Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem27 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem27 27754
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem27.1
stoweidlem27.2
stoweidlem27.3
stoweidlem27.4
stoweidlem27.5
stoweidlem27.6
stoweidlem27.7
stoweidlem27.8
stoweidlem27.9
stoweidlem27.10
stoweidlem27.11
Assertion
Ref Expression
stoweidlem27
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem stoweidlem27
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem27.4 . . . 4
2 stoweidlem27.5 . . . 4
3 fnex 5963 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 644 . . 3
5 stoweidlem27.7 . . . . 5
6 f1ofn 5677 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 ovex 6108 . . . 4
9 fnex 5963 . . . 4
107, 8, 9sylancl 645 . . 3
11 coexg 5414 . . 3
124, 10, 11syl2anc 644 . 2
13 stoweidlem27.3 . . 3
14 f1of 5676 . . . . . . 7
155, 14syl 16 . . . . . 6
16 fnfco 5611 . . . . . 6
171, 15, 16syl2anc 644 . . . . 5
18 rncoss 5138 . . . . . 6
19 fvelrnb 5776 . . . . . . . . . . . 12
201, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11
2120biimpa 472 . . . . . . . . . 10
22 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 stoweidlem27.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423elrnmpt 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2522, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2622, 25mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14
27 stoweidlem27.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2923, 28nfcxfr 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029nfrn 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130nfcri 2568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3227, 31nfan 1847 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 stoweidlem27.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3534ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3735, 36eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 stoweidlem27.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41 fveq1 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4342rabbidv 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4443eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4538, 39, 40, 44elrabf 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4637, 45sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847exp31 589 . . . . . . . . . . . . . . 15
4932, 33, 48rexlimd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14
5026, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12
52 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . 11
5453reximdva 2820 . . . . . . . . . 10
5521, 54mpd 15 . . . . . . . . 9
56 idd 23 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10
5857rexlimdv 2831 . . . . . . . . 9
5955, 58mpd 15 . . . . . . . 8
6059ex 425 . . . . . . 7
6160ssrdv 3356 . . . . . 6
6218, 61syl5ss 3361 . . . . 5
63 df-f 5460 . . . . 5
6417, 62, 63sylanbrc 647 . . . 4
65 stoweidlem27.9 . . . . 5
66 stoweidlem27.8 . . . . . . . . . 10
6766sselda 3350 . . . . . . . . 9
68 eluni 4020 . . . . . . . . 9
6967, 68sylib 190 . . . . . . . 8
70 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
7127, 70nfan 1847 . . . . . . . . 9
7223funmpt2 5492 . . . . . . . . . . . . . . 15
7323dmeqi 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 stoweidlem27.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7539rabexgf 27673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7776adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7877ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7927, 78ralrimi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80 dmmptg 5369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8273, 81syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8483biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 fvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15
8672, 84, 85sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14
8786adantrl 698 . . . . . . . . . . . . 13
88 f1ofo 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89 forn 5658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
905, 88, 893syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9190eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9291biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
937adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94 fvelrnb 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9692, 95mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 df-rex 2713 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9896, 97sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10015ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101 fvco3 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102100, 99, 101syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
103 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104103ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105102, 104eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107106anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
109 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
110109eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
111108, 110bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
112107, 111imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
113112, 34vtoclg 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114113anabsi7 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115114adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116105, 115eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11799, 116jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118117ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118eximdv 1633 . . . . . . . . . . . . . . 15
12098, 119mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
121 df-rex 2713 . . . . . . . . . . . . . 14
122120, 121sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13
12387, 122syldan 458 . . . . . . . . . . . 12
124 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12623fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
127125, 77, 126syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128127eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129128biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
130129adantlrl 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
133 fveq1 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134133breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
135134rabbidv 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136135eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137131, 39, 132, 136elrabf 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138130, 137sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139138simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140124, 139eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141 rabid 2886 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142140, 141sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15
143142simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14
144143ex 425 . . . . . . . . . . . . 13
145144reximdv 2819 . . . . . . . . . . . 12
146123, 145mpd 15 . . . . . . . . . . 11
147146ex 425 . . . . . . . . . 10
148147adantr 453 . . . . . . . . 9
14971, 148eximd 1787 . . . . . . . 8
15069, 149mpd 15 . . . . . . 7
151 nfv 1630 . . . . . . . 8
152 idd 23 . . . . . . . 8
15371, 151, 152exlimd 1825 . . . . . . 7
154150, 153mpd 15 . . . . . 6
155154ex 425 . . . . 5
15665, 155ralrimi 2789 . . . 4
15764, 156jca 520 . . 3
15813, 157jca 520 . 2
159 feq1 5578 . . . . 5
160 fveq1 5729 . . . . . . . . 9
161160fveq1d 5732 . . . . . . . 8
162161breq2d 4226 . . . . . . 7
163162rexbidv 2728 . . . . . 6
164163ralbidv 2727 . . . . 5
165159, 164anbi12d 693 . . . 4
166165anbi2d 686 . . 3
167166spcegv 3039 . 2
16812, 158, 167sylc 59 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  cuni 4017   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cdm 4880   crn 4881   ccom 4884   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  wfo 5454  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc0 8992  c1 8993   clt 9122  cn 10002  cfz 11045 This theorem is referenced by:  stoweidlem35  27762 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086
 Copyright terms: Public domain W3C validator