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Theorem stoweidlem18 27870
Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 92 when A is empty, the trivial case. Here D is used to denote the set A of Lemma 2, because the variable A is used for the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem18.1  |-  F/_ t D
stoweidlem18.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem18.3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
stoweidlem18.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem18.5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
stoweidlem18.6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
stoweidlem18.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem18.8  |-  ( ph  ->  D  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem18  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, a, T    A, a    ph, a    x, t    x, A    x, B    x, D    x, E    x, F    x, T
Allowed substitution hints:    ph( x, t)    A( t)    B( t, a)    D( t, a)    E( t, a)    F( t, a)    J( x, t, a)

Proof of Theorem stoweidlem18
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
21jctr 526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  1  e.  RR ) )
3 stoweidlem18.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  a )  e.  A )
43stoweidlem4 27856 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
52, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
6 stoweidlem18.3 . . . . . . 7  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
76eleq1i 2359 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
87a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A ) )
98biimprd 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A  ->  F  e.  A ) )
105, 9mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
11 stoweidlem18.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
12 0le1 9313 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
1312a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  1 )
14 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
151a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
1614, 15jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  1  e.  RR )
)
176fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  T  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  t
)  =  1 )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  1 )
1913, 18breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( F `  t
) )
20 leid 8932 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  <_  1 )
211, 20ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
2218, 21syl6eqbr 4076 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <_  1 )
2319, 22jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  1 ) )
2423ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
2511, 24ralrimi 2637 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) )
26 stoweidlem18.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =  (/) )
27 stoweidlem18.1 . . . . . . 7  |-  F/_ t D
28 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ t (/)
2927, 28nfeq 2439 . . . . . 6  |-  F/ t  D  =  (/)
3029rzalf 27791 . . . . 5  |-  ( D  =  (/)  ->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E
)
3126, 30syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E )
321a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
33 stoweidlem18.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
34 rpre 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
3632, 35jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
37 resubcl 9127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 1  -  E
)  e.  RR )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  e.  RR )
3938adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
401a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  1  e.  RR )
41 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ph )
42 stoweidlem18.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( Clsd `  J ) )
43 stoweidlem18.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  = 
U. J
4443cldss 16782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  T
)
4542, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
4645sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  t  e.  T )
4741, 46jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( ph  /\  t  e.  T
) )
4847, 18syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  =  1 )
4948eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( F `  t
)  e.  RR  <->  1  e.  RR ) )
5040, 49mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
5139, 40, 503jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  E
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( F `  t )  e.  RR ) )
52 rpgt0 10381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  RR+  ->  0  < 
E )
5333, 52syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  E )
5435, 32jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
55 ltsubpos 9282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <  E  <->  ( 1  -  E )  <  1 ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  <->  ( 1  -  E )  <  1 ) )
5753, 56mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  1 )
5857adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  1 )
5921, 18syl5breqr 4075 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  <_  ( F `  t
) )
6047, 59syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  1  <_  ( F `  t
) )
6158, 60jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  E
)  <  1  /\  1  <_  ( F `  t ) ) )
62 ltletr 8929 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  E
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( F `  t )  e.  RR )  ->  (
( ( 1  -  E )  <  1  /\  1  <_  ( F `
 t ) )  ->  ( 1  -  E )  <  ( F `  t )
) )
6351, 61, 62sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( F `  t ) )
6463ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  B  ->  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) )
6511, 64ralrimi 2637 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) )
6625, 31, 653jca 1132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) )
6710, 66jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) ) )
68 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ t
x
69 nfmpt1 4125 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  1 )
706, 69nfcxfr 2429 . . . . . 6  |-  F/_ t F
7168, 70nfeq 2439 . . . . 5  |-  F/ t  x  =  F
72 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( x  =  F  ->  (
x `  t )  =  ( F `  t ) )
7372breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( x  =  F  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( F `  t ) ) )
7472breq1d 4049 . . . . . 6  |-  ( x  =  F  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( F `  t )  <_  1
) )
7573, 74anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
7671, 75ralbid 2574 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 ) ) )
7772breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( F `  t )  <  E
) )
7871, 77ralbid 2574 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  D  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E
) )
7972breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) )
8071, 79ralbid 2574 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  ( A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) )
8176, 78, 803anbi123d 1252 . . 3  |-  ( x  =  F  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E )  < 
( F `  t
) ) ) )
8281rspcev 2897 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( F `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( F `  t ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
8367, 82syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  D  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   RR+crp 10370   Clsdccld 16769
This theorem is referenced by:  stoweidlem58  27910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-rp 10371  df-top 16652  df-cld 16772
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