Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem20 Unicode version

Theorem stoweidlem20 27769
Description: If a set A of real functions from a common domain T is closed under the sum of two functions, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem20.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem20.2  |-  F  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
stoweidlem20.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem20.4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
stoweidlem20.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem20.6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem20  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Distinct variable groups:    f, g,
i, t, G    A, f, g    T, f, g, i, t    ph, f,
g, i    i, M, t
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t, i)    F( t, f, g, i)    M( f, g)

Proof of Theorem stoweidlem20
Dummy variables  y  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem20.2 . 2  |-  F  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
2 id 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ph )
3 stoweidlem20.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4 nnre 9753 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
6 leid 8916 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  M  <_  M )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
82, 7jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  M  <_  M ) )
9 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
n  e.  NN  <->  M  e.  NN ) )
10 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
n  <_  M  <->  M  <_  M ) )
1110anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
( ph  /\  n  <_  M )  <->  ( ph  /\  M  <_  M )
) )
12 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... M
) )
1312sumeq1d 12174 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)
1413mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
1514eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
1611, 15imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ph  /\  n  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  M  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
179, 16imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( n  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  n  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  M  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A ) ) ) )
18 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  M  <->  1  <_  M ) )
1918anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  1  <_  M )
) )
20 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... 1
) )
2120sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i
) `  t )
)
2221mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
2322eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
2419, 23imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  1  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
25 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  M  <->  y  <_  M ) )
2625anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  y  <_  M )
) )
27 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... y
) )
2827sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)
2928mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
3029eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
3126, 30imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  y  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
32 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  M  <->  ( y  +  1 )  <_  M ) )
3332anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M )
) )
34 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) )
3534sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i
) `  t )
)
3635mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
3736eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
3833, 37imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
39 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
x  <_  M  <->  n  <_  M ) )
4039anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  /\  x  <_  M )  <->  ( ph  /\  n  <_  M )
) )
41 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  (
1 ... x )  =  ( 1 ... n
) )
4241sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)
4342mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i
) `  t )
)  =  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
4443eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
4540, 44imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  x  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  n  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
46 stoweidlem20.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t
ph
47 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  ZZ )
49 stoweidlem20.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
50 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
513, 50syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
52 eluzfz1 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... M
) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
5449, 53jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... M ) --> A  /\  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
55 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : ( 1 ... M ) --> A  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( G `  1 )  e.  A )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  A )
572, 56jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A ) )
58 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  1 )  e.  A ) )
5958anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  1
)  e.  A ) ) )
60 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  1 ) : T --> RR ) )
6159, 60imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A )  -> 
( G `  1
) : T --> RR ) ) )
62 stoweidlem20.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
6461, 63vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  1 )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A )  ->  ( G `  1 ) : T --> RR ) )
6556, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ph  /\  ( G `  1 )  e.  A )  -> 
( G `  1
) : T --> RR ) )
6657, 65mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G `  1
) : T --> RR )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  1 ) : T --> RR )
68 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
6967, 68jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  1
) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
70 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  1
) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( G ` 
1 ) `  t
)  e.  RR )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  1
) `  t )  e.  RR )
72 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  1
) `  t )  e.  RR  ->  ( ( G `  1 ) `  t )  e.  CC )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  1
) `  t )  e.  CC )
7448, 73jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  ( ( G ` 
1 ) `  t
)  e.  CC ) )
75 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  1  ->  ( G `  i )  =  ( G ` 
1 ) )
7675fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
( G `  i
) `  t )  =  ( ( G `
 1 ) `  t ) )
7776fsum1 12214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( G ` 
1 ) `  t
)  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
)  =  ( ( G `  1 ) `
 t ) )
7874, 77syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  ( ( G `  1
) `  t )
)
7946, 78mpteq2da 4105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  1
) `  t )
) )
80 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  1 ) : T --> RR  ->  ( G `  1 )  Fn  T )
8166, 80syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  Fn  T )
82 dffn5 5568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  1 )  Fn  T  <->  ( G `  1 )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G ` 
1 ) `  t
) ) )
8381, 82sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  1 ) `
 t ) ) )
8479, 83eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  =  ( G `  1 ) )
8584, 56eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
8685adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... 1
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A )
87 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  ph )
88 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  y  e.  NN )
89 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
y  +  1 )  <_  M )
9087, 88, 893jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )
)
91 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ph )
92 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
93923ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  y  e.  RR )
9493lep1d 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  y  <_  ( y  +  1 ) )
95 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  <_  M )
9694, 95jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  <_  ( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M ) )
97 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
9897a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  1  e.  RR )
9993, 98readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
10033ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  M  e.  NN )
101100, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  M  e.  RR )
10293, 99, 1013jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
103 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( y  <_ 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  ->  y  <_  M ) )
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( (
y  <_  ( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  ->  y  <_  M )
)
10596, 104mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  y  <_  M )
10691, 105jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( ph  /\  y  <_  M )
)
10790, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  ( ph  /\  y  <_  M
) )
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
( ph  /\  y  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
109107, 108mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )
11090, 109jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
111 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t  y  e.  NN
112 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t ( y  +  1 )  <_  M
11346, 111, 112nf3an 1774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )
114 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  y  e.  NN )
11550eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  <->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
116114, 115sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
117 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ph )
11847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
119 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
1203, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1211203ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  M  e.  ZZ )
122121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ZZ )
123122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
124 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  ZZ )
125124adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
126118, 123, 1253jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
127 elfzle1 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  1  <_  i )
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  1  <_  i
)
129 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  i  <_  ( y  +  1 ) )
130129adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  <_  (
y  +  1 ) )
131 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( y  +  1 )  <_  M
)
132130, 131jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( i  <_ 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M ) )
133 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
134124, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) )  ->  i  e.  RR )
135134adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
13699adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
137136adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
138101adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  RR )
139138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
140135, 137, 1393jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( i  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
141 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( i  <_ 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  ->  i  <_  M ) )
142140, 141syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( ( i  <_  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  -> 
i  <_  M )
)
143132, 142mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  <_  M
)
144128, 143jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( 1  <_ 
i  /\  i  <_  M ) )
145126, 144jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
146 elfz4 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  M ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
147145, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
148 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  t  e.  T
)
149117, 147, 1483jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  T )
)
150 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ph )
15149adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
152 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
153151, 152jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G : ( 1 ... M ) --> A  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
154 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G : ( 1 ... M ) --> A  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( G `  i )  e.  A
)
155153, 154syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  i )  e.  A )
1561553adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  i )  e.  A )
157150, 156jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  ( G `  i )  e.  A
) )
158 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  i )  e.  A
) )
159158anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  i
)  e.  A ) ) )
160 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  i ) : T --> RR ) )
161159, 160imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  =  ( G `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  i )  e.  A )  -> 
( G `  i
) : T --> RR ) ) )
162161, 63vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G `  i )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  i )  e.  A )  ->  ( G `  i ) : T --> RR ) )
163155, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  ( G `  i )  e.  A )  ->  ( G `  i ) : T --> RR ) )
1641633adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ph  /\  ( G `  i )  e.  A )  ->  ( G `  i ) : T --> RR ) )
165157, 164mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  i ) : T --> RR )
166 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
167165, 166jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
168 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR )
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
170 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR  ->  ( ( G `  i ) `  t )  e.  CC )
171169, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  CC )
172149, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... ( y  +  1 ) ) )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  CC )
173 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  ( G `  i )  =  ( G `  ( y  +  1 ) ) )
174173fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( y  +  1 )  ->  (
( G `  i
) `  t )  =  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) )
175116, 172, 174fsump1 12219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) )
176 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
177 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... y )  e. 
Fin )
178 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ph )
17947a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  1  e.  ZZ )
180122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  M  e.  ZZ )
181 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  i  e.  ZZ )
182181adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  e.  ZZ )
183179, 180, 1823jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
184 elfzle1 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  1  <_  i )
185184adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  1  <_  i
)
186 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M ) )
187 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  e.  ( 1 ... y ) )
188186, 187jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  (
1 ... y ) ) )
189181, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  i  e.  RR )
190189adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  e.  RR )
19193adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  y  e.  RR )
192 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  e.  ( 1 ... y )  ->  i  <_  y )
193192adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  <_  y )
194190, 191, 1933jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
i  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  i  <_  y ) )
195 letrp1 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( i  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  i  <_  y )  ->  i  <_  ( y  +  1 ) )
196194, 195syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  <_  ( y  +  1 ) )
197 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
y  +  1 )  <_  M )
198196, 197jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
i  <_  ( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M )
)
19999adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
200101adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  M  e.  RR )
201190, 199, 2003jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
i  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  M  e.  RR )
)
202201, 141syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  (
( i  <_  (
y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  i  <_  M ) )
203198, 202mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  i  e.  ( 1 ... y
) )  ->  i  <_  M )
204188, 203syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  <_  M
)
205185, 204jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ( 1  <_ 
i  /\  i  <_  M ) )
206183, 205jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
207206, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
208 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  t  e.  T
)
209178, 207, 2083jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  T )
)
210209, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... y ) )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
211177, 210fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
212176, 211jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR ) )
213 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )
214213fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  T  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )
215212, 214syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )
216215oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t )  +  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) )
217175, 216eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t )  =  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) )
218113, 217mpteq2da 4105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) `  t )  +  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
219218adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
220 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )
)
22147a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  1  e.  ZZ )
222 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
223 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
224222, 223syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ZZ )
2252243ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ZZ )
226221, 121, 2253jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  e.  ZZ ) )
227 nnge1 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  NN  ->  1  <_  ( y  +  1 ) )
228222, 227syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <_  ( y  +  1 ) )
2292283ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  1  <_  ( y  +  1 ) )
230229, 95jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( 1  <_  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <_  M ) )
231226, 230jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  (
y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) ) )
232 elfz4 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  M ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
233231, 232syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
23491, 233jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) )
235 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
23649adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
237 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
238236, 237jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G : ( 1 ... M ) --> A  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) )
239 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G : ( 1 ... M ) --> A  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)
240238, 239syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )
241235, 240jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
) )
242241simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )
243234, 242syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)
24491, 243jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( ph  /\  ( G `  (
y  +  1 ) )  e.  A ) )
245 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)
246 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
f  e.  A  <->  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
) )
247246anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( G `  (
y  +  1 ) )  e.  A ) ) )
248 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR ) )
249247, 248imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( G `  ( y  +  1 ) )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( G `  (
y  +  1 ) ) : T --> RR ) ) )
250249, 63vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A  ->  (
( ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A )  -> 
( G `  (
y  +  1 ) ) : T --> RR ) )
251245, 250syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR ) )
252251pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR )
253244, 252syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR )
254220, 253syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR )
255254, 176jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  (
y  +  1 ) ) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
256 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G `  (
y  +  1 ) ) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
)  e.  RR )
257255, 256syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  (
y  +  1 ) ) `  t )  e.  RR )
258176, 257jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
)  e.  RR ) )
259 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) )
260259fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) `
 t )  =  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) )
261258, 260syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) ) `  t
)  =  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )
262261oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) `  t ) )  =  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) )
263113, 262mpteq2da 4105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
264263adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) ) `  t
)  +  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
265 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ph )
266 biid 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A )
267266biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
268267adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
269233adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
270265, 269jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) )
271 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) : T --> RR  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  Fn  T )
272252, 271syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  Fn  T
)
273 dffn5 5568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  ( y  +  1 ) )  Fn  T  <->  ( G `  ( y  +  1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) )
274272, 273sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( G `  ( y  +  1 ) )  e.  A
)  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) ) )
275241, 274syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( y  +  1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) ) )
276275, 240eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  (
y  +  1 ) ) `  t ) )  e.  A )
277270, 276syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) )  e.  A )
278265, 268, 2773jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( ph  /\  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) )  e.  A
) )
279 stoweidlem20.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
280 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )
281 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) )
282279, 280, 281stoweidlem8 27757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) )  e.  A )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `  t
) ) `  t
) ) )  e.  A )
283278, 282syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
) `  t )  +  ( ( t  e.  T  |->  ( ( G `  ( y  +  1 ) ) `
 t ) ) `
 t ) ) )  e.  A )
284264, 283eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
) `  t )  +  ( ( G `
 ( y  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  A )
285219, 284eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN  /\  ( y  +  1 )  <_  M )  /\  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
286110, 285syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  /\  ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
) )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A )
287286ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )  ->  (
( ph  /\  (
y  +  1 )  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( y  +  1 ) ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )
288287ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  y  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... y ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  ( y  +  1 )  <_  M
)  ->  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
y  +  1 ) ) ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  A ) ) )
28924, 31, 38, 45, 86, 288nnind 9764 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ph  /\  n  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) )
290289a1i 10 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  n  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) ) )
29117, 290vtoclga 2849 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  M  <_  M )  ->  (
t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)  e.  A ) ) )
2923, 291syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  ->  ( ( ph  /\  M  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) ) )
2933, 292mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ph  /\  M  <_  M )  -> 
( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
) )
2948, 293mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )  e.  A
)
2951, 294syl5eqel 2367 1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  stoweidlem32  27781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator