Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem3 Unicode version

Theorem stoweidlem3 27855
 Description: Lemma for stoweid 27915: if is positive and all terms of a finite product are larger than , then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1
stoweidlem3.2
stoweidlem3.3
stoweidlem3.4
stoweidlem3.5
stoweidlem3.6
stoweidlem3.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . . 5
2 elnnuz 10280 . . . . 5
31, 2sylib 188 . . . 4
43idi 2 . . 3
5 eluzfz2 10820 . . 3
64, 5syl 15 . 2
7 oveq2 5882 . . . . 5
8 fveq2 5541 . . . . 5
97, 8breq12d 4052 . . . 4
109imbi2d 307 . . 3
11 oveq2 5882 . . . . 5
12 fveq2 5541 . . . . 5
1311, 12breq12d 4052 . . . 4
1413imbi2d 307 . . 3
15 oveq2 5882 . . . . 5
16 fveq2 5541 . . . . 5
1715, 16breq12d 4052 . . . 4
1817imbi2d 307 . . 3
19 oveq2 5882 . . . . 5
20 fveq2 5541 . . . . 5
2119, 20breq12d 4052 . . . 4
2221imbi2d 307 . . 3
23 stoweidlem3.7 . . . . . . 7
24 rpcn 10378 . . . . . . 7
2523, 24syl 15 . . . . . 6
26 exp1 11125 . . . . . 6
2725, 26syl 15 . . . . 5
28 1z 10069 . . . . . . . . . . 11
2928a1i 10 . . . . . . . . . 10
30 nnz 10061 . . . . . . . . . . 11
311, 30syl 15 . . . . . . . . . 10
3229, 31, 293jca 1132 . . . . . . . . 9
33 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12
34 leid 8932 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
3635a1i 10 . . . . . . . . . 10
37 nnge1 9788 . . . . . . . . . . 11
381, 37syl 15 . . . . . . . . . 10
3936, 38jca 518 . . . . . . . . 9
4032, 39jca 518 . . . . . . . 8
41 elfz2 10805 . . . . . . . 8
4240, 41sylibr 203 . . . . . . 7
43 id 19 . . . . . . . 8
4443, 42jca 518 . . . . . . 7
45 nfcv 2432 . . . . . . . 8
46 stoweidlem3.2 . . . . . . . . . 10
47 nfv 1609 . . . . . . . . . 10
4846, 47nfan 1783 . . . . . . . . 9
49 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10
50 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10
51 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . . 11
5251, 45nffv 5548 . . . . . . . . . 10
5349, 50, 52nfbr 4083 . . . . . . . . 9
5448, 53nfim 1781 . . . . . . . 8
55 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10
5655anbi2d 684 . . . . . . . . 9
57 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
5857breq2d 4051 . . . . . . . . 9
5956, 58imbi12d 311 . . . . . . . 8
60 stoweidlem3.6 . . . . . . . . 9
6160a1i 10 . . . . . . . 8
6245, 54, 59, 61vtoclgaf 2861 . . . . . . 7
6342, 44, 62sylc 56 . . . . . 6
64 stoweidlem3.3 . . . . . . . . 9
6564fveq1i 5542 . . . . . . . 8
66 seq1 11075 . . . . . . . . 9
6728, 66ax-mp 8 . . . . . . . 8
6865, 67eqtri 2316 . . . . . . 7
6968a1i 10 . . . . . 6
7063, 69breqtrrd 4065 . . . . 5
7127, 70eqbrtrd 4059 . . . 4
7271a1i 10 . . 3
73233ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12 ..^
74 rpre 10376 . . . . . . . . . . . 12
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . 11 ..^
76 elfzouz 10895 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
77 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . . . . 14
78 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14
7977, 78sylbir 204 . . . . . . . . . . . . 13
8076, 79syl 15 . . . . . . . . . . . 12 ..^
81803ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11 ..^
8275, 81jca 518 . . . . . . . . . 10 ..^
83 reexpcl 11136 . . . . . . . . . 10
8482, 83syl 15 . . . . . . . . 9 ..^
8564fveq1i 5542 . . . . . . . . . . 11
8676adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 ..^
87 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14
88 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
8988, 46nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
90 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9189, 90nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
9251, 87nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . 16
93 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9492, 93nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15
9591, 94nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
96 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
98 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15
10097, 99imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
101 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102101ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
10328a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
10431ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
105 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106105adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
107103, 104, 1063jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
108 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
109108adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
110 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
111105, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
113 elfzoelz 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
114 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
115113, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
116115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
117 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1181, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
119118ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
120112, 116, 1193jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
121 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
122121adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
123 elfzoel2 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
124 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
125123, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
126115, 125jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
127 elfzolt2 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
128 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
129126, 127, 128sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
130129ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
131122, 130jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
132 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133120, 131, 132sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
134109, 133jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
135107, 134jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
136 elfz2 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137135, 136sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
138102, 137jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
139 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
141140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
14287, 95, 100, 141vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
143142anabsi7 792 . . . . . . . . . . . 12 ..^
144 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . 13
145144adantl 452 . . . . . . . . . . . 12 ..^
14686, 143, 145seqcl 11082 . . . . . . . . . . 11 ..^
14785, 146syl5eqel 2380 . . . . . . . . . 10 ..^
1481473adant2 974 . . . . . . . . 9 ..^
14984, 148jca 518 . . . . . . . 8 ..^
150 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . 15
151150a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
15223, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
153151, 152jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
154 rpgt0 10381 . . . . . . . . . . . . . 14
15523, 154syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
156 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . 13
157153, 155, 156sylc 56 . . . . . . . . . . . 12
1581573ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11 ..^
15975, 81, 1583jca 1132 . . . . . . . . . 10 ..^
160 expge0 11154 . . . . . . . . . 10
161159, 160syl 15 . . . . . . . . 9 ..^
162 simp3 957 . . . . . . . . . . 11 ..^
163 simp2 956 . . . . . . . . . . 11 ..^
164162, 163jca 518 . . . . . . . . . 10 ..^
165 pm3.35 570 . . . . . . . . . 10
166164, 165syl 15 . . . . . . . . 9 ..^
167161, 166jca 518 . . . . . . . 8 ..^
168149, 167jca 518 . . . . . . 7 ..^
1691013ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11 ..^
170 fzofzp1 10932 . . . . . . . . . . . 12 ..^
1711703ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11 ..^
172169, 171jca 518 . . . . . . . . . 10 ..^
173 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
174172, 173syl 15 . . . . . . . . 9 ..^
17575, 174jca 518 . . . . . . . 8 ..^
176 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12 ..^
177170adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 ..^
178176, 177jca 518 . . . . . . . . . . 11 ..^
179 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
180 id 19 . . . . . . . . . . . 12
181 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
182 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15
18346, 182nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14
18451, 181nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15
18549, 50, 184nfbr 4083 . . . . . . . . . . . . . 14
186183, 185nfim 1781 . . . . . . . . . . . . 13
187 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15
188187anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14
189 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
190189breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14
191188, 190imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13
192181, 186, 191, 61vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . 12
193179, 180, 192sylc 56 . . . . . . . . . . 11
194178, 193syl 15 . . . . . . . . . 10 ..^
1951943adant2 974 . . . . . . . . 9 ..^
196158, 195jca 518 . . . . . . . 8 ..^
197175, 196jca 518 . . . . . . 7 ..^
198168, 197jca 518 . . . . . 6 ..^
199 ltmul12a 9628 . . . . . 6
200198, 199syl 15 . . . . 5 ..^
201253ad2ant3 978 . . . . . . 7 ..^
202201, 81jca 518 . . . . . 6 ..^
203 expp1 11126 . . . . . 6
204202, 203syl 15 . . . . 5 ..^
20564fveq1i 5542 . . . . . . 7
206205a1i 10 . . . . . 6 ..^
207763ad2ant1 976 . . . . . . . 8 ..^
208 seqp1 11077 . . . . . . . 8
209207, 208syl 15 . . . . . . 7 ..^
21085a1i 10 . . . . . . . . 9 ..^
211210eqcomd 2301 . . . . . . . 8 ..^
212211oveq1d 5889 . . . . . . 7 ..^
213209, 212eqtrd 2328 . . . . . 6 ..^
214206, 213eqtrd 2328 . . . . 5 ..^
215200, 204, 2143brtr4d 4069 . . . 4 ..^
2162153exp 1150 . . 3 ..^
21710, 14, 18, 22, 72, 216fzind2 10939 . 2
2186, 217mpcom 32 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419   class class class wbr 4039  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cfz 10798  ..^cfzo 10886   cseq 11062  cexp 11120 This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27894 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121
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