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Theorem stoweidlem39 27788
Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that  r is a finite subset of  W,  x indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ xi ≤ 1, xi < ε / m on V(ti), and xi > 1 - ε / m on  B. Here  D is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because  A is used for the subalgebra),  M is used to represent m in the paper,  E is used to represent ε, and vi is used to represent V(ti).  W is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem39.1  |-  F/ h ph
stoweidlem39.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem39.3  |-  F/ w ph
stoweidlem39.4  |-  U  =  ( T  \  B
)
stoweidlem39.5  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
stoweidlem39.6  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
stoweidlem39.7  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
stoweidlem39.8  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
stoweidlem39.9  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
stoweidlem39.10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem39.11  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
stoweidlem39.12  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
stoweidlem39.13  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem39  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v ( v : ( 1 ... m
) --> W  /\  D  C_ 
U. ran  v  /\  E. x ( x : ( 1 ... m
) --> Y  /\  A. i  e.  ( 1 ... m ) ( A. t  e.  ( v `  i ) ( ( x `  i ) `  t
)  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  B  (
1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
 i ) `  t ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    e, h, m, t, w    A, e, h, t, w    e, E, h, t, w    T, e, h, w    U, e, h, w    h, i, r, v, x, m, t, w    A, i, x    i, E, x    T, i, x    U, i, x    ph, i, m, v   
w, Y, x    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, w, t, e, h, r)    A( v, m, r)    B( w, v, t, e, h, i, m, r)    D( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    T( v, t, m, r)    U( v, t, m, r)    E( v, m, r)    J( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    W( x, w, v, t, e, h, i, m, r)    Y( v, t, e, h, i, m, r)

Proof of Theorem stoweidlem39
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem39.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  U. r
)
2 stoweidlem39.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
31, 2jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) ) )
4 ssn0 3487 . . . . . . 7  |-  ( ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) )  ->  U. r  =/=  (/) )
5 unieq 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  U. (/) )
6 uni0 3854 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  (/) )
87necon3i 2485 . . . . . . 7  |-  ( U. r  =/=  (/)  ->  r  =/=  (/) )
94, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( D  C_  U. r  /\  D  =/=  (/) )  -> 
r  =/=  (/) )
103, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  r  =/=  (/) )
11 stoweidlem39.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
12 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  <->  ( r  e.  ~P W  /\  r  e.  Fin ) )
1312simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  Fin )
1411, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  r  e.  Fin )
15 hashnncl 11354 . . . . . 6  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
( # `  r )  e.  NN  <->  r  =/=  (/) ) )
1614, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  r
)  e.  NN  <->  r  =/=  (/) ) )
1710, 16mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  r
)  e.  NN )
18 df-ne 2448 . . . . . . 7  |-  ( r  =/=  (/)  <->  -.  r  =  (/) )
1910, 18sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  r  =  (/) )
20 fz1f1o 12183 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
2114, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( r  =  (/)  \/  ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
2221, 19jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( r  =  (/)  \/  ( ( # `  r )  e.  NN  /\ 
E. v  v : ( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )  /\  -.  r  =  (/) ) )
23 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  =  (/)  \/  ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )  /\  -.  r  =  (/) )  ->  (
r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
24 pm2.53 362 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  (/)  \/  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  (
( # `  r )  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  r  =  (/)  ->  ( ( # `  r )  e.  NN  /\ 
E. v  v : ( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) ) )
2619, 25mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
2726simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. v  v : ( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r )
2817, 27jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
29 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `
 r ) ) )
30 f1oeq2 5464 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( # `  r
) )  ->  (
v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
3129, 30syl 15 . . . . 5  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r ) )
3231exbidv 1612 . . . 4  |-  ( m  =  ( # `  r
)  ->  ( E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  E. v  v :
( 1 ... ( # `
 r ) ) -1-1-onto-> r ) )
3332rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( ( # `  r
)  e.  NN  /\  E. v  v : ( 1 ... ( # `  r ) ) -1-1-onto-> r )  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
3428, 33syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. v  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
35 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
36 f1of 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  v : ( 1 ... m
) --> r )
3735, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> r )
38 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  ph )
3938, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) )
4012simplbi 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  e.  ~P W )
41 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ~P W  -> 
r  C_  W )
4240, 41syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  ->  r  C_  W )
4339, 42syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  C_  W )
4437, 43jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  (
v : ( 1 ... m ) --> r  /\  r  C_  W
) )
45 fss 5397 . . . . . . 7  |-  ( ( v : ( 1 ... m ) --> r  /\  r  C_  W
)  ->  v :
( 1 ... m
) --> W )
4644, 45syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  v : ( 1 ... m ) --> W )
4738, 1syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. r )
48 dff1o2 5477 . . . . . . . . . 10  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  <->  ( v  Fn  ( 1 ... m
)  /\  Fun  `' v  /\  ran  v  =  r ) )
4948simp3bi 972 . . . . . . . . 9  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  ran  v  =  r )
5049unieqd 3838 . . . . . . . 8  |-  ( v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r  ->  U. ran  v  =  U. r
)
5135, 50syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  U. ran  v  =  U. r
)
5247, 51sseqtr4d 3215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  D  C_ 
U. ran  v )
53 stoweidlem39.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ h ph
54 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ h  m  e.  NN
5553, 54nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ h
( ph  /\  m  e.  NN )
56 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ h  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
5755, 56nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ h
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
58 stoweidlem39.2 . . . . . . . . 9  |-  F/ t
ph
59 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  m  e.  NN
6058, 59nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  m  e.  NN )
61 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ t  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
6260, 61nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
63 stoweidlem39.3 . . . . . . . . 9  |-  F/ w ph
64 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  m  e.  NN
6563, 64nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( ph  /\  m  e.  NN )
66 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ w  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r
6765, 66nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )
68 stoweidlem39.5 . . . . . . 7  |-  Y  =  { h  e.  A  |  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) }
69 stoweidlem39.6 . . . . . . 7  |-  W  =  { w  e.  J  |  A. e  e.  RR+  E. h  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  e  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  e
)  <  ( h `  t ) ) }
70 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  =  ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  |  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )
7111, 42syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  r  C_  W )
7238, 71syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  C_  W )
73 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  m  e.  NN )
74 stoweidlem39.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
7538, 74syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  E  e.  RR+ )
76 stoweidlem39.11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
7776sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  T )
78 notnot1 114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  B  ->  -.  -.  b  e.  B
)
7978intnand 882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  B  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B
) )
81 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( T  \  B )  <->  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  B ) )
8280, 81sylnibr 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  ( T  \  B ) )
83 stoweidlem39.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U  =  ( T  \  B
)
8483eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  U  <->  b  e.  ( T  \  B ) )
8582, 84sylnibr 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  -.  b  e.  U )
8677, 85jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
b  e.  T  /\  -.  b  e.  U
) )
87 eldif 3162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( T  \  U )  <->  ( b  e.  T  /\  -.  b  e.  U ) )
8886, 87sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  ( T  \  U
) )
8988ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
90 dfss3 3170 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  ( T  \  U )  <->  A. b  e.  B  b  e.  ( T  \  U ) )
9189, 90sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( T  \  U ) )
9291ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  B  C_  ( T  \  U
) )
93 stoweidlem39.12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
9438, 93syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  W  e.  _V )
95 stoweidlem39.13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
9638, 95syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  A  e.  _V )
9714ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  r  e.  Fin )
98 mptfi 7155 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin )
9997, 98syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  v : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> r )  ->  (
w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  w  ( h `  t )  <  ( E  /  m )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( 1  -  ( E  /  m ) )  <  ( h `  t ) ) } )  e.  Fin )
100 rnfi 7141 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  r  |->  { h  e.  A  | 
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
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h `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  w  (
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h `  t )
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1  -  ( E  /  m ) )  <  ( ( x `
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   RR+crp 10354   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  stoweidlem57  27806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-hash 11338
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