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Theorem stoweidlem16 27765
Description: Lemma for stoweid 27812. The subset  Y of functions in the algebra  A, with values in [ 0 , 1 ], is closed under multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem16.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem16.2  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem16.3  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
stoweidlem16.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem16.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  Y )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, A    T, f, h, t    ph, f    h, H
Allowed substitution hints:    ph( t, g, h)    T( g)    H( t, f, g)    Y( t, f, g, h)

Proof of Theorem stoweidlem16
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ph )
2 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  f  ->  (
h `  t )  =  ( f `  t ) )
32breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  f  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( f `  t ) ) )
42breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  f  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( f `  t )  <_  1
) )
53, 4anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  f  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
65ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  f  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
f `  t )  /\  ( f `  t
)  <_  1 ) ) )
7 stoweidlem16.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
86, 7elrab2 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  Y  <->  ( f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
98biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  Y  ->  (
f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
109simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  Y  ->  f  e.  A )
11103ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  f  e.  A )
129simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  Y  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
13123ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
1411, 13jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( f  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) ) )
1514simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  f  e.  A )
16 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  t )  =  ( g `  t ) )
1716breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( g `  t ) ) )
1816breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( g `  t )  <_  1
) )
1917, 18anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  g  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
2019ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
2120, 7elrab2 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  Y  <->  ( g  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) ) )
2221simplbi 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  Y  ->  g  e.  A )
23223ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g  e.  A )
2421simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  Y  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
25243ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
2623, 25jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( g  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) ) )
2726simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g  e.  A )
281, 15, 273jca 1132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )
)
29 stoweidlem16.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
3028, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
31 stoweidlem16.3 . . . . . 6  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
3231eleq1i 2346 . . . . 5  |-  ( H  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
3330, 32sylibr 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  A )
34 stoweidlem16.1 . . . . . 6  |-  F/ t
ph
35 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ t
f
36 nfra1 2593 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
37 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t A
3836, 37nfrab 2721 . . . . . . . 8  |-  F/_ t { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
397, 38nfcxfr 2416 . . . . . . 7  |-  F/_ t Y
4035, 39nfel 2427 . . . . . 6  |-  F/ t  f  e.  Y
41 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ t
g
4241, 39nfel 2427 . . . . . 6  |-  F/ t  g  e.  Y
4334, 40, 42nf3an 1774 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )
441, 11jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  f  e.  A ) )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  f  e.  A
) )
46 stoweidlem16.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  f : T --> RR )
48 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
4947, 48jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
50 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( f `  t
)  e.  RR )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  e.  RR )
5214simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
5352r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( f `  t )  /\  (
f `  t )  <_  1 ) )
5453simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( f `  t
) )
5551, 54jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  t ) ) )
561, 27jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( ph  /\  g  e.  A ) )
57 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  (
f  e.  A  <->  g  e.  A ) )
5857anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  g  e.  A ) ) )
59 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
f : T --> RR  <->  g : T
--> RR ) )
6058, 59imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  g : T --> RR ) ) )
6146a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
6260, 61vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  g  e.  A )  ->  g : T --> RR ) )
6327, 56, 62sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  g : T
--> RR )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  g : T --> RR )
6564, 48jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
66 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( g `  t
)  e.  RR )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  e.  RR )
6826simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
6968r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) )
7069simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( g `  t
) )
7167, 70jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( g `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( g `  t ) ) )
7255, 71jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( f `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  t ) )  /\  ( ( g `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( g `  t ) ) ) )
73 mulge0 9291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  t ) )  /\  ( ( g `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( g `  t ) ) )  ->  0  <_  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )
7472, 73syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
7551, 67jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR ) )
76 remulcl 8822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f `  t
)  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) )  e.  RR )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  e.  RR )
7848, 77jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  e.  RR ) )
7931fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  e.  RR )  ->  ( H `  t )  =  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )
8078, 79syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
8174, 80breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
82 1re 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
8455, 83jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( f `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( f `  t ) )  /\  1  e.  RR )
)
8571, 83jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( g `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( g `  t ) )  /\  1  e.  RR )
)
8684, 85jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( ( f `
 t )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  t
) )  /\  1  e.  RR )  /\  (
( ( g `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( g `  t ) )  /\  1  e.  RR )
) )
8753simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
f `  t )  <_  1 )
8869simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  <_  1 )
8987, 88jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  <_  1  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) )
90 lemul12a 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( f `
 t )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  t
) )  /\  1  e.  RR )  /\  (
( ( g `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( g `  t ) )  /\  1  e.  RR )
)  ->  ( (
( f `  t
)  <_  1  /\  ( g `  t
)  <_  1 )  ->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) )  <_  (
1  x.  1 ) ) )
9186, 89, 90sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  <_  ( 1  x.  1 ) )
92 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
93 mulid1 8835 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  x.  1 )  =  1 )
9492, 93ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
9591, 94syl6breq 4062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  <_  1 )
9680, 95eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  <_  1 )
9781, 96jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
9897ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) )
9943, 98ralrimi 2624 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
10033, 99jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( H  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) )
101 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ h H
102 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ h A
103 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ h A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 )
104 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ t
h
105 nfmpt1 4109 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
10631, 105nfcxfr 2416 . . . . . 6  |-  F/_ t H
107104, 106nfeq 2426 . . . . 5  |-  F/ t  h  =  H
108 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  t )  =  ( H `  t ) )
109108breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( H `  t ) ) )
110108breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( H `  t )  <_  1
) )
111109, 110anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
112107, 111ralbid 2561 . . . 4  |-  ( h  =  H  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
113101, 102, 103, 112elrabf 2922 . . 3  |-  ( H  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) }  <->  ( H  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) )
114100, 113sylibr 203 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
1157eleq2i 2347 . 2  |-  ( H  e.  Y  <->  H  e.  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) } )
116114, 115sylibr 203 1  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  H  e.  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  stoweidlem48  27797  stoweidlem51  27800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
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