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Theorem stoweidlem24 27763
Description: This lemma proves that for  n sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all  t in  V: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 
Q is used to represent qn in the paper,  N to represent  n in the paper,  K to represent  k,  D to represent δ, and  E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem24.2  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem24.3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem24.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
stoweidlem24.5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
stoweidlem24.6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem24.8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem24.9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem24.10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Distinct variable group:    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    D( t)    P( t)    Q( t)    E( t)    K( t)    N( t)    V( t)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1re 9095 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem24.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
43rpred 10653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
54adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  E  e.  RR )
62, 5resubcld 9470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
7 stoweidlem24.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
87nn0red 10280 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
98adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  RR )
10 stoweidlem24.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
1110adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
12 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . 10  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
1312rabeq2i 2955 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
1413simplbi 448 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  T )
1514adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
1611, 15ffvelrnd 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
179, 16remulcld 9121 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR )
18 stoweidlem24.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1918adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  N  e.  NN0 )
2017, 19reexpcld 11545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  e.  RR )
212, 20resubcld 9470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  e.  RR )
2216, 19reexpcld 11545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
232, 22resubcld 9470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
247, 18jca 520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
2524adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
26 nn0expcl 11400 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ N
)  e.  NN0 )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
2823, 27reexpcld 11545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
291a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
30 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
3130rpred 10653 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
328, 31remulcld 9121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
3332rehalfcld 10219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR )
3433, 18reexpcld 11545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
)  e.  RR )
3529, 34resubcld 9470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )  e.  RR )
3635adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  e.  RR )
37 stoweidlem24.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
3837adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
) ) )
3934adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N )  e.  RR )
4033adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  e.  RR )
417nn0ge0d 10282 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
428, 41jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)
4342adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K ) )
44 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
4544r19.21bi 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
4645simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
4714, 46sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
48 mulge0 9550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )  /\  ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t ) ) )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) ) )
4943, 16, 47, 48syl12anc 1183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t )
) )
5031rehalfcld 10219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
5150adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
5213simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  V  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
5352adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
5416, 51, 53ltled 9226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  ( D  /  2
) )
55 lemul2a 9870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)  /\  ( P `  t )  <_  ( D  /  2 ) )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
5616, 51, 43, 54, 55syl31anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
577nn0cnd 10281 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
5857adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  CC )
5930rpcnd 10655 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
6059adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  CC )
61 2cn 10075 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
62 2ne0 10088 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
6361, 62pm3.2i 443 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
65 divass 9701 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( K  x.  D )  / 
2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
6658, 60, 64, 65syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
6756, 66breqtrrd 4241 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( ( K  x.  D )  /  2
) )
68 leexp1a 11443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) )  /\  ( K  x.  ( P `  t )
)  <_  ( ( K  x.  D )  /  2 ) ) )  ->  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  <_  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )
6917, 40, 19, 49, 67, 68syl32anc 1193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  <_  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) )
7020, 39, 2, 69lesub2dd 9648 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
716, 36, 21, 38, 70ltletrd 9235 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
7216recnd 9119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  CC )
7358, 72, 19mulexpd 11543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  =  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
7473eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) )
7574oveq2d 6100 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
7614, 45sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
7776simprd 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  1 )
78 exple1 11444 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
7916, 47, 77, 19, 78syl31anc 1188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
80 stoweidlem10 27749 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )  -> 
( 1  -  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) ) )  <_  ( (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
8122, 27, 79, 80syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8275, 81eqbrtrrd 4237 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
836, 21, 28, 71, 82ltletrd 9235 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
84 stoweidlem24.2 . . . 4  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
8584, 10, 18, 7stoweidlem12 27751 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8614, 85sylan2 462 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8783, 86breqtrrd 4241 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296    / cdiv 9682   2c2 10054   NN0cn0 10226   RR+crp 10617   ^cexp 11387
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  27784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388
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