Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem35 Unicode version

Theorem stoweidlem35 27784
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem35.1
stoweidlem35.2
stoweidlem35.3
stoweidlem35.4
stoweidlem35.5
stoweidlem35.6
stoweidlem35.7
stoweidlem35.8
stoweidlem35.9
stoweidlem35.10
stoweidlem35.11
Assertion
Ref Expression
stoweidlem35
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem35
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem35.8 . . . . . . . . . . . . 13
2 stoweidlem35.6 . . . . . . . . . . . . . . 15
3 mptfi 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15
42, 3syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . 14
5 rnfi 7141 . . . . . . . . . . . . . 14
64, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
71, 6syl 15 . . . . . . . . . . . 12
87ancli 534 . . . . . . . . . . 11
9 fnchoice 27700 . . . . . . . . . . . . 13
109adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
11 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
13 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1412, 13jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
152elrnmpt 4926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1615ibi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1716adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
18 stoweidlem35.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
19 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
20 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
212, 20nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2221nfrn 4921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2319, 22nfel 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2418, 23nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
26 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2725, 26jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2927, 28jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
30 stoweidlem35.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3130sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
32 stoweidlem35.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3332eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3431, 33sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
35 rabid 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3634, 35sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3736simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
38 df-rex 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3937, 38sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
40 rabid 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4140exbii 1569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4241biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4339, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4443adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
45 stoweidlem35.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
46 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4745, 46nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
48 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
49 nfrab1 2720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5048, 49nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5147, 50nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
52 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
53 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5453biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5552, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5651, 55eximd 1750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5744, 56mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5829, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5958ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6059ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6124, 60reximdai 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6217, 61mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
63 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
64 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6564a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6624, 63, 65rexlimd 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6762, 66mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68 n0 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6967, 68sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7014, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7271, 13jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73 neeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
74 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7574eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
76 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7775, 76bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7873, 77imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7978rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8072, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8170, 80mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8483eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8684, 85bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8786cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8882, 87sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8911, 88jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
9291eximdv 1608 . . . . . . . . . . . 12
9310, 92mpd 14 . . . . . . . . . . 11
948, 93syl 15 . . . . . . . . . 10
9594a1d 22 . . . . . . . . 9
9695ralrimiv 2625 . . . . . . . 8
97 stoweidlem35.10 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 stoweidlem35.11 . . . . . . . . . . . . . . 15
9997, 98jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
100 ssn0 3487 . . . . . . . . . . . . . 14
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
102 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . 13
103101, 102sylib 188 . . . . . . . . . . . 12
104 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . 14
105 uni0 3854 . . . . . . . . . . . . . 14
106104, 105syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13
107 con3 126 . . . . . . . . . . . . 13
108106, 107ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
109103, 108syl 15 . . . . . . . . . . 11
110 dm0rn0 4895 . . . . . . . . . . . 12
111 stoweidlem35.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112 stoweidlem35.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
113 rabexg 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
115111, 114syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116 nfrab1 2720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
117111, 116nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
118117rabexgf 27695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119115, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120119adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121120ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12218, 121ralrimi 2624 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1232fmpt 5681 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124122, 123sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15
125 dffn2 5390 . . . . . . . . . . . . . . 15
126124, 125sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14
127 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . . 14
128126, 127syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
129128eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12
130110, 129syl5bbr 250 . . . . . . . . . . 11
131109, 130mtbird 292 . . . . . . . . . 10
132 fz1f1o 12183 . . . . . . . . . . . 12
1337, 132syl 15 . . . . . . . . . . 11
134 df-or 359 . . . . . . . . . . 11
135133, 134sylib 188 . . . . . . . . . 10
136131, 135mpd 14 . . . . . . . . 9
137 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12
138 f1oeq2 5464 . . . . . . . . . . . 12
139137, 138syl 15 . . . . . . . . . . 11
140139exbidv 1612 . . . . . . . . . 10
141140rspcev 2884 . . . . . . . . 9
142136, 141syl 15 . . . . . . . 8
14396, 142jca 518 . . . . . . 7
144 r19.29 2683 . . . . . . 7
145143, 144syl 15 . . . . . 6
146 eeanv 1854 . . . . . . . . 9
147146biimpri 197 . . . . . . . 8
148147a1i 10 . . . . . . 7
149148reximdv 2654 . . . . . 6
150145, 149mpd 14 . . . . 5
151 df-rex 2549 . . . . 5
152150, 151sylib 188 . . . 4
153 ax-17 1603 . . . . . . . . . 10
154153anim1i 551 . . . . . . . . 9
155 19.29 1583 . . . . . . . . 9
156154, 155syl 15 . . . . . . . 8
157 ax-17 1603 . . . . . . . . . . 11
158157anim1i 551 . . . . . . . . . 10
159 19.29 1583 . . . . . . . . . 10
160158, 159syl 15 . . . . . . . . 9
161160eximi 1563 . . . . . . . 8
162156, 161syl 15 . . . . . . 7
163 df-3an 936 . . . . . . . . 9
164163anbi2i 675 . . . . . . . 8
1651642exbii 1570 . . . . . . 7
166162, 165sylibr 203 . . . . . 6
167166a1i 10 . . . . 5
168167eximdv 1608 . . . 4
169152, 168mpd 14 . . 3
170115adantr 451 . . . . . . 7
171 simprl 732 . . . . . . 7
172 simprr1 1003 . . . . . . 7
173 elex 2796 . . . . . . . . . 10
174173a1i 10 . . . . . . . . 9
1757, 174mpd 14 . . . . . . . 8
176175adantr 451 . . . . . . 7
177 simprr2 1004 . . . . . . . . . 10
178177adantr 451 . . . . . . . . 9
179 simpr 447 . . . . . . . . 9
180178, 179jca 518 . . . . . . . 8
18177rspccva 2883 . . . . . . . 8
182180, 181syl 15 . . . . . . 7
183 simprr3 1005 . . . . . . 7
18497adantr 451 . . . . . . 7
185 stoweidlem35.1 . . . . . . . 8
186 nfv 1605 . . . . . . . . 9
187 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11
188 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14
189 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
190 nfrab1 2720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
191189, 190nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . . . 15
192 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
193 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
194192, 193nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
195 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
196194, 195nfrab 2721 . . . . . . . . . . . . . . . 16
197111, 196nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . 15
198191, 197nfrab 2721 . . . . . . . . . . . . . 14
199188, 198nfmpt 4108 . . . . . . . . . . . . 13
2002, 199nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . 12
201200nfrn 4921 . . . . . . . . . . 11
202187, 201nffn 5340 . . . . . . . . . 10
203 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11
204201, 203nfral 2596 . . . . . . . . . 10
205 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11
206 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11
207205, 206, 201nff1o 5470 . . . . . . . . . 10
208202, 204, 207nf3an 1774 . . . . . . . . 9
209186, 208nfan 1771 . . . . . . . 8
210185, 209nfan 1771 . . . . . . 7
211 nfv 1605 . . . . . . . . 9
212 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11
213212, 22nffn 5340 . . . . . . . . . 10
214 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11
21522, 214nfral 2596 . . . . . . . . . 10
216 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11
217 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11
218216, 217, 22nff1o 5470 . . . . . . . . . 10
219213, 215, 218nf3an 1774 . . . . . . . . 9
220211, 219nfan 1771 . . . . . . . 8
22118, 220nfan 1771 . . . . . . 7
2222, 170, 171, 172, 176, 182, 183, 184, 210, 221, 117stoweidlem27 27776 . . . . . 6
223222ex 423 . . . . 5
2242232eximdv 1610 . . . 4
225224eximdv 1608 . . 3
226169, 225mpd 14 . 2
227 id 19 . . . 4
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