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Theorem stoweidlem17 27756
 Description: This lemma proves that the function (as defined in [BrosowskiDeutsh] p. 91, at the end of page 91) belongs to the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem17.1
stoweidlem17.2
stoweidlem17.3
stoweidlem17.4
stoweidlem17.5
stoweidlem17.6
stoweidlem17.7
stoweidlem17.8
Assertion
Ref Expression
stoweidlem17
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,)   ()

Proof of Theorem stoweidlem17
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem17.2 . . 3
21nnnn0d 10279 . 2
3 nn0uz 10525 . . . . 5
42, 3syl6eleq 2528 . . . 4
5 eluzfz2 11070 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3
76ancli 536 . 2
8 eleq1 2498 . . . . 5
98anbi2d 686 . . . 4
10 oveq2 6092 . . . . . . 7
1110sumeq1d 12500 . . . . . 6
1211mpteq2dv 4299 . . . . 5
1312eleq1d 2504 . . . 4
149, 13imbi12d 313 . . 3
15 eleq1 2498 . . . . 5
1615anbi2d 686 . . . 4
17 oveq2 6092 . . . . . . 7
1817sumeq1d 12500 . . . . . 6
1918mpteq2dv 4299 . . . . 5
2019eleq1d 2504 . . . 4
2116, 20imbi12d 313 . . 3
22 eleq1 2498 . . . . 5
2322anbi2d 686 . . . 4
24 oveq2 6092 . . . . . . 7
2524sumeq1d 12500 . . . . . 6
2625mpteq2dv 4299 . . . . 5
2726eleq1d 2504 . . . 4
2823, 27imbi12d 313 . . 3
29 eleq1 2498 . . . . 5
3029anbi2d 686 . . . 4
31 oveq2 6092 . . . . . . 7
3231sumeq1d 12500 . . . . . 6
3332mpteq2dv 4299 . . . . 5
3433eleq1d 2504 . . . 4
3530, 34imbi12d 313 . . 3
36 0z 10298 . . . . . . . . 9
37 fzsn 11099 . . . . . . . . 9
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8
3938sumeq1i 12497 . . . . . . 7
4039mpteq2i 4295 . . . . . 6
41 stoweidlem17.1 . . . . . . 7
42 stoweidlem17.7 . . . . . . . . . . 11
4342adantr 453 . . . . . . . . . 10
4443recnd 9119 . . . . . . . . 9
45 stoweidlem17.3 . . . . . . . . . . . . 13
46 nnz 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 nngt0 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48 0re 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49 nnre 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 ltle 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5148, 49, 50sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5247, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5346, 52jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16
541, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
5536eluz1i 10500 . . . . . . . . . . . . . . 15
5654, 55sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14
57 eluzfz1 11069 . . . . . . . . . . . . . 14
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5945, 58ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . 12
60 feq1 5579 . . . . . . . . . . . . . 14
6160imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13
62 stoweidlem17.8 . . . . . . . . . . . . . 14
6362expcom 426 . . . . . . . . . . . . 13
6461, 63vtoclga 3019 . . . . . . . . . . . 12
6559, 64mpcom 35 . . . . . . . . . . 11
6665fnvinran 27675 . . . . . . . . . 10
6766recnd 9119 . . . . . . . . 9
6844, 67mulcld 9113 . . . . . . . 8
69 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
7069fveq1d 5733 . . . . . . . . . 10
7170oveq2d 6100 . . . . . . . . 9
7271sumsn 12539 . . . . . . . 8
7336, 68, 72sylancr 646 . . . . . . 7
7441, 73mpteq2da 4297 . . . . . 6
7540, 74syl5eq 2482 . . . . 5
76 stoweidlem17.5 . . . . . 6
77 stoweidlem17.6 . . . . . 6
7841, 76, 77, 62, 42, 59stoweidlem2 27741 . . . . 5
7975, 78eqeltrd 2512 . . . 4
8079adantr 453 . . 3
81 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . 14
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
85 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . 13
86 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
8784, 85, 86, 43fvmptd 5813 . . . . . . . . . . . 12
8887oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11
8941, 88mpteq2da 4297 . . . . . . . . . 10
9089adantr 453 . . . . . . . . 9
9145fnvinran 27675 . . . . . . . . . 10
92 simpl 445 . . . . . . . . . 10
93 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14
9695imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13
9777expcom 426 . . . . . . . . . . . . 13
9896, 97vtoclga 3019 . . . . . . . . . . . 12
9942, 98mpcom 35 . . . . . . . . . . 11
10099adantr 453 . . . . . . . . . 10
101 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . 14
104103eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13
105104imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12
10682eleq1i 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10882fveq1i 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
109107, 108syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
110109oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
111110mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112111eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113112imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114763com12 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1151143expib 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116113, 115vtoclga 3019 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117106, 116sylbir 206 . . . . . . . . . . . . . . 15
1181173impib 1152 . . . . . . . . . . . . . 14
1191183com13 1159 . . . . . . . . . . . . 13
1201193expib 1157 . . . . . . . . . . . 12
121105, 120vtoclga 3019 . . . . . . . . . . 11
1221213impib 1152 . . . . . . . . . 10
12391, 92, 100, 122syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
12490, 123eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8
125124ad2antll 711 . . . . . . 7
126 simprrl 742 . . . . . . 7
127 simpl 445 . . . . . . . . . 10
128 simprl 734 . . . . . . . . . 10
1291ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12
130129nnnn0d 10279 . . . . . . . . . . 11
131 nn0re 10235 . . . . . . . . . . . . 13
132131adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
133 peano2nn0 10265 . . . . . . . . . . . . . 14
134133nn0red 10280 . . . . . . . . . . . . 13
135134adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
1361nnred 10020 . . . . . . . . . . . . 13
137136ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12
138 lep1 9854 . . . . . . . . . . . . 13
139127, 131, 1383syl 19 . . . . . . . . . . . 12
140 elfzle2 11066 . . . . . . . . . . . . 13
141140ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12
142132, 135, 137, 139, 141letrd 9232 . . . . . . . . . . 11
143 elfz2nn0 11087 . . . . . . . . . . 11
144127, 130, 142, 143syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . 10
145127, 128, 144jca32 523 . . . . . . . . 9
146145adantl 454 . . . . . . . 8
147 pm3.31 434 . . . . . . . . 9
148147adantr 453 . . . . . . . 8
149146, 148mpd 15 . . . . . . 7
150 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12
151150oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11
152151cbvmptv 4303 . . . . . . . . . 10
153152eleq1i 2501 . . . . . . . . 9
154 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15
155152fveq1i 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15
156154, 155syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
157156oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13
158157mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . 12
159158eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11
160159imbi2d 309 . . . . . . . . . 10
161 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
162161oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
163162sumeq2sdv 12503 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164163cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . . . 15
165164eleq1i 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
166 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
167164fveq1i 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
168166, 167syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
169168oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
170169mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
171170eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172171imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15
173 stoweidlem17.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1741733com12 1158 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1751743expib 1157 . . . . . . . . . . . . . . 15
176172, 175vtoclga 3019 . . . . . . . . . . . . . 14
177165, 176sylbir 206 . . . . . . . . . . . . 13
1781773impib 1152 . . . . . . . . . . . 12
1791783com13 1159 . . . . . . . . . . 11
1801793expib 1157 . . . . . . . . . 10
181160, 180vtoclga 3019 . . . . . . . . 9
182153, 181sylbir 206 . . . . . . . 8
1831823impib 1152 . . . . . . 7
184125, 126, 149, 183syl3anc 1185 . . . . . 6
185 3anass 941 . . . . . . . . 9
186185biimpri 199 . . . . . . . 8
187186adantl 454 . . . . . . 7
188 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
189 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
190188, 41, 189nf3an 1850 . . . . . . . . 9
191 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
192 fzfid 11317 . . . . . . . . . . . . 13
193423ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . 16
194193adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
195194adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
196 fzelp1 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
197196anim2i 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16
198 an32 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199197, 198sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15
200453ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
201200adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
202 elfzuz3 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
203 fzss2 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
204202, 203syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
205204sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2062053ad2antl3 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
207201, 206ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
208 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
209 feq1 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
210209imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
211210, 63vtoclga 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
212207, 208, 211sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16
213212fnvinran 27675 . . . . . . . . . . . . . . 15
214199, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
215195, 214remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . 13
216192, 215fsumrecl 12533 . . . . . . . . . . . 12
217 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
218217fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . 12
219191, 216, 218syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
220219oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10
221 3simpc 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16
222221adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
223 feq1 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
224223imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
225224, 63vtoclga 3019 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22691, 92, 225sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . 15
227222, 226syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
228227, 191ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . 13
229194, 228remulcld 9121 . . . . . . . . . . . 12
230 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
231230fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . 12
232191, 229, 231syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
233232oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10
234 elfzuz 11060 . . . . . . . . . . . . . 14
2352343ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . 13
236235adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
237194adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
238213an32s 781 . . . . . . . . . . . . 13
239 remulcl 9080 . . . . . . . . . . . . . 14
240239recnd 9119 . . . . . . . . . . . . 13
241237, 238, 240syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
242 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14
243242fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . 13
244243oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12
245236, 241, 244fsumm1 12542 . . . . . . . . . . 11
246 nn0cn 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2472463ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
248247adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
249 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
250249a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
251248, 250pncand 9417 . . . . . . . . . . . . . 14
252251oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13
253252sumeq1d 12500 . . . . . . . . . . . 12
254253oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11
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