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Theorem stoweidlem27 27776
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here  ( q `  i ) is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem27.1  |-  G  =  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
stoweidlem27.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
stoweidlem27.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem27.4  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ran  G
)
stoweidlem27.5  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
stoweidlem27.6  |-  ( (
ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  ( Y `  l )  e.  l )
stoweidlem27.7  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran  G
)
stoweidlem27.8  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. X )
stoweidlem27.9  |-  F/ t
ph
stoweidlem27.10  |-  F/ w ph
stoweidlem27.11  |-  F/_ h Q
Assertion
Ref Expression
stoweidlem27  |-  ( ph  ->  E. q ( M  e.  NN  /\  (
q : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    h, i,
t, w, F    h, l, Y, t, w    T, h, w    i, q, t, F    i, G    i, M, q    i, X, w   
i, Y, q    ph, i    Q, l    ph, l    G, l    Q, q    T, q    U, q    w, M    w, Q    w, U
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h, q)    Q( t, h, i)    T( t, i, l)    U( t, h, i, l)    F( l)    G( w, t, h, q)    M( t, h, l)    X( t, h, q, l)

Proof of Theorem stoweidlem27
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem27.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 stoweidlem27.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ran  G
)
3 stoweidlem27.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran  G
)
4 f1of 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran  G  ->  F : ( 1 ... M ) --> ran  G
)
53, 4syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> ran 
G )
62, 5jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  Fn  ran  G  /\  F : ( 1 ... M ) --> ran  G ) )
7 fnfco 5407 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  Fn  ran  G  /\  F : ( 1 ... M ) --> ran 
G )  ->  ( Y  o.  F )  Fn  ( 1 ... M
) )
86, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  o.  F
)  Fn  ( 1 ... M ) )
9 rncoss 4945 . . . . . . 7  |-  ran  ( Y  o.  F )  C_ 
ran  Y
10 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  Fn  ran  G  -> 
( k  e.  ran  Y  <->  E. l  e.  ran  G ( Y `  l
)  =  k ) )
112, 10syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ran  Y  <->  E. l  e.  ran  G ( Y `  l
)  =  k ) )
1211biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  Y )  ->  E. l  e.  ran  G ( Y `
 l )  =  k )
13 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  l  e.  ran  G )
14 stoweidlem27.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  =  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
1514elrnmpt 4926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  ran  G  -> 
( l  e.  ran  G  <->  E. w  e.  X  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } ) )
1613, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  (
l  e.  ran  G  <->  E. w  e.  X  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } ) )
1713, 16mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  E. w  e.  X  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
18 stoweidlem27.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ w ph
19 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ w
l
20 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ w
( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
2114, 20nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w G
2221nfrn 4921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ w ran  G
2319, 22nfel 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ w  l  e.  ran  G
2418, 23nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ w
( ph  /\  l  e.  ran  G )
25 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ w
( Y `  l
)  e.  Q
26 stoweidlem27.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  ( Y `  l )  e.  l )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  ran  G )  /\  w  e.  X
)  /\  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  ( Y `  l )  e.  l )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  ran  G )  /\  w  e.  X
)  /\  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
29 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  ( ( Y `  l )  e.  l  <->  ( Y `  l )  e.  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } ) )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  ran  G )  /\  w  e.  X
)  /\  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  ( ( Y `  l )  e.  l  <->  ( Y `  l )  e.  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } ) )
3127, 30mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  ran  G )  /\  w  e.  X
)  /\  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  ( Y `  l )  e.  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
32 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ h
( Y `  l
)
33 stoweidlem27.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ h Q
34 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ h  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( ( Y `  l ) `  t
) }
35 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  ( Y `  l )  ->  (
h `  t )  =  ( ( Y `
 l ) `  t ) )
3635breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  ( Y `  l )  ->  (
0  <  ( h `  t )  <->  0  <  ( ( Y `  l
) `  t )
) )
3736rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  ( Y `  l )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
( Y `  l
) `  t ) } )
3837eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( Y `  l )  ->  (
w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  <->  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
( Y `  l
) `  t ) } ) )
3932, 33, 34, 38elrabf 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y `  l )  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  <->  ( ( Y `
 l )  e.  Q  /\  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
( Y `  l
) `  t ) } ) )
4031, 39sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  ran  G )  /\  w  e.  X
)  /\  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  ( ( Y `  l )  e.  Q  /\  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
( Y `  l
) `  t ) } ) )
4140simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  ran  G )  /\  w  e.  X
)  /\  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  ( Y `  l )  e.  Q
)
4241ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  ran  G )  /\  w  e.  X )  ->  ( l  =  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  ->  ( Y `  l )  e.  Q ) )
4342ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  (
w  e.  X  -> 
( l  =  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  ->  ( Y `  l )  e.  Q ) ) )
4424, 25, 43rexlimd 2664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  ( E. w  e.  X  l  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  ( Y `
 l )  e.  Q ) )
4517, 44mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  ( Y `  l )  e.  Q )
4645adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ran  Y )  /\  l  e.  ran  G )  ->  ( Y `  l )  e.  Q
)
47 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y `  l )  =  k  ->  (
( Y `  l
)  e.  Q  <->  k  e.  Q ) )
4846, 47syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ran  Y )  /\  l  e.  ran  G )  ->  ( ( Y `
 l )  =  k  ->  k  e.  Q ) )
4948reximdva 2655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  Y )  ->  ( E. l  e.  ran  G ( Y `  l
)  =  k  ->  E. l  e.  ran  G  k  e.  Q ) )
5012, 49mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  Y )  ->  E. l  e.  ran  G  k  e.  Q )
51 idd 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  ran  G  -> 
( k  e.  Q  ->  k  e.  Q ) )
5251a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  Y )  ->  (
l  e.  ran  G  ->  ( k  e.  Q  ->  k  e.  Q ) ) )
5352rexlimdv 2666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  Y )  ->  ( E. l  e.  ran  G  k  e.  Q  -> 
k  e.  Q ) )
5450, 53mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  Y )  ->  k  e.  Q )
5554ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ran  Y  ->  k  e.  Q
) )
5655ssrdv 3185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  Y  C_  Q
)
579, 56syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( Y  o.  F )  C_  Q
)
588, 57jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o.  F )  Fn  (
1 ... M )  /\  ran  ( Y  o.  F
)  C_  Q )
)
59 df-f 5259 . . . . 5  |-  ( ( Y  o.  F ) : ( 1 ... M ) --> Q  <->  ( ( Y  o.  F )  Fn  ( 1 ... M
)  /\  ran  ( Y  o.  F )  C_  Q ) )
6058, 59sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  o.  F
) : ( 1 ... M ) --> Q )
61 stoweidlem27.9 . . . . 5  |-  F/ t
ph
62 stoweidlem27.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. X )
6362sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  t  e.  U. X )
64 eluni 3830 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  U. X  <->  E. w
( t  e.  w  /\  w  e.  X
) )
6563, 64sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. w
( t  e.  w  /\  w  e.  X
) )
66 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  t  e.  ( T  \  U )
6718, 66nfan 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )
68 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  X ) )  ->  ph )
69 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  X )
7068, 69jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ph  /\  w  e.  X ) )
7114funmpt2 5291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Fun  G
7271a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  Fun  G )
73 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G  =  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )  ->  dom  G  =  dom  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } ) )
7414, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  G  =  dom  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )
75 stoweidlem27.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
7633rabexgf 27695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Q  e.  _V  ->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  e.  _V )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }  e.  _V )
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  e.  _V )
7978ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }  e.  _V ) )
8018, 79ralrimi 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. w  e.  X  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }  e.  _V )
81 dmmptg 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. w  e.  X  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  e.  _V  ->  dom  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )  =  X )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )  =  X )
8374, 82syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  G  =  X )
8483eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  G  <-> 
w  e.  X ) )
8584biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  ->  w  e.  dom  G
) )
8685imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  dom  G )
8772, 86jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  ( Fun  G  /\  w  e. 
dom  G ) )
88 fvelrn 5661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  G  /\  w  e.  dom  G )  -> 
( G `  w
)  e.  ran  G
)
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  ( G `  w )  e.  ran  G )
9070, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  X ) )  -> 
( G `  w
)  e.  ran  G
)
9168, 90jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G ) )
92 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran  G  ->  F : ( 1 ... M ) -onto-> ran  G
)
93 forn 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : ( 1 ... M ) -onto-> ran  G  ->  ran  F  =  ran  G )
943, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  F  =  ran  G )
9594eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( G `  w )  e.  ran  F  <-> 
( G `  w
)  e.  ran  G
) )
9695biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  ( G `  w )  e.  ran  F )
97 f1ofn 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ran  G  ->  F  Fn  ( 1 ... M
) )
983, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... M ) )
9998adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  F  Fn  ( 1 ... M
) )
100 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  ( 1 ... M )  ->  (
( G `  w
)  e.  ran  F  <->  E. i  e.  ( 1 ... M ) ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  ( ( G `  w )  e.  ran  F  <->  E. i  e.  ( 1 ... M
) ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )
10296, 101mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  E. i  e.  ( 1 ... M
) ( F `  i )  =  ( G `  w ) )
103 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... M ) ( F `  i )  =  ( G `  w )  <->  E. i
( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )
104102, 103sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  E. i
( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )
105 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  /\  ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
1065adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  F :
( 1 ... M
) --> ran  G )
107106adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  /\  ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )  ->  F : ( 1 ... M ) --> ran  G
)
108107, 105jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  /\  ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )  ->  ( F : ( 1 ... M ) --> ran  G  /\  i  e.  (
1 ... M ) ) )
109 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... M ) --> ran 
G  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( Y  o.  F
) `  i )  =  ( Y `  ( F `  i ) ) )
110108, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  /\  ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )  ->  (
( Y  o.  F
) `  i )  =  ( Y `  ( F `  i ) ) )
111 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  i )  =  ( G `  w )  ->  ( Y `  ( F `  i ) )  =  ( Y `  ( G `  w )
) )
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) )  -> 
( Y `  ( F `  i )
)  =  ( Y `
 ( G `  w ) ) )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  /\  ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )  ->  ( Y `  ( F `  i ) )  =  ( Y `  ( G `  w )
) )
114110, 113eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  /\  ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )  ->  (
( Y  o.  F
) `  i )  =  ( Y `  ( G `  w ) ) )
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  ( G `  w )  e.  ran  G )
116 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( l  =  ( G `  w )  ->  (
l  e.  ran  G  <->  ( G `  w )  e.  ran  G ) )
117116anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  ( G `  w )  ->  (
( ph  /\  l  e.  ran  G )  <->  ( ph  /\  ( G `  w
)  e.  ran  G
) ) )
118 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( l  =  ( G `  w )  ->  (
( Y `  l
)  e.  l  <->  ( Y `  l )  e.  ( G `  w ) ) )
119 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( l  =  ( G `  w )  ->  ( Y `  l )  =  ( Y `  ( G `  w ) ) )
120119eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( l  =  ( G `  w )  ->  (
( Y `  l
)  e.  ( G `
 w )  <->  ( Y `  ( G `  w
) )  e.  ( G `  w ) ) )
121118, 120bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  ( G `  w )  ->  (
( Y `  l
)  e.  l  <->  ( Y `  ( G `  w
) )  e.  ( G `  w ) ) )
122117, 121imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  ( G `  w )  ->  (
( ( ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  ( Y `  l )  e.  l )  <->  ( ( ph  /\  ( G `  w
)  e.  ran  G
)  ->  ( Y `  ( G `  w
) )  e.  ( G `  w ) ) ) )
12326a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  e.  ran  G  -> 
( ( ph  /\  l  e.  ran  G )  ->  ( Y `  l )  e.  l ) )
124122, 123vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G `  w )  e.  ran  G  -> 
( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  ( Y `  ( G `  w ) )  e.  ( G `
 w ) ) )
125115, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  ( Y `  ( G `  w
) )  e.  ( G `  w ) ) )
126125pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  ( Y `  ( G `  w
) )  e.  ( G `  w ) )
127126adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  /\  ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )  ->  ( Y `  ( G `  w ) )  e.  ( G `  w
) )
128114, 127eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  /\  ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )  ->  (
( Y  o.  F
) `  i )  e.  ( G `  w
) )
129105, 128jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  /\  ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) ) )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i
)  e.  ( G `
 w ) ) )
130129ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  ( (
i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) )  -> 
( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) ) ) )
131130eximdv 1608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  ( E. i ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  i )  =  ( G `  w ) )  ->  E. i
( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) ) ) )
132104, 131mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  E. i
( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) ) )
133 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... M ) ( ( Y  o.  F
) `  i )  e.  ( G `  w
)  <->  E. i ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  (
( Y  o.  F
) `  i )  e.  ( G `  w
) ) )
134132, 133sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( G `  w )  e.  ran  G )  ->  E. i  e.  ( 1 ... M
) ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )
13591, 134syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  X ) )  ->  E. i  e.  (
1 ... M ) ( ( Y  o.  F
) `  i )  e.  ( G `  w
) )
136 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  t  e.  w )
137 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  ph )
138 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  w  e.  X )
139137, 138jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  ( ph  /\  w  e.  X ) )
140 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )
141139, 140jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  ( ( ph  /\  w  e.  X
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) ) )
142 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  (
( Y  o.  F
) `  i )  e.  ( G `  w
) )  ->  (
( Y  o.  F
) `  i )  e.  ( G `  w
) )
143 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  X )
144143, 78jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  X  /\  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  e.  _V ) )
14514fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  X  /\  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  e.  _V )  ->  ( G `
 w )  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
146144, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  ( G `  w )  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
147146eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  (
( ( Y  o.  F ) `  i
)  e.  ( G `
 w )  <->  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } ) )
148147biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  (
( Y  o.  F
) `  i )  e.  ( G `  w
) )  ->  (
( Y  o.  F
) `  i )  e.  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
149142, 148syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  (
( Y  o.  F
) `  i )  e.  ( G `  w
) )  ->  (
( Y  o.  F
) `  i )  e.  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
150141, 149syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
151 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ h
( ( Y  o.  F ) `  i
)
152 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ h  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `  i ) `  t
) }
153 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  ( ( Y  o.  F ) `  i )  ->  (
h `  t )  =  ( ( ( Y  o.  F ) `
 i ) `  t ) )
154153breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( h  =  ( ( Y  o.  F ) `  i )  ->  (
0  <  ( h `  t )  <->  0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )
155154rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( ( Y  o.  F ) `  i )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t ) } )
156155eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( ( Y  o.  F ) `  i )  ->  (
w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  <->  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t ) } ) )
157151, 33, 152, 156elrabf 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Y  o.  F
) `  i )  e.  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }  <->  ( ( ( Y  o.  F ) `  i
)  e.  Q  /\  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `  i ) `  t
) } ) )
158150, 157sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  ( (
( Y  o.  F
) `  i )  e.  Q  /\  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t ) } ) )
159158simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t ) } )
160136, 159eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  t  e.  { t  e.  T  | 
0  <  ( (
( Y  o.  F
) `  i ) `  t ) } )
161 rabid 2716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( ( ( Y  o.  F ) `  i ) `  t
) }  <->  ( t  e.  T  /\  0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `  i ) `  t
) ) )
162160, 161sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  ( t  e.  T  /\  0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `  i ) `  t
) ) )
163162simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
t  e.  w  /\  w  e.  X )
)  /\  ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w ) )  ->  0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
)
164163ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w )  ->  0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )
165164reximdv 2654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  X ) )  -> 
( E. i  e.  ( 1 ... M
) ( ( Y  o.  F ) `  i )  e.  ( G `  w )  ->  E. i  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F
) `  i ) `  t ) ) )
166135, 165mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  w  /\  w  e.  X ) )  ->  E. i  e.  (
1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `
 i ) `  t ) )
167166ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  w  /\  w  e.  X )  ->  E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )
168167adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( (
t  e.  w  /\  w  e.  X )  ->  E. i  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F
) `  i ) `  t ) ) )
16967, 168eximd 1750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( E. w ( t  e.  w  /\  w  e.  X )  ->  E. w E. i  e.  (
1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `
 i ) `  t ) ) )
17065, 169mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. w E. i  e.  (
1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `
 i ) `  t ) )
171 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ w E. i  e.  (
1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `
 i ) `  t )
172 idd 21 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( E. i  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `
 i ) `  t )  ->  E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )
17367, 171, 172exlimd 1803 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( E. w E. i  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F
) `  i ) `  t )  ->  E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )
174170, 173mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
)
175174ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  E. i  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F
) `  i ) `  t ) ) )
17661, 175ralrimi 2624 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F
) `  i ) `  t ) )
17760, 176jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o.  F ) : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )
1781, 177jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  ( ( Y  o.  F ) : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) ) )
179 stoweidlem27.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
1802, 179jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  Fn  ran  G  /\  ran  G  e. 
_V ) )
181 fnex 5741 . . . . . 6  |-  ( ( Y  Fn  ran  G  /\  ran  G  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
182180, 181syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
183 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
184183a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  _V )
18598, 184jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  Fn  (
1 ... M )  /\  ( 1 ... M
)  e.  _V )
)
186 fnex 5741 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  ( 1 ... M )  /\  ( 1 ... M
)  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
187185, 186syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
188182, 187jca 518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  _V  /\  F  e.  _V )
)
189 coexg 5215 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( Y  o.  F
)  e.  _V )
190188, 189syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  o.  F
)  e.  _V )
191 feq1 5375 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( Y  o.  F )  ->  (
q : ( 1 ... M ) --> Q  <-> 
( Y  o.  F
) : ( 1 ... M ) --> Q ) )
192 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  ( Y  o.  F )  ->  (
q `  i )  =  ( ( Y  o.  F ) `  i ) )
193192fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( Y  o.  F )  ->  (
( q `  i
) `  t )  =  ( ( ( Y  o.  F ) `
 i ) `  t ) )
194193breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  ( Y  o.  F )  ->  (
0  <  ( (
q `  i ) `  t )  <->  0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )
195194rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( q  =  ( Y  o.  F )  ->  ( E. i  e.  (
1 ... M ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t )  <->  E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )
196195ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( Y  o.  F )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )
197191, 196anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( q  =  ( Y  o.  F )  ->  (
( q : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
)  <->  ( ( Y  o.  F ) : ( 1 ... M
) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) ) )
198197anbi2d 684 . . . 4  |-  ( q  =  ( Y  o.  F )  ->  (
( M  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )  <->  ( M  e.  NN  /\  ( ( Y  o.  F ) : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `
 i ) `  t ) ) ) ) )
199198spcegv 2869 . . 3  |-  ( ( Y  o.  F )  e.  _V  ->  (
( M  e.  NN  /\  ( ( Y  o.  F ) : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( ( Y  o.  F ) `  i
) `  t )
) )  ->  E. q
( M  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) ) )
200190, 199syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  NN  /\  ( ( Y  o.  F ) : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( ( Y  o.  F ) `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. q ( M  e.  NN  /\  (
q : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) ) )
201178, 200mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. q ( M  e.  NN  /\  (
q : ( 1 ... M ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867   NNcn 9746   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  stoweidlem35  27784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861
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