Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem29 Unicode version

Theorem stoweidlem29 27645
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the inf of the range of the function belongs to the range, it is real and it a lower bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem29.1  |-  F/_ t F
stoweidlem29.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem29.3  |-  T  = 
U. J
stoweidlem29.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem29.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem29.6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem29.7  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem29  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Distinct variable groups:    t, T    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t)    F( t)

Proof of Theorem stoweidlem29
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem29.4 . . . . . 6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 stoweidlem29.3 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
3 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
4 stoweidlem29.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
51, 2, 3, 4fcnre 27563 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
6 df-f 5417 . . . . 5  |-  ( F : T --> RR  <->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
75, 6sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  Fn  T  /\  ran  F  C_  RR ) )
87simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
9 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ s F
10 stoweidlem29.1 . . . . . 6  |-  F/_ t F
11 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ s T
12 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ t T
13 stoweidlem29.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
14 stoweidlem29.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
159, 10, 11, 12, 2, 1, 13, 4, 14evth2f 27553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )
16 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ s
ph
17 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ s E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )
187simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  T )
19 fnfun 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  T  ->  Fun  F )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2120adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  Fun  F )
22 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : T --> RR  ->  dom 
F  =  T )
235, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  T )
2423eqcomd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  =  dom  F
)
2524eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  <->  s  e.  dom  F ) )
2625biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  s  e.  dom  F )
27 fvelrn 5825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  dom  F )  -> 
( F `  s
)  e.  ran  F
)
2821, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  ran  F )
29 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
s
3010, 29nffv 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( F `  s
)
3130nfeq2 2551 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  x  =  ( F `
 s )
32 breq1 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
3331, 32ralbid 2684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  s )  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  <->  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )
) )
3433rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  ran  F  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t ) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
3528, 34sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  T )  /\  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t
) )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
3635exp31 588 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) ) ) )
3716, 17, 36rexlimd 2787 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  s )  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) ) )
3815, 37mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )
39 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
40 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  ran  F
)
4118ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  F  Fn  T )
42 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
y
4312, 42, 10fvelrnbf 27556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  T  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y ) )
4540, 44mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y )
46 stoweidlem29.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t
ph
47 nfra1 2716 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )
4846, 47nfan 1842 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )
4910nfrn 5071 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t ran  F
5049nfcri 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  y  e.  ran  F
5148, 50nfan 1842 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  /\  y  e.  ran  F )
52 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  x  <_  y
53 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
)  ->  ( t  e.  T  ->  x  <_ 
( F `  t
) ) )
5453imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  x  <_  ( F `  t
) )
55 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  t )  =  y  ->  (
x  <_  ( F `  t )  <->  x  <_  y ) )
5654, 55syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  =  y  ->  x  <_  y ) )
5756ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
)  ->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y ) ) )
5857ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( t  e.  T  ->  ( ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) ) )
5951, 52, 58rexlimd 2787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( E. t  e.  T  ( F `  t )  =  y  ->  x  <_  y
) )
6045, 59mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  x  <_  y )
6160ex 424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  ( y  e.  ran  F  ->  x  <_  y ) )
6239, 61ralrimi 2747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t ) )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
6362ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
6463reximdv 2777 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
ran  F A. t  e.  T  x  <_  ( F `  t )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
)
6538, 64mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )
66 lbinfmcl 9918 . . 3  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F )
678, 65, 66syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F )
688, 67sseldd 3309 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
698adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ran  F 
C_  RR )
7065adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_ 
y )
71 dffn3 5557 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  T  <->  F : T
--> ran  F )
7218, 71sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : T --> ran  F
)
7372fnvinran 27552 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  ran  F )
74 lbinfmle 9919 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
E. x  e.  ran  F A. y  e.  ran  F  x  <_  y  /\  ( F `  t )  e.  ran  F )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
7569, 70, 73, 74syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( F `  t
) )
7675ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
7746, 76ralrimi 2747 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
7867, 68, 773jca 1134 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2527    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077   (,)cioo 10872   topGenctg 13620    Cn ccn 17242   Compccmp 17403
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  27678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305
  Copyright terms: Public domain W3C validator