Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem44 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem44 27750
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem44.1
stoweidlem44.2
stoweidlem44.3
stoweidlem44.4
stoweidlem44.5
stoweidlem44.6
stoweidlem44.7
stoweidlem44.8
stoweidlem44.9
stoweidlem44.10
stoweidlem44.11
stoweidlem44.12
stoweidlem44.13
stoweidlem44.14
Assertion
Ref Expression
stoweidlem44
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,   ,,,   ,,,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,,,,,)   (,,,,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,,,,,,,)   (,,,,,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem stoweidlem44
StepHypRef Expression
1 stoweidlem44.2 . . . 4
2 stoweidlem44.5 . . . 4
3 eqid 2435 . . . 4
4 eqid 2435 . . . 4
5 stoweidlem44.6 . . . 4
65nnrecred 10037 . . . 4
7 stoweidlem44.7 . . . . 5
8 stoweidlem44.4 . . . . . 6
9 ssrab2 3420 . . . . . 6
108, 9eqsstri 3370 . . . . 5
11 fss 5591 . . . . 5
127, 10, 11sylancl 644 . . . 4
13 stoweidlem44.11 . . . 4
14 stoweidlem44.12 . . . 4
15 stoweidlem44.13 . . . 4
16 stoweidlem44.3 . . . . 5
17 stoweidlem44.9 . . . . 5
18 eqid 2435 . . . . 5
19 stoweidlem44.10 . . . . . 6
2019sselda 3340 . . . . 5
2116, 17, 18, 20fcnre 27653 . . . 4
221, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 15, 21stoweidlem32 27738 . . 3
238, 2, 5, 7, 21stoweidlem38 27744 . . . . . 6
2423ex 424 . . . . 5
251, 24ralrimi 2779 . . . 4
26 stoweidlem44.14 . . . . 5
278, 2, 5, 7, 21, 26stoweidlem37 27743 . . . 4
28 stoweidlem44.1 . . . . . . . . 9
29 nfv 1629 . . . . . . . . 9
3028, 29nfan 1846 . . . . . . . 8
31 nfv 1629 . . . . . . . 8
32 stoweidlem44.8 . . . . . . . . . 10
3332r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9
34 df-rex 2703 . . . . . . . . 9
3533, 34sylib 189 . . . . . . . 8
366ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
37 simpll 731 . . . . . . . . . 10
38 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . 12
3938adantl 453 . . . . . . . . . . 11
4039adantr 452 . . . . . . . . . 10
41 fzfid 11304 . . . . . . . . . . 11
428, 7, 21stoweidlem15 27721 . . . . . . . . . . . . 13
4342an32s 780 . . . . . . . . . . . 12
4443simp1d 969 . . . . . . . . . . 11
4541, 44fsumrecl 12520 . . . . . . . . . 10
4637, 40, 45syl2anc 643 . . . . . . . . 9
475nnred 10007 . . . . . . . . . . 11
485nngt0d 10035 . . . . . . . . . . 11
4947, 48recgt0d 9937 . . . . . . . . . 10
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
51 0re 9083 . . . . . . . . . . . 12
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11
53 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14
5437, 53, 403jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13
55 snfi 7179 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
57 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6260, 61eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15
6357, 58, 62, 44syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14
6456, 63fsumrecl 12520 . . . . . . . . . . . . 13
6554, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6652, 65readdcld 9107 . . . . . . . . . . 11
67 fzfi 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 diffi 7331 . . . . . . . . . . . . . . 15
6967, 68mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14
70 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170, 44sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14
7269, 71fsumrecl 12520 . . . . . . . . . . . . 13
7337, 40, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
7473, 65readdcld 9107 . . . . . . . . . . 11
75 00id 9233 . . . . . . . . . . . 12
76 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14
778, 7, 21stoweidlem15 27721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7877simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7937, 53, 40, 78syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382sumsn 12526 . . . . . . . . . . . . . . 15
8453, 80, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
8576, 84breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . 13
8652, 65, 52, 85ltadd2dd 9221 . . . . . . . . . . . 12
8775, 86syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . 11
8851a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
89723adant2 976 . . . . . . . . . . . . 13
90 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9170adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
92 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9390, 91, 92, 42syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15
9569, 71, 94fsumge0 12566 . . . . . . . . . . . . . 14
96953adant2 976 . . . . . . . . . . . . 13
9788, 89, 64, 96leadd1dd 9632 . . . . . . . . . . . 12
9854, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11
9952, 66, 74, 87, 98ltletrd 9222 . . . . . . . . . 10
100 eq0 3634 . . . . . . . . . . . . . 14
101 eldifn 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103101, 102mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 elin 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15
105103, 104mtbir 291 . . . . . . . . . . . . . 14
106100, 105mpgbir 1559 . . . . . . . . . . . . 13
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
108 undif1 3695 . . . . . . . . . . . . 13
109 snssi 3934 . . . . . . . . . . . . . . 15
1101093ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . 14
111 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . . . . 14
112110, 111sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
113108, 112syl5req 2480 . . . . . . . . . . . 12
114 fzfid 11304 . . . . . . . . . . . 12
115443adantl2 1114 . . . . . . . . . . . . 13
116115recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12
117107, 113, 114, 116fsumsplit 12525 . . . . . . . . . . 11
11854, 117syl 16 . . . . . . . . . 10
11999, 118breqtrrd 4230 . . . . . . . . 9
12036, 46, 50, 119mulgt0d 9217 . . . . . . . 8
12130, 31, 35, 120exlimdd 1912 . . . . . . 7
1228, 2, 5, 7, 21stoweidlem30 27736 . . . . . . . 8
12338, 122sylan2 461 . . . . . . 7
124121, 123breqtrrd 4230 . . . . . 6
125124ex 424 . . . . 5
1261, 125ralrimi 2779 . . . 4
12725, 27, 1263jca 1134 . . 3
128 eleq1 2495 . . . . . 6
129 nfmpt1 4290 . . . . . . . . . 10
1302, 129nfcxfr 2568 . . . . . . . . 9
131130nfeq2 2582 . . . . . . . 8
132 fveq1 5719 . . . . . . . . . 10
133132breq2d 4216 . . . . . . . . 9
134132breq1d 4214 . . . . . . . . 9
135133, 134anbi12d 692 . . . . . . . 8
136131, 135ralbid 2715 . . . . . . 7
137 fveq1 5719 . . . . . . . 8
138137eqeq1d 2443 . . . . . . 7
139132breq2d 4216 . . . . . . . 8
140131, 139ralbid 2715 . . . . . . 7
141136, 138, 1403anbi123d 1254 . . . . . 6
142128, 141anbi12d 692 . . . . 5
143142spcegv 3029 . . . 4
14422, 143syl 16 . . 3
14522, 127, 144mp2and 661 . 2
146 df-rex 2703 . 2
147145, 146sylibr 204 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936  wex 1550  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   cdif 3309   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cuni 4007   class class class wbr 4204   cmpt 4258   crn 4871  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cdiv 9669  cn 9992  cioo 10908  cfz 11035  csu 12471  ctg 13657   ccn 17280 This theorem is referenced by:  stoweidlem53  27759 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283
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