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Theorem stoweidlem22 27771
Description: If a set of real functions from a common domain is closed under addition, multiplication and it contains constants, then it is closed under subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem22.8  |-  F/ t
ph
stoweidlem22.9  |-  F/_ t F
stoweidlem22.10  |-  F/_ t G
stoweidlem22.1  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  ( G `  t )
) )
stoweidlem22.2  |-  I  =  ( t  e.  T  |-> 
-u 1 )
stoweidlem22.3  |-  L  =  ( t  e.  T  |->  ( ( I `  t )  x.  ( G `  t )
) )
stoweidlem22.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem22.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem22.6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem22.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem22  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  ( G `  t ) ) )  e.  A )
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, F, g    f, G, g    f, I, g    T, f, g, t    ph, f, g    g, L    x, t, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( x, t)    G( x, t)    H( x, t, f, g)    I( x, t)    L( x, t, f)

Proof of Theorem stoweidlem22
StepHypRef Expression
1 stoweidlem22.1 . 2  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  ( G `  t )
) )
2 stoweidlem22.8 . . . . . 6  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem22.9 . . . . . . 7  |-  F/_ t F
4 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ t A
53, 4nfel 2427 . . . . . 6  |-  F/ t  F  e.  A
6 stoweidlem22.10 . . . . . . 7  |-  F/_ t G
76, 4nfel 2427 . . . . . 6  |-  F/ t  G  e.  A
82, 5, 7nf3an 1774 . . . . 5  |-  F/ t ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )
9 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
10 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ph )
11 stoweidlem22.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  I  =  ( t  e.  T  |-> 
-u 1 )
12 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
13 renegcl 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  RR  ->  -u 1  e.  RR )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u 1  e.  RR
1514jctr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  -u 1  e.  RR ) )
16 stoweidlem22.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
1716stoweidlem4 27753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -u 1  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  -u
1 )  e.  A
)
1815, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
-u 1 )  e.  A )
1911, 18syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  A )
2019ancli 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  e.  A ) )
21 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  I  e.  A )  ->  I  e.  A )
22 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  I  ->  (
f  e.  A  <->  I  e.  A ) )
2322anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  I  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  I  e.  A ) ) )
24 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  I  ->  (
f : T --> RR  <->  I : T
--> RR ) )
2523, 24imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  I  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  I  e.  A )  ->  I : T --> RR ) ) )
26 stoweidlem22.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
2726a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
2825, 27vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  A  ->  (
( ph  /\  I  e.  A )  ->  I : T --> RR ) )
2921, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  I  e.  A )  ->  (
( ph  /\  I  e.  A )  ->  I : T --> RR ) )
3029pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  I  e.  A )  ->  I : T --> RR )
3120, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I : T --> RR )
3210, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  I : T --> RR )
3332, 9jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
I : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
34 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( I `  t
)  e.  RR )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
I `  t )  e.  RR )
36 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  G  e.  A )
3710, 36, 93jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  G  e.  A  /\  t  e.  T
) )
38 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  t  e.  T
)  ->  ( ph  /\  G  e.  A ) )
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A )  ->  G  e.  A )
40 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A )  ->  ( ph  /\  G  e.  A
) )
41 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  G  ->  (
f  e.  A  <->  G  e.  A ) )
4241anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  G  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  G  e.  A ) ) )
43 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  G  ->  (
f : T --> RR  <->  G : T
--> RR ) )
4442, 43imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  G  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  G  e.  A )  ->  G : T --> RR ) ) )
4544, 27vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  A  ->  (
( ph  /\  G  e.  A )  ->  G : T --> RR ) )
4639, 40, 45sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A )  ->  G : T --> RR )
4738, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  t  e.  T
)  ->  G : T
--> RR )
48 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  t  e.  T
)  ->  t  e.  T )
4947, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  t  e.  T
)  ->  ( G : T --> RR  /\  t  e.  T ) )
50 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t
)  e.  RR )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  t  e.  T
)  ->  ( G `  t )  e.  RR )
5237, 51syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  RR )
5335, 52jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
( I `  t
)  e.  RR  /\  ( G `  t )  e.  RR ) )
54 remulcl 8822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I `  t
)  e.  RR  /\  ( G `  t )  e.  RR )  -> 
( ( I `  t )  x.  ( G `  t )
)  e.  RR )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
( I `  t
)  x.  ( G `
 t ) )  e.  RR )
569, 55jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( I `  t )  x.  ( G `  t )
)  e.  RR ) )
57 stoweidlem22.3 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( t  e.  T  |->  ( ( I `  t )  x.  ( G `  t )
) )
5857fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( I `  t )  x.  ( G `  t )
)  e.  RR )  ->  ( L `  t )  =  ( ( I `  t
)  x.  ( G `
 t ) ) )
5956, 58syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( L `  t )  =  ( ( I `
 t )  x.  ( G `  t
) ) )
6011fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  T  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( I `  t )  =  -u
1 )
6114, 60mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  T  ->  (
I `  t )  =  -u 1 )
6261adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
I `  t )  =  -u 1 )
6362oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
( I `  t
)  x.  ( G `
 t ) )  =  ( -u 1  x.  ( G `  t
) ) )
64 recn 8827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  t )  e.  RR  ->  ( G `  t )  e.  CC )
6552, 64syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  CC )
66 mulm1 9221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  t )  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( G `
 t ) )  =  -u ( G `  t ) )
6765, 66syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( -u 1  x.  ( G `
 t ) )  =  -u ( G `  t ) )
6859, 63, 673eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( L `  t )  =  -u ( G `  t ) )
6968oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  ( L `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  + 
-u ( G `  t ) ) )
70 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  F  e.  A )
7110, 70jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  F  e.  A
) )
72 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A )  ->  F  e.  A )
73 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A )  ->  ( ph  /\  F  e.  A
) )
74 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e.  A  <->  F  e.  A ) )
7574anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  F  e.  A ) ) )
76 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
f : T --> RR  <->  F : T
--> RR ) )
7775, 76imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) ) )
7877, 27vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR ) )
7972, 73, 78sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A )  ->  F : T --> RR )
8071, 79syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  F : T --> RR )
8180, 9jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
82 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
8381, 82syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
84 recn 8827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  t )  e.  RR  ->  ( F `  t )  e.  CC )
8583, 84syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
8685, 65jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  CC  /\  ( G `  t )  e.  CC ) )
87 negsub 9095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  CC  /\  ( G `  t )  e.  CC )  -> 
( ( F `  t )  +  -u ( G `  t ) )  =  ( ( F `  t )  -  ( G `  t ) ) )
8886, 87syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  +  -u ( G `  t )
)  =  ( ( F `  t )  -  ( G `  t ) ) )
8969, 88eqtr2d 2316 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  -  ( G `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  +  ( L `  t
) ) )
908, 89mpteq2da 4105 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  ( G `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `
 t )  +  ( L `  t
) ) ) )
911, 90syl5eq 2327 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( L `  t ) ) ) )
92 simp1 955 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ph )
93 simp2 956 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  F  e.  A )
94193ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  I  e.  A )
95 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  G  e.  A )
9692, 94, 953jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( ph  /\  I  e.  A  /\  G  e.  A )
)
97 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
f
98 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( t  e.  T  |-> 
-u 1 )
9911, 98nfcxfr 2416 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
I
10097, 99nfeq 2426 . . . . . . . 8  |-  F/ t  f  =  I
101 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
g
102101, 6nfeq 2426 . . . . . . . 8  |-  F/ t  g  =  G
103 stoweidlem22.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
104100, 102, 103stoweidlem6 27755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( I `  t )  x.  ( G `  t ) ) )  e.  A )
10596, 104syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( I `  t )  x.  ( G `  t ) ) )  e.  A )
10657, 105syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  L  e.  A )
10792, 93, 1063jca 1132 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( ph  /\  F  e.  A  /\  L  e.  A )
)
108 stoweidlem22.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
109 nfmpt1 4109 . . . . . 6  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( I `  t )  x.  ( G `  t )
) )
11057, 109nfcxfr 2416 . . . . 5  |-  F/_ t L
111108, 3, 110stoweidlem8 27757 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  L  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( L `  t ) ) )  e.  A )
112107, 111syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( L `  t ) ) )  e.  A )
11391, 112eqeltrd 2357 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  H  e.  A )
1141, 113syl5eqelr 2368 1  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  ( G `  t ) ) )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  stoweidlem33  27782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
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