Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem20 Unicode version

Theorem stoweidlem20 27872
 Description: If a set A of real functions from a common domain T is closed under the sum of two functions, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem20.1
stoweidlem20.2
stoweidlem20.3
stoweidlem20.4
stoweidlem20.5
stoweidlem20.6
Assertion
Ref Expression
stoweidlem20
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem stoweidlem20
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem20.2 . 2
2 id 19 . . . 4
3 stoweidlem20.3 . . . . . 6
4 nnre 9769 . . . . . 6
53, 4syl 15 . . . . 5
6 leid 8932 . . . . 5
75, 6syl 15 . . . 4
82, 7jca 518 . . 3
9 eleq1 2356 . . . . . . 7
10 breq1 4042 . . . . . . . . 9
1110anbi2d 684 . . . . . . . 8
12 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11
1312sumeq1d 12190 . . . . . . . . . 10
1413mpteq2dv 4123 . . . . . . . . 9
1514eleq1d 2362 . . . . . . . 8
1611, 15imbi12d 311 . . . . . . 7
179, 16imbi12d 311 . . . . . 6
18 breq1 4042 . . . . . . . . . 10
1918anbi2d 684 . . . . . . . . 9
20 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
2120sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . 11
2221mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10
2322eleq1d 2362 . . . . . . . . 9
2419, 23imbi12d 311 . . . . . . . 8
25 breq1 4042 . . . . . . . . . 10
2625anbi2d 684 . . . . . . . . 9
27 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
2827sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . 11
2928mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10
3029eleq1d 2362 . . . . . . . . 9
3126, 30imbi12d 311 . . . . . . . 8
32 breq1 4042 . . . . . . . . . 10
3332anbi2d 684 . . . . . . . . 9
34 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
3534sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . 11
3635mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10
3736eleq1d 2362 . . . . . . . . 9
3833, 37imbi12d 311 . . . . . . . 8
39 breq1 4042 . . . . . . . . . 10
4039anbi2d 684 . . . . . . . . 9
41 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
4241sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . 11
4342mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10
4443eleq1d 2362 . . . . . . . . 9
4540, 44imbi12d 311 . . . . . . . 8
46 stoweidlem20.1 . . . . . . . . . . . 12
47 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
49 stoweidlem20.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
50 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
513, 50syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
52 eluzfz1 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5449, 53jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
572, 56jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5958anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
60 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6159, 60imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 stoweidlem20.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6461, 63vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6556, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6657, 65mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6967, 68jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . . 15
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
7448, 73jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
75 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . 14
7776fsum1 12230 . . . . . . . . . . . . 13
7874, 77syl 15 . . . . . . . . . . . 12
7946, 78mpteq2da 4121 . . . . . . . . . . 11
80 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13
8166, 80syl 15 . . . . . . . . . . . 12
82 dffn5 5584 . . . . . . . . . . . 12
8381, 82sylib 188 . . . . . . . . . . 11
8479, 83eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10
8584, 56eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9
8685adantr 451 . . . . . . . 8
87 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13
88 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13
89 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13
9087, 88, 893jca 1132 . . . . . . . . . . . 12
91 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93923ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9493lep1d 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9694, 95jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9897a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9993, 98readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10033ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101100, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10293, 99, 1013jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10596, 104mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15
10691, 105jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
10790, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13
109107, 108mpd 14 . . . . . . . . . . . 12
11090, 109jca 518 . . . . . . . . . . 11
111 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15
112 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15
11346, 111, 112nf3an 1786 . . . . . . . . . . . . . 14
114 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11550eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116114, 115sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1203, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1211203ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
122121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
123122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
124 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125124adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126118, 123, 1253jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
130129adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
131 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
132130, 131jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
133 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
134124, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
135134adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13699adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
137136adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138101adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
139138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
140135, 137, 1393jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
142140, 141syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
143132, 142mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144128, 143jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145126, 144jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146 elfz4 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147145, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149117, 147, 1483jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15149adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
152 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
153151, 152jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
154 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
155153, 154syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1561553adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
157150, 156jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
158 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
159158anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
160 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
161159, 160imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
162161, 63vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
163155, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1641633adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
165157, 164mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
166 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
167165, 166jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
168 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
170 recn 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
171169, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
172149, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
173 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174173fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175116, 172, 174fsump1 12235 . . . . . . . . . . . . . . 15
176 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
177 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
178 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
17947a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
180122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
181 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
182181adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
183179, 180, 1823jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
184 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
185184adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
186 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
187 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
188186, 187jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
189181, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
190189adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
19193adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
192 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
193192adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
194190, 191, 1933jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
195 letrp1 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
196194, 195syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
197 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
198196, 197jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
19999adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
200101adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
201190, 199, 2003jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
202201, 141syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
203198, 202mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
204188, 203syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
205185, 204jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
206183, 205jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
207206, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
208 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
209178, 207, 2083jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
210209, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
211177, 210fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
212176, 211jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
213 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
214213fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
215212, 214syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216215oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
217175, 216eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14
218113, 217mpteq2da 4121 . . . . . . . . . . . . 13
219218adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
220 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696   class class class wbr 4039   cmpt 4093   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  c1 8754   caddc 8756   cle 8884  cn 9762  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798  csu 12174 This theorem is referenced by:  stoweidlem32  27884 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
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