Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem41 Unicode version

Theorem stoweidlem41 27458
 Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - qn";. Here is used to represent ε in the paper, and to represent qn in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem41.1
stoweidlem41.2
stoweidlem41.3
stoweidlem41.4
stoweidlem41.5
stoweidlem41.6
stoweidlem41.7
stoweidlem41.8
stoweidlem41.9
stoweidlem41.10
stoweidlem41.11
stoweidlem41.12
stoweidlem41.13
stoweidlem41.14
Assertion
Ref Expression
stoweidlem41
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   ()   (,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem41
StepHypRef Expression
1 stoweidlem41.1 . . . . 5
2 1re 9023 . . . . . . . 8
3 stoweidlem41.3 . . . . . . . . 9
43fvmpt2 5751 . . . . . . . 8
52, 4mpan2 653 . . . . . . 7
65adantl 453 . . . . . 6
76oveq1d 6035 . . . . 5
81, 7mpteq2da 4235 . . . 4
9 stoweidlem41.2 . . . 4
108, 9syl6eqr 2437 . . 3
11 stoweidlem41.10 . . . . . . 7
1211stoweidlem4 27421 . . . . . 6
132, 12mpan2 653 . . . . 5
143, 13syl5eqel 2471 . . . 4
15 stoweidlem41.5 . . . 4
16 nfmpt1 4239 . . . . . 6
173, 16nfcxfr 2520 . . . . 5
18 nfcv 2523 . . . . 5
19 stoweidlem41.7 . . . . 5
20 stoweidlem41.8 . . . . 5
21 stoweidlem41.9 . . . . 5
2217, 18, 1, 19, 20, 21, 11stoweidlem33 27450 . . . 4
2314, 15, 22mpd3an23 1281 . . 3
2410, 23eqeltrrd 2462 . 2
25 stoweidlem41.6 . . . . . . . 8
2625fnvinran 27353 . . . . . . 7
272a1i 11 . . . . . . 7
28 0re 9024 . . . . . . . 8
2928a1i 11 . . . . . . 7
30 stoweidlem41.12 . . . . . . . . . 10
3130r19.21bi 2747 . . . . . . . . 9
3231simprd 450 . . . . . . . 8
33 ax-1cn 8981 . . . . . . . . 9
3433subid1i 9304 . . . . . . . 8
3532, 34syl6breqr 4193 . . . . . . 7
3626, 27, 29, 35lesubd 9562 . . . . . 6
37 simpr 448 . . . . . . 7
3827, 26resubcld 9397 . . . . . . 7
399fvmpt2 5751 . . . . . . 7
4037, 38, 39syl2anc 643 . . . . . 6
4136, 40breqtrrd 4179 . . . . 5
4231simpld 446 . . . . . . . 8
4329, 26, 27, 42lesub2dd 9575 . . . . . . 7
4443, 34syl6breq 4192 . . . . . 6
4540, 44eqbrtrd 4173 . . . . 5
4641, 45jca 519 . . . 4
4746ex 424 . . 3
481, 47ralrimi 2730 . 2
49 stoweidlem41.4 . . . . . . 7
5049sseli 3287 . . . . . 6
5150, 40sylan2 461 . . . . 5
522a1i 11 . . . . . 6
53 stoweidlem41.11 . . . . . . . 8
5453rpred 10580 . . . . . . 7
5554adantr 452 . . . . . 6
5650, 26sylan2 461 . . . . . 6
57 stoweidlem41.13 . . . . . . 7
5857r19.21bi 2747 . . . . . 6
5952, 55, 56, 58ltsub23d 9563 . . . . 5
6051, 59eqbrtrd 4173 . . . 4
6160ex 424 . . 3
621, 61ralrimi 2730 . 2
63 eldifi 3412 . . . . . . 7
6463, 26sylan2 461 . . . . . 6
6554adantr 452 . . . . . 6
662a1i 11 . . . . . 6
67 stoweidlem41.14 . . . . . . 7
6867r19.21bi 2747 . . . . . 6
6964, 65, 66, 68ltsub2dd 9571 . . . . 5
7063, 40sylan2 461 . . . . 5
7169, 70breqtrrd 4179 . . . 4
7271ex 424 . . 3
731, 72ralrimi 2730 . 2
74 nfmpt1 4239 . . . . . . 7
759, 74nfcxfr 2520 . . . . . 6
7675nfeq2 2534 . . . . 5
77 fveq1 5667 . . . . . . 7
7877breq2d 4165 . . . . . 6
7977breq1d 4163 . . . . . 6
8078, 79anbi12d 692 . . . . 5
8176, 80ralbid 2667 . . . 4
8277breq1d 4163 . . . . 5
8376, 82ralbid 2667 . . . 4
8477breq2d 4165 . . . . 5
8576, 84ralbid 2667 . . . 4
8681, 83, 853anbi123d 1254 . . 3
8786rspcev 2995 . 2
8824, 48, 62, 73, 87syl13anc 1186 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wnf 1550   wceq 1649   wcel 1717  wral 2649  wrex 2650   cdif 3260   wss 3263   class class class wbr 4153   cmpt 4207  wf 5390  cfv 5394  (class class class)co 6020  cr 8922  cc0 8923  c1 8924   caddc 8926   cmul 8928   clt 9053   cle 9054   cmin 9223  crp 10544 This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27469 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-rp 10545
 Copyright terms: Public domain W3C validator