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Theorem stoweidlem2 27854
Description: lemma for stoweid 27915: here we prove that the subalgebra of continuous functions, which contains constant functions, is closed under scaling. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem2.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem2.2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem2.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem2.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
stoweidlem2.6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, F    f, E, t    A, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, t, E    x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)    E( g)    F( x)

Proof of Theorem stoweidlem2
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem2.1 . . 3  |-  F/ t
ph
2 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
3 stoweidlem2.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
43adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  RR )
52, 4jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  E  e.  RR )
)
6 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  E  =  E )
76cbvmptv 4127 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  T  |->  E )  =  ( t  e.  T  |->  E )
87fvmpt2 5624 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  =  E )
95, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  =  E )
109eqcomd 2301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E  =  ( ( s  e.  T  |->  E ) `
 t ) )
1110oveq1d 5889 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( E  x.  ( F `  t ) )  =  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
121, 11mpteq2da 4121 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( F `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( F `  t )
) ) )
13 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  x  =  E )
1413mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  (
t  e.  T  |->  x )  =  ( t  e.  T  |->  E ) )
1514eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( t  e.  T  |->  x )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
1615imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  E  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
) ) )
17 stoweidlem2.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
1817expcom 424 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A ) )
1916, 18vtoclga 2862 . . . . 5  |-  ( E  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A ) )
203, 19mpcom 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  E )  e.  A
)
217, 20syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  |->  E )  e.  A
)
22 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t ) )
2322oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( ( f `  t )  x.  ( F `  t )
)  =  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
2423mpteq2dv 4123 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( F `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( F `  t )
) ) )
2524eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t )  x.  ( F `  t ) ) )  e.  A ) )
2625imbi2d 307 . . . 4  |-  ( f  =  ( s  e.  T  |->  E )  -> 
( ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )  <-> 
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) ) )
27 stoweidlem2.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2827adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  F  e.  A )
29 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  F  ->  (
g `  t )  =  ( F `  t ) )
3029oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  F  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
3130mpteq2dv 4123 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  F  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( F `  t ) ) ) )
3231eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  F  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) )
3332imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( g  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A ) ) )
34 3anrot 939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  A  /\  ph 
/\  f  e.  A
)  <->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )
)
35 stoweidlem2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
3634, 35sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  A  /\  ph 
/\  f  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
37363expib 1154 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
3833, 37vtoclga 2862 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) )
3928, 38mpcom 32 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A )
4039expcom 424 . . . 4  |-  ( f  e.  A  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A ) )
4126, 40vtoclga 2862 . . 3  |-  ( ( s  e.  T  |->  E )  e.  A  -> 
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )  e.  A ) )
4221, 41mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( s  e.  T  |->  E ) `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )  e.  A )
4312, 42eqeltrd 2370 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( E  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752    x. cmul 8758
This theorem is referenced by:  stoweidlem17  27869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877
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