Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Unicode version

Theorem stoweidlem43 27895
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1
stoweidlem43.2
stoweidlem43.3
stoweidlem43.4
stoweidlem43.5
stoweidlem43.6
stoweidlem43.7
stoweidlem43.8
stoweidlem43.9
stoweidlem43.10
stoweidlem43.11
stoweidlem43.12
stoweidlem43.13
stoweidlem43.14
stoweidlem43.15
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,,,)   ()   (,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,,,,)   ()

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.15 . . . . . 6
2 eldifi 3311 . . . . . 6
31, 2syl 15 . . . . 5
4 stoweidlem43.14 . . . . . . . 8
5 stoweidlem43.13 . . . . . . . 8
64, 5jca 518 . . . . . . 7
7 elunii 3848 . . . . . . 7
86, 7syl 15 . . . . . 6
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6
108, 9syl6eleqr 2387 . . . . 5
11 eldifn 3312 . . . . . . . . 9
121, 11syl 15 . . . . . . . 8
134, 12jca 518 . . . . . . 7
14 nelne2 2549 . . . . . . 7
1513, 14syl 15 . . . . . 6
1615necomd 2542 . . . . 5
173, 10, 163jca 1132 . . . 4
18 simpr2 962 . . . . . . 7
19 nfcv 2432 . . . . . . . 8
20 stoweidlem43.2 . . . . . . . . . 10
21 nfv 1609 . . . . . . . . . 10
2220, 21nfan 1783 . . . . . . . . 9
23 nfv 1609 . . . . . . . . 9
2422, 23nfim 1781 . . . . . . . 8
25 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11
26 neeq2 2468 . . . . . . . . . . 11
2725, 263anbi23d 1255 . . . . . . . . . 10
2827anbi2d 684 . . . . . . . . 9
29 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
3029neeq2d 2473 . . . . . . . . . 10
3130rexbidv 2577 . . . . . . . . 9
3228, 31imbi12d 311 . . . . . . . 8
33 simpr1 961 . . . . . . . . . . 11
34 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 neeq1 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15
3634, 353anbi13d 1254 . . . . . . . . . . . . . 14
3736anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13
38 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
4039rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . 13
4137, 40imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12
42 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . . . . 13
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
4441, 43vtoclga 2862 . . . . . . . . . . 11
4533, 44syl 15 . . . . . . . . . 10
4645pm2.43i 43 . . . . . . . . 9
4746a1i 10 . . . . . . . 8
4819, 24, 32, 47vtoclgaf 2861 . . . . . . 7
4918, 48syl 15 . . . . . 6
5049pm2.43i 43 . . . . 5
51 df-rex 2562 . . . . 5
5250, 51sylib 188 . . . 4
5317, 52mpdan 649 . . 3
54 stoweidlem43.1 . . . 4
55 nfv 1609 . . . 4
5620idi 2 . . . . . . . 8
57 nfv 1609 . . . . . . . 8
5856, 57nfan 1783 . . . . . . 7
59 nfcv 2432 . . . . . . 7
60 eqid 2296 . . . . . . 7
61 simpll 730 . . . . . . . . 9
62 simpr 447 . . . . . . . . 9
6361, 62jca 518 . . . . . . . 8
64 stoweidlem43.4 . . . . . . . . 9
65 eqid 2296 . . . . . . . . 9
66 stoweidlem43.8 . . . . . . . . . . . 12
6766adantr 451 . . . . . . . . . . 11
68 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
6967, 68jca 518 . . . . . . . . . 10
70 ssel2 3188 . . . . . . . . . 10
7169, 70syl 15 . . . . . . . . 9
7264, 9, 65, 71fcnre 27799 . . . . . . . 8
7363, 72syl 15 . . . . . . 7
74 simp1l 979 . . . . . . . . 9
75 simp2 956 . . . . . . . . 9
76 simp3 957 . . . . . . . . 9
7774, 75, 763jca 1132 . . . . . . . 8
78 stoweidlem43.9 . . . . . . . 8
7977, 78syl 15 . . . . . . 7
80 simpll 730 . . . . . . . . 9
81 simpr 447 . . . . . . . . 9
8280, 81jca 518 . . . . . . . 8
83 stoweidlem43.11 . . . . . . . 8
8482, 83syl 15 . . . . . . 7
853adantr 451 . . . . . . 7
8610adantr 451 . . . . . . 7
87 simpl 443 . . . . . . . 8
8887adantl 452 . . . . . . 7
89 simpr 447 . . . . . . . 8
9089adantl 452 . . . . . . 7
9158, 59, 60, 73, 79, 84, 85, 86, 88, 90stoweidlem23 27875 . . . . . 6
92 simp1 955 . . . . . . . 8
93 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10
94 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12
9594neeq1d 2472 . . . . . . . . . . 11
96 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12
9796neeq2d 2473 . . . . . . . . . . 11
9895, 97bitrd 244 . . . . . . . . . 10
9996eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10
10093, 98, 993anbi123d 1252 . . . . . . . . 9
101100spcegv 2882 . . . . . . . 8
10292, 101syl 15 . . . . . . 7
103102pm2.43i 43 . . . . . 6
10491, 103syl 15 . . . . 5
105104ex 423 . . . 4
10654, 55, 105exlimd 1815 . . 3
10753, 106mpd 14 . 2
108 stoweidlem43.3 . . . . 5
109 nfmpt1 4125 . . . . 5
110 nfcv 2432 . . . . 5
111 nfcv 2432 . . . . 5
112 nfv 1609 . . . . . 6
11356, 112nfan 1783 . . . . 5
114 stoweidlem43.5 . . . . 5
115 fveq2 5541 . . . . . . . 8
116115oveq1d 5889 . . . . . . 7
117115oveq2d 5890 . . . . . . 7
118116, 117eqtrd 2328 . . . . . 6
119118cbvmptv 4127 . . . . 5
120 eqid 2296 . . . . 5
121 eqid 2296 . . . . 5
122 stoweidlem43.7 . . . . . 6
123122adantr 451 . . . . 5
12466adantr 451 . . . . 5
125 simp1l 979 . . . . . . 7
126 simp2 956 . . . . . . 7
127 simp3 957 . . . . . . 7
128125, 126, 1273jca 1132 . . . . . 6
129 simp2 956 . . . . . . . 8
130 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11
1311303anbi2d 1257 . . . . . . . . . 10
132 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . 13
133132oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12
134133mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11
135134eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10
136131, 135imbi12d 311 . . . . . . . . 9
137 stoweidlem43.10 . . . . . . . . . 10
138137a1i 10 . . . . . . . . 9
139136, 138vtoclga 2862 . . . . . . . 8
140129, 139syl 15 . . . . . . 7
141140pm2.43i 43 . . . . . 6
142128, 141syl 15 . . . . 5
143 simpll 730 . . . . . . 7
144 simpr 447 . . . . . . 7
145143, 144jca 518 . . . . . 6
146145, 83syl 15 . . . . 5
1473adantr 451 . . . . 5
14810adantr 451 . . . . 5
149 simpr1 961 . . . . 5
150 simpr2 962 . . . . 5
151 simpr3 963 . . . . 5
152108, 109, 110, 111, 113, 64, 114, 9, 119, 120, 121, 123, 124, 142, 146, 147, 148, 149, 150, 151stoweidlem36 27888 . . . 4
153152ex 423 . . 3
154153exlimdv 1626 . 2
155107, 154mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934  wex 1531  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   cdif 3162   wss 3165  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cioo 10672  ctg 13358   ccn 16970  ccmp 17129 This theorem is referenced by:  stoweidlem46  27898 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
 Copyright terms: Public domain W3C validator