Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem33 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem33 27760
 Description: If a set of real functions from a common domain is closed under addition, multiplication and it contains constants, then it is closed under subtraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem33.1
stoweidlem33.2
stoweidlem33.3
stoweidlem33.4
stoweidlem33.5
stoweidlem33.6
stoweidlem33.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem33
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem stoweidlem33
StepHypRef Expression
1 stoweidlem33.3 . 2
2 stoweidlem33.1 . 2
3 stoweidlem33.2 . 2
4 eqid 2438 . 2
5 eqid 2438 . 2
6 eqid 2438 . 2
7 stoweidlem33.4 . 2
8 stoweidlem33.5 . 2
9 stoweidlem33.6 . 2
10 stoweidlem33.7 . 2
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10stoweidlem22 27749 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937  wnf 1554   wcel 1726  wnfc 2561   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cr 8991  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   cmin 9293  cneg 9294 This theorem is referenced by:  stoweidlem40  27767  stoweidlem41  27768 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127  df-sub 9295  df-neg 9296
 Copyright terms: Public domain W3C validator