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Theorem stoweidlem21 27770
Description: Once the Stone Weierstrass theorem has been proven for approximating nonnegative functions, then this lemma is used to extend the result to functions with (possibly) negative values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem21.1  |-  F/_ t G
stoweidlem21.2  |-  F/_ t H
stoweidlem21.3  |-  F/_ t S
stoweidlem21.4  |-  F/ t
ph
stoweidlem21.5  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  S
) )
stoweidlem21.6  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
stoweidlem21.7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
stoweidlem21.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem21.9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem21.10  |-  ( ph  ->  A. f  e.  A  f : T --> RR )
stoweidlem21.11  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
stoweidlem21.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( H `  t )  -  ( ( F `
 t )  -  S ) ) )  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem21  |-  ( ph  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    A, f,
g    f, E, g    f, F, g    f, G, g   
f, H, g    ph, f,
g    S, g    x, t, T    x, A    x, S    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)    S( t, f)    E( x, t)    F( x, t)    G( x, t)    H( x, t)

Proof of Theorem stoweidlem21
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem21.5 . . . . 5  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  S
) )
2 stoweidlem21.4 . . . . . 6  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem21.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
43adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  RR )
5 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
64, 5jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( S  e.  RR  /\  t  e.  T ) )
7 fvconst2g 5727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( T  X.  { S } ) `  t )  =  S )
86, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( T  X.  { S } ) `  t
)  =  S )
98eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  =  ( ( T  X.  { S }
) `  t )
)
109oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( H `  t
)  +  S )  =  ( ( H `
 t )  +  ( ( T  X.  { S } ) `  t ) ) )
112, 10mpteq2da 4105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  S
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t
)  +  ( ( T  X.  { S } ) `  t
) ) ) )
121, 11syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  ( ( T  X.  { S }
) `  t )
) ) )
13 id 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ph )
14 stoweidlem21.11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
15 fconstmpt 4732 . . . . . . . 8  |-  ( T  X.  { S }
)  =  ( s  e.  T  |->  S )
16 stoweidlem21.3 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t S
17 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s S
18 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  t  ->  S  =  S )
1916, 17, 18cbvmpt 4110 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  T  |->  S )  =  ( t  e.  T  |->  S )
2015, 19eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( T  X.  { S }
)  =  ( t  e.  T  |->  S )
21 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
x
2221, 16nfeq 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  x  =  S
23 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  S  /\  t  e.  T )  ->  x  =  S )
2422, 23mpteq2da 4105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  S  ->  (
t  e.  T  |->  x )  =  ( t  e.  T  |->  S ) )
2524eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  S  ->  (
( t  e.  T  |->  x )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  S )  e.  A ) )
2625imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  S  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  S )  e.  A
) ) )
27 stoweidlem21.9 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
2827expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A ) )
2926, 28vtoclga 2849 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  S )  e.  A ) )
303, 29mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  S )  e.  A
)
3120, 30syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T  X.  { S } )  e.  A
)
3213, 14, 313jca 1132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  H  e.  A  /\  ( T  X.  { S }
)  e.  A ) )
33 stoweidlem21.8 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
34 stoweidlem21.2 . . . . . 6  |-  F/_ t H
35 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ t T
3616nfsn 3691 . . . . . . 7  |-  F/_ t { S }
3735, 36nfxp 4715 . . . . . 6  |-  F/_ t
( T  X.  { S } )
3833, 34, 37stoweidlem8 27757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  H  e.  A  /\  ( T  X.  { S } )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( H `  t
)  +  ( ( T  X.  { S } ) `  t
) ) )  e.  A )
3932, 38syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  ( ( T  X.  { S } ) `  t
) ) )  e.  A )
4012, 39eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
41 stoweidlem21.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. f  e.  A  f : T --> RR )
4241, 14jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  A  f : T --> RR  /\  H  e.  A
) )
43 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  H  ->  (
f : T --> RR  <->  H : T
--> RR ) )
4443rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. f  e.  A  f : T --> RR  /\  H  e.  A )  ->  H : T --> RR )
4542, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H : T --> RR )
4645fnvinran 27685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  e.  RR )
4746, 4readdcld 8862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( H `  t
)  +  S )  e.  RR )
485, 47jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( H `  t )  +  S
)  e.  RR ) )
491fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( H `  t )  +  S
)  e.  RR )  ->  ( G `  t )  =  ( ( H `  t
)  +  S ) )
5048, 49syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  ( ( H `
 t )  +  S ) )
5150oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  -  ( F `
 t ) )  =  ( ( ( H `  t )  +  S )  -  ( F `  t ) ) )
5246recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  e.  CC )
53 stoweidlem21.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
5453fnvinran 27685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
5554recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
563recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  CC )
5852, 55, 573jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( H `  t
)  e.  CC  /\  ( F `  t )  e.  CC  /\  S  e.  CC ) )
59 subsub3 9079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H `  t
)  e.  CC  /\  ( F `  t )  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  (
( H `  t
)  -  ( ( F `  t )  -  S ) )  =  ( ( ( H `  t )  +  S )  -  ( F `  t ) ) )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( H `  t
)  -  ( ( F `  t )  -  S ) )  =  ( ( ( H `  t )  +  S )  -  ( F `  t ) ) )
6160eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( H `  t )  +  S
)  -  ( F `
 t ) )  =  ( ( H `
 t )  -  ( ( F `  t )  -  S
) ) )
6251, 61eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  -  ( F `
 t ) )  =  ( ( H `
 t )  -  ( ( F `  t )  -  S
) ) )
6362fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( G `
 t )  -  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( ( H `  t )  -  ( ( F `
 t )  -  S ) ) ) )
64 stoweidlem21.12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( H `  t )  -  ( ( F `
 t )  -  S ) ) )  <  E )
6564r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( H `
 t )  -  ( ( F `  t )  -  S
) ) )  < 
E )
6663, 65eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( G `
 t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E
)
6766ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  (
( G `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  E ) )
682, 67ralrimi 2624 . . 3  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
6940, 68jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E ) )
70 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ t
f
71 stoweidlem21.1 . . . . 5  |-  F/_ t G
7270, 71nfeq 2426 . . . 4  |-  F/ t  f  =  G
73 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  t )  =  ( G `  t ) )
7473oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  t
)  -  ( F `
 t ) )  =  ( ( G `
 t )  -  ( F `  t ) ) )
7574fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( abs `  ( ( f `
 t )  -  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t ) ) ) )
7675breq1d 4033 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( abs `  (
( f `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  E
) )
7772, 76ralbid 2561 . . 3  |-  ( f  =  G  ->  ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E  <->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  E
) )
7877rspcev 2884 . 2  |-  ( ( G  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
7969, 78syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   A.wral 2543   E.wrex 2544   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    < clt 8867    - cmin 9037   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
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