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Theorem stoweidlem24 27740
Description: This lemma proves that for  n sufficiently large, qn( t ) > ( 1 - epsilon ), for all  t in  V: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90, (at the bottom of page 90). 
Q is used to represent qn in the paper,  N to represent  n in the paper,  K to represent  k,  D to represent δ, and  E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem24.1  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem24.2  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem24.3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem24.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
stoweidlem24.5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
stoweidlem24.6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem24.8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem24.9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem24.10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Distinct variable group:    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    D( t)    P( t)    Q( t)    E( t)    K( t)    N( t)    V( t)

Proof of Theorem stoweidlem24
StepHypRef Expression
1 1re 9082 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem24.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
43rpred 10640 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  E  e.  RR )
62, 5resubcld 9457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
7 stoweidlem24.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
87nn0red 10267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
98adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  RR )
10 stoweidlem24.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
1110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  P : T --> RR )
12 stoweidlem24.1 . . . . . . . . . 10  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
1312rabeq2i 2945 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  V  <->  ( t  e.  T  /\  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) ) )
1413simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  T )
1514adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
1611, 15ffvelrnd 5863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
179, 16remulcld 9108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR )
18 stoweidlem24.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1918adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  N  e.  NN0 )
2017, 19reexpcld 11532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  e.  RR )
212, 20resubcld 9457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  e.  RR )
2216, 19reexpcld 11532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
232, 22resubcld 9457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
247, 18jca 519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
2524adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
26 nn0expcl 11387 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ N
)  e.  NN0 )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
2823, 27reexpcld 11532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
291a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
30 stoweidlem24.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
3130rpred 10640 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
328, 31remulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
3332rehalfcld 10206 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR )
3433, 18reexpcld 11532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
)  e.  RR )
3529, 34resubcld 9457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )  e.  RR )
3635adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  e.  RR )
37 stoweidlem24.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
3837adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  / 
2 ) ^ N
) ) )
3934adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N )  e.  RR )
4033adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  e.  RR )
417nn0ge0d 10269 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
428, 41jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)
4342adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K ) )
44 stoweidlem24.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
4544r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
4645simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
4714, 46sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
48 mulge0 9537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )  /\  ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t ) ) )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) ) )
4943, 16, 47, 48syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  0  <_  ( K  x.  ( P `  t )
) )
5031rehalfcld 10206 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  /  2
)  e.  RR )
5150adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
5213simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  V  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
5352adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <  ( D  /  2
) )
5416, 51, 53ltled 9213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  ( D  /  2
) )
55 lemul2a 9857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  ( D  /  2
)  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <_  K )
)  /\  ( P `  t )  <_  ( D  /  2 ) )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
5616, 51, 43, 54, 55syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
577nn0cnd 10268 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
5857adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  K  e.  CC )
5930rpcnd 10642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
6059adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  D  e.  CC )
61 2cn 10062 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
62 2ne0 10075 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
6361, 62pm3.2i 442 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
65 divass 9688 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( K  x.  D )  / 
2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2 ) ) )
6658, 60, 64, 65syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  D
)  /  2 )  =  ( K  x.  ( D  /  2
) ) )
6756, 66breqtrrd 4230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( K  x.  ( P `  t ) )  <_ 
( ( K  x.  D )  /  2
) )
68 leexp1a 11430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  x.  ( P `  t ) )  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( K  x.  ( P `  t ) )  /\  ( K  x.  ( P `  t )
)  <_  ( ( K  x.  D )  /  2 ) ) )  ->  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N )  <_  (
( ( K  x.  D )  /  2
) ^ N ) )
6917, 40, 19, 49, 67, 68syl32anc 1192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  <_  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) )
7020, 39, 2, 69lesub2dd 9635 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( ( K  x.  D
)  /  2 ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
716, 36, 21, 38, 70ltletrd 9222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
7216recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  e.  CC )
7358, 72, 19mulexpd 11530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K  x.  ( P `  t )
) ^ N )  =  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
7473eqcomd 2440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) )  =  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) )
7574oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  =  ( 1  -  ( ( K  x.  ( P `  t ) ) ^ N ) ) )
7614, 45sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
7776simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( P `  t )  <_  1 )
78 exple1 11431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
7916, 47, 77, 19, 78syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
80 stoweidlem10 27726 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )  -> 
( 1  -  (
( K ^ N
)  x.  ( ( P `  t ) ^ N ) ) )  <_  ( (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
8122, 27, 79, 80syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K ^ N )  x.  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8275, 81eqbrtrrd 4226 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( ( K  x.  ( P `
 t ) ) ^ N ) )  <_  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
836, 21, 28, 71, 82ltletrd 9222 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
84 stoweidlem24.2 . . . 4  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
8584, 10, 18, 7stoweidlem12 27728 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8614, 85sylan2 461 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
8783, 86breqtrrd 4230 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   2c2 10041   NN0cn0 10213   RR+crp 10604   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  27761
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375
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