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Theorem stoweidlem44 27205
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem44.1  |-  F/ j
ph
stoweidlem44.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem44.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem44.4  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem44.5  |-  P  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
stoweidlem44.6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
stoweidlem44.7  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
stoweidlem44.8  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `  j ) `
 t ) )
stoweidlem44.9  |-  T  = 
U. J
stoweidlem44.10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem44.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem44.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem44.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem44.14  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem44  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Distinct variable groups:    f, g,
i, t, G    f,
j, i, t, G    A, f, g    f, M, g, i, t    T, f, g, i, t    ph, f,
g, i    h, i,
j, t, G    A, h    T, h, j    h, Z, i, t    x, j, M, t    U, j   
t, p, T    A, p    P, p    U, p    Z, p    x, A    x, T    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( t, h, j, p)    A( t,
i, j)    P( x, t, f, g, h, i, j)    Q( x, t, f, g, h, i, j, p)    U( x, t, f, g, h, i)    G( x, p)    J( x, t, f, g, h, i, j, p)    K( x, t, f, g, h, i, j, p)    M( h, p)    Z( x, f, g, j)

Proof of Theorem stoweidlem44
StepHypRef Expression
1 stoweidlem44.2 . . . . 5  |-  F/ t
ph
2 stoweidlem44.5 . . . . 5  |-  P  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) )  =  ( t  e.  T  |-> 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
4 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( t  =  t  ->  (
1  /  M )  =  ( 1  /  M ) )
54cbvmptv 4111 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  M ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  /  M ) )
6 stoweidlem44.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
87a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ph )
10 nnre 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
116, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
129, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
13 nnne0 9778 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
146, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
158, 12, 143jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 ) )
16 redivcl 9479 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 )  ->  (
1  /  M )  e.  RR )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  RR )
18 stoweidlem44.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> Q )
19 stoweidlem44.4 . . . . . . . . 9  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
20 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { h  e.  A  |  (
( h `  Z
)  =  0  /\ 
A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 ) ) }  C_  A
2119, 20eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  Q  C_  A
2221a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  C_  A )
2318, 22jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... M ) --> Q  /\  Q  C_  A ) )
24 fss 5397 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( 1 ... M ) --> Q  /\  Q  C_  A
)  ->  G :
( 1 ... M
) --> A )
2523, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... M ) --> A )
26 stoweidlem44.11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
27 stoweidlem44.12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
28 stoweidlem44.13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
2928idi 2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
30 stoweidlem44.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
31 stoweidlem44.9 . . . . . 6  |-  T  = 
U. J
32 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
33 stoweidlem44.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
34 ssel 3174 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( J  Cn  K )  ->  (
f  e.  A  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) ) )
3635imp 418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
3730, 31, 32, 36fcnre 27108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
381, 2, 3, 5, 6, 17, 25, 26, 27, 29, 37stoweidlem32 27193 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
391idi 2 . . . . . 6  |-  F/ t
ph
4019, 2, 6, 18, 37stoweidlem38 27199 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
4140ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
4239, 41ralrimi 2624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
4333adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
44 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  A )
4543, 44jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  f  e.  A ) )
46 ssel2 3175 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( J  Cn  K )  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
4745, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
4830, 31, 32, 47fcnre 27108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
49 stoweidlem44.14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  T )
5019, 2, 6, 18, 48, 49stoweidlem37 27198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  Z
)  =  0 )
51 stoweidlem44.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `  j ) `
 t ) )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) E. j  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( G `  j
) `  t )
)
53 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  t  e.  ( T  \  U ) )
5452, 53jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) E. j  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( G `  j
) `  t )  /\  t  e.  ( T  \  U ) ) )
55 rsp 2603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) E. j  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( G `  j
) `  t )  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `  j ) `
 t ) ) )
5655imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `  j ) `
 t )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. j  e.  (
1 ... M ) 0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) )
5754, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. j  e.  ( 1 ... M
) 0  <  (
( G `  j
) `  t )
)
58 df-rex 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... M ) 0  <  ( ( G `
 j ) `  t )  <->  E. j
( j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  (
( G `  j
) `  t )
) )
5957, 58sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. j
( j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  (
( G `  j
) `  t )
) )
60 stoweidlem44.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j
ph
61 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  t  e.  ( T 
\  U )
6260, 61nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )
63 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j 0  <  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) )
6417adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( 1  /  M )  e.  RR )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 1  /  M )  e.  RR )
66 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  1
6766a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
688, 67jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
69 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
706, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  M )
7111, 70jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )
7268, 71jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) ) )
73 divgt0 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M ) )  -> 
0  <  ( 1  /  M ) )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  M ) )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( 1  /  M ) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
1  /  M ) )
7765, 76jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( 1  /  M )  e.  RR  /\  0  < 
( 1  /  M
) ) )
78 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ph )
79 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  t  e.  T )
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  t  e.  T )
8180adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  t  e.  T
)
8278, 81jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ph  /\  t  e.  T )
)
83 fzfi 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... M )  e. 
Fin
8483a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
85 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
86 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
8785, 86jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
88 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
8987, 88jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T ) )
9019, 18, 48stoweidlem15 27176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 i ) `  t )  /\  (
( G `  i
) `  t )  <_  1 ) )
9189, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 i ) `  t )  /\  (
( G `  i
) `  t )  <_  1 ) )
92 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 i ) `  t )  /\  (
( G `  i
) `  t )  <_  1 )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
9484, 93fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
9582, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
)  e.  RR )
96 00id 8987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  +  0 )  =  0
97 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
( G `  j
) `  t )
)
98 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  j  e.  ( 1 ... M ) )
9978, 98jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M ) ) )
10099, 81jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M ) )  /\  t  e.  T
) )
10119, 18, 37stoweidlem15 27176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( G `  j ) `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( G `
 j ) `  t )  /\  (
( G `  j
) `  t )  <_  1 ) )
102101simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( G `  j
) `  t )  e.  RR )
103100, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  t )  e.  RR )
104 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G `  j
) `  t )  e.  RR  ->  ( ( G `  j ) `  t )  e.  CC )
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  t )  e.  CC )
10698, 105jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( j  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( ( G `  j ) `  t )  e.  CC ) )
107 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  j  ->  ( G `  i )  =  ( G `  j ) )
108107fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  j  ->  (
( G `  i
) `  t )  =  ( ( G `
 j ) `  t ) )
109108sumsn 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( G `  j ) `  t
)  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  =  ( ( G `  j ) `  t
) )
110106, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  =  ( ( G `  j ) `  t
) )
11197, 110breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) )
112 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  RR
113112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  e.  RR )
11478, 98, 813jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M )  /\  t  e.  T )
)
115 snfi 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { j }  e.  Fin
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  { j }  e.  Fin )
117 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  ph )
118 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  t  e.  T
)
119117, 118jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  ( ph  /\  t  e.  T )
)
120 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  i  e.  {
j } )
121 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  { j }  ->  i  =  j )
122120, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  i  =  j )
123 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  j  e.  ( 1 ... M ) )
124122, 123eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
125119, 124jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
126125, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  { j } )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
127116, 126fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
128114, 127syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR )
129113, 128, 1133jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  e.  RR  /\  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )
130 ltadd2 8924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( 0  <  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t )  <->  ( 0  +  0 )  < 
( 0  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) ) ) )
131129, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  <  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t )  <->  ( 0  +  0 )  < 
( 0  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) ) ) )
132111, 131mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  +  0 )  <  (
0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
13396, 132syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
134 3simpb 953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  ( ph  /\  t  e.  T
) )
135 diffi 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1 ... M )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... M
)  \  { j } )  e.  Fin )
13683, 135ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  e.  Fin
137 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  CC
138136, 137pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  e.  Fin  /\  0  e.  CC )
139 fsumconst 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  \  {
j } )  e. 
Fin  /\  0  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) 0  =  ( ( # `  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  x.  0 ) )
140138, 139ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) 0  =  ( ( # `  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  x.  0 )
141 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  \  { j } ) )  e. 
NN0 )
142136, 141ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( # `  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  e.  NN0
143 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  ( (
1 ... M )  \  { j } ) )  e.  NN0  ->  (
# `  ( (
1 ... M )  \  { j } ) )  e.  CC )
144142, 143ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( # `  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  e.  CC
145 mul01 8991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  ( (
1 ... M )  \  { j } ) )  e.  CC  ->  ( ( # `  (
( 1 ... M
)  \  { j } ) )  x.  0 )  =  0 )
146144, 145ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  ( (
1 ... M )  \  { j } ) )  x.  0 )  =  0
147140, 146eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) 0  =  0
148147a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) 0  =  0 )
149136a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1 ... M
)  \  { j } )  e.  Fin )
150112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  0  e.  RR )
151 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ph  /\  t  e.  T )
)
152 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( ( 1 ... M )  \  { j } )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
153152adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M ) )
154151, 153jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
155154, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )
156 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ph )
157156, 153jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
158 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  t  e.  T
)
159157, 158jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  t  e.  T
) )
160159, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  ( ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( G `  i ) `  t
)  /\  ( ( G `  i ) `  t )  <_  1
) )
161160simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) )  ->  0  <_  (
( G `  i
) `  t )
)
162149, 150, 155, 161fsumle 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) 0  <_  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t ) )
163148, 162eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t ) )
164134, 163syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t ) )
165112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
166149, 155fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR )
167134, 166syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR )
168165, 167, 1273jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
0  e.  RR  /\  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } ) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR  /\ 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR ) )
169 leadd1 9242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } ) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR  /\ 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR )  ->  (
0  <_  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  <->  ( 0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
)  <_  ( sum_ i  e.  ( (
1 ... M )  \  { j } ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) ) )
170168, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  <->  ( 0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
)  <_  ( sum_ i  e.  ( (
1 ... M )  \  { j } ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) ) )
171164, 170mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
)  <_  ( sum_ i  e.  ( (
1 ... M )  \  { j } ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
172114, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  +  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) )
173133, 172jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  < 
( 0  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) )  /\  ( 0  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) )  <_ 
( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) ) )
174113, 128jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  e.  RR  /\  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR ) )
175 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR )  ->  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  e.  RR )
176174, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  e.  RR )
17782, 166syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR )
178177, 128jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR  /\  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR ) )
179 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  e.  RR  /\  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )  ->  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } ) ( ( G `
 i ) `  t )  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  RR )
180178, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  +  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  e.  RR )
181113, 176, 1803jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( 0  e.  RR  /\  ( 0  +  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  e.  RR  /\  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } ) ( ( G `
 i ) `  t )  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  RR ) )
182 ltletr 8913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 0  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) )  e.  RR  /\  ( sum_ i  e.  ( (
1 ... M )  \  { j } ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
)  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  /\  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  +  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) )  ->  0  <  (
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) ) )
183181, 182syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( 0  <  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  /\  ( 0  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } ) ( ( G `  i
) `  t )  +  sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) )  ->  0  <  (
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) ) )
184173, 183mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  ( sum_ i  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } ) ( ( G `
 i ) `  t )  +  sum_ i  e.  { j }  ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
185 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ( 1 ... M )  \  { j } )  ->  -.  x  e.  { j } )
186 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  ->  -.  x  e.  { j } )  <->  -.  ( x  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  /\  x  e.  { j } ) )
187185, 186mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  (
x  e.  ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  /\  x  e. 
{ j } )
188 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ( ( 1 ... M ) 
\  { j } )  i^i  { j } )  <->  ( x  e.  ( ( 1 ... M )  \  {
j } )  /\  x  e.  { j } ) )
189187, 188mtbir 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  x  e.  ( ( ( 1 ... M )  \  { j } )  i^i  { j } )
190189ax-gen 1533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. x  -.  x  e.  (
( ( 1 ... M )  \  {
j } )  i^i 
{ j } )
191 eq0 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  ( ( ( 1 ... M )  \  { j } )  i^i  { j } ) )
192190, 191mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  (/)
193192a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( 1 ... M )  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/) )
194 undif1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1 ... M
)  \  { j } )  u.  {
j } )  =  ( ( 1 ... M )  u.  {
j } )
195 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... M )  ->  { j }  C_  ( 1 ... M ) )
1961953ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  { j }  C_  ( 1 ... M ) )
197 ssequn2 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { j }  C_  (
1 ... M )  <->  ( (
1 ... M )  u. 
{ j } )  =  ( 1 ... M ) )
198196, 197sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1 ... M
)  u.  { j } )  =  ( 1 ... M ) )
199194, 198syl5req 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  =  ( ( ( 1 ... M )  \  { j } )  u.  { j } ) )
20083a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
201 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
202 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
203201, 202jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  t  e.  T
) )
204 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
205203, 204jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) ) )
206205, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  RR )
207 recn 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR  ->  ( ( G `  i ) `  t )  e.  CC )
208206, 207syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( G `  i
) `  t )  e.  CC )
209193, 199, 200, 208fsumsplit 12212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1 ... M
)  /\  t  e.  T )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t )  =  (
sum_ i  e.  ( ( 1 ... M
)  \  { j } ) ( ( G `  i ) `
 t )  + 
sum_ i  e.  {
j }  ( ( G `  i ) `
 t ) ) )
210114, 209syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
)  =  ( sum_ i  e.  ( (
1 ... M )  \  { j } ) ( ( G `  i ) `  t
)  +  sum_ i  e.  { j }  (
( G `  i
) `  t )
) )
211184, 210breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
)
21295, 211jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR  /\  0  <  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
21377, 212jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  M )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  M
) )  /\  ( sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )  e.  RR  /\  0  <  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) ) )
214 mulgt0 8900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  /  M )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  M ) )  /\  ( sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t )  e.  RR  /\  0  <  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
215213, 214syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) ) )  ->  0  <  (
( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
216215ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( (
j  e.  ( 1 ... M )  /\  0  <  ( ( G `
 j ) `  t ) )  -> 
0  <  ( (
1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) ) ) )
21762, 63, 216exlimd 1803 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( E. j ( j  e.  ( 1 ... M
)  /\  0  <  ( ( G `  j
) `  t )
)  ->  0  <  ( ( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) ) )
21859, 217mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( ( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
219 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ph )
220219, 80jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ph  /\  t  e.  T ) )
22119, 2, 6, 18, 48stoweidlem30 27191 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  =  ( ( 1  /  M )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i ) `  t
) ) )
222220, 221syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  t )  =  ( ( 1  /  M
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M
) ( ( G `
 i ) `  t ) ) )
223218, 222breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( P `  t ) )
224223ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  0  <  ( P `  t )
) )
22539, 224ralrimi 2624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
22642, 50, 2253jca 1132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( P `  t
)  /\  ( P `  t )  <_  1
)  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) )
22738, 226jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( P `  t
)  /\  ( P `  t )  <_  1
)  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) ) )
228 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
p  e.  A  <->  P  e.  A ) )
229 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
p
230 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( 1  /  M )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... M ) ( ( G `  i
) `  t )
) )
2312, 230nfcxfr 2416 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t P
232229, 231nfeq 2426 . . . . . . . 8  |-  F/ t  p  =  P
233 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  t )  =  ( P `  t ) )
234233breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
0  <_  ( p `  t )  <->  0  <_  ( P `  t ) ) )
235233breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  t
)  <_  1  <->  ( P `  t )  <_  1
) )
236234, 235anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
237232, 236ralbid 2561 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
238 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  Z )  =  ( P `  Z ) )
239238eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  Z
)  =  0  <->  ( P `  Z )  =  0 ) )
240233breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
0  <  ( p `  t )  <->  0  <  ( P `  t ) ) )
241232, 240ralbid 2561 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( p `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
) )
242237, 239, 2413anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
) ) ) )
243228, 242anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )  <->  ( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 )  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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) ) ) )
244243spcegv 2869 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  (
( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( P `  t
)  /\  ( P `  t )  <_  1
)  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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) )  ->  E. p
( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( p `  t
)  /\  ( p `  t )  <_  1
)  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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p `  t )
) ) ) )
24538, 244syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  ( P `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
) ) )  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( p `  t )  /\  (
p `  t )  <_  1 )  /\  (
p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( p `  t
) ) ) ) )
246227, 245mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) ) )
247 df-rex 2549 . 2  |-  ( E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
)  <->  E. p ( p  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
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p `  t )
) ) )
248246, 247sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
p `  t )  /\  ( p `  t
)  <_  1 )  /\  ( p `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  (
p `  t )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   #chash 11337   sum_csu 12158   topGenctg 13342    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  27214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957
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