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Theorem stoweidlem45 27456
Description: This lemma proves that, given an appropriate  K (in another theorem we prove such a  K exists), there exists a function qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 ( at the top of page 91): 0 <= qn <= 1 , qn < ε on T \ U, and qn > 1 - ε on  V. We use y to represent the final qn in the paper (the one with n large enough),  N to represent  n in the paper,  K to represent  k,  D to represent δ,  E to represent ε, and  P to represent  p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem45.1  |-  F/_ t P
stoweidlem45.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem45.3  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
stoweidlem45.4  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
stoweidlem45.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
stoweidlem45.6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
stoweidlem45.7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
stoweidlem45.8  |-  ( ph  ->  D  <  1 )
stoweidlem45.9  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
stoweidlem45.10  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
stoweidlem45.11  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
stoweidlem45.12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
stoweidlem45.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
stoweidlem45.14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem45.15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem45.16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem45.17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem45.18  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
stoweidlem45.19  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem45  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, N, g, t    P, f, g    T, f, g, t    ph, f,
g    x, t, A    y,
t, A    t, K    x, T    ph, x    y, E    y, Q    y, T    y, U    y, V
Allowed substitution hints:    ph( y, t)    D( x, y, t, f, g)    P( x, y, t)    Q( x, t, f, g)    U( x, t, f, g)    E( x, t, f, g)    K( x, y, f, g)    N( x, y)    V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem45
StepHypRef Expression
1 stoweidlem45.1 . . 3  |-  F/_ t P
2 stoweidlem45.2 . . 3  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem45.4 . . 3  |-  Q  =  ( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
4 eqid 2381 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
5 eqid 2381 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  1 )  =  ( t  e.  T  |->  1 )
6 eqid 2381 . . 3  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( P `  t ) ^ N ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( P `
 t ) ^ N ) )
7 stoweidlem45.9 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
8 stoweidlem45.10 . . 3  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
9 stoweidlem45.13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A )  ->  f : T --> RR )
10 stoweidlem45.14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
11 stoweidlem45.15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12 stoweidlem45.16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
13 stoweidlem45.5 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
14 stoweidlem45.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1513nnnn0d 10200 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1614, 15nnexpcld 11465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16stoweidlem40 27451 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
18 1re 9017 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  RR )
208fnvinran 27347 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  e.  RR )
2115adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  N  e.  NN0 )
2220, 21reexpcld 11461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  e.  RR )
2319, 22resubcld 9391 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  e.  RR )
2414nnnn0d 10200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2524, 15nn0expcld 11466 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K ^ N
)  e.  NN0 )
2625adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( K ^ N )  e. 
NN0 )
27 1m1e0 9994 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
28 stoweidlem45.11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t
)  <_  1 ) )
2928r19.21bi 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 ) )
3029simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( P `  t
) )
3129simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( P `  t )  <_  1 )
32 exple1 11360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P `  t )  e.  RR  /\  0  <_  ( P `  t )  /\  ( P `  t )  <_  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
3320, 30, 31, 21, 32syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( P `  t
) ^ N )  <_  1 )
3422, 19, 19, 33lesub2dd 9569 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  1 )  <_  ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) )
3527, 34syl5eqbrr 4181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) )
3623, 26, 35expge0d 11462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
373, 8, 15, 24stoweidlem12 27423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  =  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) ) )
3836, 37breqtrrd 4173 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( Q `  t
) )
39 0re 9018 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  e.  RR )
4120, 21, 30expge0d 11462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( P `  t ) ^ N
) )
4240, 22, 19, 41lesub2dd 9569 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  <_  ( 1  -  0 ) )
43 ax-1cn 8975 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
4443subid1i 9298 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
4542, 44syl6breq 4186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
1  -  ( ( P `  t ) ^ N ) )  <_  1 )
46 exple1 11360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) )  /\  ( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) )  <_  1 )  /\  ( K ^ N )  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  -  ( ( P `
 t ) ^ N ) ) ^
( K ^ N
) )  <_  1
)
4723, 35, 45, 26, 46syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( 1  -  (
( P `  t
) ^ N ) ) ^ ( K ^ N ) )  <_  1 )
4837, 47eqbrtrd 4167 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Q `  t )  <_  1 )
4938, 48jca 519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t )  <_  1 ) )
5049ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
512, 50ralrimi 2724 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) )
52 stoweidlem45.3 . . . . 5  |-  V  =  { t  e.  T  |  ( P `  t )  <  ( D  /  2 ) }
53 stoweidlem45.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
54 stoweidlem45.17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
55 stoweidlem45.18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( ( ( K  x.  D )  /  2 ) ^ N ) ) )
5652, 3, 8, 15, 24, 53, 54, 55, 28stoweidlem24 27435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
1  -  E )  <  ( Q `  t ) )
5756ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  V  ->  ( 1  -  E
)  <  ( Q `  t ) ) )
582, 57ralrimi 2724 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( Q `  t ) )
59 stoweidlem45.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) D  <_  ( P `  t ) )
60 stoweidlem45.19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( K  x.  D
) ^ N ) )  <  E )
613, 13, 14, 53, 8, 28, 59, 54, 60stoweidlem25 27436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( Q `  t )  <  E
)
6261ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( Q `  t )  <  E
) )
632, 62ralrimi 2724 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `  t
)  <  E )
64 nfmpt1 4233 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( 1  -  ( ( P `  t ) ^ N
) ) ^ ( K ^ N ) ) )
653, 64nfcxfr 2514 . . . . . 6  |-  F/_ t Q
6665nfeq2 2528 . . . . 5  |-  F/ t  y  =  Q
67 fveq1 5661 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  (
y `  t )  =  ( Q `  t ) )
6867breq2d 4159 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
0  <_  ( y `  t )  <->  0  <_  ( Q `  t ) ) )
6967breq1d 4157 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
( y `  t
)  <_  1  <->  ( Q `  t )  <_  1
) )
7068, 69anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
7166, 70ralbid 2661 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 ) ) )
7267breq2d 4159 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( y `  t )  <->  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
) ) )
7366, 72ralbid 2661 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  V  ( 1  -  E
)  <  ( y `  t )  <->  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( Q `  t
) ) )
7467breq1d 4157 . . . . 5  |-  ( y  =  Q  ->  (
( y `  t
)  <  E  <->  ( Q `  t )  <  E
) )
7566, 74ralbid 2661 . . . 4  |-  ( y  =  Q  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t )  <  E  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( Q `  t )  <  E
) )
7671, 73, 753anbi123d 1254 . . 3  |-  ( y  =  Q  ->  (
( A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( y `  t
)  /\  ( y `  t )  <_  1
)  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  < 
( y `  t
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( y `  t )  <  E
)  <->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( Q `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `
 t )  < 
E ) ) )
7776rspcev 2989 . 2  |-  ( ( Q  e.  A  /\  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  ( Q `  t )  /\  ( Q `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  ( Q `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( Q `  t
)  <  E )
)  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  (
0  <_  ( y `  t )  /\  (
y `  t )  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  (
1  -  E )  <  ( y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `
 t )  < 
E ) )
7817, 51, 58, 63, 77syl13anc 1186 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  A  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
y `  t )  /\  ( y `  t
)  <_  1 )  /\  A. t  e.  V  ( 1  -  E )  <  (
y `  t )  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( y `  t
)  <  E )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717   F/_wnfc 2504   A.wral 2643   E.wrex 2644   {crab 2647    \ cdif 3254   class class class wbr 4147    e. cmpt 4201   -->wf 5384   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   RRcr 8916   0cc0 8917   1c1 8918    + caddc 8920    x. cmul 8922    < clt 9047    <_ cle 9048    - cmin 9217    / cdiv 9603   NNcn 9926   2c2 9975   NN0cn0 10147   RR+crp 10538   ^cexp 11303
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  27460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-rp 10539  df-seq 11245  df-exp 11304
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