Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem2 Unicode version

Theorem stoweidlem2 27751
 Description: lemma for stoweid 27812: here we prove that the subalgebra of continuous functions, which contains constant functions, is closed under scaling. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem2.1
stoweidlem2.2
stoweidlem2.3
stoweidlem2.4
stoweidlem2.5
stoweidlem2.6
Assertion
Ref Expression
stoweidlem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem2.1 . . 3
2 simpr 447 . . . . . . 7
3 stoweidlem2.5 . . . . . . . 8
43adantr 451 . . . . . . 7
52, 4jca 518 . . . . . 6
6 eqidd 2284 . . . . . . . 8
76cbvmptv 4111 . . . . . . 7
87fvmpt2 5608 . . . . . 6
95, 8syl 15 . . . . 5
109eqcomd 2288 . . . 4
1110oveq1d 5873 . . 3
121, 11mpteq2da 4105 . 2
13 id 19 . . . . . . . . 9
1413mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8
1514eleq1d 2349 . . . . . . 7
1615imbi2d 307 . . . . . 6
17 stoweidlem2.3 . . . . . . 7
1817expcom 424 . . . . . 6
1916, 18vtoclga 2849 . . . . 5
203, 19mpcom 32 . . . 4
217, 20syl5eqel 2367 . . 3
22 fveq1 5524 . . . . . . . 8
2322oveq1d 5873 . . . . . . 7
2423mpteq2dv 4107 . . . . . 6
2524eleq1d 2349 . . . . 5
2625imbi2d 307 . . . 4
27 stoweidlem2.6 . . . . . . 7
2827adantr 451 . . . . . 6
29 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11
3029oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10
3130mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9
3231eleq1d 2349 . . . . . . . 8
3332imbi2d 307 . . . . . . 7
34 3anrot 939 . . . . . . . . 9
35 stoweidlem2.2 . . . . . . . . 9
3634, 35sylbi 187 . . . . . . . 8
37363expib 1154 . . . . . . 7
3833, 37vtoclga 2849 . . . . . 6
3928, 38mpcom 32 . . . . 5
4039expcom 424 . . . 4
4126, 40vtoclga 2849 . . 3
4221, 41mpcom 32 . 2
4312, 42eqeltrd 2357 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wnf 1531   wceq 1623   wcel 1684   cmpt 4077  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cr 8736   cmul 8742 This theorem is referenced by:  stoweidlem17  27766 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861
 Copyright terms: Public domain W3C validator