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Theorem stoweidlem23 27772
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in the beginning of Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem23.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem23.2  |-  F/_ t G
stoweidlem23.3  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  -  ( G `  Z )
) )
stoweidlem23.4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem23.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem23.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem23.7  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
stoweidlem23.8  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
stoweidlem23.9  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
stoweidlem23.10  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =/=  ( G `
 Z ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem23  |-  ( ph  ->  ( H  e.  A  /\  ( H `  S
)  =/=  ( H `
 Z )  /\  ( H `  Z )  =  0 ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    A, f,
g    f, G, g    ph, f,
g    g, Z, t    x, t, T    t, S    x, A    x, G    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)    S( x, f, g)    G( t)    H( x, t, f, g)    Z( f)

Proof of Theorem stoweidlem23
StepHypRef Expression
1 stoweidlem23.3 . . 3  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  -  ( G `  Z )
) )
2 stoweidlem23.1 . . . . 5  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem23.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
43ancli 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  G  e.  A ) )
5 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  G  ->  (
f  e.  A  <->  G  e.  A ) )
65anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  G  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  <->  ( ph  /\  G  e.  A ) ) )
7 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  G  ->  (
f : T --> RR  <->  G : T
--> RR ) )
86, 7imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  G  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  G  e.  A )  ->  G : T --> RR ) ) )
9 stoweidlem23.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
109a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  A  ->  (
( ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR ) )
118, 10vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  A  ->  (
( ph  /\  G  e.  A )  ->  G : T --> RR ) )
123, 11syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ph  /\  G  e.  A )  ->  G : T --> RR ) )
134, 12mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : T --> RR )
1413adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  G : T --> RR )
15 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
1614, 15jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
17 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t
)  e.  RR )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  RR )
19 recn 8827 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  t )  e.  RR  ->  ( G `  t )  e.  CC )
2018, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  CC )
21 stoweidlem23.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
2213, 21jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : T --> RR  /\  Z  e.  T
) )
23 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : T --> RR  /\  Z  e.  T )  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
2524adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  Z )  e.  RR )
26 recn 8827 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  Z )  e.  RR  ->  ( G `  Z )  e.  CC )
2725, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  Z )  e.  CC )
2820, 27jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  e.  CC  /\  ( G `  Z )  e.  CC ) )
29 negsub 9095 . . . . . 6  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  CC  /\  ( G `  Z )  e.  CC )  -> 
( ( G `  t )  +  -u ( G `  Z ) )  =  ( ( G `  t )  -  ( G `  Z ) ) )
3028, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  +  -u ( G `  Z )
)  =  ( ( G `  t )  -  ( G `  Z ) ) )
312, 30mpteq2da 4105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  +  -u ( G `  Z ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  -  ( G `
 Z ) ) ) )
32 renegcl 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  Z )  e.  RR  ->  -u ( G `  Z )  e.  RR )
3324, 32syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( G `  Z )  e.  RR )
3433adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  -u ( G `  Z )  e.  RR )
3515, 34jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  -u ( G `  Z
)  e.  RR ) )
36 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z )
)  =  ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z )
)
3736fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  /\  -u ( G `  Z
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z )
) `  t )  =  -u ( G `  Z ) )
3835, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |-> 
-u ( G `  Z ) ) `  t )  =  -u ( G `  Z ) )
3938oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z ) ) `  t ) )  =  ( ( G `  t )  +  -u ( G `  Z ) ) )
402, 39mpteq2da 4105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  +  ( ( t  e.  T  |-> 
-u ( G `  Z ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `
 t )  + 
-u ( G `  Z ) ) ) )
41 id 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ph )
4241, 33jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  -u ( G `  Z )  e.  RR ) )
43 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( G `  Z )  ->  (
x  e.  RR  <->  -u ( G `
 Z )  e.  RR ) )
4443anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u ( G `  Z )  ->  (
( ph  /\  x  e.  RR )  <->  ( ph  /\  -u ( G `  Z
)  e.  RR ) ) )
45 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
x
46 stoweidlem23.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t G
47 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t Z
4846, 47nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( G `  Z
)
4948nfneg 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t -u ( G `  Z
)
5045, 49nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t  x  =  -u ( G `  Z )
51 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  -u ( G `  Z )  /\  t  e.  T
)  ->  x  =  -u ( G `  Z
) )
5250, 51mpteq2da 4105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( G `  Z )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  =  ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z )
) )
5352eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u ( G `  Z )  ->  (
( t  e.  T  |->  x )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z ) )  e.  A ) )
5444, 53imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u ( G `  Z )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  -u ( G `  Z
)  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z ) )  e.  A ) ) )
55 stoweidlem23.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
5655a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ph  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A ) )
5754, 56vtoclga 2849 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( G `  Z )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  -u ( G `  Z )  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  -u ( G `  Z ) )  e.  A ) )
5833, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ph  /\  -u ( G `  Z
)  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z ) )  e.  A ) )
5942, 58mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |-> 
-u ( G `  Z ) )  e.  A )
6041, 3, 593jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  G  e.  A  /\  (
t  e.  T  |->  -u ( G `  Z ) )  e.  A ) )
61 stoweidlem23.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
62 nfmpt1 4109 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |-> 
-u ( G `  Z ) )
6361, 46, 62stoweidlem8 27757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  +  ( ( t  e.  T  |->  -u ( G `  Z ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
6460, 63syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  +  ( ( t  e.  T  |-> 
-u ( G `  Z ) ) `  t ) ) )  e.  A )
6540, 64eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  +  -u ( G `  Z ) ) )  e.  A
)
6631, 65eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  -  ( G `  Z )
) )  e.  A
)
671, 66syl5eqel 2367 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
68 stoweidlem23.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
6913, 68jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G : T --> RR  /\  S  e.  T
) )
70 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : T --> RR  /\  S  e.  T )  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
7169, 70syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
7271, 24jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  e.  RR  /\  ( G `  Z
)  e.  RR ) )
73 resubcl 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  S
)  e.  RR  /\  ( G `  Z )  e.  RR )  -> 
( ( G `  S )  -  ( G `  Z )
)  e.  RR )
7472, 73syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  -  ( G `  Z )
)  e.  RR )
7568, 74jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  -  ( G `  Z )
)  e.  RR ) )
76 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ t S
7746, 76nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( G `  S
)
78 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ t  -
7977, 78, 48nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ t
( ( G `  S )  -  ( G `  Z )
)
80 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( t  =  S  ->  ( G `  t )  =  ( G `  S ) )
8180oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  (
( G `  t
)  -  ( G `
 Z ) )  =  ( ( G `
 S )  -  ( G `  Z ) ) )
8276, 79, 81, 1fvmptf 5616 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  -  ( G `  Z )
)  e.  RR )  ->  ( H `  S )  =  ( ( G `  S
)  -  ( G `
 Z ) ) )
8375, 82syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  S
)  =  ( ( G `  S )  -  ( G `  Z ) ) )
84 stoweidlem23.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =/=  ( G `
 Z ) )
85 df-ne 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  S )  =/=  ( G `  Z )  <->  -.  ( G `  S )  =  ( G `  Z ) )
8684, 85sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  ( G `  S )  =  ( G `  Z ) )
87 recn 8827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  S )  e.  RR  ->  ( G `  S )  e.  CC )
8871, 87syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  CC )
8924, 26syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  e.  CC )
9088, 89jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  e.  CC  /\  ( G `  Z
)  e.  CC ) )
91 subeq0 9073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  S
)  e.  CC  /\  ( G `  Z )  e.  CC )  -> 
( ( ( G `
 S )  -  ( G `  Z ) )  =  0  <->  ( G `  S )  =  ( G `  Z ) ) )
9290, 91syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( G `
 S )  -  ( G `  Z ) )  =  0  <->  ( G `  S )  =  ( G `  Z ) ) )
9386, 92mtbird 292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( G `
 S )  -  ( G `  Z ) )  =  0 )
94 df-ne 2448 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  S
)  -  ( G `
 Z ) )  =/=  0  <->  -.  (
( G `  S
)  -  ( G `
 Z ) )  =  0 )
9593, 94sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  -  ( G `  Z )
)  =/=  0 )
9683, 95eqnetrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  S
)  =/=  0 )
9724, 24jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  e.  RR  /\  ( G `  Z
)  e.  RR ) )
98 resubcl 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  Z
)  e.  RR  /\  ( G `  Z )  e.  RR )  -> 
( ( G `  Z )  -  ( G `  Z )
)  e.  RR )
9997, 98syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  -  ( G `  Z )
)  e.  RR )
10021, 99jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  -  ( G `  Z )
)  e.  RR ) )
10148, 78, 48nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ t
( ( G `  Z )  -  ( G `  Z )
)
102 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( t  =  Z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  Z ) )
103102oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( t  =  Z  ->  (
( G `  t
)  -  ( G `
 Z ) )  =  ( ( G `
 Z )  -  ( G `  Z ) ) )
10447, 101, 103, 1fvmptf 5616 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  -  ( G `  Z )
)  e.  RR )  ->  ( H `  Z )  =  ( ( G `  Z
)  -  ( G `
 Z ) ) )
105100, 104syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( ( G `  Z )  -  ( G `  Z ) ) )
106 subid 9067 . . . . 5  |-  ( ( G `  Z )  e.  CC  ->  (
( G `  Z
)  -  ( G `
 Z ) )  =  0 )
10789, 106syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  -  ( G `  Z )
)  =  0 )
108105, 107eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  0 )
10996, 108neeqtrrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  S
)  =/=  ( H `
 Z ) )
11067, 109, 1083jca 1132 1  |-  ( ph  ->  ( H  e.  A  /\  ( H `  S
)  =/=  ( H `
 Z )  /\  ( H `  Z )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
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