Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem19 Unicode version

Theorem stoweidlem19 27871
 Description: If a set of real functions is closed under multiplication and it contains constants, then it is closed under finite exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem19.1
stoweidlem19.2
stoweidlem19.3
stoweidlem19.4
stoweidlem19.5
stoweidlem19.6
stoweidlem19.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem19
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,)

Proof of Theorem stoweidlem19
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem19.7 . 2
2 id 19 . 2
3 biidd 228 . . . 4
4 oveq2 5882 . . . . . 6
54mpteq2dv 4123 . . . . 5
65eleq1d 2362 . . . 4
73, 6imbi12d 311 . . 3
8 biidd 228 . . . 4
9 oveq2 5882 . . . . . 6
109mpteq2dv 4123 . . . . 5
1110eleq1d 2362 . . . 4
128, 11imbi12d 311 . . 3
13 biidd 228 . . . 4
14 oveq2 5882 . . . . . 6
1514mpteq2dv 4123 . . . . 5
1615eleq1d 2362 . . . 4
1713, 16imbi12d 311 . . 3
18 biidd 228 . . . 4
19 oveq2 5882 . . . . . 6
2019mpteq2dv 4123 . . . . 5
2120eleq1d 2362 . . . 4
2218, 21imbi12d 311 . . 3
23 stoweidlem19.2 . . . . 5
24 stoweidlem19.6 . . . . . . . . . . 11
252, 24jca 518 . . . . . . . . . . 11
26 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . 14
2726anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13
28 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12
30 stoweidlem19.3 . . . . . . . . . . . . 13
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
3229, 31vtoclga 2862 . . . . . . . . . . 11
3324, 25, 32sylc 56 . . . . . . . . . 10
3433adantr 451 . . . . . . . . 9
35 simpr 447 . . . . . . . . 9
3634, 35jca 518 . . . . . . . 8
37 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
3836, 37syl 15 . . . . . . 7
39 recn 8843 . . . . . . 7
40 exp0 11124 . . . . . . 7
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6
4241eqcomd 2301 . . . . 5
4323, 42mpteq2da 4121 . . . 4
44 1re 8853 . . . . . 6
4544jctr 526 . . . . 5
46 stoweidlem19.5 . . . . . 6
4746stoweidlem4 27856 . . . . 5
4845, 47syl 15 . . . 4
4943, 48eqeltrrd 2371 . . 3
50 simpr 447 . . . . . . 7
51 simpll 730 . . . . . . 7
52 simplr 731 . . . . . . . 8
5350, 52mpd 14 . . . . . . 7
5450, 51, 533jca 1132 . . . . . 6
55 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
5655ax-gen 1536 . . . . . . . . . 10
5756a1i 10 . . . . . . . . 9
58 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
59 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . 12
60 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
6159, 60nfel 2440 . . . . . . . . . . 11
6223, 58, 61nf3an 1786 . . . . . . . . . 10
63 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
6563, 64jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
6638, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
68 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68jca 518 . . . . . . . . . . . 12
70 expp1 11126 . . . . . . . . . . . 12
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . 11
7271ex 423 . . . . . . . . . 10
7362, 72ralrimi 2637 . . . . . . . . 9
7457, 73jca 518 . . . . . . . 8
75 mpteq12f 4112 . . . . . . . 8
7674, 75syl 15 . . . . . . 7
7763, 68, 643jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
78383adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
81 reexpcl 11136 . . . . . . . . . . . . . 14
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
8377, 82syl 15 . . . . . . . . . . . 12
8464, 83jca 518 . . . . . . . . . . 11
85 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
8685fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12
8786eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11
8884, 87syl 15 . . . . . . . . . 10
8988oveq1d 5889 . . . . . . . . 9
9062, 89mpteq2da 4121 . . . . . . . 8
91 simpl 443 . . . . . . . . . . 11
92 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
9324adantr 451 . . . . . . . . . . 11
9491, 92, 933jca 1132 . . . . . . . . . 10
95 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
9695, 59nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11
97 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
98 stoweidlem19.1 . . . . . . . . . . . 12
9997, 98nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11
100 stoweidlem19.4 . . . . . . . . . . 11
10196, 99, 100stoweidlem6 27858 . . . . . . . . . 10
10294, 101syl 15 . . . . . . . . 9
1031023adant2 974 . . . . . . . 8
10490, 103eqeltrd 2370 . . . . . . 7
10576, 104eqeltrd 2370 . . . . . 6
10654, 105syl 15 . . . . 5
107106ex 423 . . . 4
108107ex 423 . . 3
1097, 12, 17, 22, 49, 108nn0ind 10124 . 2
1101, 2, 109sylc 56 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wal 1530  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419  wral 2556   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cn0 9981  cexp 11120 This theorem is referenced by:  stoweidlem40  27892 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
 Copyright terms: Public domain W3C validator