Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem32 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem32 27748
 Description: If a set A of real functions from a common domain T is a subalgebra and it contains constants, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G and finally scaled by a real Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem32.1
stoweidlem32.2
stoweidlem32.3
stoweidlem32.4
stoweidlem32.5
stoweidlem32.6
stoweidlem32.7
stoweidlem32.8
stoweidlem32.9
stoweidlem32.10
stoweidlem32.11
Assertion
Ref Expression
stoweidlem32
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,,)   (,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem stoweidlem32
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem32.2 . . 3
2 stoweidlem32.1 . . . 4
3 stoweidlem32.3 . . . . . . . . . . 11
4 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
54sumeq2sdv 12490 . . . . . . . . . . . 12
65cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . 11
73, 6eqtri 2455 . . . . . . . . . 10
87a1i 11 . . . . . . . . 9
9 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
109sumeq2sdv 12490 . . . . . . . . . 10
1110adantl 453 . . . . . . . . 9
12 simpr 448 . . . . . . . . 9
13 fzfid 11304 . . . . . . . . . 10
14 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13
15 stoweidlem32.7 . . . . . . . . . . . . . 14
1615fnvinran 27652 . . . . . . . . . . . . 13
17 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1817anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 feq1 5568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2018, 19imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 stoweidlem32.11 . . . . . . . . . . . . . . 15
2220, 21vtoclg 3003 . . . . . . . . . . . . . 14
2316, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2414, 16, 23mp2and 661 . . . . . . . . . . . 12
2524adantlr 696 . . . . . . . . . . 11
26 simplr 732 . . . . . . . . . . 11
2725, 26ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10
2813, 27fsumrecl 12520 . . . . . . . . 9
298, 11, 12, 28fvmptd 5802 . . . . . . . 8
3029, 28eqeltrd 2509 . . . . . . 7
3130recnd 9106 . . . . . 6
32 stoweidlem32.4 . . . . . . . . . . 11
33 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . 12
3433cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . 11
3532, 34eqtr4i 2458 . . . . . . . . . 10
3635a1i 11 . . . . . . . . 9
37 eqidd 2436 . . . . . . . . 9
38 stoweidlem32.6 . . . . . . . . . 10
3938adantr 452 . . . . . . . . 9
4036, 37, 12, 39fvmptd 5802 . . . . . . . 8
4140, 39eqeltrd 2509 . . . . . . 7
4241recnd 9106 . . . . . 6
4331, 42mulcomd 9101 . . . . 5
4440, 29oveq12d 6091 . . . . 5
4543, 44eqtr2d 2468 . . . 4
462, 45mpteq2da 4286 . . 3
471, 46syl5eq 2479 . 2
48 stoweidlem32.5 . . . 4
49 stoweidlem32.8 . . . 4
502, 3, 48, 15, 49, 21stoweidlem20 27736 . . 3
51 stoweidlem32.10 . . . . . 6
5251stoweidlem4 27720 . . . . 5
5338, 52mpdan 650 . . . 4
5432, 53syl5eqel 2519 . . 3
55 nfmpt1 4290 . . . . . 6
563, 55nfcxfr 2568 . . . . 5
5756nfeq2 2582 . . . 4
58 nfmpt1 4290 . . . . . 6
5932, 58nfcxfr 2568 . . . . 5
6059nfeq2 2582 . . . 4
61 stoweidlem32.9 . . . 4
6257, 60, 61stoweidlem6 27722 . . 3
6350, 54, 62mpd3an23 1281 . 2
6447, 63eqeltrd 2509 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725   cmpt 4258  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987  cn 9992  cfz 11035  csu 12471 This theorem is referenced by:  stoweidlem44  27760 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472
 Copyright terms: Public domain W3C validator