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Theorem stoweidlem29 27778
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1  |-  F/_ t F
stoweidlem29.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem29.3  |-  T  = 
U. J
stoweidlem29.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem29.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem29.6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem29.7  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, T    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 stoweidlem29.3 . . . . . . 7  |-  T  = 
U. J
3 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
4 stoweidlem29.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
51, 2, 3, 4fcnre 27696 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
6 df-f 5259 . . . . . 6  |-  ( F : T --> RR  <->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
75, 6sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
87simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
9 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ s F
10 stoweidlem29.1 . . . . . . 7  |-  F/_ t F
11 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ s T
12 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ t T
13 stoweidlem29.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
14 stoweidlem29.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
159, 10, 11, 12, 2, 1, 13, 4, 14evth2f 27686 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )
16 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ s
ph
17 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ s E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )
187simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  T )
19 fnfun 5341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  T  ->  Fun  F )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  Fun  F )
22 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : T --> RR  ->  dom 
F  =  T )
235, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  F  =  T )
2423eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  =  dom  F
)
2524eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  <->  s  e.  dom  F ) )
2625biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  s  e.  dom  F )
2721, 26jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( Fun  F  /\  s  e. 
dom  F ) )
28 fvelrn 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  dom  F )  -> 
( F `  s
)  e.  ran  F
)
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  ran  F )
3029adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  T )  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t
) )  ->  ( F `  s )  e.  ran  F )
31 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  T )  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t
) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
)
3230, 31jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  T )  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t
) )  ->  (
( F `  s
)  e.  ran  F  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) ) )
33 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
x
34 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
s
3510, 34nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
( F `  s
)
3633, 35nfeq 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  x  =  ( F `
 s )
37 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
3836, 37ralbid 2561 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  <->  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
3938rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  ran  F  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
4032, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  T )  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t
) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
4140exp31 587 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) ) ) )
4216, 17, 41rexlimd 2664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) ) )
4315, 42mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
44 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ x ph
45 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
46 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  ran  F
)
4718ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  F  Fn  T )
48 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
y
4912, 48, 10fvelrnbf 27689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  T  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
5047, 49syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
5146, 50mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y )
52 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t
ph
53 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )
5452, 53nfan 1771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
5510nfrn 4921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t ran  F
5648, 55nfel 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t  y  e.  ran  F
5754, 56nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  /\  y  e.  ran  F )
58 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  x  <_  y
59 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
)  ->  ( t  e.  T  ->  x  <_ 
( F `  t
) ) )
6059imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  x  <_  ( F `  t
) )
61 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  t )  =  y  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  x  <_  y ) )
6260, 61syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  =  y  ->  x  <_  y ) )
6362ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y ) ) )
6463ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
6557, 58, 64rexlimd 2664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) )
6651, 65mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  x  <_  y )
6766ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  ( y  e.  ran  F  ->  x  <_  y ) )
6845, 67ralrimi 2624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
6968ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
7069a1d 22 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  F  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
) )
7144, 70reximdai 2651 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
7243, 71mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
738, 72jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  C_  RR  /\  E. x  e. 
ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y ) )
74 lbinfmcl 9708 . . 3  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F )
7573, 74syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F )
768, 75sseldd 3181 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
778adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ran  F 
C_  RR )
7872adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
7918idi 2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  Fn  T )
80 dffn3 5396 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  T  <->  F : T
--> ran  F )
8179, 80sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : T --> ran  F
)
8281adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  F : T --> ran  F )
83 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
8482, 83jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F : T --> ran  F  /\  t  e.  T
) )
85 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : T --> ran  F  /\  t  e.  T
)  ->  ( F `  t )  e.  ran  F )
8684, 85syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  ran  F )
8777, 78, 863jca 1132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( ran  F  C_  RR  /\  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y  /\  ( F `  t )  e.  ran  F ) )
88 lbinfmle 9709 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y  /\  ( F `  t )  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
8987, 88syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( F `  t
) )
9089ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
9152, 90ralrimi 2624 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
9275, 76, 913jca 1132 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   topGenctg 13342    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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