Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem42 Unicode version

Theorem stoweidlem42 27894
 Description: This lemma is used to prove that built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here is used to represent in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem42.1
stoweidlem42.2
stoweidlem42.3
stoweidlem42.4
stoweidlem42.5
stoweidlem42.6
stoweidlem42.7
stoweidlem42.8
stoweidlem42.9
stoweidlem42.10
stoweidlem42.11
stoweidlem42.12
stoweidlem42.13
stoweidlem42.14
stoweidlem42.15
stoweidlem42.16
Assertion
Ref Expression
stoweidlem42
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,)   ()   (,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem stoweidlem42
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem42.2 . 2
2 1re 8853 . . . . . . . . . . 11
32a1i 10 . . . . . . . . . 10
4 stoweidlem42.11 . . . . . . . . . . 11
5 rpre 10376 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10
73, 6jca 518 . . . . . . . . 9
8 resubcl 9127 . . . . . . . . 9
97, 8syl 15 . . . . . . . 8
109adantr 451 . . . . . . 7
11 stoweidlem42.8 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . 15
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
14 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . . . 15
1511, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
166, 13, 153jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
17 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12
193, 18jca 518 . . . . . . . . . . 11
20 resubcl 9127 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10
2221adantr 451 . . . . . . . . 9
23 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . 11
2411, 23syl 15 . . . . . . . . . 10
2524adantr 451 . . . . . . . . 9
2622, 25jca 518 . . . . . . . 8
27 reexpcl 11136 . . . . . . . 8
2826, 27syl 15 . . . . . . 7
29 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . 11
3029biimpi 186 . . . . . . . . . 10
3111, 30syl 15 . . . . . . . . 9
3231adantr 451 . . . . . . . 8
33 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10
34 stoweidlem42.1 . . . . . . . . . . . . 13
35 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35nfan 1783 . . . . . . . . . . . 12
37 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37nfan 1783 . . . . . . . . . . 11
39 stoweidlem42.6 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4240, 41nfmpt 4124 . . . . . . . . . . . . . . 15
4339, 42nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . 14
44 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44nffv 5548 . . . . . . . . . . . . 13
4645, 33nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12
47 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47nfel 2440 . . . . . . . . . . 11
4938, 48nfim 1781 . . . . . . . . . 10
50 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12
5150anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11
52 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
5352eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11
5451, 53imbi12d 311 . . . . . . . . . 10
55 stoweidlem42.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5655sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59 mptexg 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6156, 60jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6239fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
66 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 stoweidlem42.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
69 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7068, 69jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
71 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7473, 72jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7675anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
77 feq1 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7876, 77imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79 stoweidlem42.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8178, 80vtoclga 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8272, 74, 81sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8456adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8583, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
86 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8785, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8866, 87jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9089fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15
9188, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
9265, 91eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13
9392idi 2 . . . . . . . . . . . 12
9493, 87eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11
9594a1i 10 . . . . . . . . . 10
9633, 49, 54, 95vtoclgaf 2861 . . . . . . . . 9
9796anabsi7 792 . . . . . . . 8
98 remulcl 8838 . . . . . . . . 9
9998adantl 452 . . . . . . . 8
10032, 97, 99seqcl 11082 . . . . . . 7
10110, 28, 1003jca 1132 . . . . . 6
102 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . . 15
1034, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
104 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15
10511, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
106103, 105, 153jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
107 divcan1 9449 . . . . . . . . . . . . 13
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . . . 12
109108eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11
110109oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
111 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13
112111a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
113 divcl 9446 . . . . . . . . . . . . . . 15
114106, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
115114, 105jca 518 . . . . . . . . . . . . 13
116 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . 13
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . 12
118112, 117jca 518 . . . . . . . . . . 11
119 negsub 9111 . . . . . . . . . . 11
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . 10
121 mulneg1 9232 . . . . . . . . . . . . 13
122115, 121syl 15 . . . . . . . . . . . 12
123122eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11
124123oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
125110, 120, 1243eqtr2d 2334 . . . . . . . . 9
126 renegcl 9126 . . . . . . . . . . . . 13
12718, 126syl 15 . . . . . . . . . . . 12
1286, 13jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1296, 3, 133jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130 3re 9833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
131130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
132 3ne0 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
133132a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1343, 131, 1333jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
135 redivcl 9495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1376, 136, 33jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138 stoweidlem42.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139 1lt3 9904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140139a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
141 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
142141a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1433, 142jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
144 3pos 9846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
145144a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
146131, 145jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
147143, 146, 1433jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
148 ltdiv2 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
149147, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
150140, 149mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
151 div1 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
152111, 151ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
153152a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
154150, 153breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155138, 154jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
156 lttr 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
157137, 155, 156sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
158 nnge1 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15911, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160157, 159jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161 ltletr 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162129, 160, 161sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164128, 162, 163sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15
165 rpgt0 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1664, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1676, 166jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
168 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16911, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17013, 169jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
171167, 170, 1673jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172 lediv2 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16
173171, 172syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
174164, 173mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14
175 rpne0 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1764, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177103, 176jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
178 divid 9467 . . . . . . . . . . . . . . 15
179177, 178syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
180174, 179breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . 13
18118, 3jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
182 leneg 9293 . . . . . . . . . . . . . 14
183181, 182syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
184180, 183mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
185127, 24, 1843jca 1132 . . . . . . . . . . 11
186 bernneq 11243 . . . . . . . . . . 11
187185, 186syl 15 . . . . . . . . . 10
188112, 114jca 518 . . . . . . . . . . . 12
189 negsub 9111 . . . . . . . . . . . 12
190188, 189syl 15 . . . . . . . . . . 11
191190oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10
192187, 191breqtrd 4063 . . . . . . . . 9
193125, 192eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8
194193adantr 451 . . . . . . 7
195 eqid 2296 . . . . . . . 8
19611adantr 451 . . . . . . . 8
19787ex 423 . . . . . . . . . . 11
19836, 197ralrimi 2637 . . . . . . . . . 10
19989fmpt 5697 . . . . . . . . . 10
200198, 199sylib 188 . . . . . . . . 9
20163feq1d 5395 . . . . . . . . 9
202200, 201mpbird 223 . . . . . . . 8
203 stoweidlem42.10 . . . . . . . . . . . 12
204203idi 2 . . . . . . . . . . 11
205204r19.21bi 2654 . . . . . . . . . 10
206205an32s 779 . . . . . . . . 9
207206, 92breqtrrd 4065 . . . . . . . 8
208114addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . 13
20918, 6, 33jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14
210143, 170, 1673jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
211 lediv2 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
212210, 211syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
213159, 212mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
214 div1 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
215103, 214syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216213, 215breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15
217216, 157jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14
218 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . 14
219209, 217, 218sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13
220208, 219eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12
221 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . 15
222221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
223222, 18, 33jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
224 ltaddsub 9264 . . . . . . . . . . . . 13
225223, 224syl 15 . . . . . . . . . . . 12
226220, 225mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
22721, 226jca 518 . . . . . . . . . 10
228 elrp 10372 . . . . . . . . . 10
229227, 228sylibr 203 . . . . . . . . 9
230229adantr 451 . . . . . . . 8
23145, 36, 195, 196, 202, 207, 230stoweidlem3 27855 . . . . . . 7
232194, 231jca 518 . . . . . 6
233 lelttr 8928 . . . . . 6
234101, 232, 233sylc 56 . . . . 5
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