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Theorem stoweidlem42 27758
Description: This lemma is used to prove that  x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here  X is used to represent  x in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1  |-  F/ i
ph
stoweidlem42.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem42.3  |-  F/_ t Y
stoweidlem42.4  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
stoweidlem42.5  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
stoweidlem42.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
stoweidlem42.7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
stoweidlem42.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem42.9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem42.10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
stoweidlem42.11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem42.12  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
stoweidlem42.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem42.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
stoweidlem42.15  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
stoweidlem42.16  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Distinct variable groups:    t, i    B, i    i, M    f,
g, t, T    f,
i, T    f, F, g    f, M, g    U, f, g, t    f, Y, g    ph, f, g    i, E    U, i
Allowed substitution hints:    ph( t, i)    B( t, f, g)    P( t, f, g, i)    E( t, f, g)    F( t, i)    M( t)    X( t, f, g, i)    Y( t, i)    Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables  a 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2  |-  F/ t
ph
2 1re 9082 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
32a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4 stoweidlem42.11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
54rpred 10640 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
63, 5resubcld 9457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  e.  RR )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  e.  RR )
8 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
95, 8nndivred 10040 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  RR )
103, 9resubcld 9457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
1110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR )
128nnnn0d 10266 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1312adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN0 )
1411, 13reexpcld 11532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  e.  RR )
15 elnnuz 10514 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
168, 15sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
1716adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
18 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i
ph
19 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  t  e.  B
2018, 19nfan 1846 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  B )
21 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  a  e.  ( 1 ... M )
2220, 21nfan 1846 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) )
23 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
24 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i T
25 nfmpt1 4290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
2624, 25nfmpt 4289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
2723, 26nfcxfr 2568 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i F
28 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
t
2927, 28nffv 5727 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( F `  t
)
30 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
a
3129, 30nffv 5727 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  a
)
3231nfel1 2581 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  a
)  e.  RR
3322, 32nfim 1832 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR )
34 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  a  e.  ( 1 ... M
) ) )
3534anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  (
1 ... M ) ) ) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  a  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  a ) )
3736eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) )
3835, 37imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  a  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  a )  e.  RR ) ) )
39 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  C_  T )
4039sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  t  e.  T )
41 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
42 mptexg 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... M )  e.  _V  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
4341, 42mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
)  e.  _V )
4423fvmpt2 5804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
4540, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
4645fveq1d 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
4746adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
48 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
49 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
5049fnvinran 27652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
51 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
5251, 50jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y
) )
53 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  i )  e.  Y
) )
5453anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  Y ) ) )
55 feq1 5568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
5654, 55imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
57 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  Y  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR ) )
5956, 58vtoclga 3009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
6050, 52, 59sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
6160adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
6240adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
6361, 62ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
64 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
6564fvmpt2 5804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i )  =  ( ( U `  i ) `  t
) )
6648, 63, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t ) )
6747, 66eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( U `
 i ) `  t ) )
6867, 63eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
6933, 38, 68chvar 1968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  a  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  a )  e.  RR )
70 remulcl 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( a  x.  j
)  e.  RR )
7170adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  (
a  e.  RR  /\  j  e.  RR )
)  ->  ( a  x.  j )  e.  RR )
7217, 69, 71seqcl 11335 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
734rpcnd 10642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
748nncnd 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
758nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
7673, 74, 75divcan1d 9783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  =  E )
7776eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( E  /  M )  x.  M ) )
7877oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
79 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
8079a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8173, 74, 75divcld 9782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  e.  CC )
8281, 74mulcld 9100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  x.  M
)  e.  CC )
8380, 82negsubd 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  -  ( ( E  /  M )  x.  M ) ) )
8481, 74mulneg1d 9478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( E  /  M )  x.  M )  =  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )
8584eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( E  /  M )  x.  M )  =  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )
8685oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( ( E  /  M )  x.  M
) )  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M
)  x.  M ) ) )
8778, 83, 863eqtr2d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  =  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) ) )
889renegcld 9456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( E  /  M )  e.  RR )
898nnred 10007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
90 3re 10063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
92 3ne0 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  =/=  0
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
9491, 93rereccld 9833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
95 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
96 1lt3 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  <  3 )
98 0lt1 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  1
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
100 3pos 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  3
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  3 )
102 ltdiv2 9887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  / 
3 )  <  (
1  /  1 ) ) )
1033, 99, 91, 101, 3, 99, 102syl222anc 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  <  3  <->  ( 1  /  3 )  <  ( 1  / 
1 ) ) )
10497, 103mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  ( 1  /  1 ) )
10579div1i 9734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  1 )  =  1
106104, 105syl6breq 4243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  <  1 )
1075, 94, 3, 95, 106lttrd 9223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
1088nnge1d 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
1095, 3, 89, 107, 108ltletrd 9222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  <  M )
1105, 89, 109ltled 9213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  <_  M )
1114rpregt0d 10646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )
1128nngt0d 10035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  M )
113 lediv2 9892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  0  <  E )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
114111, 89, 112, 111, 113syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  /  E ) ) )
115110, 114mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  E ) )
1164rpcnne0d 10649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 ) )
117 divid 9697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  E  =/=  0 )  -> 
( E  /  E
)  =  1 )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  E
)  =  1 )
119115, 118breqtrd 4228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  1 )
1209, 3lenegd 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  /  M )  <_  1  <->  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) ) )
121119, 120mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u 1  <_  -u ( E  /  M ) )
122 bernneq 11497 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( E  /  M )  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  -u 1  <_  -u ( E  /  M ) )  ->  ( 1  +  ( -u ( E  /  M )  x.  M ) )  <_ 
( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M ) )
12388, 12, 121, 122syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  +  -u ( E  /  M
) ) ^ M
) )
12480, 81negsubd 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  +  -u ( E  /  M
) )  =  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
125124oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  + 
-u ( E  /  M ) ) ^ M )  =  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
126123, 125breqtrd 4228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  (
-u ( E  /  M )  x.  M
) )  <_  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
12787, 126eqbrtrd 4224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <_  ( (
1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
128127adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <_  ( ( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M ) )
129 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) )  =  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) )
1308adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  M  e.  NN )
13120, 63, 64fmptdf 27685 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR )
13245feq1d 5572 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( F `  t
) : ( 1 ... M ) --> RR  <->  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
133131, 132mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( F `  t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
134 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  ( E  /  M ) )  < 
( ( U `  i ) `  t
) )
135134r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
136135an32s 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( U `
 i ) `  t ) )
137136, 67breqtrrd 4230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  B )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  <  ( ( F `
 t ) `  i ) )
13881addid2d 9259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  =  ( E  /  M ) )
139 lediv2 9892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M )  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <  E ) )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
1403, 99, 89, 112, 111, 139syl221anc 1195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  ( E  /  M )  <_  ( E  / 
1 ) ) )
141108, 140mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  ( E  /  1 ) )
14273div1d 9774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  /  1
)  =  E )
143141, 142breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <_  E )
1449, 5, 3, 143, 107lelttrd 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  /  M
)  <  1 )
145138, 144eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( E  /  M ) )  <  1 )
146 0re 9083 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
148147, 9, 3ltaddsubd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  ( E  /  M
) )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M
) ) ) )
149145, 148mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( E  /  M ) ) )
15010, 149elrpd 10638 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
151150adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  ( E  /  M ) )  e.  RR+ )
15229, 20, 129, 130, 133, 137, 151stoweidlem3 27719 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
( 1  -  ( E  /  M ) ) ^ M )  < 
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
1537, 14, 72, 128, 152lelttrd 9220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
154 stoweidlem42.7 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
155154fvmpt2 5804 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
15640, 72, 155syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
157153, 156breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( Z `  t ) )
158 simpl 444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ph )
159 stoweidlem42.3 . . . . . 6  |-  F/_ t Y
160 stoweidlem42.4 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
161 stoweidlem42.5 . . . . . 6  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
162 stoweidlem42.15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
163 stoweidlem42.14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
16418, 159, 160, 161, 23, 154, 162, 8, 49, 57, 163fmuldfeq 27680 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
165158, 40, 164syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
166157, 165breqtrrd 4230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  B )  ->  (
1  -  E )  <  ( X `  t ) )
167166ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  B  ->  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) ) )
1681, 167ralrimi 2779 1  |-  ( ph  ->  A. t  e.  B  ( 1  -  E
)  <  ( X `  t ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   3c3 10042   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   ...cfz 11035    seq cseq 11315   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  stoweidlem51  27767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375
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