Theorem stoweidlem27 27754

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here ( q ` i ) is used to represent p_(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem27.1	|- G = ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
stoweidlem27.2	|- ( ph -> Q e. _V )
stoweidlem27.3	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem27.4	|- ( ph -> Y Fn ran G )
stoweidlem27.5	|- ( ph -> ran G e. _V )
stoweidlem27.6	|- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. l )
stoweidlem27.7	|- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G )
stoweidlem27.8	|- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. X )
stoweidlem27.9	|- F/ t ph
stoweidlem27.10	|- F/ w ph
stoweidlem27.11	|- F/_ h Q

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem27	|- ( ph -> E. q ( M e. NN /\ ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   h, i, t, w, F   h, l, Y, t, w   T, h, w   i, q, t, F   i, G   i, M, q   i, X, w   i, Y, q   ph, i   Q, l   ph, l   G, l   Q, q   T, q   U, q   w, M   w, Q   w, U

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h, q)   Q( t, h, i)   T( t, i, l)   U( t, h, i, l)   F( l)   G( w, t, h, q)   M( t, h, l)   X( t, h, q, l)

Proof of Theorem stoweidlem27

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem27.4	. . . 4 |- ( ph -> Y Fn ran G )
2		stoweidlem27.5	. . . 4 |- ( ph -> ran G e. _V )
3		fnex 5963	. . . 4 |- ( ( Y Fn ran G /\ ran G e. _V ) -> Y e. _V )
4	1, 2, 3	syl2anc 644	. . 3 |- ( ph -> Y e. _V )
5		stoweidlem27.7	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G )
6		f1ofn 5677	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G -> F Fn ( 1 ... M ) )
7	5, 6	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> F Fn ( 1 ... M ) )
8		ovex 6108	. . . 4 |- ( 1 ... M ) e. _V
9		fnex 5963	. . . 4 |- ( ( F Fn ( 1 ... M ) /\ ( 1 ... M ) e. _V ) -> F e. _V )
10	7, 8, 9	sylancl 645	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
11		coexg 5414	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ F e. _V ) -> ( Y o. F ) e. _V )
12	4, 10, 11	syl2anc 644	. 2 |- ( ph -> ( Y o. F ) e. _V )
13		stoweidlem27.3	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
14		f1of 5676	. . . . . . 7 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G -> F : ( 1 ... M ) --> ran G )
15	5, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( 1 ... M ) --> ran G )
16		fnfco 5611	. . . . . 6 |- ( ( Y Fn ran G /\ F : ( 1 ... M ) --> ran G ) -> ( Y o. F ) Fn ( 1 ... M ) )
17	1, 15, 16	syl2anc 644	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y o. F ) Fn ( 1 ... M ) )
18		rncoss 5138	. . . . . 6 |- ran ( Y o. F ) C_ ran Y
19		fvelrnb 5776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y Fn ran G -> ( k e. ran Y <-> E. l e. ran G ( Y ` l ) = k ) )
20	1, 19	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. ran Y <-> E. l e. ran G ( Y ` l ) = k ) )
21	20	biimpa 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> E. l e. ran G ( Y ` l ) = k )
22		simpr 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> l e. ran G )
23		stoweidlem27.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G = ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
24	23	elrnmpt 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. ran G -> ( l e. ran G <-> E. w e. X l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) )
25	22, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( l e. ran G <-> E. w e. X l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) )
26	22, 25	mpbid 203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> E. w e. X l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
27		stoweidlem27.10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ w ph
28		nfmpt1 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ w ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
29	23, 28	nfcxfr 2571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ w G
30	29	nfrn 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ w ran G
31	30	nfcri 2568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ w l e. ran G
32	27, 31	nfan 1847	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ w ( ph /\ l e. ran G )
33		nfv 1630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ w ( Y ` l ) e. Q
34		stoweidlem27.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. l )
35	34	ad2antrr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> ( Y ` l ) e. l )
36		simpr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
37	35, 36	eleqtrd 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> ( Y ` l ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
38		nfcv 2574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ h ( Y ` l )
39		stoweidlem27.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ h Q
40		nfv 1630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ h w = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) }
41		fveq1 5729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = ( Y ` l ) -> ( h ` t ) = ( ( Y ` l ) ` t ) )
42	41	breq2d 4226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = ( Y ` l ) -> ( 0 < ( h ` t ) <-> 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) ) )
43	42	rabbidv 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = ( Y ` l ) -> { t e. T | 0 < ( h ` t ) } = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) } )
44	43	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = ( Y ` l ) -> ( w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> w = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) } ) )
45	38, 39, 40, 44	elrabf 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Y ` l ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } <-> ( ( Y ` l ) e. Q /\ w = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) } ) )
46	37, 45	sylib 190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> ( ( Y ` l ) e. Q /\ w = { t e. T | 0 < ( ( Y ` l ) ` t ) } ) )
47	46	simpld 447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ran G ) /\ w e. X ) /\ l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) -> ( Y ` l ) e. Q )
48	47	exp31 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( w e. X -> ( l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } -> ( Y ` l ) e. Q ) ) )
49	32, 33, 48	rexlimd 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( E. w e. X l = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } -> ( Y ` l ) e. Q ) )
50	26, 49	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. Q )
51	50	adantlr 697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ran Y ) /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. Q )
52		eleq1 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y ` l ) = k -> ( ( Y ` l ) e. Q <-> k e. Q ) )
53	51, 52	syl5ibcom 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ran Y ) /\ l e. ran G ) -> ( ( Y ` l ) = k -> k e. Q ) )
54	53	reximdva 2820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> ( E. l e. ran G ( Y ` l ) = k -> E. l e. ran G k e. Q ) )
55	21, 54	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> E. l e. ran G k e. Q )
56		idd 23	. . . . . . . . . . 11 |- ( l e. ran G -> ( k e. Q -> k e. Q ) )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> ( l e. ran G -> ( k e. Q -> k e. Q ) ) )
58	57	rexlimdv 2831	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> ( E. l e. ran G k e. Q -> k e. Q ) )
59	55, 58	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ran Y ) -> k e. Q )
60	59	ex 425	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ran Y -> k e. Q ) )
61	60	ssrdv 3356	. . . . . 6 |- ( ph -> ran Y C_ Q )
62	18, 61	syl5ss 3361	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( Y o. F ) C_ Q )
63		df-f 5460	. . . . 5 |- ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q <-> ( ( Y o. F ) Fn ( 1 ... M ) /\ ran ( Y o. F ) C_ Q ) )
64	17, 62, 63	sylanbrc 647	. . . 4 |- ( ph -> ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q )
65		stoweidlem27.9	. . . . 5 |- F/ t ph
66		stoweidlem27.8	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. X )
67	66	sselda 3350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> t e. U. X )
68		eluni 4020	. . . . . . . . 9 |- ( t e. U. X <-> E. w ( t e. w /\ w e. X ) )
69	67, 68	sylib 190	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E. w ( t e. w /\ w e. X ) )
70		nfv 1630	. . . . . . . . . 10 |- F/ w t e. ( T \ U )
71	27, 70	nfan 1847	. . . . . . . . 9 |- F/ w ( ph /\ t e. ( T \ U ) )
72	23	funmpt2 5492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Fun G
73	23	dmeqi 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom G = dom ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
74		stoweidlem27.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> Q e. _V )
75	39	rabexgf 27673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Q e. _V -> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V )
77	76	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V )
78	77	ex 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( w e. X -> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V ) )
79	27, 78	ralrimi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. w e. X { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V )
80		dmmptg 5369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. w e. X { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V -> dom ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) = X )
81	79, 80	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom ( w e. X |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) = X )
82	73, 81	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom G = X )
83	82	eleq2d 2505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( w e. dom G <-> w e. X ) )
84	83	biimpar 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> w e. dom G )
85		fvelrn 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun G /\ w e. dom G ) -> ( G ` w ) e. ran G )
86	72, 84, 85	sylancr 646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( G ` w ) e. ran G )
87	86	adantrl 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> ( G ` w ) e. ran G )
88		f1ofo 5683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran G -> F : ( 1 ... M ) -onto-> ran G )
89		forn 5658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : ( 1 ... M ) -onto-> ran G -> ran F = ran G )
90	5, 88, 89	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ran F = ran G )
91	90	eleq2d 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( G ` w ) e. ran F <-> ( G ` w ) e. ran G ) )
92	91	biimpar 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( G ` w ) e. ran F )
93	7	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> F Fn ( 1 ... M ) )
94		fvelrnb 5776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn ( 1 ... M ) -> ( ( G ` w ) e. ran F <-> E. i e. ( 1 ... M ) ( F ` i ) = ( G ` w ) ) )
95	93, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( ( G ` w ) e. ran F <-> E. i e. ( 1 ... M ) ( F ` i ) = ( G ` w ) ) )
96	92, 95	mpbid 203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> E. i e. ( 1 ... M ) ( F ` i ) = ( G ` w ) )
97		df-rex 2713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. i e. ( 1 ... M ) ( F ` i ) = ( G ` w ) <-> E. i ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) )
98	96, 97	sylib 190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> E. i ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) )
99		simprl 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
100	15	ad2antrr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> F : ( 1 ... M ) --> ran G )
101		fvco3 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( 1 ... M ) --> ran G /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) = ( Y ` ( F ` i ) ) )
102	100, 99, 101	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) = ( Y ` ( F ` i ) ) )
103		fveq2 5730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` i ) = ( G ` w ) -> ( Y ` ( F ` i ) ) = ( Y ` ( G ` w ) ) )
104	103	ad2antll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( Y ` ( F ` i ) ) = ( Y ` ( G ` w ) ) )
105	102, 104	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) = ( Y ` ( G ` w ) ) )
106		eleq1 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( l = ( G ` w ) -> ( l e. ran G <-> ( G ` w ) e. ran G ) )
107	106	anbi2d 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( ph /\ l e. ran G ) <-> ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) ) )
108		eleq2 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( Y ` l ) e. l <-> ( Y ` l ) e. ( G ` w ) ) )
109		fveq2 5730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( l = ( G ` w ) -> ( Y ` l ) = ( Y ` ( G ` w ) ) )
110	109	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( Y ` l ) e. ( G ` w ) <-> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) ) )
111	108, 110	bitrd 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( Y ` l ) e. l <-> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) ) )
112	107, 111	imbi12d 313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( l = ( G ` w ) -> ( ( ( ph /\ l e. ran G ) -> ( Y ` l ) e. l ) <-> ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) ) ) )
113	112, 34	vtoclg 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G ` w ) e. ran G -> ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) ) )
114	113	anabsi7 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) )
115	114	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( Y ` ( G ` w ) ) e. ( G ` w ) )
116	105, 115	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) )
117	99, 116	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) ) -> ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) )
118	117	ex 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) -> ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) ) )
119	118	eximdv 1633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> ( E. i ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( F ` i ) = ( G ` w ) ) -> E. i ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) ) )
120	98, 119	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> E. i ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) )
121		df-rex 2713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. i e. ( 1 ... M ) ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) <-> E. i ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) )
122	120, 121	sylibr 205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( G ` w ) e. ran G ) -> E. i e. ( 1 ... M ) ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) )
123	87, 122	syldan 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> E. i e. ( 1 ... M ) ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) )
124		simplrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> t e. w )
125		simpr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> w e. X )
126	23	fvmpt2 5814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w e. X /\ { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } e. _V ) -> ( G ` w ) = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
127	125, 77, 126	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( G ` w ) = { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
128	127	eleq2d 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) <-> ( ( Y o. F ) ` i ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) )
129	128	biimpa 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
130	129	adantlrl 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> ( ( Y o. F ) ` i ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
131		nfcv 2574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ h ( ( Y o. F ) ` i )
132		nfv 1630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ h w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) }
133		fveq1 5729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h = ( ( Y o. F ) ` i ) -> ( h ` t ) = ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
134	133	breq2d 4226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = ( ( Y o. F ) ` i ) -> ( 0 < ( h ` t ) <-> 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
135	134	rabbidv 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = ( ( Y o. F ) ` i ) -> { t e. T | 0 < ( h ` t ) } = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } )
136	135	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = ( ( Y o. F ) ` i ) -> ( w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } ) )
137	131, 39, 132, 136	elrabf 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } <-> ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. Q /\ w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } ) )
138	130, 137	sylib 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. Q /\ w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } ) )
139	138	simprd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> w = { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } )
140	124, 139	eleqtrd 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> t e. { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } )
141		rabid 2886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. { t e. T | 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) } <-> ( t e. T /\ 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
142	140, 141	sylib 190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> ( t e. T /\ 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
143	142	simprd 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) /\ ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) ) -> 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
144	143	ex 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> ( ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) -> 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
145	144	reximdv 2819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> ( E. i e. ( 1 ... M ) ( ( Y o. F ) ` i ) e. ( G ` w ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
146	123, 145	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. X ) ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
147	146	ex 425	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( t e. w /\ w e. X ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
148	147	adantr 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( ( t e. w /\ w e. X ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
149	71, 148	eximd 1787	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( E. w ( t e. w /\ w e. X ) -> E. w E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
150	69, 149	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E. w E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
151		nfv 1630	. . . . . . . 8 |- F/ w E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t )
152		idd 23	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
153	71, 151, 152	exlimd 1825	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( E. w E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
154	150, 153	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
155	154	ex 425	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. ( T \ U ) -> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
156	65, 155	ralrimi 2789	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
157	64, 156	jca 520	. . 3 |- ( ph -> ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
158	13, 157	jca 520	. 2 |- ( ph -> ( M e. NN /\ ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) ) )
159		feq1 5578	. . . . 5 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( q : ( 1 ... M ) --> Q <-> ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q ) )
160		fveq1 5729	. . . . . . . . 9 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( q ` i ) = ( ( Y o. F ) ` i ) )
161	160	fveq1d 5732	. . . . . . . 8 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( ( q ` i ) ` t ) = ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) )
162	161	breq2d 4226	. . . . . . 7 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( 0 < ( ( q ` i ) ` t ) <-> 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
163	162	rexbidv 2728	. . . . . 6 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) <-> E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
164	163	ralbidv 2727	. . . . 5 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) )
165	159, 164	anbi12d 693	. . . 4 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) <-> ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) ) )
166	165	anbi2d 686	. . 3 |- ( q = ( Y o. F ) -> ( ( M e. NN /\ ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) <-> ( M e. NN /\ ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) ) ) )
167	166	spcegv 3039	. 2 |- ( ( Y o. F ) e. _V -> ( ( M e. NN /\ ( ( Y o. F ) : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( ( Y o. F ) ` i ) ` t ) ) ) -> E. q ( M e. NN /\ ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) )
168	12, 158, 167	sylc 59	1 |- ( ph -> E. q ( M e. NN /\ ( q : ( 1 ... M ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... M ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   E.wex 1551   F/wnf 1554   = wceq 1653   e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958   \ cdif 3319   C_ wss 3322   U.cuni 4017   class class class wbr 4214   e. cmpt 4268   dom cdm 4880   ran crn 4881   o. ccom 4884   Fun wfun 5450   Fn wfn 5451   -->wf 5452   -onto->wfo 5454   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992   1c1 8993   < clt 9122   NNcn 10002   ...cfz 11045

This theorem is referenced by:  stoweidlem35  27762

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086