Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem35 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem35 27760
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here is used to represent p(t_i) in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem35.1
stoweidlem35.2
stoweidlem35.3
stoweidlem35.4
stoweidlem35.5
stoweidlem35.6
stoweidlem35.7
stoweidlem35.8
stoweidlem35.9
stoweidlem35.10
stoweidlem35.11
Assertion
Ref Expression
stoweidlem35
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem35
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem35.8 . . . . . . . . . 10
2 stoweidlem35.6 . . . . . . . . . . . 12
3 mptfi 7406 . . . . . . . . . . . 12
42, 3syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . 11
5 rnfi 7391 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
71, 6syl 16 . . . . . . . . 9
8 fnchoice 27676 . . . . . . . . . . 11
98adantl 453 . . . . . . . . . 10
10 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14
112elrnmpt 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1211ibi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1312adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14 stoweidlem35.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15 nfmpt1 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
162, 15nfcxfr 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1716nfrn 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1817nfcri 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1914, 18nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20 stoweidlem35.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2120sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
22 stoweidlem35.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2321, 22syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
24 rabid 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2523, 24sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2625simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
27 df-rex 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2826, 27sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
29 rabid 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3029exbii 1592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3128, 30sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3231adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
33 stoweidlem35.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
34 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3533, 34nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
36 nfrab1 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3736nfeq2 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3835, 37nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
39 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4039biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4238, 41eximd 1786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4332, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4443adantllr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4544exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4619, 45reximdai 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4713, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
49 idd 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5119, 48, 50rexlimd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5247, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 n0 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5452, 53sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5554adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
56 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57 neeq1 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5958eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
60 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6159, 60bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6257, 61imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6362rspccva 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6456, 63sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6555, 64mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7068, 69bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . . . 15
7266, 71sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14
7310, 72jca 519 . . . . . . . . . . . . 13
7473ex 424 . . . . . . . . . . . 12
7574adantr 452 . . . . . . . . . . 11
7675eximdv 1632 . . . . . . . . . 10
779, 76mpd 15 . . . . . . . . 9
787, 77mpdan 650 . . . . . . . 8
7978ralrimivw 2790 . . . . . . 7
80 stoweidlem35.10 . . . . . . . . . . . . 13
81 stoweidlem35.11 . . . . . . . . . . . . 13
82 ssn0 3660 . . . . . . . . . . . . 13
8380, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
8483neneqd 2617 . . . . . . . . . . 11
85 unieq 4024 . . . . . . . . . . . 12
86 uni0 4042 . . . . . . . . . . . 12
8785, 86syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11
8884, 87nsyl 115 . . . . . . . . . 10
89 dm0rn0 5086 . . . . . . . . . . 11
90 stoweidlem35.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 stoweidlem35.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
92 rabexg 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9490, 93syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 nfrab1 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9690, 95nfcxfr 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9796rabexgf 27671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9894, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
10014, 99, 2fmptdf 27694 . . . . . . . . . . . . . 14
101 dffn2 5592 . . . . . . . . . . . . . 14
102100, 101sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13
103 fndm 5544 . . . . . . . . . . . . 13
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12
105104eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11
10689, 105syl5bbr 251 . . . . . . . . . 10
10788, 106mtbird 293 . . . . . . . . 9
108 fz1f1o 12504 . . . . . . . . . . 11
1097, 108syl 16 . . . . . . . . . 10
110109ord 367 . . . . . . . . 9
111107, 110mpd 15 . . . . . . . 8
112 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11
113 f1oeq2 5666 . . . . . . . . . . 11
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10
115114exbidv 1636 . . . . . . . . 9
116115rspcev 3052 . . . . . . . 8
117111, 116syl 16 . . . . . . 7
118 r19.29 2846 . . . . . . 7
11979, 117, 118syl2anc 643 . . . . . 6
120 eeanv 1937 . . . . . . . . 9
121120biimpri 198 . . . . . . . 8
122121a1i 11 . . . . . . 7
123122reximdv 2817 . . . . . 6
124119, 123mpd 15 . . . . 5
125 df-rex 2711 . . . . 5
126124, 125sylib 189 . . . 4
127 ax-17 1626 . . . . . . . . 9
128 19.29 1606 . . . . . . . . 9
129127, 128sylan 458 . . . . . . . 8
130 ax-17 1626 . . . . . . . . . 10
131 19.29 1606 . . . . . . . . . 10
132130, 131sylan 458 . . . . . . . . 9
133132eximi 1585 . . . . . . . 8
134129, 133syl 16 . . . . . . 7
135 df-3an 938 . . . . . . . . 9
136135anbi2i 676 . . . . . . . 8
1371362exbii 1593 . . . . . . 7
138134, 137sylibr 204 . . . . . 6
139138a1i 11 . . . . 5
140139eximdv 1632 . . . 4
141126, 140mpd 15 . . 3
14294adantr 452 . . . . . . 7
143 simprl 733 . . . . . . 7
144 simprr1 1005 . . . . . . 7
145 elex 2964 . . . . . . . . 9
1467, 145syl 16 . . . . . . . 8
147146adantr 452 . . . . . . 7
148 simprr2 1006 . . . . . . . 8
14961rspccva 3051 . . . . . . . 8
150148, 149sylan 458 . . . . . . 7
151 simprr3 1007 . . . . . . 7
15280adantr 452 . . . . . . 7
153 stoweidlem35.1 . . . . . . . 8
154 nfv 1629 . . . . . . . . 9
155 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11
156 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
157 nfrab1 2888 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158157nfeq2 2583 . . . . . . . . . . . . . . 15
159 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161159, 160nfan 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
163161, 162nfrab 2889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16490, 163nfcxfr 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15
165158, 164nfrab 2889 . . . . . . . . . . . . . 14
166156, 165nfmpt 4297 . . . . . . . . . . . . 13
1672, 166nfcxfr 2569 . . . . . . . . . . . 12
168167nfrn 5112 . . . . . . . . . . 11
169155, 168nffn 5541 . . . . . . . . . 10
170 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
171168, 170nfral 2759 . . . . . . . . . 10
172 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11
173 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11
174172, 173, 168nff1o 5672 . . . . . . . . . 10
175169, 171, 174nf3an 1849 . . . . . . . . 9
176154, 175nfan 1846 . . . . . . . 8
177153, 176nfan 1846 . . . . . . 7
178 nfv 1629 . . . . . . . . 9
179 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11
180179, 17nffn 5541 . . . . . . . . . 10
181 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
18217, 181nfral 2759 . . . . . . . . . 10
183 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11
184 nfcv 2572 . . . . . . . . . . 11
185183, 184, 17nff1o 5672 . . . . . . . . . 10
186180, 182, 185nf3an 1849 . . . . . . . . 9
187178, 186nfan 1846 . . . . . . . 8
18814, 187nfan 1846 . . . . . . 7
1892, 142, 143, 144, 147, 150, 151, 152, 177, 188, 96stoweidlem27 27752 . . . . . 6
190189ex 424 . . . . 5
1911902eximdv 1634 . . . 4
192191eximdv 1632 . . 3
193141, 192mpd 15 . 2
194 id 20 . . . 4
195194exlimivv 1645 . . 3
196195eximi 1585 . 2
197193, 196syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936  wal 1549  wex 1550  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  c0 3628  cuni 4015   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cdm 4878   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  cc0 8990  c1 8991   clt 9120   cle 9121  cn 10000  cfz 11043  chash 11618 This theorem is referenced by:  stoweidlem53  27778 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619
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