Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem3 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem3 27730
 Description: Lemma for stoweid 27790: if is positive and all terms of a finite product are larger than , then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1
stoweidlem3.2
stoweidlem3.3
stoweidlem3.4
stoweidlem3.5
stoweidlem3.6
stoweidlem3.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . 4
2 elnnuz 10524 . . . 4
31, 2sylib 190 . . 3
4 eluzfz2 11067 . . 3
53, 4syl 16 . 2
6 oveq2 6091 . . . . 5
7 fveq2 5730 . . . . 5
86, 7breq12d 4227 . . . 4
98imbi2d 309 . . 3
10 oveq2 6091 . . . . 5
11 fveq2 5730 . . . . 5
1210, 11breq12d 4227 . . . 4
1312imbi2d 309 . . 3
14 oveq2 6091 . . . . 5
15 fveq2 5730 . . . . 5
1614, 15breq12d 4227 . . . 4
1716imbi2d 309 . . 3
18 oveq2 6091 . . . . 5
19 fveq2 5730 . . . . 5
2018, 19breq12d 4227 . . . 4
2120imbi2d 309 . . 3
22 1z 10313 . . . . . . . . . 10
2322a1i 11 . . . . . . . . 9
241nnzd 10376 . . . . . . . . 9
2523, 24, 233jca 1135 . . . . . . . 8
26 1le1 9652 . . . . . . . . 9
2726a1i 11 . . . . . . . 8
281nnge1d 10044 . . . . . . . 8
2925, 27, 28jca32 523 . . . . . . 7
30 elfz2 11052 . . . . . . 7
3129, 30sylibr 205 . . . . . 6
3231ancli 536 . . . . . 6
33 nfcv 2574 . . . . . . 7
34 stoweidlem3.2 . . . . . . . . 9
35 nfv 1630 . . . . . . . . 9
3634, 35nfan 1847 . . . . . . . 8
37 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
38 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
39 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . 10
4039, 33nffv 5737 . . . . . . . . 9
4137, 38, 40nfbr 4258 . . . . . . . 8
4236, 41nfim 1833 . . . . . . 7
43 eleq1 2498 . . . . . . . . 9
4443anbi2d 686 . . . . . . . 8
45 fveq2 5730 . . . . . . . . 9
4645breq2d 4226 . . . . . . . 8
4744, 46imbi12d 313 . . . . . . 7
48 stoweidlem3.6 . . . . . . 7
4933, 42, 47, 48vtoclgf 3012 . . . . . 6
5031, 32, 49sylc 59 . . . . 5
51 stoweidlem3.7 . . . . . . 7
5251rpcnd 10652 . . . . . 6
5352exp1d 11520 . . . . 5
54 stoweidlem3.3 . . . . . . . 8
5554fveq1i 5731 . . . . . . 7
56 seq1 11338 . . . . . . . 8
5722, 56ax-mp 8 . . . . . . 7
5855, 57eqtri 2458 . . . . . 6
5958a1i 11 . . . . 5
6050, 53, 593brtr4d 4244 . . . 4
6160a1i 11 . . 3
62513ad2ant3 981 . . . . . . . 8 ..^
6362rpred 10650 . . . . . . 7 ..^
64 elfzouz 11146 . . . . . . . . 9 ..^
65 elnnuz 10524 . . . . . . . . . 10
66 nnnn0 10230 . . . . . . . . . 10
6765, 66sylbir 206 . . . . . . . . 9
6864, 67syl 16 . . . . . . . 8 ..^
69683ad2ant1 979 . . . . . . 7 ..^
7063, 69reexpcld 11542 . . . . . 6 ..^
7154fveq1i 5731 . . . . . . . 8
7264adantr 453 . . . . . . . . 9 ..^
73 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7473, 34nfan 1847 . . . . . . . . . . . 12 ..^
75 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12
7674, 75nfan 1847 . . . . . . . . . . 11 ..^
77 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13
7839, 77nffv 5737 . . . . . . . . . . . 12
7978nfel1 2584 . . . . . . . . . . 11
8076, 79nfim 1833 . . . . . . . . . 10 ..^
81 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12
8281anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
83 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
8483eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11
8582, 84imbi12d 313 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
86 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . 12
8786ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11 ..^
8822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
8924ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
90 elfzelz 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
9288, 89, 913jca 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
93 elfzle1 11062 . . . . . . . . . . . . . 14
9493adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
9590zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
97 elfzoelz 11142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
9897zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
9998ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
1001nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15
101100ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
102 elfzle2 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
104 elfzoel2 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
105104zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
106 elfzolt2 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
10798, 105, 106ltled 9223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
108107ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
10996, 99, 101, 103, 108letrd 9229 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
11092, 94, 109jca32 523 . . . . . . . . . . . 12 ..^
111 elfz2 11052 . . . . . . . . . . . 12
112110, 111sylibr 205 . . . . . . . . . . 11 ..^
11387, 112ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . 10 ..^
11480, 85, 113chvar 1969 . . . . . . . . 9 ..^
115 remulcl 9077 . . . . . . . . . 10
116115adantl 454 . . . . . . . . 9 ..^
11772, 114, 116seqcl 11345 . . . . . . . 8 ..^
11871, 117syl5eqel 2522 . . . . . . 7 ..^
1191183adant2 977 . . . . . 6 ..^
120863ad2ant3 981 . . . . . . 7 ..^
121 fzofzp1 11191 . . . . . . . 8 ..^
1221213ad2ant1 979 . . . . . . 7 ..^
123120, 122ffvelrnd 5873 . . . . . 6 ..^
12451rpge0d 10654 . . . . . . . 8
1251243ad2ant3 981 . . . . . . 7 ..^
12663, 69, 125expge0d 11543 . . . . . 6 ..^
127 simp3 960 . . . . . . 7 ..^
128 simp2 959 . . . . . . 7 ..^
129127, 128mpd 15 . . . . . 6 ..^
130121adantr 453 . . . . . . . 8 ..^
131 simpr 449 . . . . . . . . 9 ..^
132131, 130jca 520 . . . . . . . 8 ..^
133 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
134 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11
13534, 134nfan 1847 . . . . . . . . . 10
13639, 133nffv 5737 . . . . . . . . . . 11
13737, 38, 136nfbr 4258 . . . . . . . . . 10
138135, 137nfim 1833 . . . . . . . . 9
139 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11
140139anbi2d 686 . . . . . . . . . 10
141 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11
142141breq2d 4226 . . . . . . . . . 10
143140, 142imbi12d 313 . . . . . . . . 9
144133, 138, 143, 48vtoclgf 3012 . . . . . . . 8
145130, 132, 144sylc 59 . . . . . . 7 ..^
1461453adant2 977 . . . . . 6 ..^
14770, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146ltmul12ad 9954 . . . . 5 ..^
148523ad2ant3 981 . . . . . 6 ..^
149148, 69expp1d 11526 . . . . 5 ..^
15054fveq1i 5731 . . . . . . 7
151150a1i 11 . . . . . 6 ..^
152643ad2ant1 979 . . . . . . 7 ..^
153 seqp1 11340 . . . . . . 7
154152, 153syl 16 . . . . . 6 ..^
15571a1i 11 . . . . . . . 8 ..^
156155eqcomd 2443 . . . . . . 7 ..^
157156oveq1d 6098 . . . . . 6 ..^
158151, 154, 1573eqtrd 2474 . . . . 5 ..^
159147, 149, 1583brtr4d 4244 . . . 4 ..^
1601593exp 1153 . . 3 ..^
1619, 13, 17, 21, 61, 160fzind2 11200 . 2
1625, 161mpcom 35 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561   class class class wbr 4214  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   clt 9122   cle 9123  cn 10002  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490  crp 10614  cfz 11045  ..^cfzo 11137   cseq 11325  cexp 11384 This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27769 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385
 Copyright terms: Public domain W3C validator