Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem42 Unicode version

Theorem stoweidlem42 27791
Description: This lemma is used to prove that  x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here  X is used to represent  x in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem42.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem42.3  |-  F/_ t Y
stoweidlem42.4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem42.5  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem42.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem42.7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem42.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem42.9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem42.10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem42.11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem42.12  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
stoweidlem42.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem42.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
stoweidlem42.15  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem42.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Distinct variable groups:    t, i    B, i    i, M    f,
g, t, T    f,
i, T    f, F, g    f, M, g    U, f, g, t    f, Y, g    ph, f, g    i, E    U, i
Allowed substitution hints:    ph( t, i)    B( t, f, g)    P( t, f, g, i)    E( t, f, g)    F( t, i)    M( t)    X( t, f, g, i)    Y( t, i)    Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables  a 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2  |-  F/ t
ph
2 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
32a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4 stoweidlem42.11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5 rpre 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
73, 6jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  E  e.  RR ) )
8 resubcl 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( 1  -  E
)  e.  RR )
97, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  e.  RR )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
11 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
12 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
14 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
1511, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
166, 13, 153jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 ) )
17 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 )  ->  ( E  /  M )  e.  RR )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  RR )
193, 18jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  ( E  /  M
)  e.  RR ) )
20 resubcl 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( E  /  M
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( E  /  M
) )  e.  RR )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
2221adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
23 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
2411, 23syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
2524adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN0 )
2622, 25jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR  /\  M  e.  NN0 ) )
27 reexpcl 11120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  e.  RR )
2826, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  e.  RR )
29 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3029biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3111, 30syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3231adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
33 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
a
34 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i
ph
35 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  t  e.  B
3634, 35nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  B )
37 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... M )
3836, 37nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) )
39 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
40 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i T
41 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
4240, 41nfmpt 4108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
4339, 42nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i F
44 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
t
4543, 44nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( F `  t
)
4645, 33nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  a
)
47 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i RR
4846, 47nfel 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  a
)  e.  RR
4938, 48nfim 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR )
50 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  a  e.  ( 1 ... M
) ) )
5150anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) ) ) )
52 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  a ) )
5352eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) )
5451, 53imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) ) )
55 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
5655sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  t  e.  T )
57 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1 ... M )  e. 
_V )
59 mptexg 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1 ... M )  e.  _V  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
6156, 60jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V ) )
6239fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
6463fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
66 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
67 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
69 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
7068, 69jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
71 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U : ( 1 ... M ) --> Y  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( U `  i )  e.  Y
)
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
73 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
7473, 72jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y
) )
75 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  i )  e.  Y
) )
7675anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  Y ) ) )
77 feq1 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
7876, 77imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
79 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  Y  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR ) )
8178, 80vtoclga 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
8272, 74, 81sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
8382adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
8456adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
8583, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
86 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U `  i
) : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )
8785, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
8866, 87jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR ) )
89 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
9089fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i )  =  ( ( U `  i ) `  t
) )
9188, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t ) )
9265, 91eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
9392idi 2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
9493, 87eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
9594a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( ( F `
 t ) `  i )  e.  RR ) )
9633, 49, 54, 95vtoclgaf 2848 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( ( F `
 t ) `  a )  e.  RR ) )
9796anabsi7 792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  a )  e.  RR )
98 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
9998adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  (
a  e.  RR  /\  j  e.  RR )
)  ->  ( a  x.  j )  e.  RR )
10032, 97, 99seqcl 11066 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
10110, 28, 1003jca 1132 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  E
)  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( E  /  M
) ) ^ M
)  e.  RR  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR ) )
102 rpcn 10362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  CC )
1034, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
104 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
10511, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
106103, 105, 153jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  M  =/=  0 ) )
107 divcan1 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( E  /  M
)  x.  M )  =  E )
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  =  E )
109108eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( E  /  M )  x.  M ) )
110109oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
111 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
112111a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
113 divcl 9430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  M  =/=  0 )  ->  ( E  /  M )  e.  CC )
114106, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  CC )
115114, 105jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  e.  CC  /\  M  e.  CC ) )
116 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E  /  M
)  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  e.  CC )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  e.  CC )
118112, 117jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  ( ( E  /  M )  x.  M
)  e.  CC ) )
119 negsub 9095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( E  /  M )  x.  M
)  e.  CC )  ->  ( 1  + 
-u ( ( E  /  M )  x.  M ) )  =  ( 1  -  (
( E  /  M
)  x.  M ) ) )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
121 mulneg1 9216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E  /  M
)  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( -u ( E  /  M )  x.  M )  =  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )
122115, 121syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( E  /  M )  x.  M )  =  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )
123122eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( E  /  M )  x.  M )  =  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )
124123oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M
)  x.  M ) ) )
125110, 120, 1243eqtr2d 2321 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) ) )
126 renegcl 9110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  /  M )  e.  RR  ->  -u ( E  /  M )  e.  RR )
12718, 126syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( E  /  M )  e.  RR )
1286, 13jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
1296, 3, 133jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  M  e.  RR )
)
130 3re 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  e.  RR
131130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
132 3ne0 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  =/=  0
133132a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
1343, 131, 1333jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 ) )
135 redivcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
1376, 136, 33jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
138 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
139 1lt3 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  3
140139a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  1  <  3 )
141 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  1
142141a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
1433, 142jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
144 3pos 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  3
145144a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  0  <  3 )
146131, 145jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
147143, 146, 1433jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) ) )
148 ltdiv2 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  / 
3 )  <  (
1  /  1 ) ) )
149147, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  ( 1  / 
1 ) ) )
150140, 149mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  ( 1  /  1 ) )
151 div1 9453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  1 )  =  1 )
152111, 151ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  /  1 )  =  1
153152a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  /  1
)  =  1 )
154150, 153breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  1 )
155138, 154jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( E  <  (
1  /  3 )  /\  ( 1  / 
3 )  <  1
) )
156 lttr 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  e.  RR  /\  ( 1  /  3
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( E  < 
( 1  /  3
)  /\  ( 1  /  3 )  <  1 )  ->  E  <  1 ) )
157137, 155, 156sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
158 nnge1 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
15911, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
160157, 159jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  <  1  /\  1  <_  M ) )
161 ltletr 8913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( E  <  1  /\  1  <_  M )  ->  E  <  M
) )
162129, 160, 161sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  <  M )
163 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( E  <  M  ->  E  <_  M )
)
164128, 162, 163sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  <_  M )
165 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E  e.  RR+  ->  0  < 
E )
1664, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  E )
1676, 166jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
168 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
16911, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  M )
17013, 169jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )
171167, 170, 1673jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( E  e.  RR  /\  0  < 
E )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) ) )
172 lediv2 9646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
173171, 172syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
174164, 173mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  E ) )
175 rpne0 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  =/=  0 )
1764, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
177103, 176jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
178 divid 9451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 )  -> 
( E  /  E
)  =  1 )
179177, 178syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E  /  E
)  =  1 )
180174, 179breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  1 )
18118, 3jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
182 leneg 9277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  /  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( E  /  M )  <_  1  <->  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) ) )
183181, 182syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  <_  1  <->  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) ) )
184180, 183mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  -u ( E  /  M ) )
185127, 24, 1843jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( E  /  M )  e.  RR  /\  M  e. 
NN0  /\  -u 1  <_  -u ( E  /  M
) ) )
186 bernneq 11227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( E  /  M )  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) )  ->  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) )  <_ 
( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M ) )
187185, 186syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  +  -u ( E  /  M
) ) ^ M
) )
188112, 114jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  ( E  /  M
)  e.  CC ) )
189 negsub 9095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( E  /  M
)  e.  CC )  ->  ( 1  + 
-u ( E  /  M ) )  =  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
190188, 189syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( E  /  M
) )  =  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
191190oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M )  =  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
192187, 191breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
193125, 192eqbrtrd 4043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <_  ( (
1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
194193adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <_  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
195 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) )  =  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) )
19611adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN )
19787ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR ) )
19836, 197ralrimi 2624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  A. i  e.  ( 1 ... M
) ( ( U `
 i ) `  t )  e.  RR )
19989fmpt 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... M ) ( ( U `  i
) `  t )  e.  RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) : ( 1 ... M
) --> RR )
200198, 199sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR )
20163feq1d 5379 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
202200, 201mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
203 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
204203idi 2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
205204r19.21bi 2641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
206205an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
207206, 92breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( F `
 t ) `  i ) )
208114addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  =  ( E  /  M ) )
20918, 6, 33jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
210143, 170, 1673jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) ) )
211 lediv2 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
212210, 211syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
213159, 212mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
214 div1 9453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  e.  CC  ->  ( E  /  1 )  =  E )
215103, 214syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
216213, 215breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
217216, 157jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  <_  E  /\  E  <  1
) )
218 lelttr 8912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  /  M
)  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( E  /  M )  <_  E  /\  E  <  1
)  ->  ( E  /  M )  <  1
) )
219209, 217, 218sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <  1 )
220208, 219eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  <  1 )
221 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
222221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
223222, 18, 33jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  ( E  /  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
224 ltaddsub 9248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( E  /  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 0  +  ( E  /  M
) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M
) ) ) )
225223, 224syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  ( E  /  M
) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M
) ) ) )
226220, 225mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
22721, 226jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( E  /  M
) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( E  /  M ) ) ) )
228 elrp 10356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+  <->  ( ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR  /\  0  < 
( 1  -  ( E  /  M ) ) ) )
229227, 228sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
230229adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
23145, 36, 195, 196, 202, 207, 230stoweidlem3 27752 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  < 
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
232194, 231jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  E
)  <_  ( (
1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  /\  ( ( 1  -  ( E  /  M
) ) ^ M
)  <  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
) ) )
233 lelttr 8912 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  E
)  e.  RR  /\  ( ( 1  -  ( E  /  M
) ) ^ M
)  e.  RR  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  -  E )  <_  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  /\  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  < 
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )  ->  ( 1  -  E )  <  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
) ) )
234101, 232, 233sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
23556, 100jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR ) )
236 stoweidlem42.7 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
237236fvmpt2 5608 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
238235, 237syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
239238eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  =  ( Z `
 t ) )
240234, 239breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( Z `  t ) )
241 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ph )
242241, 56jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( ph  /\  t  e.  T
) )
243 stoweidlem42.3 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
244 stoweidlem42.4 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
245 stoweidlem42.5 . . . . . 6  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
246 stoweidlem42.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
247 stoweidlem42.14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
24834, 243, 244, 245, 39, 236, 246, 11, 67, 79, 247fmuldfeq 27713 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
249242, 248syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
250240, 249breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( X `  t ) )
251250ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  B  ->  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
2521, 251ralrimi 2624 1  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   3c3 9796   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  27800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator