem14.3  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem14  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
Distinct variable groups:    j, k, D    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( j)

Proof of Theorem stoweidlem14
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem14.1 . . . . . 6  |-  A  =  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
2 ssrab2 3396 . . . . . . 7  |-  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  C_  NN
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }  C_  NN )
41, 3syl5eqss 3360 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
5 stoweidlem14.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
65rprecred 10623 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  D
)  e.  RR )
7 arch 10182 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  D )  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  D )  <  k
)
8 breq2 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
k ) )
98elrab 3060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  < 
j }  <->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D )  < 
k ) )
109biimpri 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  k  e.  { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j } )
1110, 1syl6eleqr 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  k  e.  A )
12 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  ( 1  /  D
)  <  k )
1311, 12jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  k )  ->  ( k  e.  A  /\  ( 1  /  D
)  <  k )
)
1413reximi2 2780 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  (
1  /  D )  <  k  ->  E. k  e.  A  ( 1  /  D )  < 
k )
15 rexn0 3698 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  A  ( 1  /  D )  <  k  ->  A  =/=  (/) )
167, 14, 153syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  D )  e.  RR  ->  A  =/=  (/) )
176, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
18 nnwo 10506 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z )
194, 17, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z )
20 df-rex 2680 . . . 4  |-  ( E. k  e.  A  A. z  e.  A  k  <_  z  <->  E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
2119, 20sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
228, 1elrab2 3062 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  <->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  /  D )  < 
k ) )
2322simplbi 447 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  NN )
2423ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  k  e.  NN )
25 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  ph )
26 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  k  e.  A )
27 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  A. z  e.  A  k  <_  z )
28 nfcv 2548 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z A
29 nfrab1 2856 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j { j  e.  NN  |  ( 1  /  D )  <  j }
301, 29nfcxfr 2545 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j A
31 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  k  <_  z
32 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  k  <_  j
33 breq2 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  j  ->  (
k  <_  z  <->  k  <_  j ) )
3428, 30, 31, 32, 33cbvralf 2894 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  k  <_  z  <->  A. j  e.  A  k  <_  j )
3527, 34sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  A. j  e.  A  k  <_  j )
3622simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  (
1  /  D )  <  k )
3736ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  (
1  /  D )  <  k )
3823ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  k  e.  NN )
39 1re 9054 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
41 nnre 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
4241adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
435rpregt0d 10618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
4443adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
45 ltdivmul2 9849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )  -> 
( ( 1  /  D )  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
4640, 42, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  D )  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
4738, 46syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  (
( 1  /  D
)  <  k  <->  1  <  ( k  x.  D ) ) )
4837, 47mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. j  e.  A  k  <_  j ) )  ->  1  <  ( k  x.  D
) )
4925, 26, 35, 48syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  1  <  ( k  x.  D
) )
50 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k  x.  D )  =  ( 1  x.  D ) )
5150adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
k  x.  D )  =  ( 1  x.  D ) )
525rpcnd 10614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  D  e.  CC )
5453mulid2d 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
1  x.  D )  =  D )
5551, 54eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
k  x.  D )  =  D )
5655oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  =  ( D  / 
2 ) )
575rpred 10612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5857rehalfcld 10178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
5939rehalfcli 10180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
6139a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
62 stoweidlem14.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
63 2re 10033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
65 2pos 10046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
67 ltdiv1 9838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( D  <  1  <->  ( D  / 
2 )  <  (
1  /  2 ) ) )
6857, 61, 64, 66, 67syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D  <  1  <->  ( D  /  2 )  <  ( 1  / 
2 ) ) )
6962, 68mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  ( 1  /  2 ) )
70 halflt1 10153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  <  1
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
7258, 60, 61, 69, 71lttrd 9195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  <  1 )
7372adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( D  /  2 )  <  1 )
7456, 73eqbrtrd 4200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
7574adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  k  =  1 )  ->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <  1 )
76 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  ph )
77 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  A )
7877, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  NN )
79 df-ne 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =/=  1  <->  -.  k  =  1 )
8079biimpri 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  =  1  -> 
k  =/=  1 )
8180adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  =/=  1 )
82 eluz2b3 10513 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  k  =/=  1 ) )
8378, 81, 82sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
84 1z 10275 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  1  e.  ZZ )
86 df-2 10022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8786fveq2i 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
8887eleq2i 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  k  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
89 eluzsub 10479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9088, 89syl3an3b 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
91 nnuz 10485 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9290, 91syl6eleqr 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  NN )
9385, 85, 83, 92syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN )
9423, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  RR )
9594adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR )
96 peano2rem 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
98 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
9998ltm1d 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( k  -  1 )  <  k )
100 ltnle 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( k  - 
1 )  <  k  <->  -.  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
10199, 100mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  -.  k  <_  (
k  -  1 ) )
10297, 95, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  <_  (
k  -  1 ) )
103 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( k  - 
1 )  ->  (
k  <_  z  <->  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
104103notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( k  - 
1 )  ->  ( -.  k  <_  z  <->  -.  k  <_  ( k  -  1 ) ) )
105104rspcev 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  -.  k  <_  ( k  -  1 ) )  ->  E. z  e.  A  -.  k  <_  z )
106102, 105syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  E. z  e.  A  -.  k  <_  z )
107 rexnal 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. z  e.  A  -.  k  <_  z  <->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z )
108106, 107sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z
)
109108ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  ->  (
k  e.  A  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
110 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  A. z  e.  A  k  <_  z )  <->  -.  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
111109, 110sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  ->  -.  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )
112111con2i 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  A )
113112ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  A )
114 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( 1  /  D
)  <  j  <->  ( 1  /  D )  < 
( k  -  1 ) ) )
115114, 1elrab2 3062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  -  1 )  e.  A  <->  ( (
k  -  1 )  e.  NN  /\  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
116113, 115sylnib 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( ( k  - 
1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
117 ianor 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( k  - 
1 )  e.  NN  /\  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )  <-> 
( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
118116, 117sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  ( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
119 imor 402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  NN  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )  <-> 
( -.  ( k  -  1 )  e.  NN  \/  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
120118, 119sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  -  1 )  e.  NN  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) ) )
12193, 120mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  -.  ( 1  /  D
)  <  ( k  -  1 ) )
12277, 94, 963syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
12357ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  D  e.  RR )
1245rpne0d 10617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
125124ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  D  =/=  0 )
126123, 125rereccld 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
127122, 126lenltd 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D )  <->  -.  (
1  /  D )  <  ( k  - 
1 ) ) )
128121, 127mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )
129 eluzelre 10461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  RR )
130129adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  RR )
13157adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  D  e.  RR )
132130, 131remulcld 9080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
133132rehalfcld 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  e.  RR )
1341333adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  e.  RR )
13561, 57readdcld 9079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  e.  RR )
136135adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  +  D )  e.  RR )
137136rehalfcld 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
1  +  D )  /  2 )  e.  RR )
1381373adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  e.  RR )
13939a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  1  e.  RR )
140 eluzelcn 27599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  CC )
141140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  CC )
14252adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  D  e.  CC )
143141, 142mulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( k  x.  D )  e.  CC )
1441433adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  CC )
145523ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  D  e.  CC )
146144, 145npcand 9379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D )  =  ( k  x.  D ) )
147132, 131resubcld 9429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  -  D )  e.  RR )
1481473adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  -  D )  e.  RR )
149573ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  D  e.  RR )
150 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  - 
1 )  <_  (
1  /  D ) )
15139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
152129, 151resubcld 9429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
1531523ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  RR )
15463ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  /  D )  e.  RR )
155433ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( D  e.  RR  /\  0  < 
D ) )
156 lemul1 9826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  -  1 )  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )  ->  ( (
k  -  1 )  <_  ( 1  /  D )  <->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  <_ 
( ( 1  /  D )  x.  D
) ) )
157153, 154, 155, 156syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  <_ 
( 1  /  D
)  <->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  <_  (
( 1  /  D
)  x.  D ) ) )
158150, 157mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  <_  (
( 1  /  D
)  x.  D ) )
159 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  e.  CC )
161141, 160, 142subdird 9454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D )  -  (
1  x.  D ) ) )
162142mulid2d 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
163162oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  x.  D )  -  ( 1  x.  D ) )  =  ( ( k  x.  D )  -  D
) )
164161, 163eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D )  -  D
) )
1651643adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  -  1 )  x.  D )  =  ( ( k  x.  D
)  -  D ) )
166159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
167166, 52, 1243jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
1681673ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
169 divcan1 9651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  D  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  D
)  x.  D )  =  1 )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  /  D )  x.  D )  =  1 )
171158, 165, 1703brtr3d 4209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  -  D )  <_  1
)
172148, 139, 149, 171leadd1dd 9604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( ( k  x.  D )  -  D )  +  D )  <_  (
1  +  D ) )
173146, 172eqbrtrrd 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  <_  (
1  +  D ) )
1741323adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( k  x.  D )  e.  RR )
1751353ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 1  +  D )  e.  RR )
17663, 65pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
178 lediv1 9839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  x.  D
)  e.  RR  /\  ( 1  +  D
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
k  x.  D )  <_  ( 1  +  D )  <->  ( (
k  x.  D )  /  2 )  <_ 
( ( 1  +  D )  /  2
) ) )
179174, 175, 177, 178syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  <_ 
( 1  +  D
)  <->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <_  (
( 1  +  D
)  /  2 ) ) )
180173, 179mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <_  (
( 1  +  D
)  /  2 ) )
18157, 61, 61, 62ltadd2dd 9193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  <  ( 1  +  1 ) )
182 1p1e2 10058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  1 )  =  2
183181, 182syl6breq 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  +  D
)  <  2 )
184 ltdiv1 9838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  D
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  +  D )  <  2  <->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  <  (
2  /  2 ) ) )
185135, 64, 64, 66, 184syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  <  2  <->  ( ( 1  +  D
)  /  2 )  <  ( 2  / 
2 ) ) )
186183, 185mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  /  2
)  <  ( 2  /  2 ) )
187 2cn 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
188 2ne0 10047 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
189187, 188dividi 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  2 )  =  1
190186, 189syl6breq 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  D )  /  2
)  <  1 )
1911903ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( 1  +  D )  / 
2 )  <  1
)
192134, 138, 139, 180, 191lelttrd 9192 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( k  -  1 )  <_  ( 1  /  D ) )  ->  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
)
19376, 83, 128, 192syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
19475, 193pm2.61dan 767 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )
19524, 49, 194jca32 522 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z ) )  ->  (
k  e.  NN  /\  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) ) )
196195ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  ( k  e.  NN  /\  ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) ) )
197196eximdv 1629 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k ( k  e.  A  /\  A. z  e.  A  k  <_  z )  ->  E. k ( k  e.  NN  /\  ( 1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 ) ) ) )
19821, 197mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. k ( k  e.  NN  /\  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
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199 df-rex 2680 . 2  |-  ( E. k  e.  NN  (
1  <  ( k  x.  D )  /\  (
( k  x.  D
)  /  2 )  <  1 )  <->  E. k
( k  e.  NN  /\  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) ) )
200198, 199sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  NN  ( 1  <  (
k  x.  D )  /\  ( ( k  x.  D )  / 
2 )  <  1
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678    C_ wss 3288   (/)c0 3596   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  27673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577
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