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Theorem stoweidlem3 27730
Description: Lemma for stoweid 27790: if  A is positive and all  M terms of a finite product are larger than  A, then the finite product is larger than A^M. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem3.1  |-  F/_ i F
stoweidlem3.2  |-  F/ i
ph
stoweidlem3.3  |-  X  =  seq  1 (  x.  ,  F )
stoweidlem3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem3.5  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
stoweidlem3.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
stoweidlem3.7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem3  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Distinct variable groups:    A, i    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    F( i)    X( i)

Proof of Theorem stoweidlem3
Dummy variables  a  m  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem3.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 elnnuz 10524 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylib 190 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4 eluzfz2 11067 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... M ) )
6 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ 1 ) )
7 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  n )  =  ( X ` 
1 ) )
86, 7breq12d 4227 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ 1 )  < 
( X `  1
) ) )
98imbi2d 309 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) ) )
10 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ m
) )
11 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( X `  n )  =  ( X `  m ) )
1210, 11breq12d 4227 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
1312imbi2d 309 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ m
)  <  ( X `  m ) ) ) )
14 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ (
m  +  1 ) ) )
15 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( X `  n )  =  ( X `  ( m  +  1
) ) )
1614, 15breq12d 4227 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ ( m  + 
1 ) )  < 
( X `  (
m  +  1 ) ) ) )
1716imbi2d 309 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
18 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ M
) )
19 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  ( X `  n )  =  ( X `  M ) )
2018, 19breq12d 4227 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( A ^ n
)  <  ( X `  n )  <->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
2120imbi2d 309 . . 3  |-  ( n  =  M  ->  (
( ph  ->  ( A ^ n )  < 
( X `  n
) )  <->  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) ) ) )
22 1z 10313 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
241nnzd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2523, 24, 233jca 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
26 1le1 9652 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  1 )
281nnge1d 10044 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
2925, 27, 28jca32 523 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
30 elfz2 11052 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
3129, 30sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
3231ancli 536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
33 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ i
1
34 stoweidlem3.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ i
ph
35 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ i 1  e.  ( 1 ... M )
3634, 35nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )
37 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i A
38 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i  <
39 stoweidlem3.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i F
4039, 33nffv 5737 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( F `  1
)
4137, 38, 40nfbr 4258 . . . . . . . 8  |-  F/ i  A  <  ( F `
 1 )
4236, 41nfim 1833 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
)
43 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
4443anbi2d 686 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
45 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
4645breq2d 4226 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  1 ) ) )
4744, 46imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  1 )
) ) )
48 stoweidlem3.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  i
) )
4933, 42, 47, 48vtoclgf 3012 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  1  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  <  ( F `  1
) ) )
5031, 32, 49sylc 59 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  ( F `
 1 ) )
51 stoweidlem3.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
5251rpcnd 10652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5352exp1d 11520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
54 stoweidlem3.3 . . . . . . . 8  |-  X  =  seq  1 (  x.  ,  F )
5554fveq1i 5731 . . . . . . 7  |-  ( X `
 1 )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 1 )
56 seq1 11338 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
5722, 56ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
5855, 57eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( X `
 1 )  =  ( F `  1
)
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
6050, 53, 593brtr4d 4244 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) )
6160a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ 1 )  <  ( X `
 1 ) ) )
62513ad2ant3 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR+ )
6362rpred 10650 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  RR )
64 elfzouz 11146 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
65 elnnuz 10524 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
66 nnnn0 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
6765, 66sylbir 206 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  m  e.  NN0 )
6864, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  NN0 )
69683ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  NN0 )
7063, 69reexpcld 11542 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  e.  RR )
7154fveq1i 5731 . . . . . . . 8  |-  ( X `
 m )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 m )
7264adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
73 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  m  e.  ( 1..^ M )
7473, 34nfan 1847 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )
75 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... m )
7674, 75nfan 1847 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) )
77 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
a
7839, 77nffv 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( F `  a
)
7978nfel1 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( F `  a
)  e.  RR
8076, 79nfim 1833 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
81 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... m )  <->  a  e.  ( 1 ... m
) ) )
8281anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m ) )  <-> 
( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m ) ) ) )
83 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  ( F `  i )  =  ( F `  a ) )
8483eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  i
)  e.  RR  <->  ( F `  a )  e.  RR ) )
8582, 84imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  (
1 ... m ) )  ->  ( F `  a )  e.  RR ) ) )
86 stoweidlem3.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
8786ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
8822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  e.  ZZ )
8924ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  ZZ )
90 elfzelz 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  ZZ )
9190adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ZZ )
9288, 89, 913jca 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
93 elfzle1 11062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  1  <_  i )
9493adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  1  <_  i )
9590zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  e.  RR )
9695adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  RR )
97 elfzoelz 11142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  ZZ )
9897zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  e.  RR )
9998ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  e.  RR )
1001nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
101100ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  M  e.  RR )
102 elfzle2 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1 ... m )  ->  i  <_  m )
103102adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  m )
104 elfzoel2 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  ZZ )
105104zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  RR )
106 elfzolt2 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <  M )
10798, 105, 106ltled 9223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  m  <_  M )
108107ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  m  <_  M )
10996, 99, 101, 103, 108letrd 9229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  <_  M )
11092, 94, 109jca32 523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
111 elfz2 11052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
112110, 111sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
11387, 112ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  i  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
11480, 85, 113chvar 1969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  a  e.  ( 1 ... m
) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
115 remulcl 9077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
116115adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  /\  ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )  -> 
( a  x.  j
)  e.  RR )
11772, 114, 116seqcl 11345 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  m )  e.  RR )
11871, 117syl5eqel 2522 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( X `  m )  e.  RR )
1191183adant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  e.  RR )
120863ad2ant3 981 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  F : ( 1 ... M ) --> RR )
121 fzofzp1 11191 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
1221213ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
123120, 122ffvelrnd 5873 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( F `  (
m  +  1 ) )  e.  RR )
12451rpge0d 10654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
1251243ad2ant3 981 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  A )
12663, 69, 125expge0d 11543 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
0  <_  ( A ^ m ) )
127 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  ph )
128 simp2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ph  ->  ( A ^ m )  < 
( X `  m
) ) )
129127, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ m
)  <  ( X `  m ) )
130121adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... M ) )
131 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ph )
132131, 130jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )
133 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( m  +  1 )
134 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
13534, 134nfan 1847 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
13639, 133nffv 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( F `  (
m  +  1 ) )
13737, 38, 136nfbr 4258 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  A  <  ( F `
 ( m  + 
1 ) )
138135, 137nfim 1833 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( m  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
139 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
140139anbi2d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
141 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( m  +  1
) ) )
142141breq2d 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A  <  ( F `  i )  <->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
143140, 142imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  i )
)  <->  ( ( ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
144133, 138, 143, 48vtoclgf 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ph  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
145130, 132, 144sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )
1461453adant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  <  ( F `  ( m  +  1
) ) )
14770, 119, 63, 123, 126, 129, 125, 146ltmul12ad 9954 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( ( A ^
m )  x.  A
)  <  ( ( X `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
148523ad2ant3 981 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  A  e.  CC )
149148, 69expp1d 11526 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  =  ( ( A ^ m )  x.  A ) )
15054fveq1i 5731 . . . . . . 7  |-  ( X `
 ( m  + 
1 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) )
151150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) ) )
152643ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
153 seqp1 11340 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )
154152, 153syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )
15571a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  m
) )
156155eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 m )  =  ( X `  m
) )
157156oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  m )  x.  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( ( X `  m
)  x.  ( F `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
158151, 154, 1573eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( X `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( X `  m )  x.  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )
159147, 149, 1583brtr4d 4244 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ( 1..^ M )  /\  ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  /\  ph )  -> 
( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) )
1601593exp 1153 . . 3  |-  ( m  e.  ( 1..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( A ^
m )  <  ( X `  m )
)  ->  ( ph  ->  ( A ^ (
m  +  1 ) )  <  ( X `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
1619, 13, 17, 21, 61, 160fzind2 11200 . 2  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  ->  ( ph  ->  ( A ^ M )  <  ( X `  M )
) )
1625, 161mpcom 35 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( X `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   class class class wbr 4214   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ...cfz 11045  ..^cfzo 11137    seq cseq 11325   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385
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