Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem41 Unicode version

Theorem stoweidlem41 27790
Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - qn";. Here  E is used to represent ε in the paper, and  y to represent qn in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem41.1  |-  F/ t
ph
stoweidlem41.2  |-  X  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
stoweidlem41.3  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
stoweidlem41.4  |-  V  C_  T
stoweidlem41.5  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
stoweidlem41.6  |-  ( ph  ->  y : T --> RR )
stoweidlem41.7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem41.8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem41.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem41.10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  w )  e.  A )
stoweidlem41.11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem41.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem41.13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t ) )
stoweidlem41.14  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem41  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, y    A, f,
g, t    f, F, g    T, f, g, t    ph, f, g    w, t, A    x, t, A   
w, T    ph, w    x, E    x, T    x, U    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    ph( x, y, t)    A( y)    T( y)    U( y, w, t, f, g)    E( y, w, t, f, g)    F( x, y, w, t)    V( y, w, t, f, g)    X( y, w, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem41
StepHypRef Expression
1 stoweidlem41.1 . . . . . 6  |-  F/ t
ph
2 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3 stoweidlem41.3 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  1 )
43fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  T  /\  1  e.  RR )  ->  ( F `  t
)  =  1 )
52, 4mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  1 )
65adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  1 )
76oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  -  ( y `
 t ) )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
81, 7mpteq2da 4105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( y `
 t ) ) ) )
9 stoweidlem41.2 . . . . 5  |-  X  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
108, 9syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  =  X )
11 id 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ph )
12 stoweidlem41.10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  w )  e.  A )
1312stoweidlem4 27753 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A )
142, 13mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  1 )  e.  A
)
153, 14syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
16 stoweidlem41.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
1711, 15, 163jca 1132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  F  e.  A  /\  y  e.  A ) )
18 nfmpt1 4109 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  1 )
193, 18nfcxfr 2416 . . . . . 6  |-  F/_ t F
20 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ t
y
21 stoweidlem41.7 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
22 stoweidlem41.8 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
23 stoweidlem41.9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2419, 20, 1, 21, 22, 23, 12stoweidlem33 27782 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  ( y `  t ) ) )  e.  A )
2517, 24syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  (
y `  t )
) )  e.  A
)
2610, 25eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
27 stoweidlem41.12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 ) )
2827r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 ) )
2928simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  <_  1 )
30 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
31 subid1 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  -  0 )  =  1 )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  0 )  =  1
3329, 32syl6breqr 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  <_  ( 1  -  0 ) )
34 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
3534a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
362a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
37 stoweidlem41.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  y : T --> RR )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  y : T --> RR )
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
4038, 39jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
41 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( y `  t
)  e.  RR )
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
y `  t )  e.  RR )
4335, 36, 423jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
y `  t )  e.  RR ) )
44 lesub 9253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
y `  t )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( y `  t ) )  <->  ( y `  t )  <_  (
1  -  0 ) ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( 1  -  ( y `  t ) )  <->  ( y `  t )  <_  (
1  -  0 ) ) )
4633, 45mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( 1  -  (
y `  t )
) )
4736, 42jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  e.  RR  /\  ( y `  t
)  e.  RR ) )
48 resubcl 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y `  t
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( y `  t
) )  e.  RR )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  e.  RR )
5039, 49jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( 1  -  (
y `  t )
)  e.  RR ) )
519fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( 1  -  (
y `  t )
)  e.  RR )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `
 t ) ) )
5250, 51syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
5346, 52breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( X `  t
) )
5428simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( y `  t
) )
5535, 42, 363jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  e.  RR  /\  ( y `  t
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
56 lesub2 9269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( y `  t
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
y `  t )  <->  ( 1  -  ( y `
 t ) )  <_  ( 1  -  0 ) ) )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( y `  t )  <->  ( 1  -  ( y `  t ) )  <_ 
( 1  -  0 ) ) )
5854, 57mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <_  ( 1  -  0 ) )
5958, 32syl6breq 4062 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <_  1 )
6052, 59eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  <_  1 )
6153, 60jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 ) )
6261ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
631, 62ralrimi 2624 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) )
64 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ph )
65 stoweidlem41.4 . . . . . . . . . . 11  |-  V  C_  T
66 ssel 3174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V 
C_  T  ->  (
t  e.  V  -> 
t  e.  T ) )
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  T )
6867adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  t  e.  T )
6964, 68jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( ph  /\  t  e.  T
) )
7069, 52syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `  t
) ) )
71 stoweidlem41.13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t ) )
7271r19.21bi 2641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( y `  t ) )
732a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  1  e.  RR )
7469, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
y `  t )  e.  RR )
75 stoweidlem41.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
76 rpre 10360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7877adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  E  e.  RR )
7973, 74, 783jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  e.  RR  /\  ( y `  t
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )
)
80 ltsub23 9254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y `  t
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( y `  t
) )  <  E  <->  ( 1  -  E )  <  ( y `  t ) ) )
8179, 80syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( 1  -  (
y `  t )
)  <  E  <->  ( 1  -  E )  < 
( y `  t
) ) )
8272, 81mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  ( y `
 t ) )  <  E )
8370, 82eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( X `  t )  <  E )
8483ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  ( X `  t
)  <  E )
)
851, 84ralrimi 2624 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E )
86 stoweidlem41.14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
8786r19.21bi 2641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( y `  t )  <  E
)
88 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ph )
89 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  t  e.  T )
9089adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  t  e.  T )
9188, 90jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ph  /\  t  e.  T ) )
9291, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( y `  t )  e.  RR )
9377adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E  e.  RR )
942a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  1  e.  RR )
9592, 93, 943jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( (
y `  t )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
96 ltsub2 9271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y `  t
)  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( y `  t
)  <  E  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
y `  t )
) ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( (
y `  t )  <  E  <->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( y `
 t ) ) ) )
9887, 97mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  (
y `  t )
) )
9991, 52syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( X `  t )  =  ( 1  -  ( y `
 t ) ) )
10098, 99breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) )
101100ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) )
1021, 101ralrimi 2624 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
10363, 85, 1023jca 1132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
10426, 103jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( X `  t
)  /\  ( X `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) ) )
105 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ t
x
106 nfmpt1 4109 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( 1  -  (
y `  t )
) )
1079, 106nfcxfr 2416 . . . . . 6  |-  F/_ t X
108105, 107nfeq 2426 . . . . 5  |-  F/ t  x  =  X
109 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  t )  =  ( X `  t ) )
110109breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x `  t )  <->  0  <_  ( X `  t ) ) )
111109breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <_  1  <->  ( X `  t )  <_  1
) )
112110, 111anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
113108, 112ralbid 2561 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 ) ) )
114109breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x `  t
)  <  E  <->  ( X `  t )  <  E
) )
115108, 114ralbid 2561 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  V  ( x `  t
)  <  E  <->  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E
) )
116109breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( x `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( X `  t
) ) )
117108, 116ralbid 2561 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E )  <  ( x `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) )
118113, 115, 1173anbi123d 1252 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( x `  t
)  /\  ( x `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) )  <->  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  -  E )  <  ( X `  t )
) ) )
119118rspcev 2884 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( X `  t )  /\  ( X `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( X `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
120104, 119syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
x `  t )  /\  ( x `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( x `  t )  <  E  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  -  E
)  <  ( x `  t ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  27801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator