Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem39 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem39 27764
Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that  r is a finite subset of  W,  x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ xi ≤ 1, xi < ε / m on V(ti), and xi > 1 - ε / m on  B. Here  D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because  A is used for the subalgebra),  M is used to represent m in the paper,  E is used to represent ε, and vi is used to represent V(ti).  W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem39.1  |-  F/ h ph
stoweidlem39.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem39.3  |-  F/ w ph
stoweidlem39.4  |-  U  =  ( T  \  B
)
stoweidlem39.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem39.6  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem39.7  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
stoweidlem39.8  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
stoweidlem39.9  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
stoweidlem39.10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem39.11  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem39.12  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
stoweidlem39.13  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem39  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> W  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    e, h, m, t, w    A, e, h, t, w    e, E, h, t, w    T, e, h, w    U, e, h, w    h, i, r, v, x, m, t, w    A, i, x    i, E, x    T, i, x    U, i, x    ph, i, m, v   
w, Y, x    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, e, h, r)    A( v, m, r)    B( w, v, t, e, h, i, m, r)    D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    T( v, t, m, r)    U( v, t, m, r)    E( v, m, r)    J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem39.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
2 stoweidlem39.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
31, 2jca 519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) ) )
4 ssn0 3660 . . . . . 6  |-  ( ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) )  ->  U. r  =/=  (/) )
5 unieq 4024 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  U. (/) )
6 uni0 4042 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2484 . . . . . . 7  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  (/) )
87necon3i 2643 . . . . . 6  |-  ( U. r  =/=  (/)  ->  r  =/=  (/) )
93, 4, 83syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  =/=  (/) )
109neneqd 2617 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  r  =  (/) )
11 stoweidlem39.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
12 elin 3530 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  <->  ( r  e.  ~P W  /\  r  e.  Fin ) )
1312simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  Fin )
1411, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  e.  Fin )
15 fz1f1o 12504 . . . . 5  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
16 pm2.53 363 . . . . 5  |-  ( ( r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
1714, 15, 163syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  ( ( # `  r )  e.  NN  /\ 
E. v  v : ( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
1810, 17mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
19 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 r ) ) )
20 f1oeq2 5666 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `  r
) )  ->  (
v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2221exbidv 1636 . . . 4  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  E. v  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2322rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r )  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
2418, 23syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
25 f1of 5674 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  v : ( 1 ... m
) --> r )
2625adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> r )
27 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  ph )
2812simplbi 447 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  ~P W )
2928elpwid 3808 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  C_  W )
3027, 11, 293syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  C_  W )
31 fss 5599 . . . . . . 7  |-  ( ( v : ( 1 ... m ) --> r  /\  r  C_  W
)  ->  v :
( 1 ... m
) --> W )
3226, 30, 31syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> W )
331ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. r )
34 dff1o2 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  ( v  Fn  ( 1 ... m
)  /\  Fun  `' v  /\  ran  v  =  r ) )
3534simp3bi 974 . . . . . . . . 9  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  ran  v  =  r )
3635unieqd 4026 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  U. ran  v  =  U. r
)
3736adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  U. ran  v  =  U. r
)
3833, 37sseqtr4d 3385 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. ran  v )
39 stoweidlem39.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ h ph
40 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  m  e.  NN
4139, 40nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( ph  /\  m  e.  NN )
42 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ h  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
4341, 42nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ h
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
44 stoweidlem39.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
45 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  m  e.  NN
4644, 45nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN )
47 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ t  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
4846, 47nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
49 stoweidlem39.3 . . . . . . . . 9  |-  F/ w ph
50 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  m  e.  NN
5149, 50nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( ph  /\  m  e.  NN )
52 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ w  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
5351, 52nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
54 stoweidlem39.5 . . . . . . 7  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
55 stoweidlem39.6 . . . . . . 7  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
56 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  =  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )
57 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  m  e.  NN )
58 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
59 stoweidlem39.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
6059ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  E  e.  RR+ )
61 stoweidlem39.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
6261sselda 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  T )
63 notnot1 116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  B  ->  -.  -.  b  e.  B
)
6463intnand 883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  B  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
66 eldif 3330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( T  \  B )  <->  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B ) )
6765, 66sylnibr 297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  ( T  \  B ) )
68 stoweidlem39.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  =  ( T  \  B
)
6968eleq2i 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  U  <->  b  e.  ( T  \  B ) )
7067, 69sylnibr 297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  U )
7162, 70eldifd 3331 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  ( T  \  U
) )
7271ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
73 dfss3 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  ( T  \  U )  <->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
7472, 73sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( T  \  U ) )
7574ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  B  C_  ( T  \  U
) )
76 stoweidlem39.12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
7776ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  W  e.  _V )
78 stoweidlem39.13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
7978ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  A  e.  _V )
8014ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  e.  Fin )
81 mptfi 7406 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin )
82 rnfi 7391 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin  ->  ran  ( w  e.  r 
|->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  ( E  /  m
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  ( E  /  m
) )  <  (
h `  t )
) } )  e. 
Fin )
8380, 81, 823syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  ran  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
h `  t )  <  ( E  /  m
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  ( E  /  m
) )  <  (
h `  t )
) } )  e. 
Fin )
8443, 48, 53, 54, 55, 56, 30, 57, 58, 60, 75, 77, 79, 83stoweidlem31 27756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  E. x
( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) )
8532, 38, 843jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  (
v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
8685ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8786eximdv 1632 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8887reximdva 2818 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m ) --> W  /\  D  C_  U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m ) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m
) ( A. t  e.  ( v `  i
) ( ( x `
 i ) `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) ) )
8924, 88mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> W  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ran crn 4879   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   0cc0 8990   1c1 8991    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   RR+crp 10612   ...cfz 11043   #chash 11618
This theorem is referenced by:  stoweidlem57  27782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-hash 11619
  Copyright terms: Public domain W3C validator