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Theorem stoweidlem45 27206
Description: This lemma proves that, given an appropriate  K (in another theorem we prove such a  K exists), there exists a function qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 ( at the top of page 91): 0 <= qn <= 1 , qn < ε on T \ U, and qn > 1 - ε on  V. We use y to represent the final qn in the paper (the one with n large enough),  N to represent  n in the paper,  K to represent  k,  D to represent δ,  E to represent ε, and  P to represent  p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem45.1  |-  F/_ t P
stoweidlem45.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem45.3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem45.4  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem45.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem45.6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem45.7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem45.8  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem45.9  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem45.10  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem45.11  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem45.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
stoweidlem45.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem45.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem45.15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem45.16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem45.17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem45.18  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem45.19  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem45  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, N, g, t    P, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, t, A    y,
t, A    t, K    x, T    ph, x    y, E    y, Q    y, T    y, U    y, V
Allowed substitution hints:    ph( y, t)    D( x, y, t, f, g)    P( x, y, t)    Q( x, t, f, g)    U( x, t, f, g)    E( x, t, f, g)    K( x, y, f, g)    N( x, y)    V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem45
StepHypRef Expression
1 stoweidlem45.1 . . . 4  |-  F/_ t P
2 stoweidlem45.2 . . . 4  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem45.4 . . . 4  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( P `  t ) ^ N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( P `
 t ) ^ N ) )
7 stoweidlem45.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
8 stoweidlem45.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
9 stoweidlem45.13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
10 stoweidlem45.14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
11 stoweidlem45.15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12 stoweidlem45.16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
13 stoweidlem45.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
14 stoweidlem45.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
15 nnnn0 9972 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1613, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1714, 16jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )
)
18 nnexpcl 11116 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ N
)  e.  NN )
1917, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19stoweidlem40 27201 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
21 1re 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
2221a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
238adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  P : T --> RR )
24 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
2523, 24jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
26 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t
)  e.  RR )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
2816adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  NN0 )
2927, 28jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 ) )
30 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
3222, 31jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  e.  RR  /\  ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR ) )
33 resubcl 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) )  e.  RR )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
35 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
3614, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
3736, 16jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
38 nn0expcl 11117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K ^ N
)  e.  NN0 )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
4039adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
41 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
42 subid 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  -  1 )  =  0 )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
44 stoweidlem45.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
4645, 24jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 )  /\  t  e.  T
) )
47 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  ->  (
t  e.  T  -> 
( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) ) )
4847imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 )  /\  t  e.  T
)  ->  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
4946, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
5049simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
5149simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  <_  1 )
5227, 50, 513jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
5352, 28jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )
54 exple1 11161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
5631, 22, 223jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
57 lesub2 9269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( P `  t ) ^ N
)  <_  1  <->  ( 1  -  1 )  <_ 
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ) )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( P `  t ) ^ N
)  <_  1  <->  ( 1  -  1 )  <_ 
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ) )
5955, 58mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  1 )  <_  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
6043, 59syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) )
6134, 40, 603jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ) )
62 expge0 11138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  e.  RR  /\  ( K ^ N )  e.  NN0  /\  0  <_  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) )  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
643, 8, 16, 36stoweidlem12 27173 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
6563, 64breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( Q `  t
) )
6627, 28, 503jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  ( P `  t
) ) )
67 expge0 11138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P `  t
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  ( P `  t
) )  ->  0  <_  ( ( P `  t ) ^ N
) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( P `  t ) ^ N
) )
69 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
7170, 31, 223jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  e.  RR  /\  ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )
)
72 lesub2 9269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( ( P `  t ) ^ N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( P `  t
) ^ N )  <-> 
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  <_  ( 1  -  0 ) ) )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( ( P `  t ) ^ N )  <->  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) )  <_ 
( 1  -  0 ) ) )
7468, 73mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  0 ) )
75 subid1 9068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  -  0 )  =  1 )
7641, 75ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  -  0 )  =  1
7774, 76syl6breq 4062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  <_  1 )
7834, 60, 773jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) )  /\  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  <_  1 ) )
7978, 40jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) )  /\  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 ) )
80 exple1 11161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) )  /\  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  <_  1
)
8179, 80syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
8264, 81eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  <_  1 )
8365, 82jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t )  <_  1 ) )
8483ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
852, 84ralrimi 2624 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) )
86 stoweidlem45.3 . . . . . . 7  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
87 stoweidlem45.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
88 stoweidlem45.17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
89 stoweidlem45.18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
9086, 3, 8, 16, 36, 87, 88, 89, 44stoweidlem24 27185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
9190ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  ( 1  -  E
)  <  ( Q `  t ) ) )
922, 91ralrimi 2624 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( Q `  t ) )
93 stoweidlem45.12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
94 stoweidlem45.19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
953, 13, 14, 87, 8, 44, 93, 88, 94stoweidlem25 27186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( Q `  t )  <  E
)
9695ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( Q `  t )  <  E
) )
972, 96ralrimi 2624 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `  t
)  <  E )
9885, 92, 973jca 1132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( Q `  t
)  /\  ( Q `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( Q `  t )  <  E
) )
9920, 98jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( Q `  t
)  /\  ( Q `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( Q `  t )  <  E
) ) )
100 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ t
y
101 nfmpt1 4109 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
1023, 101nfcxfr 2416 . . . . . 6  |-  F/_ t Q
103100, 102nfeq 2426 . . . . 5  |-  F/ t  y  =  Q
104 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  (
y `  t )  =  ( Q `  t ) )
105104breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
0  <_  ( y `  t )  <->  0  <_  ( Q `  t ) ) )
106104breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
( y `  t
)  <_  1  <->  ( Q `  t )  <_  1
) )
107105, 106anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
108103, 107ralbid 2561 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
109104breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( y `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
) ) )
110103, 109ralbid 2561 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t )  <->  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
) ) )
111104breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( y `  t
)  <  E  <->  ( Q `  t )  <  E
) )
112103, 111ralbid 2561 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t )  <  E  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( Q `  t )  <  E
) )
113108, 110, 1123anbi123d 1252 . . 3  |-  ( y  =  Q  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  E
)  <->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( Q `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `
 t )  < 
E ) ) )
114113rspcev 2884 . 2  |-  ( ( Q  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  ( Q `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `  t
)  <  E )
)  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) )
11599, 114syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   RR+crp 10354   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  27210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105
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