Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Unicode version

Theorem stoweidlem29 27447
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1  |-  F/_ t F
stoweidlem29.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem29.3  |-  T  = 
U. J
stoweidlem29.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem29.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem29.6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem29.7  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, T    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
3 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
51, 2, 3, 4fcnre 27365 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
6 df-f 5399 . . . . 5  |-  ( F : T --> RR  <->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
75, 6sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
87simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
9 nfcv 2524 . . . . . 6  |-  F/_ s F
10 stoweidlem29.1 . . . . . 6  |-  F/_ t F
11 nfcv 2524 . . . . . 6  |-  F/_ s T
12 nfcv 2524 . . . . . 6  |-  F/_ t T
13 stoweidlem29.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
14 stoweidlem29.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
159, 10, 11, 12, 2, 1, 13, 4, 14evth2f 27355 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )
16 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ s
ph
17 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ s E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )
187simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  T )
19 fnfun 5483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  T  ->  Fun  F )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2120adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  Fun  F )
22 fdm 5536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : T --> RR  ->  dom 
F  =  T )
235, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  T )
2423eqcomd 2393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  =  dom  F
)
2524eleq2d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  <->  s  e.  dom  F ) )
2625biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  s  e.  dom  F )
27 fvelrn 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  dom  F )  -> 
( F `  s
)  e.  ran  F
)
2821, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  ran  F )
29 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
s
3010, 29nffv 5676 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( F `  s
)
3130nfeq2 2535 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  x  =  ( F `
 s )
32 breq1 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
3331, 32ralbid 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  <->  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
3433rspcev 2996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  ran  F  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
3528, 34sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  T )  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t
) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
3635exp31 588 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) ) ) )
3716, 17, 36rexlimd 2771 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) ) )
3815, 37mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
39 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
40 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  ran  F
)
4118ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  F  Fn  T )
42 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
y
4312, 42, 10fvelrnbf 27358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  T  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
4540, 44mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y )
46 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t
ph
47 nfra1 2700 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )
4846, 47nfan 1836 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
4910nfrn 5053 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t ran  F
5049nfcri 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  y  e.  ran  F
5148, 50nfan 1836 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  /\  y  e.  ran  F )
52 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  x  <_  y
53 rsp 2710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
)  ->  ( t  e.  T  ->  x  <_ 
( F `  t
) ) )
5453imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  x  <_  ( F `  t
) )
55 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  t )  =  y  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  x  <_  y ) )
5654, 55syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  =  y  ->  x  <_  y ) )
5756ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y ) ) )
5857ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
5951, 52, 58rexlimd 2771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) )
6045, 59mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  x  <_  y )
6160ex 424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  ( y  e.  ran  F  ->  x  <_  y ) )
6239, 61ralrimi 2731 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
6362ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
6463reximdv 2761 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
6538, 64mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
66 lbinfmcl 9895 . . 3  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F )
678, 65, 66syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F )
688, 67sseldd 3293 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
698adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ran  F 
C_  RR )
7065adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
71 dffn3 5539 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  T  <->  F : T
--> ran  F )
7218, 71sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : T --> ran  F
)
7372fnvinran 27354 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  ran  F )
74 lbinfmle 9896 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y  /\  ( F `  t )  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
7569, 70, 73, 74syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( F `  t
) )
7675ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
7746, 76ralrimi 2731 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
7867, 68, 773jca 1134 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   F/_wnfc 2511    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   (/)c0 3572   U.cuni 3958   class class class wbr 4154   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   ran crn 4820   Fun wfun 5389    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   supcsup 7381   RRcr 8923    < clt 9054    <_ cle 9055   (,)cioo 10849   topGenctg 13593    Cn ccn 17211   Compccmp 17372
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  27480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262
  Copyright terms: Public domain W3C validator