Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem23 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem23 27762
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in the beginning of Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem23.1
stoweidlem23.2
stoweidlem23.3
stoweidlem23.4
stoweidlem23.5
stoweidlem23.6
stoweidlem23.7
stoweidlem23.8
stoweidlem23.9
stoweidlem23.10
Assertion
Ref Expression
stoweidlem23
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   (,,,)   ()

Proof of Theorem stoweidlem23
StepHypRef Expression
1 stoweidlem23.3 . . 3
2 stoweidlem23.1 . . . . 5
3 stoweidlem23.9 . . . . . . . . 9
43ancli 536 . . . . . . . . 9
5 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12
65anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11
7 feq1 5579 . . . . . . . . . . 11
86, 7imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
9 stoweidlem23.4 . . . . . . . . . 10
108, 9vtoclg 3013 . . . . . . . . 9
113, 4, 10sylc 59 . . . . . . . 8
1211fnvinran 27675 . . . . . . 7
1312recnd 9119 . . . . . 6
14 stoweidlem23.8 . . . . . . . . 9
1511, 14ffvelrnd 5874 . . . . . . . 8
1615adantr 453 . . . . . . 7
1716recnd 9119 . . . . . 6
1813, 17negsubd 9422 . . . . 5
192, 18mpteq2da 4297 . . . 4
20 simpr 449 . . . . . . . 8
2115renegcld 9469 . . . . . . . . 9
2221adantr 453 . . . . . . . 8
23 eqid 2438 . . . . . . . . 9
2423fvmpt2 5815 . . . . . . . 8
2520, 22, 24syl2anc 644 . . . . . . 7
2625oveq2d 6100 . . . . . 6
272, 26mpteq2da 4297 . . . . 5
2821ancli 536 . . . . . . 7
29 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
3029anbi2d 686 . . . . . . . . 9
31 stoweidlem23.2 . . . . . . . . . . . . . 14
32 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32nffv 5738 . . . . . . . . . . . . 13
3433nfneg 9307 . . . . . . . . . . . 12
3534nfeq2 2585 . . . . . . . . . . 11
36 simpl 445 . . . . . . . . . . 11
3735, 36mpteq2da 4297 . . . . . . . . . 10
3837eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
3930, 38imbi12d 313 . . . . . . . 8
40 stoweidlem23.6 . . . . . . . 8
4139, 40vtoclg 3013 . . . . . . 7
4221, 28, 41sylc 59 . . . . . 6
43 stoweidlem23.5 . . . . . . 7
44 nfmpt1 4301 . . . . . . 7
4543, 31, 44stoweidlem8 27747 . . . . . 6
463, 42, 45mpd3an23 1282 . . . . 5
4727, 46eqeltrrd 2513 . . . 4
4819, 47eqeltrrd 2513 . . 3
491, 48syl5eqel 2522 . 2
50 stoweidlem23.7 . . . . . 6
5111, 50ffvelrnd 5874 . . . . 5
5251recnd 9119 . . . 4
5315recnd 9119 . . . 4
54 stoweidlem23.10 . . . 4
5552, 53, 54subne0d 9425 . . 3
5651, 15resubcld 9470 . . . 4
57 nfcv 2574 . . . . 5
5831, 57nffv 5738 . . . . . 6
59 nfcv 2574 . . . . . 6
6058, 59, 33nfov 6107 . . . . 5
61 fveq2 5731 . . . . . 6
6261oveq1d 6099 . . . . 5
6357, 60, 62, 1fvmptf 5824 . . . 4
6450, 56, 63syl2anc 644 . . 3
6515, 15resubcld 9470 . . . . 5
6633, 59, 33nfov 6107 . . . . . 6
67 fveq2 5731 . . . . . . 7
6867oveq1d 6099 . . . . . 6
6932, 66, 68, 1fvmptf 5824 . . . . 5
7014, 65, 69syl2anc 644 . . . 4
7153subidd 9404 . . . 4
7270, 71eqtrd 2470 . . 3
7355, 64, 723netr4d 2630 . 2
7449, 73, 723jca 1135 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561   wne 2601   cmpt 4269  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cr 8994  cc0 8995   caddc 8998   cmin 9296  cneg 9297 This theorem is referenced by:  stoweidlem43  27782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-sub 9298  df-neg 9299
 Copyright terms: Public domain W3C validator