Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem19 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem19 27746
 Description: If a set of real functions is closed under multiplication and it contains constants, then it is closed under finite exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem19.1
stoweidlem19.2
stoweidlem19.3
stoweidlem19.4
stoweidlem19.5
stoweidlem19.6
stoweidlem19.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem19
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,)

Proof of Theorem stoweidlem19
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem19.7 . 2
2 oveq2 6091 . . . . . 6
32mpteq2dv 4298 . . . . 5
43eleq1d 2504 . . . 4
54imbi2d 309 . . 3
6 oveq2 6091 . . . . . 6
76mpteq2dv 4298 . . . . 5
87eleq1d 2504 . . . 4
98imbi2d 309 . . 3
10 oveq2 6091 . . . . . 6
1110mpteq2dv 4298 . . . . 5
1211eleq1d 2504 . . . 4
1312imbi2d 309 . . 3
14 oveq2 6091 . . . . . 6
1514mpteq2dv 4298 . . . . 5
1615eleq1d 2504 . . . 4
1716imbi2d 309 . . 3
18 stoweidlem19.2 . . . . 5
19 stoweidlem19.6 . . . . . . . . 9
2019ancli 536 . . . . . . . . 9
21 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12
2221anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11
23 feq1 5578 . . . . . . . . . . 11
2422, 23imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
25 stoweidlem19.3 . . . . . . . . . 10
2624, 25vtoclg 3013 . . . . . . . . 9
2719, 20, 26sylc 59 . . . . . . . 8
2827fnvinran 27663 . . . . . . 7
29 recn 9082 . . . . . . 7
30 exp0 11388 . . . . . . 7
3128, 29, 303syl 19 . . . . . 6
3231eqcomd 2443 . . . . 5
3318, 32mpteq2da 4296 . . . 4
34 1re 9092 . . . . 5
35 stoweidlem19.5 . . . . . 6
3635stoweidlem4 27731 . . . . 5
3734, 36mpan2 654 . . . 4
3833, 37eqeltrrd 2513 . . 3
39 simpr 449 . . . . 5
40 simpll 732 . . . . 5
41 simplr 733 . . . . . 6
4239, 41mpd 15 . . . . 5
43 nfv 1630 . . . . . . . 8
44 nfmpt1 4300 . . . . . . . . 9
4544nfel1 2584 . . . . . . . 8
4618, 43, 45nf3an 1850 . . . . . . 7
47 simpl1 961 . . . . . . . . 9
48 simpr 449 . . . . . . . . 9
4928, 29syl 16 . . . . . . . . 9
5047, 48, 49syl2anc 644 . . . . . . . 8
51 simpl2 962 . . . . . . . 8
5250, 51expp1d 11526 . . . . . . 7
5346, 52mpteq2da 4296 . . . . . 6
54283adant2 977 . . . . . . . . . . . 12
55 simp2 959 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55reexpcld 11542 . . . . . . . . . . 11
5747, 51, 48, 56syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
58 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
5958fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . 11
6059eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10
6148, 57, 60syl2anc 644 . . . . . . . . 9
6261oveq1d 6098 . . . . . . . 8
6346, 62mpteq2da 4296 . . . . . . 7
6419adantr 453 . . . . . . . . 9
6544nfeq2 2585 . . . . . . . . . 10
66 stoweidlem19.1 . . . . . . . . . . 11
6766nfeq2 2585 . . . . . . . . . 10
68 stoweidlem19.4 . . . . . . . . . 10
6965, 67, 68stoweidlem6 27733 . . . . . . . . 9
7064, 69mpd3an3 1281 . . . . . . . 8
71703adant2 977 . . . . . . 7
7263, 71eqeltrd 2512 . . . . . 6
7353, 72eqeltrd 2512 . . . . 5
7439, 40, 42, 73syl3anc 1185 . . . 4
7574exp31 589 . . 3
765, 9, 13, 17, 38, 75nn0ind 10368 . 2
771, 76mpcom 35 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997  cn0 10223  cexp 11384 This theorem is referenced by:  stoweidlem40  27767 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-exp 11385
 Copyright terms: Public domain W3C validator