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Theorem stoweidlem28 27777
Description: There exists a δ as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < delta < 1 and p >= delta on 
T  \  U. Here  d is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem28.1  |-  F/_ t U
stoweidlem28.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem28.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem28.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem28.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem28.6  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem28.7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
stoweidlem28.8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem28  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Distinct variable groups:    t, d, P    T, d, t    U, d    t, J
Allowed substitution hints:    ph( t, d)    U( t)    J( d)    K( t, d)

Proof of Theorem stoweidlem28
Dummy variables  c  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
2 2re 9815 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
3 2ne0 9829 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
41, 2, 33pm3.2i 1130 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )
5 redivcl 9479 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
7 halfgt0 9932 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  2
)
86, 7pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  2
) )
9 elrp 10356 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  <->  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( 1  /  2
) ) )
108, 9mpbir 200 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR+ )
12 halflt1 9933 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  <  1
)
14 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ t T
15 stoweidlem28.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ t U
1614, 15nfdif 3297 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( T  \  U
)
17 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ t (/)
1816, 17nfeq 2426 . . . . . 6  |-  F/ t ( T  \  U
)  =  (/)
1918rzalf 27688 . . . . 5  |-  ( ( T  \  U )  =  (/)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
)
2019adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2
)  <_  ( P `  t ) )
2111, 13, 203jca 1132 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  /\  ( 1  / 
2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2
)  <_  ( P `  t ) ) )
22 elex 2796 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  _V )
236, 22ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
24 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  e.  RR+  <->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ ) )
25 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <  1  <->  ( 1  /  2 )  <  1 ) )
26 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <_  ( P `  t )  <->  ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) )
2726ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
) )
2824, 25, 273anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) ) )
2923, 28spcev 2875 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
3021, 29syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
31 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )
32 stoweidlem28.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
33 stoweidlem28.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
34 stoweidlem28.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
35 cmptop 17122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
3633, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
37 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
3834, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
39 stoweidlem28.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  = 
U. J
4038, 39syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
4136, 40jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  U  C_  T )
)
4239isopn2 16769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U  C_  T )  -> 
( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4434, 43mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4533, 44jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
46 cmpcld 17129 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
4745, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e. 
Comp )
4847adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
49 stoweidlem28.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
5049adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  P  e.  ( J  Cn  K
) )
51 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( T 
\  U )  C_  T
5251a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( T 
\  U )  C_  T )
5350, 52jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( T  \  U )  C_  T ) )
5439cnrest 17013 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( P  |`  ( T  \  U ) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
5553, 54syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( P  |`  ( T  \  U
) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
56 df-ne 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
5751a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  T )
5836, 57jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U
)  C_  T )
)
5939restuni 16893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
61 neeq1 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( ( T  \  U )  =/=  (/) 
<-> 
U. ( Jt  ( T 
\  U ) )  =/=  (/) ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) ) )
6356, 62syl5rbbr 251 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) ) )
6463biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) )
6531, 32, 48, 55, 64evth2 18458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s ) )
66 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ s U. ( Jt  ( T  \  U ) )
67 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t J
68 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ tt
6967, 68, 16nfov 5881 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( Jt  ( T  \  U ) )
7069nfuni 3833 . . . . . . 7  |-  F/_ t U. ( Jt  ( T  \  U ) )
71 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t P
7271, 16nfres 4957 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( P  |`  ( T  \  U ) )
73 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
x
7472, 73nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )
75 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  <_
76 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
s
7772, 76nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )
7874, 75, 77nfbr 4067 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)
79 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ s ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
80 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 s )  =  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
8180breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
8266, 70, 78, 79, 81cbvralf 2758 . . . . . 6  |-  ( A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
8382rexbii 2568 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. s  e. 
U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
8465, 83sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
8516, 70raleqf 2732 . . . . . . 7  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) ) )
8685rexeqbi1dv 2745 . . . . . 6  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U ) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
8760, 86syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
8887adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  ( T 
\  U ) A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
8984, 88mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
90 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  ph )
91 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
92 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
9390, 91, 923jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  ( ph  /\  x  e.  ( T 
\  U )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
94 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
9532, 39, 94, 49fcnre 27696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
9695adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  P : T
--> RR )
97 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  x  e.  T )
9897adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  T )
9996, 98jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P : T --> RR  /\  x  e.  T ) )
100 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P : T --> RR  /\  x  e.  T )  ->  ( P `  x
)  e.  RR )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR )
102 stoweidlem28.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
)
104 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
105103, 104jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  /\  x  e.  ( T  \  U ) ) )
106 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( T  \  U
)
107 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
0  <  ( P `  t )
108 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ t 0  <  ( P `
 x )
109 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  x  ->  ( P `  t )  =  ( P `  x ) )
110109breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  x  ->  (
0  <  ( P `  t )  <->  0  <  ( P `  x ) ) )
11116, 106, 107, 108, 110cbvralf 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  <->  A. x  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 x ) )
112111biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  ->  A. x  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  x )
)
113112adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  A. x  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `  x ) )
114 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
115113, 114jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( A. x  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  x )  /\  x  e.  ( T  \  U ) ) )
116 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  x
)  ->  ( x  e.  ( T  \  U
)  ->  0  <  ( P `  x ) ) )
117116imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 x )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  -> 
0  <  ( P `  x ) )
118115, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  -> 
0  <  ( P `  x ) )
119105, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( P `  x ) )
120101, 119jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( P `  x )  e.  RR  /\  0  < 
( P `  x
) ) )
121 elrp 10356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  x )  e.  RR+  <->  ( ( P `
 x )  e.  RR  /\  0  < 
( P `  x
) ) )
122120, 121sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR+ )
1231223adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( P `  x
)  e.  RR+ )
124 stoweidlem28.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t
ph
12573, 16nfel 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  x  e.  ( T 
\  U )
126 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
127124, 125, 126nf3an 1774 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
128 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
t  e.  ( T 
\  U ) )
130128, 129jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  /\  t  e.  ( T  \  U
) ) )
131 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  -> 
( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
132131imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t ) )
133130, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
134 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
135 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  =  ( P `  x
) )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  =  ( P `  x ) )
137 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  =  ( P `  t
) )
138129, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  =  ( P `  t ) )
139133, 136, 1383brtr3d 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( P `  x
)  <_  ( P `  t ) )
140139ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
141127, 140ralrimi 2624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `  x )  <_  ( P `  t ) )
142123, 141jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( ( P `  x )  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `  x
)  <_  ( P `  t ) ) )
143 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  e.  RR+  <->  ( P `  x )  e.  RR+ ) )
144 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  <_  ( P `  t )  <->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
145144ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
146143, 145anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  <->  ( ( P `  x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) ) )
147146spcegv 2869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  x )  e.  RR+  ->  ( ( ( P `  x
)  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `
 x )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
148123, 147syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( ( ( P `
 x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
)  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
149142, 148mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. c ( c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
) )
150 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  ph )
151 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
152 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
153150, 151, 1523jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_ 
( P `  t
) ) )
154 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t  c  e.  RR+
155 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )
156124, 154, 155nf3an 1774 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
)
157 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( c  <_  ( 1  /  2 ) ,  c ,  ( 1  /  2 ) )  =  if ( c  <_  ( 1  / 
2 ) ,  c ,  ( 1  / 
2 ) )
158953ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  P : T --> RR )
15951a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
( T  \  U
)  C_  T )
160 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
c  e.  RR+ )
161 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
162156, 157, 158, 159, 160, 161stoweidlem5 27754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
163153, 162syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
164163ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( ( c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) ) )
165164exlimdv 1664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( E. c ( c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) ) )
166149, 165mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
16793, 166syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
168167ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U
) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) ) )
169168ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) ) ) )
170169rexlimdv 2666 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  ( T 
\  U ) A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) ) )
17189, 170mpd 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
17230, 171pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ↾t crest 13325   topGenctg 13342   Topctop 16631   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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