Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem22 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem22 27749
 Description: If a set of real functions from a common domain is closed under addition, multiplication and it contains constants, then it is closed under subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem22.8
stoweidlem22.9
stoweidlem22.10
stoweidlem22.1
stoweidlem22.2
stoweidlem22.3
stoweidlem22.4
stoweidlem22.5
stoweidlem22.6
stoweidlem22.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem22
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem stoweidlem22
StepHypRef Expression
1 stoweidlem22.8 . . . 4
2 stoweidlem22.9 . . . . 5
32nfel1 2584 . . . 4
4 stoweidlem22.10 . . . . 5
54nfel1 2584 . . . 4
61, 3, 5nf3an 1850 . . 3
7 simpr 449 . . . . . . 7
8 simpl1 961 . . . . . . . . . 10
9 stoweidlem22.2 . . . . . . . . . . . 12
10 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . 14
1110renegcli 9364 . . . . . . . . . . . . 13
12 stoweidlem22.7 . . . . . . . . . . . . . 14
1312stoweidlem4 27731 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 13mpan2 654 . . . . . . . . . . . 12
159, 14syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . 11
16 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14
18 feq1 5578 . . . . . . . . . . . . . 14
1917, 18imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13
20 stoweidlem22.4 . . . . . . . . . . . . 13
2119, 20vtoclg 3013 . . . . . . . . . . . 12
2221anabsi7 794 . . . . . . . . . . 11
2315, 22mpdan 651 . . . . . . . . . 10
248, 23syl 16 . . . . . . . . 9
2524, 7ffvelrnd 5873 . . . . . . . 8
26 simpl3 963 . . . . . . . . 9
27 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14
29 feq1 5578 . . . . . . . . . . . . . 14
3028, 29imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13
3130, 20vtoclg 3013 . . . . . . . . . . . 12
3231anabsi7 794 . . . . . . . . . . 11
33323adant3 978 . . . . . . . . . 10
34 simp3 960 . . . . . . . . . 10
3533, 34ffvelrnd 5873 . . . . . . . . 9
368, 26, 7, 35syl3anc 1185 . . . . . . . 8
3725, 36remulcld 9118 . . . . . . 7
38 stoweidlem22.3 . . . . . . . 8
3938fvmpt2 5814 . . . . . . 7
407, 37, 39syl2anc 644 . . . . . 6
419fvmpt2 5814 . . . . . . . . 9
4211, 41mpan2 654 . . . . . . . 8
4342adantl 454 . . . . . . 7
4443oveq1d 6098 . . . . . 6
4536recnd 9116 . . . . . . 7
4645mulm1d 9487 . . . . . 6
4740, 44, 463eqtrd 2474 . . . . 5
4847oveq2d 6099 . . . 4
49 simpl2 962 . . . . . . . 8
50 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12
5150anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11
52 feq1 5578 . . . . . . . . . . 11
5351, 52imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
5453, 20vtoclg 3013 . . . . . . . . 9
5554anabsi7 794 . . . . . . . 8
568, 49, 55syl2anc 644 . . . . . . 7
5756, 7ffvelrnd 5873 . . . . . 6
5857recnd 9116 . . . . 5
5958, 45negsubd 9419 . . . 4
6048, 59eqtr2d 2471 . . 3
616, 60mpteq2da 4296 . 2
62153ad2ant1 979 . . . . 5
63 nfmpt1 4300 . . . . . . . 8
649, 63nfcxfr 2571 . . . . . . 7
6564nfeq2 2585 . . . . . 6
664nfeq2 2585 . . . . . 6
67 stoweidlem22.6 . . . . . 6
6865, 66, 67stoweidlem6 27733 . . . . 5
6962, 68syld3an2 1232 . . . 4
7038, 69syl5eqel 2522 . . 3
71 stoweidlem22.5 . . . 4
72 nfmpt1 4300 . . . . 5
7338, 72nfcxfr 2571 . . . 4
7471, 2, 73stoweidlem8 27735 . . 3
7570, 74syld3an3 1230 . 2
7661, 75eqeltrd 2512 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cr 8991  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   cmin 9293  cneg 9294 This theorem is referenced by:  stoweidlem33  27760 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127  df-sub 9295  df-neg 9296
 Copyright terms: Public domain W3C validator