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Theorem stoweidlem19 27746
Description: If a set of real functions is closed under multiplication and it contains constants, then it is closed under finite exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem19.1  |-  F/_ t F
stoweidlem19.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem19.3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem19.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem19.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem19.6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem19.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem19  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, F, g    T, f, g, t    ph, f, g    t, N   
x, t, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( x, t)    N( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem19
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem19.7 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
0 ) )
32mpteq2dv 4298 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) ) )
43eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ 0 ) )  e.  A ) )
54imbi2d 309 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) )  e.  A
) ) )
6 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
m ) )
76mpteq2dv 4298 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) )
87eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )
98imbi2d 309 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
) ) )
10 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
( m  +  1 ) ) )
1110mpteq2dv 4298 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ ( m  + 
1 ) ) ) )
1211eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  e.  A ) )
1312imbi2d 309 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) ) )  e.  A
) ) )
14 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
1514mpteq2dv 4298 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N ) ) )
1615eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ N ) )  e.  A ) )
1716imbi2d 309 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
) ) )
18 stoweidlem19.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
19 stoweidlem19.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2019ancli 536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  F  e.  A ) )
21 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e.  A  <->  F  e.  A ) )
2221anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  F  e.  A ) ) )
23 feq1 5578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
f : T --> RR  <->  F : T
--> RR ) )
2422, 23imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) ) )
25 stoweidlem19.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
2624, 25vtoclg 3013 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) )
2719, 20, 26sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
2827fnvinran 27663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
29 recn 9082 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  t )  e.  RR  ->  ( F `  t )  e.  CC )
30 exp0 11388 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  t )  e.  CC  ->  (
( F `  t
) ^ 0 )  =  1 )
3128, 29, 303syl 19 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) ^ 0 )  =  1 )
3231eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  =  ( ( F `
 t ) ^
0 ) )
3318, 32mpteq2da 4296 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ 0 ) ) )
34 1re 9092 . . . . 5  |-  1  e.  RR
35 stoweidlem19.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
3635stoweidlem4 27731 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
3734, 36mpan2 654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
3833, 37eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) )  e.  A
)
39 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ph )
40 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  m  e.  NN0 )
41 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )
4239, 41mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
)
43 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ t  m  e.  NN0
44 nfmpt1 4300 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )
4544nfel1 2584 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
4618, 43, 45nf3an 1850 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )
47 simpl1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ph )
48 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
4928, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
5047, 48, 49syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
51 simpl2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  m  e.  NN0 )
5250, 51expp1d 11526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) )
5346, 52mpteq2da 4296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) ) )
54283adant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  ( F `  t )  e.  RR )
55 simp2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  m  e.  NN0 )
5654, 55reexpcld 11542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  ( ( F `  t ) ^ m )  e.  RR )
5747, 51, 48, 56syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )
58 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )
5958fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) `
 t )  =  ( ( F `  t ) ^ m
) )
6059eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 t ) ^
m )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
) )
6148, 57, 60syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ m
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) ) `  t ) )
6261oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( ( F `
 t ) ^
m )  x.  ( F `  t )
)  =  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
6346, 62mpteq2da 4296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t ) ^ m
)  x.  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) ) )
6419adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  ->  F  e.  A )
6544nfeq2 2585 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )
66 stoweidlem19.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t F
6766nfeq2 2585 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  g  =  F
68 stoweidlem19.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
6965, 67, 68stoweidlem6 27733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A  /\  F  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) ) `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
7064, 69mpd3an3 1281 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A )
71703adant2 977 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) ) `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
7263, 71eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t ) ^ m
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )
7353, 72eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  e.  A )
7439, 40, 42, 73syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) ) )  e.  A
)
7574exp31 589 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
( m  +  1 ) ) )  e.  A ) ) )
765, 9, 13, 17, 38, 75nn0ind 10368 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
) )
771, 76mpcom 35 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561    e. cmpt 4268   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997   NN0cn0 10223   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  stoweidlem40  27767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-exp 11385
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