Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem39 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem39 27764
 Description: This lemma is used to prove that there exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91: assuming that is a finite subset of , indexes a finite set of functions in the subalgebra (of the Stone Weierstrass theorem), such that for all i ranging in the finite indexing set, 0 ≤ xi ≤ 1, xi < ε / m on V(ti), and xi > 1 - ε / m on . Here is used to represent A in the paper's Lemma 2 (because is used for the subalgebra), is used to represent m in the paper, is used to represent ε, and vi is used to represent V(ti). is just a local definition, used to shorten statements. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem39.1
stoweidlem39.2
stoweidlem39.3
stoweidlem39.4
stoweidlem39.5
stoweidlem39.6
stoweidlem39.7
stoweidlem39.8
stoweidlem39.9
stoweidlem39.10
stoweidlem39.11
stoweidlem39.12
stoweidlem39.13
Assertion
Ref Expression
stoweidlem39
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,,)   (,,)   (,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem39
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem39.8 . . . . . . 7
2 stoweidlem39.9 . . . . . . 7
31, 2jca 519 . . . . . 6
4 ssn0 3660 . . . . . 6
5 unieq 4024 . . . . . . . 8
6 uni0 4042 . . . . . . . 8
75, 6syl6eq 2484 . . . . . . 7
87necon3i 2643 . . . . . 6
93, 4, 83syl 19 . . . . 5
109neneqd 2617 . . . 4
11 stoweidlem39.7 . . . . . 6
12 elin 3530 . . . . . . 7
1312simprbi 451 . . . . . 6
1411, 13syl 16 . . . . 5
15 fz1f1o 12504 . . . . 5
16 pm2.53 363 . . . . 5
1714, 15, 163syl 19 . . . 4
1810, 17mpd 15 . . 3
19 oveq2 6089 . . . . . 6
20 f1oeq2 5666 . . . . . 6
2119, 20syl 16 . . . . 5
2221exbidv 1636 . . . 4
2322rspcev 3052 . . 3
2418, 23syl 16 . 2
25 f1of 5674 . . . . . . . 8
2625adantl 453 . . . . . . 7
27 simpll 731 . . . . . . . 8
2812simplbi 447 . . . . . . . . 9
2928elpwid 3808 . . . . . . . 8
3027, 11, 293syl 19 . . . . . . 7
31 fss 5599 . . . . . . 7
3226, 30, 31syl2anc 643 . . . . . 6
331ad2antrr 707 . . . . . . 7
34 dff1o2 5679 . . . . . . . . . 10
3534simp3bi 974 . . . . . . . . 9
3635unieqd 4026 . . . . . . . 8
3736adantl 453 . . . . . . 7
3833, 37sseqtr4d 3385 . . . . . 6
39 stoweidlem39.1 . . . . . . . . 9
40 nfv 1629 . . . . . . . . 9
4139, 40nfan 1846 . . . . . . . 8
42 nfv 1629 . . . . . . . 8
4341, 42nfan 1846 . . . . . . 7
44 stoweidlem39.2 . . . . . . . . 9
45 nfv 1629 . . . . . . . . 9
4644, 45nfan 1846 . . . . . . . 8
47 nfv 1629 . . . . . . . 8
4846, 47nfan 1846 . . . . . . 7
49 stoweidlem39.3 . . . . . . . . 9
50 nfv 1629 . . . . . . . . 9
5149, 50nfan 1846 . . . . . . . 8
52 nfv 1629 . . . . . . . 8
5351, 52nfan 1846 . . . . . . 7
54 stoweidlem39.5 . . . . . . 7
55 stoweidlem39.6 . . . . . . 7
56 eqid 2436 . . . . . . 7
57 simplr 732 . . . . . . 7
58 simpr 448 . . . . . . 7
59 stoweidlem39.10 . . . . . . . 8
6059ad2antrr 707 . . . . . . 7
61 stoweidlem39.11 . . . . . . . . . . . 12
6261sselda 3348 . . . . . . . . . . 11
63 notnot1 116 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463intnand 883 . . . . . . . . . . . . . 14
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
66 eldif 3330 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 66sylnibr 297 . . . . . . . . . . . 12
68 stoweidlem39.4 . . . . . . . . . . . . 13
6968eleq2i 2500 . . . . . . . . . . . 12
7067, 69sylnibr 297 . . . . . . . . . . 11
7162, 70eldifd 3331 . . . . . . . . . 10
7271ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9
73 dfss3 3338 . . . . . . . . 9
7472, 73sylibr 204 . . . . . . . 8
7574ad2antrr 707 . . . . . . 7
76 stoweidlem39.12 . . . . . . . 8
7776ad2antrr 707 . . . . . . 7
78 stoweidlem39.13 . . . . . . . 8
7978ad2antrr 707 . . . . . . 7
8014ad2antrr 707 . . . . . . . 8
81 mptfi 7406 . . . . . . . 8
82 rnfi 7391 . . . . . . . 8
8380, 81, 823syl 19 . . . . . . 7
8443, 48, 53, 54, 55, 56, 30, 57, 58, 60, 75, 77, 79, 83stoweidlem31 27756 . . . . . 6
8532, 38, 843jca 1134 . . . . 5
8685ex 424 . . . 4
8786eximdv 1632 . . 3
8887reximdva 2818 . 2
8924, 88mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936  wex 1550  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  cuni 4015   class class class wbr 4212   cmpt 4266  ccnv 4877   crn 4879   wfun 5448   wfn 5449  wf 5450  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  cc0 8990  c1 8991   clt 9120   cle 9121   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  crp 10612  cfz 11043  chash 11618 This theorem is referenced by:  stoweidlem57  27782 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-hash 11619
 Copyright terms: Public domain W3C validator