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Theorem stoweidlem18 27734
Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 92 when A is empty, the trivial case. Here D is used to denote the set A of Lemma 2, because the variable A is used for the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem18.1  |-  F/_ t D
stoweidlem18.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem18.3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
stoweidlem18.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem18.5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem18.6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem18.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem18.8  |-  ( ph  ->  D  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem18  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, a, T    A, a    ph, a    x, t    x, A    x, B    x, D    x, E    x, F    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, t)    A( t)    B( t, a)    D( t, a)    E( t, a)    F( t, a)    J( x, t, a)

Proof of Theorem stoweidlem18
StepHypRef Expression
1 stoweidlem18.3 . . 3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
2 1re 9082 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 stoweidlem18.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
43stoweidlem4 27720 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
52, 4mpan2 653 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
61, 5syl5eqel 2519 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
7 stoweidlem18.2 . . 3  |-  F/ t
ph
8 0le1 9543 . . . . . 6  |-  0  <_  1
9 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
101fvmpt2 5804 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  t
)  =  1 )
119, 2, 10sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  1 )
128, 11syl5breqr 4240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( F `  t
) )
13 1le1 9642 . . . . . 6  |-  1  <_  1
1411, 13syl6eqbr 4241 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <_  1 )
1512, 14jca 519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  1 ) )
1615ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
177, 16ralrimi 2779 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) )
18 stoweidlem18.8 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  (/) )
19 stoweidlem18.1 . . . . 5  |-  F/_ t D
20 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ t (/)
2119, 20nfeq 2578 . . . 4  |-  F/ t  D  =  (/)
2221rzalf 27655 . . 3  |-  ( D  =  (/)  ->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E
)
2318, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E )
242a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
25 stoweidlem18.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2624, 25ltsubrpd 10668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  1 )
2726adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  1 )
28 stoweidlem18.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
29 stoweidlem18.4 . . . . . . . . 9  |-  T  = 
U. J
3029cldss 17085 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  T
)
3128, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
3231sselda 3340 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  t  e.  T )
3332, 2, 10sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  =  1 )
3427, 33breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( F `  t ) )
3534ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  B  ->  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) )
367, 35ralrimi 2779 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) )
37 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ t
x
38 nfmpt1 4290 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  1 )
391, 38nfcxfr 2568 . . . . . 6  |-  F/_ t F
4037, 39nfeq 2578 . . . . 5  |-  F/ t  x  =  F
41 fveq1 5719 . . . . . . 7  |-  ( x  =  F  ->  (
x `  t )  =  ( F `  t ) )
4241breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  F  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( F `  t ) ) )
4341breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( x  =  F  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( F `  t )  <_  1
) )
4442, 43anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
4540, 44ralbid 2715 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
4641breq1d 4214 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( F `  t )  <  E
) )
4740, 46ralbid 2715 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  D  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E
) )
4841breq2d 4216 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) )
4940, 48ralbid 2715 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) )
5045, 47, 493anbi123d 1254 . . 3  |-  ( x  =  F  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) ) )
5150rspcev 3044 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
526, 17, 23, 36, 51syl13anc 1186 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   RR+crp 10604   Clsdccld 17072
This theorem is referenced by:  stoweidlem58  27774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-rp 10605  df-top 16955  df-cld 17075
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