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Theorem stoweidlem36 27785
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by it's norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1  |-  F/_ h Q
stoweidlem36.2  |-  F/_ t H
stoweidlem36.3  |-  F/_ t F
stoweidlem36.4  |-  F/_ t G
stoweidlem36.5  |-  F/ t
ph
stoweidlem36.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem36.7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem36.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem36.9  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
stoweidlem36.10  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
stoweidlem36.11  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
stoweidlem36.12  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem36.13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem36.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem36.15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem36.16  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
stoweidlem36.17  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
stoweidlem36.18  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem36.19  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
stoweidlem36.20  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    A, f,
g    f, F, g    f, G, g    ph, f, g   
g, N, t    t, h, S    A, h    h, H    T, h    h, Z, t    x, t, N   
x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t)    Q( x, t, f, g, h)    S( x, f, g)    F( x, t, h)    G( x, t, h)    H( x, t, f, g)    J( x, t, f, g, h)    K( x, t, f, g, h)    N( f, h)    Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
2 stoweidlem36.5 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  = 
U. J
5 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
8 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ph )
9 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
108, 9, 93jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  F  e.  A  /\  F  e.  A ) )
11 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ t
f
12 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ t F
1311, 12nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ t  f  =  F
14 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ t
g
1514, 12nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ t  g  =  F
16 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1713, 15, 16stoweidlem6 27755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t ) ) )  e.  A )
1810, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
197, 18syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
206, 19jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  G  e.  A )
)
21 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  G  e.  A )  ->  G  e.  ( J  Cn  K
) )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
233, 4, 5, 22fcnre 27696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : T --> RR )
2423adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  G : T --> RR )
25 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
2624, 25jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
27 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t
)  e.  RR )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  RR )
29 recn 8827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  t )  e.  RR  ->  ( G `  t )  e.  CC )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  CC )
31 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
32 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
33 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
34 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
364, 3, 32, 22, 35cncmpmax 27703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
G ,  RR ,  <  )  e.  ran  G  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
3736simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3831, 37syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
39 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  CC )
426, 9jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  F  e.  A )
)
43 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  F  e.  A )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
453, 4, 5, 44fcnre 27696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
4645, 33jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F : T --> RR  /\  S  e.  T
) )
47 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : T --> RR  /\  S  e.  T )  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
49 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
50 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
51 neeq2 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  Z )  =  0  ->  (
( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z )  <->  ( F `  S )  =/=  0
) )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  =/=  ( F `  Z )  <->  ( F `  S )  =/=  0 ) )
5349, 52mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  0 )
5448, 53jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  e.  RR  /\  ( F `  S
)  =/=  0 ) )
55 msqgt0 9294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  S
)  e.  RR  /\  ( F `  S )  =/=  0 )  -> 
0  <  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S
) ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
5748, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  e.  RR  /\  ( F `  S
)  e.  RR ) )
58 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F `  S
)  e.  RR  /\  ( F `  S )  e.  RR )  -> 
( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )
6033, 59jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR ) )
61 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ t S
6212, 61nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ t
( F `  S
)
63 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ t  x.
6462, 63, 62nfov 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ t
( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)
65 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  =  S  ->  ( F `  t )  =  ( F `  S ) )
6665oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  t
) ) )
6765oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  S
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  S
) ) )
6866, 67eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  S
) ) )
6961, 64, 68, 7fvmptf 5616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )  ->  ( G `  S )  =  ( ( F `  S
)  x.  ( F `
 S ) ) )
7060, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
7156, 70breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <  ( G `
 S ) )
7236simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
7372, 33jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  S  e.  T ) )
74 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  S  ->  ( G `  s )  =  ( G `  S ) )
7574breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  S  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
7675rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  S  e.  T
)  ->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
7773, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
7871, 77jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( G `  S )  /\  ( G `  S
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
79 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8123, 33jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G : T --> RR  /\  S  e.  T
) )
82 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : T --> RR  /\  S  e.  T )  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
8480, 83, 373jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  ( G `  S
)  e.  RR  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR ) )
85 ltletr 8913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( G `  S )  e.  RR  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)  ->  0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 0  < 
( G `  S
)  /\  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )  -> 
0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
8778, 86mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
8887gt0ne0d 9337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
8931neeq1i 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =/=  0  <->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
9088, 89sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  =/=  0 )
9230, 41, 913jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
93 divrec 9440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( 1  /  N
) ) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( 1  /  N
) ) )
95 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
9695a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9796, 38, 903jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
98 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
10125, 100jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
102 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
103102fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t )  =  ( 1  /  N
) )
104101, 103syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
)  =  ( 1  /  N ) )
105104oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) )  =  ( ( G `  t )  x.  ( 1  /  N ) ) )
10694, 105eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )
1072, 106mpteq2da 4105 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) ) )
1081, 107syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t ) ) ) )
1098, 99jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (
1  /  N )  e.  RR ) )
110 stoweidlem36.15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
111110stoweidlem4 27753 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( 1  /  N )  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )
112109, 111syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )  e.  A
)
1138, 19, 1123jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  G  e.  A  /\  (
t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A ) )
114 stoweidlem36.4 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t G
11511, 114nfeq 2426 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  f  =  G
116 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )
11714, 116nfeq 2426 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  g  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
118115, 117, 16stoweidlem6 27755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
119113, 118syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
) ) )  e.  A )
120108, 119eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
121 stoweidlem36.17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
12223, 121jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G : T --> RR  /\  Z  e.  T
) )
123 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : T --> RR  /\  Z  e.  T )  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
124122, 123syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
125124, 38, 903jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
126 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  Z
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( G `  Z
)  /  N )  e.  RR )
127125, 126syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )
128121, 127jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR ) )
129 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t Z
130114, 129nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
( G `  Z
)
131 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t  /
132 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t N
133130, 131, 132nfov 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( ( G `  Z )  /  N
)
134 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  Z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  Z ) )
135134oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  Z  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 Z )  /  N ) )
136129, 133, 135, 1fvmptf 5616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  Z )  =  ( ( G `  Z
)  /  N ) )
137128, 136syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( ( G `  Z )  /  N ) )
13850, 79syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  e.  RR )
139138, 138jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  e.  RR  /\  ( F `  Z
)  e.  RR ) )
140 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  Z
)  e.  RR  /\  ( F `  Z )  e.  RR )  -> 
( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )
141139, 140syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )
142121, 141jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  T  /\  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR ) )
14312, 129nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( F `  Z
)
144143, 63, 143nfov 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)
145 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  Z  ->  ( F `  t )  =  ( F `  Z ) )
146145, 145oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  Z  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 Z )  x.  ( F `  Z
) ) )
147129, 144, 146, 7fvmptf 5616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) ) )
148142, 147syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z ) ) )
149 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  Z )  =  0  ->  (
( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) )  =  ( 0  x.  ( F `  Z
) ) )
150 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  Z )  =  0  ->  (
0  x.  ( F `
 Z ) )  =  ( 0  x.  0 ) )
151149, 150eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  Z )  =  0  ->  (
( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) )  =  ( 0  x.  0 ) )
15250, 151syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
153 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
154153mul02i 9001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
155152, 154syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  0 )
156148, 155eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  0 )
157156oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  =  ( 0  /  N ) )
158137, 157eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( 0  /  N ) )
15940, 90jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
160 div0 9452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 0  /  N
)  =  0 )
161159, 160syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
162158, 161eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  0 )
16345adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  F : T --> RR )
164163, 25jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
165 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
166164, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
167 msqge0 9295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  t )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
168166, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
169166, 166jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  t )  e.  RR ) )
170 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  t )  e.  RR )  -> 
( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR )
171169, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  e.  RR )
17225, 171jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR ) )
1737fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
174172, 173syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
175168, 174breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( G `  t
) )
17628, 175jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) ) )
17738adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  RR )
17887, 31syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  N )
179178adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  N )
180177, 179jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
181176, 180jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) ) )
182 divge0 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( ( G `  t
)  /  N ) )
183181, 182syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  t )  /  N
) )
18428, 177, 913jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
185 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  e.  RR )
186184, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  e.  RR )
18725, 186jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( G `  t )  /  N
)  e.  RR ) )
1881fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( G `  t )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `  t
)  /  N ) )
189187, 188syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `
 t )  /  N ) )
190183, 189breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
191 div1 9453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  t )  e.  CC  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  =  ( G `  t ) )
19230, 191syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  =  ( G `  t ) )
19372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
194193, 25jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  t  e.  T
) )
195 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  t  ->  ( G `  s )  =  ( G `  t ) )
196195breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  t  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
197196rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  t  e.  T
)  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
198194, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
199198, 31syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  N )
200199idi 2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  N )
201192, 200eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  <_  N )
20295a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
203 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
204203a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  1 )
205202, 204jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
20628, 180, 2053jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) ) )
207 lediv23 9648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( ( G `
 t )  /  N )  <_  1  <->  ( ( G `  t
)  /  1 )  <_  N ) )
208206, 207syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  t )  /  N
)  <_  1  <->  ( ( G `  t )  /  1 )  <_  N ) )
209201, 208mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  <_  1 )
210189, 209eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  <_  1 )
211190, 210jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
212211ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
2132, 212ralrimi 2624 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) )
214162, 213jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) )
215120, 214jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  e.  A  /\  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) ) )
216 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  Z )  =  ( H `  Z ) )
217216eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  ( H `  Z )  =  0 ) )
218 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
h
219 stoweidlem36.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t H
220218, 219nfeq 2426 . . . . . . . 8  |-  F/ t  h  =  H
221 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  t )  =  ( H `  t ) )
222221breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( H `  t ) ) )
223221breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( H `  t )  <_  1
) )
224222, 223anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
225220, 224ralbid 2561 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
226217, 225anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) ) )
227226elrab 2923 . . . . 5  |-  ( H  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( H  e.  A  /\  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) ) )
228215, 227sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } )
229 stoweidlem36.7 . . . 4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
230228, 229syl6eleqr 2374 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  Q )
23183, 71jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  e.  RR  /\  0  <  ( G `
 S ) ) )
23238, 178jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
233231, 232jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( G `
 S )  e.  RR  /\  0  < 
( G `  S
) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) ) )
234 divgt0 9624 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G `  S )  e.  RR  /\  0  <  ( G `
 S ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
0  <  ( ( G `  S )  /  N ) )
235233, 234syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( G `  S )  /  N ) )
23683, 38, 903jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
237 redivcl 9479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  S
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( G `  S
)  /  N )  e.  RR )
238236, 237syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )
23933, 238jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR ) )
240114, 61nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( G `  S
)
241240, 131, 132nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ t
( ( G `  S )  /  N
)
242 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( t  =  S  ->  ( G `  t )  =  ( G `  S ) )
243242oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 S )  /  N ) )
24461, 241, 243, 1fvmptf 5616 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  S )  =  ( ( G `  S
)  /  N ) )
245239, 244syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  S
)  =  ( ( G `  S )  /  N ) )
246235, 245breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( H `
 S ) )
247230, 246jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) ) )
248 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  ->  H  e.  Q )
249 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ h H
250 stoweidlem36.1 . . . . . . 7  |-  F/_ h Q
251249, 250nfel 2427 . . . . . 6  |-  F/ h  H  e.  Q
252 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ h
0  <  ( H `  S )
253251, 252nfan 1771 . . . . 5  |-  F/ h
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )
254 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
h  e.  Q  <->  H  e.  Q ) )
255 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  S )  =  ( H `  S ) )
256255breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <  ( h `  S )  <->  0  <  ( H `  S ) ) )
257254, 256anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) )  <-> 
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) ) ) )
258249, 253, 257spcegf 2864 . . . 4  |-  ( H  e.  Q  ->  (
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
259248, 258syl 15 . . 3  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  -> 
( ( H  e.  Q  /\  0  < 
( H `  S
) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) ) ) )
260259pm2.43i 43 . 2  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  S
) ) )
261247, 260syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   (,)cioo 10656   topGenctg 13342    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  27792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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