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Theorem stoweidlem35 27760
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here  ( q `  i ) is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem35.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem35.2  |-  F/ w ph
stoweidlem35.3  |-  F/ h ph
stoweidlem35.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem35.5  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem35.6  |-  G  =  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
stoweidlem35.7  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
stoweidlem35.8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
stoweidlem35.9  |-  ( ph  ->  X  C_  W )
stoweidlem35.10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. X )
stoweidlem35.11  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem35  |-  ( ph  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
Distinct variable groups:    h, i,
t, w    i, m, q, t    i, G    w, Q    T, h, w    U, q    ph, i, m    A, h, t    h, X, i, t, w    w, m   
m, G    Q, q    T, q    t, Z    w, U
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h, q)    A( w, i, m, q)    Q( t, h, i, m)    T( t, i, m)    U( t, h, i, m)    G( w, t, h, q)    J( w, t, h, i, m, q)    W( w, t, h, i, m, q)    X( m, q)    Z( w, h, i, m, q)

Proof of Theorem stoweidlem35
Dummy variables  f 
g  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem35.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2 stoweidlem35.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
3 mptfi 7406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )  e.  Fin )
42, 3syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  Fin  ->  G  e.  Fin )
5 rnfi 7391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Fin  ->  ran  G  e.  Fin )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  Fin  ->  ran  G  e.  Fin )
71, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  Fin )
8 fnchoice 27676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
G  e.  Fin  ->  E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) ) )
98adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ran  G  e. 
Fin )  ->  E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) ) )
10 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  ->  g  Fn  ran  G )
112elrnmpt 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ran  G  -> 
( k  e.  ran  G  <->  E. w  e.  X  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } ) )
1211ibi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ran  G  ->  E. w  e.  X  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )
1312adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  E. w  e.  X  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
14 stoweidlem35.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ w ph
15 nfmpt1 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ w
( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
162, 15nfcxfr 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ w G
1716nfrn 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ w ran  G
1817nfcri 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ w  k  e.  ran  G
1914, 18nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ w
( ph  /\  k  e.  ran  G )
20 stoweidlem35.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  X  C_  W )
2120sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  W )
22 stoweidlem35.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
2321, 22syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
24 rabid 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  <->  ( w  e.  J  /\  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } ) )
2523, 24sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  J  /\  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( h `  t
) } ) )
2625simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } )
27 df-rex 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( h `  t
) }  <->  E. h
( h  e.  Q  /\  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
2826, 27sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
29 rabid 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  <->  ( h  e.  Q  /\  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } ) )
3029exbii 1592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( E. h  h  e.  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  <->  E. h
( h  e.  Q  /\  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
3128, 30sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. h  h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )
3231adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  E. h  h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } } )
33 stoweidlem35.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  F/ h ph
34 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  F/ h  w  e.  X
3533, 34nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  F/ h
( ph  /\  w  e.  X )
36 nfrab1 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  F/_ h { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
3736nfeq2 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  F/ h  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }
3835, 37nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ h
( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
39 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  ( h  e.  k  <->  h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } ) )
4039biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  ( h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  h  e.  k ) )
4140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  ( h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }  ->  h  e.  k ) )
4238, 41eximd 1786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  ( E. h  h  e.  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  E. h  h  e.  k )
)
4332, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  E. h  h  e.  k )
4443adantllr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ran  G )  /\  w  e.  X
)  /\  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)  ->  E. h  h  e.  k )
4544exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  (
w  e.  X  -> 
( k  =  {
h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  ->  E. h  h  e.  k ) ) )
4619, 45reximdai 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( E. w  e.  X  k  =  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  ->  E. w  e.  X  E. h  h  e.  k )
)
4713, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  E. w  e.  X  E. h  h  e.  k )
48 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w E. h  h  e.  k
49 idd 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  X  ->  ( E. h  h  e.  k  ->  E. h  h  e.  k ) )
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  (
w  e.  X  -> 
( E. h  h  e.  k  ->  E. h  h  e.  k )
) )
5119, 48, 50rexlimd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( E. w  e.  X  E. h  h  e.  k  ->  E. h  h  e.  k ) )
5247, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  E. h  h  e.  k )
53 n0 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  k )
5452, 53sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ran  G )  ->  k  =/=  (/) )
5554adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  k  =/=  (/) )
56 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) )
57 neeq1 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  k  ->  (
l  =/=  (/)  <->  k  =/=  (/) ) )
58 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  =  k  ->  (
g `  l )  =  ( g `  k ) )
5958eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  k  ->  (
( g `  l
)  e.  l  <->  ( g `  k )  e.  l ) )
60 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  =  k  ->  (
( g `  k
)  e.  l  <->  ( g `  k )  e.  k ) )
6159, 60bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  =  k  ->  (
( g `  l
)  e.  l  <->  ( g `  k )  e.  k ) )
6257, 61imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  =  k  ->  (
( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l )  <->  ( k  =/=  (/)  ->  ( g `  k )  e.  k ) ) )
6362rspccva 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l )  /\  k  e.  ran  G )  -> 
( k  =/=  (/)  ->  (
g `  k )  e.  k ) )
6456, 63sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( k  =/=  (/)  ->  ( g `  k )  e.  k ) )
6555, 64mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( g `  k )  e.  k )
6665ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  ->  A. k  e.  ran  G ( g `  k
)  e.  k )
67 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  l  ->  (
g `  k )  =  ( g `  l ) )
6867eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
( g `  k
)  e.  k  <->  ( g `  l )  e.  k ) )
69 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  l  ->  (
( g `  l
)  e.  k  <->  ( g `  l )  e.  l ) )
7068, 69bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  l  ->  (
( g `  k
)  e.  k  <->  ( g `  l )  e.  l ) )
7170cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ran  G ( g `  k )  e.  k  <->  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )
7266, 71sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  ->  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )
7310, 72jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  (
g `  l )  e.  l ) ) )  ->  ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l ) )
7473ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) )  ->  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l ) ) )
7574adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ran  G  e. 
Fin )  ->  (
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) )  ->  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l ) ) )
7675eximdv 1632 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ran  G  e. 
Fin )  ->  ( E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( l  =/=  (/)  ->  ( g `  l )  e.  l ) )  ->  E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l ) ) )
779, 76mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ran  G  e. 
Fin )  ->  E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l ) )
787, 77mpdan 650 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. g ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l ) )
7978ralrimivw 2790 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l ) )
80 stoweidlem35.10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. X )
81 stoweidlem35.11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =/=  (/) )
82 ssn0 3660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  \  U
)  C_  U. X  /\  ( T  \  U )  =/=  (/) )  ->  U. X  =/=  (/) )
8380, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. X  =/=  (/) )
8483neneqd 2617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  U. X  =  (/) )
85 unieq 4024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  (/)  ->  U. X  =  U. (/) )
86 uni0 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
8785, 86syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  (/)  ->  U. X  =  (/) )
8884, 87nsyl 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  X  =  (/) )
89 dm0rn0 5086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
G  =  (/)  <->  ran  G  =  (/) )
90 stoweidlem35.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
91 stoweidlem35.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
92 rabexg 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  _V  ->  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) }  e.  _V )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  e.  _V )
9490, 93syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
95 nfrab1 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ h { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
9690, 95nfcxfr 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ h Q
9796rabexgf 27671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Q  e.  _V  ->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  e.  _V )
9894, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }  e.  _V )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  { h  e.  Q  |  w  =  { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) } }  e.  _V )
10014, 99, 2fmptdf 27694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : X --> _V )
101 dffn2 5592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  X  <->  G : X
--> _V )
102100, 101sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  X )
103 fndm 5544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  X  ->  dom  G  =  X )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  G  =  X )
105104eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dom  G  =  (/) 
<->  X  =  (/) ) )
10689, 105syl5bbr 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ran  G  =  (/) 
<->  X  =  (/) ) )
10788, 106mtbird 293 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ran  G  =  (/) )
108 fz1f1o 12504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
G  e.  Fin  ->  ( ran  G  =  (/)  \/  ( ( # `  ran  G )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
1097, 108syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ran  G  =  (/)  \/  ( ( # `  ran  G )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
110109ord 367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  ran  G  =  (/)  ->  ( ( # `
 ran  G )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
111107, 110mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ran  G )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran 
G ) )
112 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( # `  ran  G )  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 ran  G )
) )
113 f1oeq2 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `  ran  G ) )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G  <->  f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran  G ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( # `  ran  G )  ->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G  <->  f :
( 1 ... ( # `
 ran  G )
)
-1-1-onto-> ran  G ) )
115114exbidv 1636 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( # `  ran  G )  ->  ( E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G  <->  E. f  f : ( 1 ... ( # `
 ran  G )
)
-1-1-onto-> ran  G ) )
116115rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  ran  G )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  ran  G ) ) -1-1-onto-> ran 
G )  ->  E. m  e.  NN  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G )
117111, 116syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G )
118 r19.29 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( A. m  e.  NN  E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. m  e.  NN  E. f 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G
)  ->  E. m  e.  NN  ( E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )
11979, 117, 118syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  ( E. g ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )
120 eeanv 1937 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G )  <->  ( E. g ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )
121120biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. g ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G )  ->  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )
122121a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G )  ->  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
123122reximdv 2817 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  ( E. g
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  E. f  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G )  ->  E. m  e.  NN  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
124119, 123mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )
125 df-rex 2711 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  NN  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G )  <->  E. m
( m  e.  NN  /\ 
E. g E. f
( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
126124, 125sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. m ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
127 ax-17 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  A. g  m  e.  NN )
128 19.29 1606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. g  m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )  ->  E. g ( m  e.  NN  /\  E. f
( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
129127, 128sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g ( m  e.  NN  /\  E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
130 ax-17 1626 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  A. f  m  e.  NN )
131 19.29 1606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. f  m  e.  NN  /\  E. f
( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. f ( m  e.  NN  /\  (
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
132130, 131sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )  ->  E. f ( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
133132eximi 1585 . . . . . . . 8  |-  ( E. g ( m  e.  NN  /\  E. f
( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g E. f
( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
134129, 133syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g E. f
( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn 
ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
135 df-3an 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G )  <->  ( (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )
136135anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
1371362exbii 1593 . . . . . . 7  |-  ( E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) )  <->  E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) ) )
138134, 137sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g E. f
( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) )
139138a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran 
G ) )  ->  E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) ) )
140139eximdv 1632 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m ( m  e.  NN  /\  E. g E. f ( ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. m E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) ) )
141126, 140mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. m E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )
14294adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  Q  e.  _V )
143 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  m  e.  NN )
144 simprr1 1005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  g  Fn  ran  G )
145 elex 2964 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
G  e.  Fin  ->  ran 
G  e.  _V )
1467, 145syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
147146adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  ran  G  e. 
_V )
148 simprr2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  A. l  e.  ran  G ( g `
 l )  e.  l )
14961rspccva 3051 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( g `  k )  e.  k )
150148, 149sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) )  /\  k  e.  ran  G )  ->  ( g `  k )  e.  k )
151 simprr3 1007 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G )
15280adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  ( T  \  U )  C_  U. X
)
153 stoweidlem35.1 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
154 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  m  e.  NN
155 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
g
156 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t X
157 nfrab1 2888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t { t  e.  T  |  0  <  (
h `  t ) }
158157nfeq2 2583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }
159 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ t ( h `  Z
)  =  0
160 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ t A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )
161159, 160nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ t ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )
162 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t A
163161, 162nfrab 2889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
16490, 163nfcxfr 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t Q
165158, 164nfrab 2889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
166156, 165nfmpt 4297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( w  e.  X  |->  { h  e.  Q  |  w  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } }
)
1672, 166nfcxfr 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t G
168167nfrn 5112 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t ran  G
169155, 168nffn 5541 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  g  Fn  ran  G
170 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( g `  l
)  e.  l
171168, 170nfral 2759 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l
172 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
f
173 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( 1 ... m
)
174172, 173, 168nff1o 5672 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G
175169, 171, 174nf3an 1849 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G )
176154, 175nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) )
177153, 176nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) )
178 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  m  e.  NN
179 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w
g
180179, 17nffn 5541 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  g  Fn  ran  G
181 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w
( g `  l
)  e.  l
18217, 181nfral 2759 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l
183 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w
f
184 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w
( 1 ... m
)
185183, 184, 17nff1o 5672 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G
186180, 182, 185nf3an 1849 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G )
187178, 186nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) )
18814, 187nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e. 
ran  G ( g `
 l )  e.  l  /\  f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> ran  G ) ) )
1892, 142, 143, 144, 147, 150, 151, 152, 177, 188, 96stoweidlem27 27752 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) ) )  ->  E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
190189ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. q ( m  e.  NN  /\  (
q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) ) )
1911902eximdv 1634 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g E. f ( m  e.  NN  /\  ( g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G
( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) ) )
192191eximdv 1632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m E. g E. f ( m  e.  NN  /\  (
g  Fn  ran  G  /\  A. l  e.  ran  G ( g `  l
)  e.  l  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> ran  G ) )  ->  E. m E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) ) )
193141, 192mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. m E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
194 id 20 . . . 4  |-  ( E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. q ( m  e.  NN  /\  (
q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
195194exlimivv 1645 . . 3  |-  ( E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) )  ->  E. q ( m  e.  NN  /\  (
q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
196195eximi 1585 . 2  |-  ( E. m E. g E. f E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) )  ->  E. m E. q ( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) E. i  e.  ( 1 ... m ) 0  <  ( ( q `
 i ) `  t ) ) ) )
197193, 196syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. m E. q
( m  e.  NN  /\  ( q : ( 1 ... m ) --> Q  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) E. i  e.  ( 1 ... m
) 0  <  (
( q `  i
) `  t )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   0cc0 8990   1c1 8991    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000   ...cfz 11043   #chash 11618
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  27778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619
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