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Theorem stoweidlem19 27768
Description: If a set of real functions is closed under multiplication and it contains constants, then it is closed under finite exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem19.1  |-  F/_ t F
stoweidlem19.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem19.3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem19.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem19.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem19.6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem19.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem19  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, F, g    T, f, g, t    ph, f, g    t, N   
x, t, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( x, t)    N( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem19
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem19.7 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 id 19 . 2  |-  ( ph  ->  ph )
3 biidd 228 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
4 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
0 ) )
54mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) ) )
65eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ 0 ) )  e.  A ) )
73, 6imbi12d 311 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) )  e.  A
) ) )
8 biidd 228 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
9 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
m ) )
109mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) )
1110eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )
128, 11imbi12d 311 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
) ) )
13 biidd 228 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
14 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^
( m  +  1 ) ) )
1514mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ ( m  + 
1 ) ) ) )
1615eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  e.  A ) )
1713, 16imbi12d 311 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) ) )  e.  A
) ) )
18 biidd 228 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
19 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( F `  t
) ^ n )  =  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
2019mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ n ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N ) ) )
2120eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ N ) )  e.  A ) )
2218, 21imbi12d 311 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ n ) )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
) ) )
23 stoweidlem19.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
24 stoweidlem19.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
252, 24jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  F  e.  A ) )
26 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e.  A  <->  F  e.  A ) )
2726anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  F  e.  A ) ) )
28 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f : T --> RR  <->  F : T
--> RR ) )
2927, 28imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) ) )
30 stoweidlem19.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
3229, 31vtoclga 2849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) )
3324, 25, 32sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
3433adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  F : T --> RR )
35 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3634, 35jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
37 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
3836, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
39 recn 8827 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  t )  e.  RR  ->  ( F `  t )  e.  CC )
40 exp0 11108 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  t )  e.  CC  ->  (
( F `  t
) ^ 0 )  =  1 )
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) ^ 0 )  =  1 )
4241eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  =  ( ( F `
 t ) ^
0 ) )
4323, 42mpteq2da 4105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ 0 ) ) )
44 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
4544jctr 526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  1  e.  RR ) )
46 stoweidlem19.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
4746stoweidlem4 27753 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
4845, 47syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
4943, 48eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ 0 ) )  e.  A
)
50 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ph )
51 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  m  e.  NN0 )
52 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )
5350, 52mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
)
5450, 51, 533jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A ) )
55 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  T
5655ax-gen 1533 . . . . . . . . . 10  |-  A. t  T  =  T
5756a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  A. t  T  =  T )
58 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  m  e.  NN0
59 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )
60 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t A
6159, 60nfel 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
6223, 58, 61nf3an 1774 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )
63 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ph )
64 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
6563, 64jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  t  e.  T ) )
6638, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
68 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  m  e.  NN0 )
6967, 68jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )
)
70 expp1 11110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) )
7271ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  -> 
( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) ) )
7362, 72ralrimi 2624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  A. t  e.  T  ( ( F `  t ) ^ ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 t ) ^
m )  x.  ( F `  t )
) )
7457, 73jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  ( A. t  T  =  T  /\  A. t  e.  T  ( ( F `
 t ) ^
( m  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  t ) ^ m
)  x.  ( F `
 t ) ) ) )
75 mpteq12f 4096 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. t  T  =  T  /\  A. t  e.  T  ( ( F `  t ) ^ ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 t ) ^
m )  x.  ( F `  t )
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) ) )
7674, 75syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t
) ^ m )  x.  ( F `  t ) ) ) )
7763, 68, 643jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  t  e.  T ) )
78383adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  ( F `  t )  e.  RR )
79 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  m  e.  NN0 )
8078, 79jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  m  e. 
NN0 ) )
81 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  t  e.  T
)  ->  ( ( F `  t ) ^ m )  e.  RR )
8377, 82syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )
8464, 83jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR ) )
85 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )
8685fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) `
 t )  =  ( ( F `  t ) ^ m
) )
8786eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t ) ^ m
)  e.  RR )  ->  ( ( F `
 t ) ^
m )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
) )
8884, 87syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t ) ^ m
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) ) `  t ) )
8988oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( ( F `
 t ) ^
m )  x.  ( F `  t )
)  =  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
9062, 89mpteq2da 4105 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t ) ^ m
)  x.  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) ) )
91 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  ->  ph )
92 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m
) )  e.  A
)
9324adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  ->  F  e.  A )
9491, 92, 933jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  -> 
( ph  /\  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A  /\  F  e.  A )
)
95 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
f
9695, 59nfeq 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  f  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )
97 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
g
98 stoweidlem19.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t F
9997, 98nfeq 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  g  =  F
100 stoweidlem19.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
10196, 99, 100stoweidlem6 27755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A  /\  F  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) ) `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
10294, 101syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A )
1031023adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) ) `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
10490, 103eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( ( F `  t ) ^ m
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )
10576, 104eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 
/\  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  e.  A )
10654, 105syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ m ) )  e.  A ) )  /\  ph )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ (
m  +  1 ) ) )  e.  A
)
107106ex 423 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ m ) )  e.  A ) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
) ^ ( m  +  1 ) ) )  e.  A ) )
108107ex 423 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
m ) )  e.  A )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t ) ^
( m  +  1 ) ) )  e.  A ) ) )
1097, 12, 17, 22, 49, 108nn0ind 10108 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
) )
1101, 2, 109sylc 56 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   A.wral 2543    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NN0cn0 9965   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  stoweidlem40  27789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
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