Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem16 Unicode version

Theorem stoweidlem16 27433
Description: Lemma for stoweid 27480. The subset  Y of functions in the algebra  A, with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem16.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem16.2  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem16.3  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
stoweidlem16.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem16.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  Y )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    T, f, h, t    ph, f    h, H
Allowed substitution hints:    ph( t, g, h)    T( g)    H( t, f, g)    Y( t, f, g, h)

Proof of Theorem stoweidlem16
StepHypRef Expression
1 stoweidlem16.3 . . . 4  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
2 simp1 957 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ph )
3 fveq1 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  f  ->  (
h `  t )  =  ( f `  t ) )
43breq2d 4165 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  f  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( f `  t ) ) )
53breq1d 4163 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  f  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( f `  t )  <_  1
) )
64, 5anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  f  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
76ralbidv 2669 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  f  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
8 stoweidlem16.2 . . . . . . . 8  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
97, 8elrab2 3037 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  Y  <->  ( f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
109simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
11103ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  f  e.  A )
12 fveq1 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  t )  =  ( g `  t ) )
1312breq2d 4165 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( g `  t ) ) )
1412breq1d 4163 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( g `  t )  <_  1
) )
1513, 14anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
1615ralbidv 2669 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
1716, 8elrab2 3037 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  Y  <->  ( g  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) ) )
1817simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( g  e.  Y  ->  g  e.  A )
19183ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g  e.  A )
20 stoweidlem16.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
212, 11, 19, 20syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
221, 21syl5eqel 2471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  A )
23 stoweidlem16.1 . . . . 5  |-  F/ t
ph
24 nfra1 2699 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
25 nfcv 2523 . . . . . . . 8  |-  F/_ t A
2624, 25nfrab 2832 . . . . . . 7  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
278, 26nfcxfr 2520 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
2827nfcri 2517 . . . . 5  |-  F/ t  f  e.  Y
2927nfcri 2517 . . . . 5  |-  F/ t  g  e.  Y
3023, 28, 29nf3an 1839 . . . 4  |-  F/ t ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )
312, 11jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  f  e.  A ) )
3231adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  f  e.  A
) )
33 stoweidlem16.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  f : T --> RR )
35 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3634, 35ffvelrnd 5810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  e.  RR )
372, 19jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  g  e.  A ) )
38 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
f  e.  A  <->  g  e.  A ) )
3938anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  g  e.  A ) ) )
40 feq1 5516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f : T --> RR  <->  g : T
--> RR ) )
4139, 40imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  g : T --> RR ) ) )
4241, 33vtoclg 2954 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  g  e.  A )  ->  g : T --> RR ) )
4319, 37, 42sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g : T
--> RR )
4443fnvinran 27353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  e.  RR )
459simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  Y  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
46453ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
4746r19.21bi 2747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
4847simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( f `  t
) )
4917simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  Y  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
50493ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
5150r19.21bi 2747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
5251simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( g `  t
) )
5336, 44, 48, 52mulge0d 9535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
5436, 44remulcld 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  e.  RR )
551fvmpt2 5751 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  e.  RR )  ->  ( H `  t )  =  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )
5635, 54, 55syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
5753, 56breqtrrd 4179 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
58 1re 9023 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
6047simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  <_  1 )
6151simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  <_  1 )
6236, 59, 44, 59, 48, 52, 60, 61lemul12ad 9885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  <_  ( 1  x.  1 ) )
63 1t1e1 10058 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6462, 63syl6breq 4192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  <_  1 )
6556, 64eqbrtrd 4173 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  <_  1 )
6657, 65jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
6766ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) )
6830, 67ralrimi 2730 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
69 nfmpt1 4239 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
701, 69nfcxfr 2520 . . . . . 6  |-  F/_ t H
7170nfeq2 2534 . . . . 5  |-  F/ t  h  =  H
72 fveq1 5667 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  t )  =  ( H `  t ) )
7372breq2d 4165 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( H `  t ) ) )
7472breq1d 4163 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( H `  t )  <_  1
) )
7573, 74anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
7671, 75ralbid 2667 . . . 4  |-  ( h  =  H  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
7776elrab 3035 . . 3  |-  ( H  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( H  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) )
7822, 68, 77sylanbrc 646 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
7978, 8syl6eleqr 2478 1  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   {crab 2653   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    x. cmul 8928    <_ cle 9054
This theorem is referenced by:  stoweidlem48  27465  stoweidlem51  27468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226
  Copyright terms: Public domain W3C validator