Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem25 Unicode version

Theorem stoweidlem25 27097
Description: This lemma proves that for n sufficiently large, qn( t ) < ε, for all  t in  T  \  U: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91).  Q is used to represent qn in the paper,  N to represent n in the paper,  K to represent k,  D to represent δ,  P to represent p, and  E to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem25.1  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem25.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem25.3  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem25.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem25.6  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem25.7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem25.8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
stoweidlem25.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem25.11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem25  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( Q `  t )  <  E
)
Distinct variable group:    t, T
Allowed substitution hints:    ph( t)    D( t)    P( t)    Q( t)    U( t)    E( t)    K( t)    N( t)

Proof of Theorem stoweidlem25
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ph )
2 eldifi 3374 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  t  e.  T )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  t  e.  T )
41, 3jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ph  /\  t  e.  T ) )
5 1re 8927 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
65a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
7 stoweidlem25.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
87adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  P : T --> RR )
9 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
108, 9jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
1110idi 2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
12 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
14 stoweidlem25.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
15 nnnn0 10064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  NN0 )
1813, 17jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 ) )
19 reexpcl 11213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
216, 20jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  e.  RR  /\  ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR ) )
22 resubcl 9201 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) )  e.  RR )
2321, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
24 stoweidlem25.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
2524, 16jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )
)
26 nnexpcl 11209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ N
)  e.  NN )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN )
28 nnnn0 10064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K ^ N )  e.  NN  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
2927, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
3029adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
3123, 30jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 ) )
32 reexpcl 11213 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
3331, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR )
34 stoweidlem25.1 . . . . . . 7  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
35 nnnn0 10064 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
3624, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
3734, 7, 16, 36stoweidlem12 27084 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
3837eleq1d 2424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( Q `  t
)  e.  RR  <->  ( (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  e.  RR ) )
3933, 38mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  e.  RR )
404, 39syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( Q `  t )  e.  RR )
415a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
42 nnre 9843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
4324, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
44 stoweidlem25.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
45 rpre 10452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
4743, 46jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )
48 remulcl 8912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
4947, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  RR )
5049, 16jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D )  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )
)
51 reexpcl 11213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( K  x.  D ) ^ N
)  e.  RR )
5250, 51syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  e.  RR )
53 nncn 9844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  CC )
5424, 53syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
55 nnne0 9868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  =/=  0 )
5624, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
5754, 56jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )
58 rpcn 10454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  CC )
5944, 58syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
60 rpne0 10461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  =/=  0 )
6144, 60syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  =/=  0 )
6259, 61jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )
6357, 62jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 )  /\  ( D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) ) )
64 mulne0 9500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 )  /\  ( D  e.  CC  /\  D  =/=  0 ) )  -> 
( K  x.  D
)  =/=  0 )
6563, 64syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  =/=  0 )
6654, 59jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )
67 mulcl 8911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( K  x.  D
)  e.  CC )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  x.  D
)  e.  CC )
6968, 14jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D )  e.  CC  /\  N  e.  NN ) )
70 expne0 11226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  x.  D
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
7169, 70syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  x.  D ) ^ N )  =/=  0  <->  ( K  x.  D )  =/=  0 ) )
7265, 71mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  =/=  0 )
7341, 52, 723jca 1132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  =/=  0 ) )
74 redivcl 9569 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  e.  RR  /\  ( ( K  x.  D ) ^ N
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( ( K  x.  D ) ^ N
) )  e.  RR )
7573, 74syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  e.  RR )
7675adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )  e.  RR )
77 stoweidlem25.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
78 rpre 10452 . . . . 5  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
7977, 78syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
8079adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E  e.  RR )
8140, 76, 803jca 1132 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( Q `  t )  e.  RR  /\  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
824, 37syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) ) )
8314adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  N  e.  NN )
8424adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  K  e.  NN )
8544adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  D  e.  RR+ )
867adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  P : T
--> RR )
8786, 3jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P : T --> RR  /\  t  e.  T ) )
8887, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
89 0re 8928 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
9089a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  e.  RR )
9146adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  D  e.  RR )
9290, 91, 883jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 0  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( P `
 t )  e.  RR ) )
93 rpgt0 10457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  < 
D )
9444, 93syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  D )
9594adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  D )
96 stoweidlem25.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
97 rsp 2679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_ 
( P `  t
)  ->  ( t  e.  ( T  \  U
)  ->  D  <_  ( P `  t ) ) )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  D  <_  ( P `  t )
) )
9998imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  D  <_  ( P `  t ) )
10095, 99jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 0  <  D  /\  D  <_  ( P `  t
) ) )
101 ltletr 9003 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( P `  t )  e.  RR )  ->  (
( 0  <  D  /\  D  <_  ( P `
 t ) )  ->  0  <  ( P `  t )
) )
10292, 100, 101sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( P `  t ) )
10388, 102jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  < 
( P `  t
) ) )
104 elrp 10448 . . . . . 6  |-  ( ( P `  t )  e.  RR+  <->  ( ( P `
 t )  e.  RR  /\  0  < 
( P `  t
) ) )
105103, 104sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  t )  e.  RR+ )
106 stoweidlem25.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
107106adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
108 rsp 2679 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  ->  (
t  e.  T  -> 
( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
109107, 3, 108sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
110109simpld 445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <_  ( P `  t ) )
111109simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  t )  <_  1
)
11283, 84, 85, 105, 110, 111, 99stoweidlem1 27073 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_ 
( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) ) )
11382, 112eqbrtrd 4124 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( Q `  t )  <_  (
1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) ) )
114 stoweidlem25.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
115114adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )  < 
E )
116113, 115jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( Q `  t )  <_  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  /\  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )  < 
E ) )
117 lelttr 9002 . 2  |-  ( ( ( Q `  t
)  e.  RR  /\  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( ( Q `
 t )  <_ 
( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  /\  ( 1  /  ( ( K  x.  D ) ^ N ) )  < 
E )  ->  ( Q `  t )  <  E ) )
11881, 116, 117sylc 56 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( Q `  t )  <  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    \ cdif 3225   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    x. cmul 8832    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127    / cdiv 9513   NNcn 9836   NN0cn0 10057   RR+crp 10446   ^cexp 11197
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  27117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198
  Copyright terms: Public domain W3C validator