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Theorem stoweidlem21 27873
Description: Once the Stone Weierstrass theorem has been proven for approximating nonnegative functions, then this lemma is used to extend the result to functions with (possibly) negative values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem21.1  |-  F/_ t G
stoweidlem21.2  |-  F/_ t H
stoweidlem21.3  |-  F/_ t S
stoweidlem21.4  |-  F/ t
ph
stoweidlem21.5  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  S
) )
stoweidlem21.6  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
stoweidlem21.7  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
stoweidlem21.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem21.9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem21.10  |-  ( ph  ->  A. f  e.  A  f : T --> RR )
stoweidlem21.11  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
stoweidlem21.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( H `  t )  -  ( ( F `
 t )  -  S ) ) )  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem21  |-  ( ph  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    A, f,
g    f, E, g    f, F, g    f, G, g   
f, H, g    ph, f,
g    S, g    x, t, T    x, A    x, S    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)    S( t, f)    E( x, t)    F( x, t)    G( x, t)    H( x, t)

Proof of Theorem stoweidlem21
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem21.5 . . . . 5  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  S
) )
2 stoweidlem21.4 . . . . . 6  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem21.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
43adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  RR )
5 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
64, 5jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( S  e.  RR  /\  t  e.  T ) )
7 fvconst2g 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( T  X.  { S } ) `  t )  =  S )
86, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( T  X.  { S } ) `  t
)  =  S )
98eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  =  ( ( T  X.  { S }
) `  t )
)
109oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( H `  t
)  +  S )  =  ( ( H `
 t )  +  ( ( T  X.  { S } ) `  t ) ) )
112, 10mpteq2da 4121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  S
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t
)  +  ( ( T  X.  { S } ) `  t
) ) ) )
121, 11syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  ( ( T  X.  { S }
) `  t )
) ) )
13 id 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ph )
14 stoweidlem21.11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
15 fconstmpt 4748 . . . . . . . 8  |-  ( T  X.  { S }
)  =  ( s  e.  T  |->  S )
16 stoweidlem21.3 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t S
17 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s S
18 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  t  ->  S  =  S )
1916, 17, 18cbvmpt 4126 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  T  |->  S )  =  ( t  e.  T  |->  S )
2015, 19eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( T  X.  { S }
)  =  ( t  e.  T  |->  S )
21 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
x
2221, 16nfeq 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  x  =  S
23 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  S  /\  t  e.  T )  ->  x  =  S )
2422, 23mpteq2da 4121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  S  ->  (
t  e.  T  |->  x )  =  ( t  e.  T  |->  S ) )
2524eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  S  ->  (
( t  e.  T  |->  x )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  S )  e.  A ) )
2625imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  S  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )  <->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  S )  e.  A
) ) )
27 stoweidlem21.9 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
2827expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A ) )
2926, 28vtoclga 2862 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  RR  ->  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  S )  e.  A ) )
303, 29mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  S )  e.  A
)
3120, 30syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T  X.  { S } )  e.  A
)
3213, 14, 313jca 1132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  H  e.  A  /\  ( T  X.  { S }
)  e.  A ) )
33 stoweidlem21.8 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
34 stoweidlem21.2 . . . . . 6  |-  F/_ t H
35 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ t T
3616nfsn 3704 . . . . . . 7  |-  F/_ t { S }
3735, 36nfxp 4731 . . . . . 6  |-  F/_ t
( T  X.  { S } )
3833, 34, 37stoweidlem8 27860 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  H  e.  A  /\  ( T  X.  { S } )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( H `  t
)  +  ( ( T  X.  { S } ) `  t
) ) )  e.  A )
3932, 38syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( H `  t )  +  ( ( T  X.  { S } ) `  t
) ) )  e.  A )
4012, 39eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
41 stoweidlem21.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. f  e.  A  f : T --> RR )
4241, 14jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  A  f : T --> RR  /\  H  e.  A
) )
43 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  H  ->  (
f : T --> RR  <->  H : T
--> RR ) )
4443rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. f  e.  A  f : T --> RR  /\  H  e.  A )  ->  H : T --> RR )
4542, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H : T --> RR )
4645fnvinran 27788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  e.  RR )
4746, 4readdcld 8878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( H `  t
)  +  S )  e.  RR )
485, 47jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( H `  t )  +  S
)  e.  RR ) )
491fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( H `  t )  +  S
)  e.  RR )  ->  ( G `  t )  =  ( ( H `  t
)  +  S ) )
5048, 49syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  ( ( H `
 t )  +  S ) )
5150oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  -  ( F `
 t ) )  =  ( ( ( H `  t )  +  S )  -  ( F `  t ) ) )
5246recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  e.  CC )
53 stoweidlem21.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
5453fnvinran 27788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
5554recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
563recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  S  e.  CC )
5852, 55, 573jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( H `  t
)  e.  CC  /\  ( F `  t )  e.  CC  /\  S  e.  CC ) )
59 subsub3 9095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H `  t
)  e.  CC  /\  ( F `  t )  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  (
( H `  t
)  -  ( ( F `  t )  -  S ) )  =  ( ( ( H `  t )  +  S )  -  ( F `  t ) ) )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( H `  t
)  -  ( ( F `  t )  -  S ) )  =  ( ( ( H `  t )  +  S )  -  ( F `  t ) ) )
6160eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( H `  t )  +  S
)  -  ( F `
 t ) )  =  ( ( H `
 t )  -  ( ( F `  t )  -  S
) ) )
6251, 61eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  -  ( F `
 t ) )  =  ( ( H `
 t )  -  ( ( F `  t )  -  S
) ) )
6362fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( G `
 t )  -  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( ( H `  t )  -  ( ( F `
 t )  -  S ) ) ) )
64 stoweidlem21.12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( H `  t )  -  ( ( F `
 t )  -  S ) ) )  <  E )
6564r19.21bi 2654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( H `
 t )  -  ( ( F `  t )  -  S
) ) )  < 
E )
6663, 65eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( G `
 t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E
)
6766ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  (
( G `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  E ) )
682, 67ralrimi 2637 . . 3  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
6940, 68jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E ) )
70 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ t
f
71 stoweidlem21.1 . . . . 5  |-  F/_ t G
7270, 71nfeq 2439 . . . 4  |-  F/ t  f  =  G
73 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  t )  =  ( G `  t ) )
7473oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  t
)  -  ( F `
 t ) )  =  ( ( G `
 t )  -  ( F `  t ) ) )
7574fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( abs `  ( ( f `
 t )  -  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t ) ) ) )
7675breq1d 4049 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( abs `  (
( f `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  E
) )
7772, 76ralbid 2574 . . 3  |-  ( f  =  G  ->  ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E  <->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  E
) )
7877rspcev 2897 . 2  |-  ( ( G  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( G `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
7969, 78syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419   A.wral 2556   E.wrex 2557   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    + caddc 8756    < clt 8883    - cmin 9053   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  27914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055
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