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Theorem stoweidlem3 27752
Description: Lemma for stoweid 27812: if  A is positive and all  M terms of a finite product are larger than  A, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1  |-  F/_ i F
stoweidlem3.2  |-  F/ i
ph
stoweidlem3.3  |-  X  =  seq  1 (  x.  ,  F )
stoweidlem3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem3.5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
stoweidlem3.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
stoweidlem3.7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Distinct variable groups:    A, i    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    F( i)    X( i)

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables  a  m  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 elnnuz 10264 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
43idi 2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5 eluzfz2 10804 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
7 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ 1 ) )
8 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  n )  =  ( X ` 
1 ) )
97, 8breq12d 4036 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ 1 )  < 
( X `  1
) ) )
109imbi2d 307 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) ) )
11 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ m
) )
12 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( X `  n )  =  ( X `  m ) )
1311, 12breq12d 4036 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
1413imbi2d 307 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ m
)  <  ( X `  m ) ) ) )
15 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ (
m  +  1 ) ) )
16 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( X `  n )  =  ( X `  ( m  +  1
) ) )
1715, 16breq12d 4036 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ ( m  + 
1 ) )  < 
( X `  (
m  +  1 ) ) ) )
1817imbi2d 307 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
19 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ M
) )
20 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( X `  n )  =  ( X `  M ) )
2119, 20breq12d 4036 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
2221imbi2d 307 . . 3  |-  ( n  =  M  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) ) ) )
23 stoweidlem3.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
24 rpcn 10362 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
2523, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
26 exp1 11109 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
2725, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
28 1z 10053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
2928a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
30 nnz 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
311, 30syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3229, 31, 293jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
33 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
34 leid 8916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  <_  1 )
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <_  1
3635a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  1 )
37 nnge1 9772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
381, 37syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
3936, 38jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) )
4032, 39jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
41 elfz2 10789 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
4240, 41sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
43 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ph )
4443, 42jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
45 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
1
46 stoweidlem3.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i
ph
47 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i 1  e.  ( 1 ... M )
4846, 47nfan 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )
49 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i A
50 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i  <
51 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i F
5251, 45nffv 5532 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( F `  1
)
5349, 50, 52nfbr 4067 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  A  <  ( F `
 1 )
5448, 53nfim 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
)
55 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
5655anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
57 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
5857breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  1 ) ) )
5956, 58imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
) ) )
60 stoweidlem3.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
6160a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) ) )
6245, 54, 59, 61vtoclgaf 2848 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  1
) ) )
6342, 44, 62sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  ( F `
 1 ) )
64 stoweidlem3.3 . . . . . . . . 9  |-  X  =  seq  1 (  x.  ,  F )
6564fveq1i 5526 . . . . . . . 8  |-  ( X `
 1 )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 1 )
66 seq1 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
6728, 66ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
6865, 67eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( X `
 1 )  =  ( F `  1
)
6968a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
7063, 69breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  ( X `
 1 ) )
7127, 70eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) )
7271a1i 10 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) )
73233ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR+ )
74 rpre 10360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR )
76 elfzouz 10879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
77 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
78 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
7977, 78sylbir 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  NN0 )
8076, 79syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  NN0 )
81803ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  NN0 )
8275, 81jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A  e.  RR  /\  m  e.  NN0 )
)
83 reexpcl 11120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A ^ m
)  e.  RR )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  e.  RR )
8564fveq1i 5526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X `
 m )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 m )
8676adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
87 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
a
88 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ i  m  e.  ( 1..^ M )
8988, 46nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )
90 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... m )
9189, 90nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) )
9251, 87nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i
( F `  a
)
93 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i RR
9492, 93nfel 2427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( F `  a
)  e.  RR
9591, 94nfim 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
96 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... m )  <->  a  e.  ( 1 ... m
) ) )
9796anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m ) )  <-> 
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) ) ) )
98 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  a  ->  ( F `  i )  =  ( F `  a ) )
9998eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  i
)  e.  RR  <->  ( F `  a )  e.  RR ) )
10097, 99imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR ) ) )
101 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
102101ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
10328a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  e.  ZZ )
10431ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  ZZ )
105 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  ZZ )
106105adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ZZ )
107103, 104, 1063jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
108 elfzle1 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  1  <_  i )
109108adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  <_  i )
110 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
111105, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  RR )
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  RR )
113 elfzoelz 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ZZ )
114 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
115113, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  RR )
116115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  RR )
117 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
1181, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
119118ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  RR )
120112, 116, 1193jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
i  e.  RR  /\  m  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
121 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  <_  m )
122121adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  m )
123 elfzoel2 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  ZZ )
124 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  RR )
126115, 125jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( m  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
127 elfzolt2 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <  M )
128 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( m  <  M  ->  m  <_  M )
)
129126, 127, 128sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <_  M )
130129ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  <_  M )
131122, 130jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
i  <_  m  /\  m  <_  M ) )
132 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  RR  /\  m  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( i  <_  m  /\  m  <_  M )  ->  i  <_  M
) )
133120, 131, 132sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  M )
134109, 133jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
1  <_  i  /\  i  <_  M ) )
135107, 134jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
136 elfz2 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
137135, 136sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
138102, 137jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F : ( 1 ... M ) --> RR  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
139 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... M ) --> RR 
/\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
141140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  (
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR ) )
14287, 95, 100, 141vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( 1 ... m )  ->  (
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR ) )
143142anabsi7 792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
144 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
145144adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )  -> 
( a  x.  j
)  e.  RR )
14686, 143, 145seqcl 11066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  m )  e.  RR )
14785, 146syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( X `  m )  e.  RR )
1481473adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  e.  RR )
14984, 148jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ( A ^
m )  e.  RR  /\  ( X `  m
)  e.  RR ) )
150 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
151150a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
15223, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
153151, 152jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )
154 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
15523, 154syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  A )
156 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
157153, 155, 156sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
1581573ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  A )
15975, 81, 1583jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A  e.  RR  /\  m  e.  NN0  /\  0  <_  A ) )
160 expge0 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  m  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ m
) )
161159, 160syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  ( A ^ m ) )
162 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  ph )
163 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ph  ->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
164162, 163jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ph  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
) ) )
165 pm3.35 570 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( A ^ m
)  <  ( X `  m ) ) )  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)
166164, 165syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  <  ( X `  m ) )
167161, 166jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( 0  <_  ( A ^ m )  /\  ( A ^ m )  <  ( X `  m ) ) )
168149, 167jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ( ( A ^ m )  e.  RR  /\  ( X `
 m )  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( A ^ m )  /\  ( A ^ m )  <  ( X `  m ) ) ) )
1691013ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
170 fzofzp1 10916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
1711703ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
172169, 171jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( F : ( 1 ... M ) --> RR  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
173 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( 1 ... M ) --> RR 
/\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( F `  ( m  +  1 ) )  e.  RR )
174172, 173syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( F `  (
m  +  1 ) )  e.  RR )
17575, 174jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A  e.  RR  /\  ( F `  (
m  +  1 ) )  e.  RR ) )
176 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ph )
177170adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... M ) )
178176, 177jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )
179 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
180 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... M ) ) )
181 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( m  +  1 )
182 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
18346, 182nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
18451, 181nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( F `  (
m  +  1 ) )
18549, 50, 184nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  A  <  ( F `
 ( m  + 
1 ) )
186183, 185nfim 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
187 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
188187anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
189 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
190189breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
191188, 190imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
192181, 186, 191, 61vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
193179, 180, 192sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )
194178, 193syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
1951943adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) )
196158, 195jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( 0  <_  A  /\  A  <  ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
197175, 196jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  ( F `
 ( m  + 
1 ) )  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) ) )
198168, 197jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ( ( ( A ^ m )  e.  RR  /\  ( X `  m )  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( A ^ m )  /\  ( A ^ m )  <  ( X `  m ) ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  ( F `  ( m  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
199 ltmul12a 9612 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A ^ m )  e.  RR  /\  ( X `
 m )  e.  RR )  /\  (
0  <_  ( A ^ m )  /\  ( A ^ m )  <  ( X `  m ) ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  ( F `  ( m  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )  ->  (
( A ^ m
)  x.  A )  <  ( ( X `
 m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
200198, 199syl 15 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ( A ^
m )  x.  A
)  <  ( ( X `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
201253ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  CC )
202201, 81jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )
)
203 expp1 11110 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( A ^ m )  x.  A ) )
204202, 203syl 15 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( A ^ m )  x.  A ) )
20564fveq1i 5526 . . . . . . 7  |-  ( X `
 ( m  + 
1 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) )
206205a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )
207763ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
208 seqp1 11061 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
209207, 208syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
21085a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  m
) )
211210eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 m )  =  ( X `  m
) )
212211oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( ( X `  m
)  x.  ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
213209, 212eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( X `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
214206, 213eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( X `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
215200, 204, 2143brtr4d 4053 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) )
2162153exp 1150 . . 3  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
21710, 14, 18, 22, 72, 216fzind2 10923 . 2  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  ->  ( ph  ->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
2186, 217mpcom 32 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870    seq cseq 11046   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105
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