Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem39 Unicode version

Theorem stoweidlem39 26936
 Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that is a finite subset of , indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ xi ≤ 1, xi < ε / m on V(ti), and xi > 1 - ε / m on . Here is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because is used for the subalgebra), is used to represent m in the paper, is used to represent ε, and vi is used to represent V(ti). is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem39.1
stoweidlem39.2
stoweidlem39.3
stoweidlem39.4
stoweidlem39.5
stoweidlem39.6
stoweidlem39.7
stoweidlem39.8
stoweidlem39.9
stoweidlem39.10
stoweidlem39.11
stoweidlem39.12
stoweidlem39.13
Assertion
Ref Expression
stoweidlem39
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,,)   (,,)   (,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem39
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem39.8 . . . . . . 7
2 stoweidlem39.9 . . . . . . 7
31, 2jca 518 . . . . . 6
4 ssn0 3521 . . . . . . 7
5 unieq 3873 . . . . . . . . 9
6 uni0 3891 . . . . . . . . 9
75, 6syl6eq 2364 . . . . . . . 8
87necon3i 2518 . . . . . . 7
94, 8syl 15 . . . . . 6
103, 9syl 15 . . . . 5
11 stoweidlem39.7 . . . . . . 7
12 elin 3392 . . . . . . . 8
1312simprbi 450 . . . . . . 7
1411, 13syl 15 . . . . . 6
15 hashnncl 11401 . . . . . 6
1614, 15syl 15 . . . . 5
1710, 16mpbird 223 . . . 4
18 df-ne 2481 . . . . . . 7
1910, 18sylib 188 . . . . . 6
20 fz1f1o 12230 . . . . . . . . 9
2114, 20syl 15 . . . . . . . 8
2221, 19jca 518 . . . . . . 7
23 simpl 443 . . . . . . 7
24 pm2.53 362 . . . . . . 7
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6
2619, 25mpd 14 . . . . 5
2726simprd 449 . . . 4
2817, 27jca 518 . . 3
29 oveq2 5908 . . . . . 6
30 f1oeq2 5502 . . . . . 6
3129, 30syl 15 . . . . 5
3231exbidv 1617 . . . 4
3332rspcev 2918 . . 3
3428, 33syl 15 . 2
35 simpr 447 . . . . . . . . 9
36 f1of 5510 . . . . . . . . 9
3735, 36syl 15 . . . . . . . 8
38 simpll 730 . . . . . . . . . 10
3938, 11syl 15 . . . . . . . . 9
4012simplbi 446 . . . . . . . . . 10
41 elpwi 3667 . . . . . . . . . 10
4240, 41syl 15 . . . . . . . . 9
4339, 42syl 15 . . . . . . . 8
4437, 43jca 518 . . . . . . 7
45 fss 5435 . . . . . . 7
4644, 45syl 15 . . . . . 6
4738, 1syl 15 . . . . . . 7
48 dff1o2 5515 . . . . . . . . . 10
4948simp3bi 972 . . . . . . . . 9
5049unieqd 3875 . . . . . . . 8
5135, 50syl 15 . . . . . . 7
5247, 51sseqtr4d 3249 . . . . . 6
53 stoweidlem39.1 . . . . . . . . 9
54 nfv 1610 . . . . . . . . 9
5553, 54nfan 1800 . . . . . . . 8
56 nfv 1610 . . . . . . . 8
5755, 56nfan 1800 . . . . . . 7
58 stoweidlem39.2 . . . . . . . . 9
59 nfv 1610 . . . . . . . . 9
6058, 59nfan 1800 . . . . . . . 8
61 nfv 1610 . . . . . . . 8
6260, 61nfan 1800 . . . . . . 7
63 stoweidlem39.3 . . . . . . . . 9
64 nfv 1610 . . . . . . . . 9
6563, 64nfan 1800 . . . . . . . 8
66 nfv 1610 . . . . . . . 8
6765, 66nfan 1800 . . . . . . 7
68 stoweidlem39.5 . . . . . . 7
69 stoweidlem39.6 . . . . . . 7
70 eqid 2316 . . . . . . 7
7111, 42syl 15 . . . . . . . 8
7238, 71syl 15 . . . . . . 7
73 simplr 731 . . . . . . 7
74 stoweidlem39.10 . . . . . . . 8
7538, 74syl 15 . . . . . . 7
76 stoweidlem39.11 . . . . . . . . . . . . 13
7776sselda 3214 . . . . . . . . . . . 12
78 notnot1 114 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978intnand 882 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14
81 eldif 3196 . . . . . . . . . . . . . 14
8280, 81sylnibr 296 . . . . . . . . . . . . 13
83 stoweidlem39.4 . . . . . . . . . . . . . 14
8483eleq2i 2380 . . . . . . . . . . . . 13
8582, 84sylnibr 296 . . . . . . . . . . . 12
8677, 85jca 518 . . . . . . . . . . 11
87 eldif 3196 . . . . . . . . . . 11
8886, 87sylibr 203 . . . . . . . . . 10
8988ralrimiva 2660 . . . . . . . . 9
90 dfss3 3204 . . . . . . . . 9
9189, 90sylibr 203 . . . . . . . 8
9291ad2antrr 706 . . . . . . 7
93 stoweidlem39.12 . . . . . . . 8
9438, 93syl 15 . . . . . . 7
95 stoweidlem39.13 . . . . . . . 8
9638, 95syl 15 . . . . . . 7
9714ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
98 mptfi 7200 . . . . . . . . 9
9997, 98syl 15 . . . . . . . 8
100 rnfi 7186 . . . . . . . 8
10199, 100syl 15 . . . . . . 7
10257, 62, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 35, 75, 92, 94, 96, 101stoweidlem31 26928 . . . . . 6
10346, 52, 1023jca 1132 . . . . 5
104103ex 423 . . . 4
105104eximdv 1613 . . 3
106105reximdva 2689 . 2
10734, 106mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934  wex 1532  wnf 1535   wceq 1633   wcel 1701   wne 2479  wral 2577  wrex 2578  crab 2581  cvv 2822   cdif 3183   cin 3185   wss 3186  c0 3489  cpw 3659  cuni 3864   class class class wbr 4060   cmpt 4114  ccnv 4725   crn 4727   wfun 5286   wfn 5287  wf 5288  wf1o 5291  cfv 5292  (class class class)co 5900  cfn 6906  cc0 8782  c1 8783   clt 8912   cle 8913   cmin 9082   cdiv 9468  cn 9791  crp 10401  cfz 10829  chash 11384 This theorem is referenced by:  stoweidlem57  26954 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-hash 11385
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