Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem36 27763
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1
stoweidlem36.2
stoweidlem36.3
stoweidlem36.4
stoweidlem36.5
stoweidlem36.6
stoweidlem36.7
stoweidlem36.8
stoweidlem36.9
stoweidlem36.10
stoweidlem36.11
stoweidlem36.12
stoweidlem36.13
stoweidlem36.14
stoweidlem36.15
stoweidlem36.16
stoweidlem36.17
stoweidlem36.18
stoweidlem36.19
stoweidlem36.20
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12
5 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109nfeq2 2585 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119nfeq2 2585 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1310, 11, 12stoweidlem6 27733 . . . . . . . . . . . . . . 15
148, 8, 13mpd3an23 1282 . . . . . . . . . . . . . 14
157, 14syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . 13
166, 15sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12
173, 4, 5, 16fcnre 27674 . . . . . . . . . . 11
1817fnvinran 27663 . . . . . . . . . 10
1918recnd 9116 . . . . . . . . 9
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
254, 3, 21, 16, 24cncmpmax 27681 . . . . . . . . . . . . 13
2625simp2d 971 . . . . . . . . . . . 12
2720, 26syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . 11
2827recnd 9116 . . . . . . . . . 10
2928adantr 453 . . . . . . . . 9
30 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . 14
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3217, 22ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . . 13
336, 8sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
343, 4, 5, 33fcnre 27674 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534, 22ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3836, 37neeqtrd 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15
3935, 38msqgt0d 9596 . . . . . . . . . . . . . 14
4035, 35remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16
429, 41nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4442, 43, 42nfov 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645, 45oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4741, 44, 46, 7fvmptf 5823 . . . . . . . . . . . . . . 15
4822, 40, 47syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
4939, 48breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . . 13
5025simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . 14
51 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14
5450, 22, 53syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
5531, 32, 26, 49, 54ltletrd 9232 . . . . . . . . . . . 12
5655gt0ne0d 9593 . . . . . . . . . . 11
5720neeq1i 2613 . . . . . . . . . . 11
5856, 57sylibr 205 . . . . . . . . . 10
5958adantr 453 . . . . . . . . 9
6019, 29, 59divrecd 9795 . . . . . . . 8
61 simpr 449 . . . . . . . . . 10
6227, 58rereccld 9843 . . . . . . . . . . 11
6362adantr 453 . . . . . . . . . 10
64 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
6564fvmpt2 5814 . . . . . . . . . 10
6661, 63, 65syl2anc 644 . . . . . . . . 9
6766oveq2d 6099 . . . . . . . 8
6860, 67eqtr4d 2473 . . . . . . 7
692, 68mpteq2da 4296 . . . . . 6
701, 69syl5eq 2482 . . . . 5
71 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8
7271stoweidlem4 27731 . . . . . . 7
7362, 72mpdan 651 . . . . . 6
74 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8
7574nfeq2 2585 . . . . . . 7
76 nfmpt1 4300 . . . . . . . 8
7776nfeq2 2585 . . . . . . 7
7875, 77, 12stoweidlem6 27733 . . . . . 6
7915, 73, 78mpd3an23 1282 . . . . 5
8070, 79eqeltrd 2512 . . . 4
81 stoweidlem36.17 . . . . . . 7
8217, 81ffvelrnd 5873 . . . . . . . 8
8382, 27, 58redivcld 9844 . . . . . . 7
84 nfcv 2574 . . . . . . . 8
8574, 84nffv 5737 . . . . . . . . 9
86 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
87 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
8885, 86, 87nfov 6106 . . . . . . . 8
89 fveq2 5730 . . . . . . . . 9
9089oveq1d 6098 . . . . . . . 8
9184, 88, 90, 1fvmptf 5823 . . . . . . 7
9281, 83, 91syl2anc 644 . . . . . 6
9337, 30syl6eqel 2526 . . . . . . . . . 10
9493, 93remulcld 9118 . . . . . . . . 9
959, 84nffv 5737 . . . . . . . . . . 11
9695, 43, 95nfov 6106 . . . . . . . . . 10
97 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11
9897, 97oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10
9984, 96, 98, 7fvmptf 5823 . . . . . . . . 9
10081, 94, 99syl2anc 644 . . . . . . . 8
10137, 37oveq12d 6101 . . . . . . . . 9
102 0cn 9086 . . . . . . . . . 10
103102mul02i 9257 . . . . . . . . 9
104101, 103syl6eq 2486 . . . . . . . 8
105100, 104eqtrd 2470 . . . . . . 7
106105oveq1d 6098 . . . . . 6
10728, 58div0d 9791 . . . . . 6
10892, 106, 1073eqtrd 2474 . . . . 5
10934fnvinran 27663 . . . . . . . . . . . 12
110109msqge0d 9597 . . . . . . . . . . 11
111109, 109remulcld 9118 . . . . . . . . . . . 12
1127fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . 12
11361, 111, 112syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
114110, 113breqtrrd 4240 . . . . . . . . . 10
11527adantr 453 . . . . . . . . . 10
11655, 20syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . 11
117116adantr 453 . . . . . . . . . 10
118 divge0 9881 . . . . . . . . . 10
11918, 114, 115, 117, 118syl22anc 1186 . . . . . . . . 9
12018, 115, 59redivcld 9844 . . . . . . . . . 10
1211fvmpt2 5814 . . . . . . . . . 10
12261, 120, 121syl2anc 644 . . . . . . . . 9
123119, 122breqtrrd 4240 . . . . . . . 8
12419div1d 9784 . . . . . . . . . . 11
125 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15
126125breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14
127126rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . 13
12850, 127sylan 459 . . . . . . . . . . . 12
129128, 20syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . 11
130124, 129eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . 10
131 1re 9092 . . . . . . . . . . . 12
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11
133 0lt1 9552 . . . . . . . . . . . 12
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11
135 lediv23 9904 . . . . . . . . . . 11
13618, 115, 117, 132, 134, 135syl122anc 1194 . . . . . . . . . 10
137130, 136mpbird 225 . . . . . . . . 9
138122, 137eqbrtrd 4234 . . . . . . . 8
139123, 138jca 520 . . . . . . 7
140139ex 425 . . . . . 6
1412, 140ralrimi 2789 . . . . 5
142108, 141jca 520 . . . 4
143 fveq1 5729 . . . . . . 7
144143eqeq1d 2446 . . . . . 6
145 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8
146145nfeq2 2585 . . . . . . 7
147 fveq1 5729 . . . . . . . . 9
148147breq2d 4226 . . . . . . . 8
149147breq1d 4224 . . . . . . . 8
150148, 149anbi12d 693 . . . . . . 7
151146, 150ralbid 2725 . . . . . 6
152144, 151anbi12d 693 . . . . 5
153152elrab 3094 . . . 4
15480, 142, 153sylanbrc 647 . . 3
155 stoweidlem36.7 . . 3
156154, 155syl6eleqr 2529 . 2
15732, 27, 49, 116divgt0d 9948 . . 3
15832, 27, 58redivcld 9844 . . . 4
15974, 41nffv 5737 . . . . . 6
160159, 86, 87nfov 6106 . . . . 5
161 fveq2 5730 . . . . . 6
162161oveq1d 6098 . . . . 5
16341, 160, 162, 1fvmptf 5823 . . . 4
16422, 158, 163syl2anc 644 . . 3
165157, 164breqtrrd 4240 . 2
166 nfcv 2574 . . . 4
167 stoweidlem36.1 . . . . . 6
168167nfel2 2586 . . . . 5
169 nfv 1630 . . . . 5
170168, 169nfan 1847 . . . 4
171 eleq1 2498 . . . . 5
172 fveq1 5729 . . . . . 6
173172breq2d 4226 . . . . 5
174171, 173anbi12d 693 . . . 4
175166, 170, 174spcegf 3034 . . 3
176175anabsi5 792 . 2
177156, 165, 176syl2anc 644 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561   wne 2601  wral 2707  crab 2711   wss 3322  c0 3630  cuni 4017   class class class wbr 4214   cmpt 4268   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083  csup 7447  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   cmul 8997   clt 9122   cle 9123   cdiv 9679  cioo 10918  ctg 13667   ccn 17290  ccmp 17451 This theorem is referenced by:  stoweidlem43  27770 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354
 Copyright terms: Public domain W3C validator