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Theorem stoweidlem17 27766
Description: This lemma proves that the function  g (as defined in [BrosowskiDeutsh] p. 91, at the end of page 91) belongs to the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem17.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem17.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem17.3  |-  ( ph  ->  X : ( 0 ... N ) --> A )
stoweidlem17.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem17.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem17.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem17.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
stoweidlem17.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem17  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g,
i, t, E    A, f, g    T, f, g, i, t    f, X, g, i, t    ph, f,
g, i    i, N, t    x, t, E    x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t, i)    N( x, f, g)    X( x)

Proof of Theorem stoweidlem17
Dummy variables  m  r  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem17.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 nnnn0 9972 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 nn0uz 10262 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
53, 4syl6eleq 2373 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6 eluzfz2 10804 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
87ancli 534 . 2  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  N  e.  ( 0 ... N
) ) )
9 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
n  e.  ( 0 ... N )  <->  0  e.  ( 0 ... N
) ) )
109anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
11 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... 0
) )
1211sumeq1d 12174 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... n
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
1312mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) )
1413eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
1510, 14imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
16 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
n  e.  ( 0 ... N )  <->  m  e.  ( 0 ... N
) ) )
1716anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
18 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... m
) )
1918sumeq1d 12174 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... n
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
2019mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) )
2120eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
2217, 21imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
23 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  ( 0 ... N )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
2423anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
25 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )
2625sumeq1d 12174 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... n
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
2726mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) )
2827eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
2924, 28imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
30 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  ( 0 ... N )  <->  N  e.  ( 0 ... N
) ) )
3130anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( ph  /\  N  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
32 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... N
) )
3332sumeq1d 12174 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... n
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
3433mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) )
3534eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
3631, 35imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... n ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
37 0z 10035 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
38 fzsn 10833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
4039sumeq1i 12171 . . . . . . . . 9  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... 0
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  { 0 }  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )
4140mpteq2i 4103 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  {
0 }  ( E  x.  ( ( X `
 i ) `  t ) ) )
42 stoweidlem17.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
4337a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  ZZ )
44 stoweidlem17.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  RR )
4645recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  CC )
47 stoweidlem17.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  X : ( 0 ... N ) --> A )
48 elnnz 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
4948biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N ) )
5049simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
5148simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
52 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
53 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  RR
5452, 53jctil 523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
55 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  ->  0  <_  N )
)
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  ->  0  <_  N ) )
5751, 56mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
5850, 57jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
591, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )
)
6037eluz1i 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
6159, 60sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
62 eluzfz1 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... N ) )
6447, 63jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X : ( 0 ... N ) --> A  /\  0  e.  ( 0 ... N
) ) )
65 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X : ( 0 ... N ) --> A  /\  0  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( X `  0 )  e.  A )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X `  0
)  e.  A )
67 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( X ` 
0 )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( X `  0 ) : T --> RR ) )
6867imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( X ` 
0 )  ->  (
( ph  ->  f : T --> RR )  <->  ( ph  ->  ( X `  0
) : T --> RR ) ) )
69 stoweidlem17.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
7069expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  A  ->  ( ph  ->  f : T --> RR ) )
7168, 70vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X `  0 )  e.  A  ->  ( ph  ->  ( X ` 
0 ) : T --> RR ) )
7266, 71mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X `  0
) : T --> RR )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  0 ) : T --> RR )
74 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
7573, 74jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( X `  0
) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
76 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  0
) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( X ` 
0 ) `  t
)  e.  RR )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( X `  0
) `  t )  e.  RR )
7877recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( X `  0
) `  t )  e.  CC )
7946, 78jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E  e.  CC  /\  (
( X `  0
) `  t )  e.  CC ) )
80 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  CC  /\  ( ( X ` 
0 ) `  t
)  e.  CC )  ->  ( E  x.  ( ( X ` 
0 ) `  t
) )  e.  CC )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E  x.  ( ( X `  0 ) `  t ) )  e.  CC )
8243, 81jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  e.  ZZ  /\  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
)  e.  CC ) )
83 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  0  ->  ( X `  i )  =  ( X ` 
0 ) )
8483fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  (
( X `  i
) `  t )  =  ( ( X `
 0 ) `  t ) )
8584oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  0  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  =  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
) )
8685sumsn 12213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
)  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  {
0 }  ( E  x.  ( ( X `
 i ) `  t ) )  =  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
) )
8782, 86syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  { 0 }  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  =  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
) )
8842, 87mpteq2da 4105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  {
0 }  ( E  x.  ( ( X `
 i ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X ` 
0 ) `  t
) ) ) )
8941, 88syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  0 ) `
 t ) ) ) )
90 stoweidlem17.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
91 stoweidlem17.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
9242, 90, 91, 69, 44, 66stoweidlem2 27751 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  0
) `  t )
) )  e.  A
)
9389, 92eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
9493adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... 0 ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A )
95 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ph )
96 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
97 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  e.  NN0 )
98 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  ph )
991adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN )
10099adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN )
101100, 2syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
102 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
103 lep1 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  RR  ->  m  <_  ( m  +  1 ) )
10497, 102, 1033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  <_  ( m  + 
1 ) )
105 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  +  1 )  <_  N )
106105ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  +  1 )  <_  N )
107104, 106jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  <_  (
m  +  1 )  /\  ( m  + 
1 )  <_  N
) )
108102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  e.  RR )
109 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
110 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  RR )
111109, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  RR )
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  RR )
1131, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
114113ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  N  e.  RR )
115108, 112, 1143jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  e.  RR  /\  ( m  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
116 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( m  +  1
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( m  <_ 
( m  +  1 )  /\  ( m  +  1 )  <_  N )  ->  m  <_  N ) )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( ( m  <_ 
( m  +  1 )  /\  ( m  +  1 )  <_  N )  ->  m  <_  N ) )
118107, 117mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  <_  N )
11997, 101, 1183jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  m  <_  N ) )
120 elfz2nn0 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  <->  ( m  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  m  <_  N ) )
121120biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  m  <_  N )  ->  m  e.  ( 0 ... N
) )
122119, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N ) )
12398, 122jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) ) )
12497, 123jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) ) ) )
12596, 124syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
126 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
127 pm3.31 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )  ->  ( (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )
128126, 127syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
129125, 128mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
130 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  t  ->  E  =  E )
131130cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  T  |->  E )  =  ( t  e.  T  |->  E )
132131eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  T  |->  E )  =  ( r  e.  T  |->  E )
133132a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  |->  E )  =  ( r  e.  T  |->  E ) )
134 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  r  =  t )  ->  E  =  E )
135133, 134, 74, 45fvmptd 5606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  =  E )
136135oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) )  =  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )
13742, 136mpteq2da 4105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
138137adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
139 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ph )
140 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  E  ->  x  =  E )
141140mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  E  ->  (
t  e.  T  |->  x )  =  ( t  e.  T  |->  E ) )
142141eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  E  ->  (
( t  e.  T  |->  x )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
143142imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  E  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
) ) )
14491expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A ) )
145143, 144vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
14644, 145mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
)
147146adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  E )  e.  A )
148 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X : ( 0 ... N ) --> A  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( X `  ( m  +  1 ) )  e.  A
)
14947, 148sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  ( m  +  1 ) )  e.  A )
150139, 147, 1493jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( ph  /\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A  /\  ( X `
 ( m  + 
1 ) )  e.  A ) )
151 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
g `  t )  =  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) )
152151oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) )
153152mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
154153eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  e.  A ) )
155154imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )  <-> 
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) )  e.  A ) ) )
156131eleq1i 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( r  e.  T  |->  E )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A )
157 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( r  e.  T  |->  E ) `  t ) )
158131fveq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( r  e.  T  |->  E ) `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )
159157, 158syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t ) )
160159oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )
161160mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
162161eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A ) )
163162imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  E )  -> 
( ( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A )  <->  ( ( ph  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) ) )
164903com12 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  e.  A  /\  ph 
/\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1651643expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
166163, 165vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( r  e.  T  |->  E )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A ) )
167156, 166sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  T  |->  E )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )  e.  A ) )
1681673impib 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  E )  e.  A  /\  ph  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
1691683com13 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  e.  A  /\  ph 
/\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)
1701693expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  (
t  e.  T  |->  E )  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A ) )
171155, 170vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X `  ( m  +  1 ) )  e.  A  ->  (
( ph  /\  (
t  e.  T  |->  E )  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  e.  A ) )
1721713impib 1149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  (
m  +  1 ) )  e.  A  /\  ph 
/\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
1731723coml 1158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A  /\  ( X `  ( m  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )  e.  A )
174150, 173syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
175138, 174eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) )  e.  A )
176175ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )  e.  A )
17795, 129, 1763jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A
) )
178 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  t  ->  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  r )  =  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) )
179178oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  t  ->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) )  =  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )
180179cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  r ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )
181180eleq1i 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  e.  A )
182 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( g `  t
)  =  ( ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) ) ) `  t ) )
183180fveq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) ) ) `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) `
 t )
184182, 183syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( g `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) )
185184oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )
186185mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) ) )
187186eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) )
188187imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  r
) ) )  -> 
( ( ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )  <-> 
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) ) )
189 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  =  t  ->  (
( X `  i
) `  r )  =  ( ( X `
 i ) `  t ) )
190189oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  t  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  r ) )  =  ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
191190sumeq2sdv 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  t  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  r
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
192191cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  r
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
193192eleq1i 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 r ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  e.  A )
194 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
f `  t )  =  ( ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  r
) ) ) `  t ) )
195192fveq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 r ) ) ) `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )
196194, 195syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
f `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t ) )
197196oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
( f `  t
)  +  ( g `
 t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )
198197mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) ) )
199198eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
200199imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  r )
) )  ->  (
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A ) ) )
201 stoweidlem17.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2022013com12 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  A  /\  ph 
/\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2032023expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
204200, 203vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 r ) ) )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
) )
205193, 204sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
) )
2062053impib 1149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A  /\  ph  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
2072063com13 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  A  /\  ph 
/\  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
2082073expib 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A ) )
209188, 208vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 r ) ) )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) )
210181, 209sylbir 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) )  e.  A  -> 
( ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) )
2112103impib 1149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A  /\  ph  /\  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
2122113coml 1158 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
) ) )  e.  A )
213177, 212syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) `
 t ) ) )  e.  A )
214 3anass 938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  <->  ( m  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
215214biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )
216215adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
217 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  T  =  T )
218 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t  m  e.  NN0
219 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )
220218, 42, 219nf3an 1774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
221 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
2222213ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
223222adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
224443ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  E  e.  RR )
225224adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  RR )
226225adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  E  e.  RR )
227 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ph )
228227adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  ph )
229473ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  X :
( 0 ... N
) --> A )
230229adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  X : ( 0 ... N ) --> A )
231 elfzuz3 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )
232 fzss2 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
m  +  1 ) )  ->  ( 0 ... ( m  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
233231, 232syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... ( m  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
234 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( 0 ... (
m  +  1 ) )  C_  ( 0 ... N )  /\  i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N ) )
235233, 234sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  /\  i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N ) )
2362353ad2antl3 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
237230, 236jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  ( X : ( 0 ... N ) --> A  /\  i  e.  ( 0 ... N ) ) )
238 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( X : ( 0 ... N ) --> A  /\  i  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( X `  i )  e.  A
)
239237, 238syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  ( X `  i )  e.  A )
240228, 239jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  ( ph  /\  ( X `  i )  e.  A
) )
241 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( X `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( X `  i ) : T --> RR ) )
242241imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( X `  i )  ->  (
( ph  ->  f : T --> RR )  <->  ( ph  ->  ( X `  i
) : T --> RR ) ) )
243242, 70vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X `  i )  e.  A  ->  ( ph  ->  ( X `  i ) : T --> RR ) )
244243impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( X `  i )  e.  A
)  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
245240, 244syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  ->  ( X `  i ) : T --> RR )
246 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( X `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR )
247245, 246sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( ( X `  i ) `  t )  e.  RR )
248247an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( ( X `
 i ) `  t )  e.  RR )
249226, 248jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( E  e.  RR  /\  ( ( X `  i ) `
 t )  e.  RR ) )
250 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E  e.  RR  /\  ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  RR )
251250recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  e.  RR  /\  ( ( X `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  CC )
252249, 251syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  CC )
253 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( X `  i )  =  ( X `  ( m  +  1
) ) )
254253fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( X `  i
) `  t )  =  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) )
255254oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t ) )  =  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )
256223, 252, 255fsumm1 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  -  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) )
257 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
2582573ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  m  e.  CC )
259258adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  m  e.  CC )
260 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
261260a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  CC )
262259, 261jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
m  e.  CC  /\  1  e.  CC )
)
263 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( m  + 
1 )  -  1 )  =  m )
264262, 263syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( m  +  1 )  -  1 )  =  m )
265264oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... m
) )
266265sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  -  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )
267266oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  - 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  +  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) )
268256, 267eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) )
269 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
270 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
0 ... m )  e. 
Fin )
271225adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  E  e.  RR )
272 fzelp1 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( 0 ... m )  ->  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )
273272anim2i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ) )
274 an32 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... ( m  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ( m  e.  NN0  /\  ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 0 ... N ) )  /\  i  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) )  /\  t  e.  T ) )
275273, 274sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )  /\  t  e.  T ) )
276275, 247syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  ( ( X `
 i ) `  t )  e.  RR )
277271, 276jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  ( E  e.  RR  /\  ( ( X `  i ) `
 t )  e.  RR ) )
278277, 250syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( m  e. 
NN0  /\  ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
0 ... m ) )  ->  ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  RR )
279270, 278fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  e.  RR )
280269, 279jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  e.  RR ) )
281 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )
282281fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  e.  RR )  -> 
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
283280, 282syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )
284283oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  +  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
285268, 284eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) )
286 3simpc 954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
287286adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
288 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( X `  ( m  +  1 ) ) : T --> RR ) )
289288imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( X `  ( m  +  1
) )  ->  (
( ph  ->  f : T --> RR )  <->  ( ph  ->  ( X `  (
m  +  1 ) ) : T --> RR ) ) )
290289, 70vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( X `  ( m  +  1 ) )  e.  A  ->  ( ph  ->  ( X `  ( m  +  1
) ) : T --> RR ) )
291149, 290syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( ph  ->  ( X `  ( m  +  1
) ) : T --> RR ) )
292139, 291mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X `  ( m  +  1 ) ) : T --> RR )
293287, 292syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  ( m  +  1 ) ) : T --> RR )
294293, 269jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( X `  (
m  +  1 ) ) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
295 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( X `  (
m  +  1 ) ) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
)  e.  RR )
296294, 295syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t )  e.  RR )
297225, 296jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( E  e.  RR  /\  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t )  e.  RR ) )
298 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  e.  RR  /\  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) )  e.  RR )
299297, 298syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) )  e.  RR )
300269, 299jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) )  e.  RR ) )
301 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1
) ) `  t
) ) )
302301fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) )  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) `
 t )  =  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) )
303300, 302syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
)  =  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) )
304303oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) )
305285, 304eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )
306305ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) ) )
307220, 306ralrimi 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A. t  e.  T  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )
308217, 307jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( T  =  T  /\  A. t  e.  T  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) ) )
309 mpteq12 4099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  =  T  /\  A. t  e.  T  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) `
 t ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
) ) ) )
310308, 309syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m
) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  (
( X `  (
m  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
) ) ) )
311310eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ph 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `  ( m  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) ) )  e.  A
) )
312216, 311syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( ( X `
 ( m  + 
1 ) ) `  t ) ) ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
313213, 312mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )  /\  (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
314313ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )  ->  ( (
m  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )
315314exp3a 425 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )  ->  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ph  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `  t
) ) )  e.  A ) ) )
316315pm2.86i 92 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... m ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A )  ->  ( ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) ) )
31715, 22, 29, 36, 94, 316nn0ind 10108 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
3182, 317syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ph  /\  N  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  ( ( X `  i ) `
 t ) ) )  e.  A ) )
3191, 318syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ph  /\  N  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
) )
3208, 319mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 0 ... N ) ( E  x.  (
( X `  i
) `  t )
) )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  27809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702