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Theorem stoweidlem36 27763
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1  |-  F/_ h Q
stoweidlem36.2  |-  F/_ t H
stoweidlem36.3  |-  F/_ t F
stoweidlem36.4  |-  F/_ t G
stoweidlem36.5  |-  F/ t
ph
stoweidlem36.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem36.7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem36.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem36.9  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
stoweidlem36.10  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
stoweidlem36.11  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
stoweidlem36.12  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem36.13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem36.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem36.15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem36.16  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
stoweidlem36.17  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
stoweidlem36.18  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
stoweidlem36.19  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
stoweidlem36.20  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    A, f,
g    f, F, g    f, G, g    ph, f, g   
g, N, t    t, h, S    A, h    h, H    T, h    h, Z, t    x, t, N   
x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t)    Q( x, t, f, g, h)    S( x, f, g)    F( x, t, h)    G( x, t, h)    H( x, t, f, g)    J( x, t, f, g, h)    K( x, t, f, g, h)    N( f, h)    Z( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  = 
U. J
5 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t F
109nfeq2 2585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  f  =  F
119nfeq2 2585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ t  g  =  F
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
1310, 11, 12stoweidlem6 27733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t ) ) )  e.  A )
148, 8, 13mpd3an23 1282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )  e.  A
)
157, 14syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  A )
166, 15sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
173, 4, 5, 16fcnre 27674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : T --> RR )
1817fnvinran 27663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  RR )
1918recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  e.  CC )
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  T )
23 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
254, 3, 21, 16, 24cncmpmax 27681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
G ,  RR ,  <  )  e.  ran  G  /\  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
2625simp2d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2720, 26syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2827recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2928adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  CC )
30 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3217, 22ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  RR )
336, 8sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
343, 4, 5, 33fcnre 27674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
3534, 22ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  e.  RR )
36 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  ( F `
 Z ) )
37 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  =  0 )
3836, 37neeqtrd 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  S
)  =/=  0 )
3935, 38msqgt0d 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
4035, 35remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )
41 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t S
429, 41nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t
( F `  S
)
43 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ t  x.
4442, 43, 42nfov 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t
( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)
45 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  S  ->  ( F `  t )  =  ( F `  S ) )
4645, 45oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  S  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 S )  x.  ( F `  S
) ) )
4741, 44, 46, 7fvmptf 5823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S )
)  e.  RR )  ->  ( G `  S )  =  ( ( F `  S
)  x.  ( F `
 S ) ) )
4822, 40, 47syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( ( F `  S )  x.  ( F `  S ) ) )
4939, 48breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( G `
 S ) )
5025simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
51 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  S  ->  ( G `  s )  =  ( G `  S ) )
5251breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
5352rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  S  e.  T
)  ->  ( G `  S )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5450, 22, 53syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5531, 32, 26, 49, 54ltletrd 9232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
5655gt0ne0d 9593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
5720neeq1i 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =/=  0  <->  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  =/=  0 )
5856, 57sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
5958adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  =/=  0 )
6019, 29, 59divrecd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( 1  /  N
) ) )
61 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
6227, 58rereccld 9843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
6362adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
64 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
6564fvmpt2 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t )  =  ( 1  /  N
) )
6661, 63, 65syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
)  =  ( 1  /  N ) )
6766oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) )  =  ( ( G `  t )  x.  ( 1  /  N ) ) )
6860, 67eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )
692, 68mpteq2da 4296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  /  N
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) ) )
701, 69syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `
 t ) ) ) )
71 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
7271stoweidlem4 27731 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 1  /  N )  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )
7362, 72mpdan 651 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )  e.  A
)
74 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8  |-  F/_ t G
7574nfeq2 2585 . . . . . . 7  |-  F/ t  f  =  G
76 nfmpt1 4300 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) )
7776nfeq2 2585 . . . . . . 7  |-  F/ t  g  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )
7875, 77, 12stoweidlem6 27733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G  e.  A  /\  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) )  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( G `  t
)  x.  ( ( t  e.  T  |->  ( 1  /  N ) ) `  t ) ) )  e.  A
)
7915, 73, 78mpd3an23 1282 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( G `  t )  x.  (
( t  e.  T  |->  ( 1  /  N
) ) `  t
) ) )  e.  A )
8070, 79eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  A )
81 stoweidlem36.17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
8217, 81ffvelrnd 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  e.  RR )
8382, 27, 58redivcld 9844 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )
84 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Z
8574, 84nffv 5737 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( G `  Z
)
86 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t  /
87 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t N
8885, 86, 87nfov 6106 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( G `  Z )  /  N
)
89 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Z  ->  ( G `  t )  =  ( G `  Z ) )
9089oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  Z  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 Z )  /  N ) )
9184, 88, 90, 1fvmptf 5823 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( G `  Z )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  Z )  =  ( ( G `  Z
)  /  N ) )
9281, 83, 91syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  ( ( G `  Z )  /  N ) )
9337, 30syl6eqel 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  Z
)  e.  RR )
9493, 93remulcld 9118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )
959, 84nffv 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t
( F `  Z
)
9695, 43, 95nfov 6106 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)
97 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  Z  ->  ( F `  t )  =  ( F `  Z ) )
9897, 97oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Z  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  =  ( ( F `
 Z )  x.  ( F `  Z
) ) )
9984, 96, 98, 7fvmptf 5823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  T  /\  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  e.  RR )  ->  ( G `  Z )  =  ( ( F `  Z
)  x.  ( F `
 Z ) ) )
10081, 94, 99syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z ) ) )
10137, 37oveq12d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
102 0cn 9086 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
103102mul02i 9257 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
104101, 103syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Z )  x.  ( F `  Z )
)  =  0 )
105100, 104eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  Z
)  =  0 )
106105oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G `  Z )  /  N
)  =  ( 0  /  N ) )
10728, 58div0d 9791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
10892, 106, 1073eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  Z
)  =  0 )
10934fnvinran 27663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
110109msqge0d 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
) )
111109, 109remulcld 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) )  e.  RR )
1127fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  x.  ( F `  t )
)  e.  RR )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `  t
)  x.  ( F `
 t ) ) )
11361, 111, 112syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  =  ( ( F `
 t )  x.  ( F `  t
) ) )
114110, 113breqtrrd 4240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( G `  t
) )
11527adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  RR )
11655, 20syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  N )
117116adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  N )
118 divge0 9881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( G `  t ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( ( G `  t
)  /  N ) )
11918, 114, 115, 117, 118syl22anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  t )  /  N
) )
12018, 115, 59redivcld 9844 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  e.  RR )
1211fvmpt2 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( G `  t )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `  t
)  /  N ) )
12261, 120, 121syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( G `
 t )  /  N ) )
123119, 122breqtrrd 4240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
12419div1d 9784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  =  ( G `  t ) )
125 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  t  ->  ( G `  s )  =  ( G `  t ) )
126125breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
( G `  s
)  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  <->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) ) )
127126rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. s  e.  T  ( G `  s )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  /\  t  e.  T
)  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
12850, 127sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
129128, 20syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( G `  t )  <_  N )
130124, 129eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  1 )  <_  N )
131 1re 9092 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
133 0lt1 9552 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <  1 )
135 lediv23 9904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  t
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( ( G `
 t )  /  N )  <_  1  <->  ( ( G `  t
)  /  1 )  <_  N ) )
13618, 115, 117, 132, 134, 135syl122anc 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  t )  /  N
)  <_  1  <->  ( ( G `  t )  /  1 )  <_  N ) )
137130, 136mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  t
)  /  N )  <_  1 )
138122, 137eqbrtrd 4234 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  <_  1 )
139123, 138jca 520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) )
140139ex 425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
1412, 140ralrimi 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) )
142108, 141jca 520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) )
143 fveq1 5729 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  Z )  =  ( H `  Z ) )
144143eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  ( H `  Z )  =  0 ) )
145 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t H
146145nfeq2 2585 . . . . . . 7  |-  F/ t  h  =  H
147 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  t )  =  ( H `  t ) )
148147breq2d 4226 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( H `  t ) ) )
149147breq1d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( H `  t )  <_  1
) )
150148, 149anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
151146, 150ralbid 2725 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t
)  <_  1 ) ) )
152144, 151anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( H `  t )  /\  ( H `  t )  <_  1 ) ) ) )
153152elrab 3094 . . . 4  |-  ( H  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( H  e.  A  /\  ( ( H `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( H `  t
)  /\  ( H `  t )  <_  1
) ) ) )
15480, 142, 153sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) } )
155 stoweidlem36.7 . . 3  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
156154, 155syl6eleqr 2529 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  Q )
15732, 27, 49, 116divgt0d 9948 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( G `  S )  /  N ) )
15832, 27, 58redivcld 9844 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )
15974, 41nffv 5737 . . . . . 6  |-  F/_ t
( G `  S
)
160159, 86, 87nfov 6106 . . . . 5  |-  F/_ t
( ( G `  S )  /  N
)
161 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  ( G `  t )  =  ( G `  S ) )
162161oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  (
( G `  t
)  /  N )  =  ( ( G `
 S )  /  N ) )
16341, 160, 162, 1fvmptf 5823 . . . 4  |-  ( ( S  e.  T  /\  ( ( G `  S )  /  N
)  e.  RR )  ->  ( H `  S )  =  ( ( G `  S
)  /  N ) )
16422, 158, 163syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  S
)  =  ( ( G `  S )  /  N ) )
165157, 164breqtrrd 4240 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( H `
 S ) )
166 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ h H
167 stoweidlem36.1 . . . . . 6  |-  F/_ h Q
168167nfel2 2586 . . . . 5  |-  F/ h  H  e.  Q
169 nfv 1630 . . . . 5  |-  F/ h
0  <  ( H `  S )
170168, 169nfan 1847 . . . 4  |-  F/ h
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )
171 eleq1 2498 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
h  e.  Q  <->  H  e.  Q ) )
172 fveq1 5729 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
h `  S )  =  ( H `  S ) )
173172breq2d 4226 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
0  <  ( h `  S )  <->  0  <  ( H `  S ) ) )
174171, 173anbi12d 693 . . . 4  |-  ( h  =  H  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 S ) )  <-> 
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) ) ) )
175166, 170, 174spcegf 3034 . . 3  |-  ( H  e.  Q  ->  (
( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `
 S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) ) )
176175anabsi5 792 . 2  |-  ( ( H  e.  Q  /\  0  <  ( H `  S ) )  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  S
) ) )
177156, 165, 176syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  E. h ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    / cdiv 9679   (,)cioo 10918   topGenctg 13667    Cn ccn 17290   Compccmp 17451
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  27770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354
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