Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem2 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem2 27727
Description: lemma for stoweid 27788: here we prove that the subalgebra of continuous functions, which contains constant functions, is closed under scaling. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem2.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem2.2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem2.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem2.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
stoweidlem2.6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, F    f, E, t    A, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, t, E    x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)    E( g)    F( x)

Proof of Theorem stoweidlem2
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem2.1 . . 3  |-  F/ t
ph
2 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3 stoweidlem2.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  RR )
5 eqidd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  E  =  E )
65cbvmptv 4300 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  T  |->  E )  =  ( t  e.  T  |->  E )
76fvmpt2 5812 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  =  E )
82, 4, 7syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  =  E )
98eqcomd 2441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  =  ( ( s  e.  T  |->  E ) `
 t ) )
109oveq1d 6096 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E  x.  ( F `  t ) )  =  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
111, 10mpteq2da 4294 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( F `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( F `  t )
) ) )
12 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  x  =  E )
1312mpteq2dv 4296 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  (
t  e.  T  |->  x )  =  ( t  e.  T  |->  E ) )
1413eleq1d 2502 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( t  e.  T  |->  x )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
1514imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  E  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
) ) )
16 stoweidlem2.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
1716expcom 425 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A ) )
1815, 17vtoclga 3017 . . . . 5  |-  ( E  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
193, 18mpcom 34 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
)
206, 19syl5eqel 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  |->  E )  e.  A
)
21 fveq1 5727 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t ) )
2221oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( ( f `  t )  x.  ( F `  t )
)  =  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
2322mpteq2dv 4296 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( F `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( F `  t )
) ) )
2423eleq1d 2502 . . . . 5  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( F `  t ) ) )  e.  A ) )
2524imbi2d 308 . . . 4  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )  <-> 
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) ) )
26 stoweidlem2.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2726adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  F  e.  A )
28 fveq1 5727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  F  ->  (
g `  t )  =  ( F `  t ) )
2928oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  F  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
3029mpteq2dv 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  F  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( F `  t ) ) ) )
3130eleq1d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  F  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) )
3231imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( g  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A ) ) )
33 stoweidlem2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
34333comr 1161 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  A  /\  ph 
/\  f  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
35343expib 1156 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
3632, 35vtoclga 3017 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) )
3727, 36mpcom 34 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )
3837expcom 425 . . . 4  |-  ( f  e.  A  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A ) )
3925, 38vtoclga 3017 . . 3  |-  ( ( s  e.  T  |->  E )  e.  A  -> 
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) )
4020, 39mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A )
4111, 40eqeltrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4266   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989    x. cmul 8995
This theorem is referenced by:  stoweidlem17  27742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084
  Copyright terms: Public domain W3C validator