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Theorem stoweidlem15 27764
Description: This lemma is used to prove the existence of a function  p as in Lemma 1 from [BrosowskiDeutsh] p. 90:  p is in the subalgebra, such that 0 ≤ p ≤ 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here  ( G `  I ) is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem15.1  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem15.3  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
stoweidlem15.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem15  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( ( G `  I ) `  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, G    f, I    T, f    ph, f    t, h, G    A, h    h, I, t    T, h, t    h, Z
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t)    Q( t, f, h)    S( t, f, h)    M( t, f, h)    Z( t, f)

Proof of Theorem stoweidlem15
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
2 stoweidlem15.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
32adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
4 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  I  e.  ( 1 ... M
) )
53, 4jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G : ( 1 ... M ) --> Q  /\  I  e.  ( 1 ... M ) ) )
6 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : ( 1 ... M ) --> Q  /\  I  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( G `  I )  e.  Q
)
75, 6syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I )  e.  Q )
8 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . 12  |-  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) }  C_  A
98sseli 3176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  I )  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  ->  ( G `  I )  e.  A
)
10 stoweidlem15.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
119, 10eleq2s 2375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  I )  e.  Q  ->  ( G `  I )  e.  A )
127, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I )  e.  A )
131, 12jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( G `  I )  e.  A
) )
14 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  I )  e.  A
) )
1514anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  I
)  e.  A ) ) )
16 feq1 5375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  I ) : T --> RR ) )
1715, 16imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( G `  I )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  I )  e.  A )  -> 
( G `  I
) : T --> RR ) ) )
18 stoweidlem15.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
1918a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
2017, 19vtoclga 2849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  I )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  I )  e.  A )  ->  ( G `  I ) : T --> RR ) )
2112, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  ( G `  I )  e.  A )  ->  ( G `  I ) : T --> RR ) )
2213, 21mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I ) : T --> RR )
237, 10syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I )  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) } )
24 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
h `  Z )  =  ( ( G `
 I ) `  Z ) )
2524eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  (
( G `  I
) `  Z )  =  0 ) )
26 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
h `  t )  =  ( ( G `
 I ) `  t ) )
2726breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( ( G `  I
) `  t )
) )
2826breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) )
2927, 28anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
3029ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
3125, 30anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( G `  I )  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( (
( G `  I
) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) ) ) )
3231elrab 2923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  I )  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( ( G `  I )  e.  A  /\  ( ( ( G `
 I ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( G `  I ) `  t
)  /\  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) ) ) )
3323, 32sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  I
)  e.  A  /\  ( ( ( G `
 I ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( G `  I ) `  t
)  /\  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) ) ) )
34 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  I
)  e.  A  /\  ( ( ( G `
 I ) `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( ( G `  I ) `  t
)  /\  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) ) )  -> 
( ( G `  I ) `  Z
)  =  0 )
3533, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  I
) `  Z )  =  0 )
3622, 35jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  I
) : T --> RR  /\  ( ( G `  I ) `  Z
)  =  0 ) )
3736simpld 445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  I ) : T --> RR )
3837adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  ( G `  I ) : T --> RR )
39 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  S  e.  T )
4038, 39jca 518 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( G `  I
) : T --> RR  /\  S  e.  T )
)
41 ffvelrn 5663 . . 3  |-  ( ( ( G `  I
) : T --> RR  /\  S  e.  T )  ->  ( ( G `  I ) `  S
)  e.  RR )
4240, 41syl 15 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( G `  I
) `  S )  e.  RR )
4333simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( G `  I ) `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
4443simprd 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) )
4544adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) )
4645, 39jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
) )
47 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )
48 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ s ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 )
49 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  t  ->  (
( G `  I
) `  s )  =  ( ( G `
 I ) `  t ) )
5049breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  t  ->  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  <->  0  <_  ( ( G `  I
) `  t )
) )
5149breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( G `  I ) `  s
)  <_  1  <->  ( ( G `  I ) `  t )  <_  1
) )
5250, 51anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  t  ->  (
( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 ) ) )
5347, 48, 52cbvral 2760 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  T  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  /\  (
( G `  I
) `  s )  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 ) )
5453biimpri 197 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  t )  /\  (
( G `  I
) `  t )  <_  1 )  ->  A. s  e.  T  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  s )  /\  (
( G `  I
) `  s )  <_  1 ) )
5554adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
)  ->  A. s  e.  T  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  s )  /\  (
( G `  I
) `  s )  <_  1 ) )
56 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
)  ->  S  e.  T )
5755, 56jca 518 . . . . 5  |-  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
)  ->  ( A. s  e.  T  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  /\  (
( G `  I
) `  s )  <_  1 )  /\  S  e.  T ) )
58 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( G `  I
) `  s )  =  ( ( G `
 I ) `  S ) )
5958breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  s )  <->  0  <_  ( ( G `  I
) `  S )
) )
6058breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( G `  I ) `  s
)  <_  1  <->  ( ( G `  I ) `  S )  <_  1
) )
6159, 60anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
( G `  I
) `  S )  /\  ( ( G `  I ) `  S
)  <_  1 ) ) )
6261rspccva 2883 . . . . 5  |-  ( ( A. s  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  s )  /\  ( ( G `  I ) `  s
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
)  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
6357, 62syl 15 . . . 4  |-  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
( G `  I
) `  t )  /\  ( ( G `  I ) `  t
)  <_  1 )  /\  S  e.  T
)  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
6446, 63syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
0  <_  ( ( G `  I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
6564simpld 445 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  I ) `  S
) )
6664simprd 449 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 )
6742, 65, 663jca 1132 1  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( ( G `  I ) `  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 I ) `  S )  /\  (
( G `  I
) `  S )  <_  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    <_ cle 8868   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  stoweidlem30  27779  stoweidlem38  27787  stoweidlem44  27793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263
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