Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem42 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem42 27758
 Description: This lemma is used to prove that built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here is used to represent in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1
stoweidlem42.2
stoweidlem42.3
stoweidlem42.4
stoweidlem42.5
stoweidlem42.6
stoweidlem42.7
stoweidlem42.8
stoweidlem42.9
stoweidlem42.10
stoweidlem42.11
stoweidlem42.12
stoweidlem42.13
stoweidlem42.14
stoweidlem42.15
stoweidlem42.16
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,)   ()   (,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2
2 1re 9082 . . . . . . . . 9
32a1i 11 . . . . . . . 8
4 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9
54rpred 10640 . . . . . . . 8
63, 5resubcld 9457 . . . . . . 7
76adantr 452 . . . . . 6
8 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10
95, 8nndivred 10040 . . . . . . . . 9
103, 9resubcld 9457 . . . . . . . 8
1110adantr 452 . . . . . . 7
128nnnn0d 10266 . . . . . . . 8
1312adantr 452 . . . . . . 7
1411, 13reexpcld 11532 . . . . . 6
15 elnnuz 10514 . . . . . . . . 9
168, 15sylib 189 . . . . . . . 8
1716adantr 452 . . . . . . 7
18 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11
19 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
2018, 19nfan 1846 . . . . . . . . . 10
21 nfv 1629 . . . . . . . . . 10
2220, 21nfan 1846 . . . . . . . . 9
23 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13
24 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14
25 nfmpt1 4290 . . . . . . . . . . . . . 14
2624, 25nfmpt 4289 . . . . . . . . . . . . 13
2723, 26nfcxfr 2568 . . . . . . . . . . . 12
28 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12
2927, 28nffv 5727 . . . . . . . . . . 11
30 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11
3129, 30nffv 5727 . . . . . . . . . 10
3231nfel1 2581 . . . . . . . . 9
3322, 32nfim 1832 . . . . . . . 8
34 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10
3534anbi2d 685 . . . . . . . . 9
36 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
3736eleq1d 2501 . . . . . . . . 9
3835, 37imbi12d 312 . . . . . . . 8
39 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . . . 14
4039sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13
41 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14
42 mptexg 5957 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
4423fvmpt2 5804 . . . . . . . . . . . . 13
4540, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
4645fveq1d 5722 . . . . . . . . . . 11
4746adantr 452 . . . . . . . . . 10
48 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
49 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049fnvinran 27652 . . . . . . . . . . . . . 14
51 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251, 50jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14
53 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 feq1 5568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
5956, 58vtoclga 3009 . . . . . . . . . . . . . 14
6050, 52, 59sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13
6160adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12
6240adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
6361, 62ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11
64 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
6564fvmpt2 5804 . . . . . . . . . . 11
6648, 63, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
6747, 66eqtrd 2467 . . . . . . . . 9
6867, 63eqeltrd 2509 . . . . . . . 8
6933, 38, 68chvar 1968 . . . . . . 7
70 remulcl 9067 . . . . . . . 8
7170adantl 453 . . . . . . 7
7217, 69, 71seqcl 11335 . . . . . 6
734rpcnd 10642 . . . . . . . . . . . 12
748nncnd 10008 . . . . . . . . . . . 12
758nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . 12
7673, 74, 75divcan1d 9783 . . . . . . . . . . 11
7776eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10
7877oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
79 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . 11
8079a1i 11 . . . . . . . . . 10
8173, 74, 75divcld 9782 . . . . . . . . . . 11
8281, 74mulcld 9100 . . . . . . . . . 10
8380, 82negsubd 9409 . . . . . . . . 9
8481, 74mulneg1d 9478 . . . . . . . . . . 11
8584eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10
8685oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
8778, 83, 863eqtr2d 2473 . . . . . . . 8
889renegcld 9456 . . . . . . . . . 10
898nnred 10007 . . . . . . . . . . . . . 14
90 3re 10063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
92 3ne0 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9491, 93rereccld 9833 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 1lt3 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98 0lt1 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100 3pos 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 ltdiv2 9887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1033, 99, 91, 101, 3, 99, 102syl222anc 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10497, 103mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10579div1i 9734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106104, 105syl6breq 4243 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1075, 94, 3, 95, 106lttrd 9223 . . . . . . . . . . . . . . 15
1088nnge1d 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15
1095, 3, 89, 107, 108ltletrd 9222 . . . . . . . . . . . . . 14
1105, 89, 109ltled 9213 . . . . . . . . . . . . 13
1114rpregt0d 10646 . . . . . . . . . . . . . 14
1128nngt0d 10035 . . . . . . . . . . . . . 14
113 lediv2 9892 . . . . . . . . . . . . . 14
114111, 89, 112, 111, 113syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13
115110, 114mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
1164rpcnne0d 10649 . . . . . . . . . . . . 13
117 divid 9697 . . . . . . . . . . . . 13
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . 12
119115, 118breqtrd 4228 . . . . . . . . . . 11
1209, 3lenegd 9597 . . . . . . . . . . 11
121119, 120mpbid 202 . . . . . . . . . 10
122 bernneq 11497 . . . . . . . . . 10
12388, 12, 121, 122syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
12480, 81negsubd 9409 . . . . . . . . . 10
125124oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
126123, 125breqtrd 4228 . . . . . . . 8
12787, 126eqbrtrd 4224 . . . . . . 7
128127adantr 452 . . . . . 6
129 eqid 2435 . . . . . . 7
1308adantr 452 . . . . . . 7
13120, 63, 64fmptdf 27685 . . . . . . . 8
13245feq1d 5572 . . . . . . . 8
133131, 132mpbird 224 . . . . . . 7
134 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10
135134r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9
136135an32s 780 . . . . . . . 8
137136, 67breqtrrd 4230 . . . . . . 7
13881addid2d 9259 . . . . . . . . . . 11
139 lediv2 9892 . . . . . . . . . . . . . . 15
1403, 99, 89, 112, 111, 139syl221anc 1195 . . . . . . . . . . . . . 14
141108, 140mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13
14273div1d 9774 . . . . . . . . . . . . 13
143141, 142breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . 12
1449, 5, 3, 143, 107lelttrd 9220 . . . . . . . . . . 11
145138, 144eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . 10
146 0re 9083 . . . . . . . . . . . 12
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11
148147, 9, 3ltaddsubd 9618 . . . . . . . . . 10
149145, 148mpbid 202 . . . . . . . . 9
15010, 149elrpd 10638 . . . . . . . 8
151150adantr 452 . . . . . . 7
15229, 20, 129, 130, 133, 137, 151stoweidlem3 27719 . . . . . 6
1537, 14, 72, 128, 152lelttrd 9220 . . . . 5
154 stoweidlem42.7 . . . . . . 7
155154fvmpt2 5804 . . . . . 6
15640, 72, 155syl2anc 643 . . . . 5
157153, 156breqtrrd 4230 . . . 4
158 simpl 444 . . . . 5
159 stoweidlem42.3 . . . . . 6
160 stoweidlem42.4 . . . . . 6
161 stoweidlem42.5 . . . . . 6
162 stoweidlem42.15 . . . . . 6
163 stoweidlem42.14 . . . . . 6
16418, 159, 160, 161, 23, 154, 162, 8, 49, 57, 163fmuldfeq 27680 . . . . 5
165158, 40, 164syl2anc 643 . . . 4
166157, 165breqtrrd 4230 . . 3
167166ex 424 . 2
1681, 167ralrimi 2779 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725  wnfc 2558   wne 2598  wral 2697  cvv 2948   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  cn 9992  c3 10042  cn0 10213  cuz 10480  crp 10604  cfz 11035   cseq 11315  cexp 11374 This theorem is referenced by:  stoweidlem51  27767 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375
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