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Theorem stoweidlem38 27787
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p,  ( G `  i ) is used for p(t_i). (Contributed by GlaucoSiliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem38.1  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem38.2  |-  P  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
stoweidlem38.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem38.4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
stoweidlem38.5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem38  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  S )  /\  ( P `  S )  <_  1 ) )
Distinct variable groups:    f, i, T    A, f    f, G    ph, f, i    h, i, t, T    A, h    h, G, t    h, Z   
i, M, t    S, i
Allowed substitution hints:    ph( t, h)    A( t, i)    P( t, f, h, i)    Q( t, f, h, i)    S( t, f, h)    G( i)    M( f, h)    Z( t,
f, i)

Proof of Theorem stoweidlem38
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
21a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 stoweidlem38.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4 nnre 9753 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
53, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
6 nnne0 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
73, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
82, 5, 73jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 ) )
9 redivcl 9479 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 )  ->  (
1  /  M )  e.  RR )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
1  /  M )  e.  RR )
12 0le1 9297 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  1
1312a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
142, 13jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )
15 nngt0 9775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
163, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
175, 16jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )
1814, 17jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) ) )
19 divge0 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  M ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  M ) )
2120adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  0  <_  ( 1  /  M
) )
2211, 21jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
( 1  /  M
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  M ) ) )
23 fzfid 11035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
24 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
25 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
2624, 25jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
27 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  S  e.  T )
2826, 27jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T ) )
29 stoweidlem38.1 . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
30 stoweidlem38.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
31 stoweidlem38.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
3229, 30, 31stoweidlem15 27764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( ( G `  i ) `  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 i ) `  S )  /\  (
( G `  i
) `  S )  <_  1 ) )
3332simp1d 967 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( G `  i
) `  S )  e.  RR )
3428, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  S )  e.  RR )
3523, 34fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S )  e.  RR )
36 fzfi 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... M )  e. 
Fin
3736olci 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... M ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 1 ... M )  e. 
Fin )
38 sumz 12195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... M
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
1 ... M )  e. 
Fin )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) 0  =  0 )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) 0  =  0
4039a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) 0  =  0 )
4140adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) 0  =  0 )
4236a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
43 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
4443a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  0  e.  RR )
4532simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  0  <_  ( ( G `  i ) `  S
) )
4628, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( G `  i ) `  S
) )
4742, 44, 34, 46fsumle 12257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) 0  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S ) )
4841, 47eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  S
) )
4935, 48jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  S )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  S )
) )
5022, 49jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
( ( 1  /  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  M ) )  /\  ( sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S ) ) ) )
51 mulge0 9291 . . . 4  |-  ( ( ( ( 1  /  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  M ) )  /\  ( sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S ) ) )  ->  0  <_  (
( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S ) ) )
5250, 51syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  0  <_  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  S )
) )
53 stoweidlem38.2 . . . 4  |-  P  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
5429, 53, 3, 30, 31stoweidlem30 27779 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  ( P `  S )  =  ( ( 1  /  M )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  S
) ) )
5552, 54breqtrrd 4049 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  S
) )
561a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  1  e.  RR )
57 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G `  i ) `  S
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 i ) `  S )  /\  (
( G `  i
) `  S )  <_  1 )  ->  (
( G `  i
) `  S )  <_  1 )
5832, 57syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  S  e.  T )  ->  (
( G `  i
) `  S )  <_  1 )
5928, 58syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  S )  <_  1 )
6059idi 2 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  S )  <_  1 )
6123, 34, 56, 60fsumle 12257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) 1 )
6236a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
63 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6463a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
6562, 64jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  e.  Fin  /\  1  e.  CC ) )
66 fsumconst 12252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  1 ) )
6765, 66syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  1 ) )
68 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
693, 68syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
70 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
7271oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  1 )  =  ( M  x.  1 ) )
73 nncn 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
743, 73syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
75 mulid1 8835 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  CC  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
7772, 76eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  1 )  =  M )
7867, 77eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) 1  =  M )
7978adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) 1  =  M )
8061, 79breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S )  <_  M
)
815adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  M  e.  RR )
821a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  1  e.  RR )
83 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
8483a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  0  <  1 )
8582, 84jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
8617adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )
8785, 86jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M ) ) )
88 divgt0 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M ) )  -> 
0  <  ( 1  /  M ) )
8987, 88syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  0  <  ( 1  /  M
) )
9011, 89jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
( 1  /  M
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  M ) ) )
9135, 81, 903jca 1132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  S )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( ( 1  /  M )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  M
) ) ) )
92 lemul2 9609 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  S
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
( 1  /  M
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  M ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S )  <_  M  <->  ( ( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S ) )  <_ 
( ( 1  /  M )  x.  M
) ) )
9391, 92syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  S )  <_  M  <->  ( ( 1  /  M )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  S
) )  <_  (
( 1  /  M
)  x.  M ) ) )
9480, 93mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  S ) )  <_ 
( ( 1  /  M )  x.  M
) )
9554, 94eqbrtrd 4043 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  ( P `  S )  <_  ( ( 1  /  M )  x.  M
) )
9664, 74, 73jca 1132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  M  =/=  0 ) )
9796adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
1  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  M  =/=  0 ) )
98 divcan1 9433 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  M
)  x.  M )  =  1 )
9997, 98syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
( 1  /  M
)  x.  M )  =  1 )
10095, 99breqtrd 4047 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  ( P `  S )  <_  1 )
10155, 100jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  S  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  S )  /\  ( P `  S )  <_  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337   sum_csu 12158
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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